數學

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國立臺中教育大學

107 學年度教師專業碩士學位學程招生考試

數學試題

※請於答案卷上作答區中作答，否則不予計分；本次考試得用鉛筆、藍色或黑色 原子筆作答。 ㄧ、填充題（每題4%，共 80％） 1. 如右圖， 𝐴𝐴𝐴𝐴為圓 O 的直徑，C、D 為圓上二點，已知 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴，且𝑂𝑂𝑂𝑂與𝐴𝐴𝐴𝐴交於 E 點，若𝑂𝑂𝑂𝑂 = 8、𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4， 則_{𝐴𝐴𝐴𝐴的長度為______。} 2. 函數y=16𝑥𝑥2_{− 96𝑥𝑥 + 149圖形的頂點坐標為______。} 3. 若𝑎𝑎為方程式�𝑥𝑥 − √19�2 = 100的正根，𝑏𝑏為方程式(𝑦𝑦 − 4)2 _{= 19的負根，則} 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 =______。 4. 如右圖，D、E 在𝐴𝐴𝐴𝐴上，G、F 在𝐴𝐴𝐴𝐴上。根據圖上的資 訊，則_{𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 =______。} 5. ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴中，若cos 𝐴𝐴 =3₅

、

_{cos 𝐴𝐴 =} 5 13且BC���� = 14，則∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 的面積為______。 6. (312598)10_{的末兩位數字為______。} （背面尚有試題） 准考證號碼：

第2 頁，共 3 頁 7. 已知�3𝑎𝑎 3𝑏𝑏_{2𝑐𝑐 2𝑑𝑑� =}30、 �𝑎𝑎 +_{𝑐𝑐 + 2𝑓𝑓 2𝑑𝑑� = 22}2𝑒𝑒 2𝑏𝑏 ，則�𝑒𝑒 𝑏𝑏 𝑓𝑓 𝑑𝑑� =______。 8. 在(2𝑥𝑥2₋1 𝑥𝑥)8的展開式中，𝑥𝑥7的係數為______。 9. 自 1 到 2000 的自然數中，不為 2、3 或 5 任一數之倍數者有______個。 10. 若 𝑥𝑥、𝑦𝑦除以 9 的餘數分別為 2 和 7，則𝑥𝑥4_𝑦𝑦2_{除以9 的餘數為______。} 11. 有一個正方形的靶，邊長為 8 公分，中心點設為𝐴𝐴，若小亮每次射飛鏢都射在 靶上，則他射中距離𝐴𝐴點 2 公分以內的機率為______。 12. 若𝑎𝑎、𝑏𝑏為自然數，兩數相差219，且最小公倍數為6424，則兩數之和為______。 13. 若𝑥𝑥為正整數，且1001_𝑥𝑥 亦為正整數，則𝑥𝑥可能的值有______個。 14. 有一個三角形的邊長分別為 12、16、20，此三角形的外接圓半徑與內切圓半 徑的比值為______。 15. 由 success 的 7 個字母中，任取 4 個字母，其組合數為______。 16. 若𝑎𝑎為自然數，且√3介於𝑎𝑎+5_𝑎𝑎 與𝑎𝑎+6 𝑎𝑎+1之間，則𝑎𝑎 = ______。

第3 頁，共 3 頁 17. 設三角形∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的三內角∠𝐴𝐴=𝛼𝛼°_{、∠𝐴𝐴 = 𝛽𝛽}°_{、∠𝐴𝐴 = 𝛾𝛾}°_{，且3𝛼𝛼：4𝛽𝛽 = 1：2、} 5𝛽𝛽：6𝛾𝛾 = 1：2，則𝛼𝛼 =______。 18. 𝐴𝐴、𝐴𝐴、𝐴𝐴為直角坐標平面上的三個點，其中𝐴𝐴(2,3)、𝐴𝐴(4,5)，C 點在直線 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2上，且𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴，則 C 點的坐標為______。 19. 在一不透明的箱子中有 8 顆白球、𝑥𝑥顆黑球，每顆球被抽到的機率均相同。今 每次任取一球，且取後不放回，若連續取球兩次，此兩球皆為白球的機率為14 33， 則𝑥𝑥 =______。 20. 設𝑥𝑥為實數，且滿足方程式|𝑥𝑥 + 3| + |𝑥𝑥 − 9| = 16，則𝑥𝑥 =______。 二、應用題（每題10%，共 20％） 1. 有甲、乙兩個大小不同的水桶，其容量分別為𝑥𝑥、𝑦𝑦公升。現在將一些水平分裝 入二個水桶中，若將甲桶中的水全部倒入乙桶後，乙桶還可以再裝 20 公升的 水；若將乙桶中的水倒入甲桶，裝滿甲桶後乙桶還剩下 10 公升的水。試列出 𝑥𝑥、𝑦𝑦的關係式。 2. 若𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, ⋯ 𝑎𝑎100 ∈ {−1,0,1}，𝑎𝑎1+ 𝑎𝑎2+ ⋯ 𝑎𝑎100 = 35，且(𝑎𝑎1+ 1)2+ (𝑎𝑎2+ 1)2+ ⋯ + (𝑎𝑎100+ 1)2 = 227，請問𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, ⋯ 𝑎𝑎100中有幾項是0？