遞迴最小平方演算法之實現
Implementation of Recursive Least-Squares Algorithm
作者：林伯彥 系級：通訊四乙 學號：D0550129 開課老師：林育德 課程名稱：高等生醫信號處理 開課系所：自動控制工程學系碩士班 開課學年：108 學年度 第二學期
中文摘要
本篇報告以實現遞迴最小平方演算法為主，並且將其應用在生醫信號中，來 濾除心電信號中之電力線干擾。在閱讀此篇報告之前，建議先閱讀[3]中的內容， 先了解其原理以及如何應用在生醫信號中，而如果像要更加瞭解演算法的各種不 同樣貌，可以在閱讀[1]的內容。在這篇報告中，在驗證部分使用的是 MATLAB (2018b, MathWorks®, Inc., USA)。
關鍵字：
遞迴最小平方演算法、非穩態信號處理、統計信號處理、電力線干擾、Abstract
This report implements the Recursive Least-Squares algorithm, and is applied to biomedical signal processing to suppress the power-line interference in Electrocardiogram signal. Before you read this report, I suggest to read reference [3] to understand how this algorithm can work and how to use in biomedical signal. If you wanted to know more about this algorithm, you also can read reference [1] to improve your capability. In this report, all of computer experiments were conducted in MATLAB (2018b, MathWorks®, Inc., USA).
Keyword：Recursive Least-Squares (RLS) Algorithm, Nonstationary Signal Processing, Statistical Signal Processing, power-line interference (PLI), noise canceler, Electrocardiogram (ECG).
目
次
中文摘要---1
英文摘要---2
目次---3
一、
介紹---4
二、
程式碼---5
三、
結果---6
四、
參考文獻---10
一、
介紹
RLS(Recursive Least-Squares)基本上是從最小平方的方法(Least Squares)衍 伸而來。 最小平方法是用來替代維納(wiener filter)濾波的一種方法。基本上，維納濾 波器是從綜合平均(ensemble average)衍伸而來，其輸出是既有已知的輸入來獲 得，也就是假設其信號是廣義穩態(wide-sense stationary)。在另一方面，最小平 方法是確定性的方法，特別是使用了時間平均，也就是濾波結果使用了由之前取 樣所計算的數值。最小平方其計算方式為batch-processing approach， 因此濾波 器適用於非穩態信號，藉由重複計算一塊一塊的偏壓這種計算方法雖然會比其他 的演算法還要複雜，但是現在機器運算量可以非常大，因此這種方法越來越受歡 迎。 而在 RLS 演算法中一個最重要的特徵就是他的收斂率會快於 LMS 演算法， 因為RLS 演算法利用反相關的計算將輸入信號白化，而此平均值為 0，然而卻也 增加了其計算複雜度。 圖 1 為其方塊圖，基本上架構與 LMS 演算法極為相似，但是在演算法多了 一個叫做正規化的步驟。 圖1 最後，RLS 演算法可以由下列步驟來實現 (1) 初始值設定 𝒘̂ (0) = 𝟎 𝐏(0) = 𝛿−1𝐈
(2) 濾波計算 𝒌(𝑛) = 𝜆 −1𝐏(𝑛 − 1)𝒖(𝑛) 1 + 𝜆−1𝒖𝐻𝐏(𝑛 − 1)𝒖(𝑛) ξ(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)𝒖(𝑛) 𝒘̂ (𝑛) = 𝒘̂𝐻(𝑛 − 1) + 𝒌(𝑛)ξ∗(𝑛) 𝐏(𝑛) = 𝜆−1𝐏(𝑛 − 1) − 𝜆−1𝒌(𝑛)𝒖𝐻(𝑛)𝐏(𝑛 − 1) 其中𝑑(𝑛)為時間𝑛 的觀察到的信號；𝒖(𝑛)為M × 1的參考信號；𝒘̂ (𝑛)與 𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)為時間在𝑛的 M × 1以及時間在𝑛 − 1 的 1 × M的權重向量；𝜆為遺落因 子，其值介於0 到 1 之間，而且非常接近於 1，而當𝜆 = 1時，則為一般的 LS 法， 而(1 − 𝜆)−1嚴格來說，是可以用來測量延遲的演算法，所以說，當𝜆 = 1則為無 限延遲，也就是無限記憶體；而最後𝛿則為正規化變數(regularization parameter)， 當輸入擁有大的訊雜比時(約大於 30dB)，則𝛿小，反之亦然。而計算中的ξ(𝑛)又 可稱為前置誤差(a priori error)，是由時間𝑛的觀測信號與時間𝑛 − 1的估測信號 相減的結果，因為是估測時間𝑛前就做相減，因此就叫做前置誤差，因此如果誤 差事經過估測後再相減，則叫做後置誤差(a posteriori error)，而後置誤差的準確 度會大於前置誤差，不過有些演算法兩種都會使用，例如卡爾曼濾波器(kalman filter)。
二、
程式碼
clc;clear;close all; Fs = 500;M=10;
fid = fopen('D:\project\code\ECG_Signal\e3a.txt','r'); ECG= fscanf(fid, '%f')'; T=(0:length(ECG)-1)/Fs; Ref=.2*cos(2*pi*60*T); Xn=ECG+Ref; ww=zeros(1,length(Xn)); W=zeros(M,1); P=eye(M)/.01; Lamda=1; EE=zeros(1,length(Xn)); figure, subplot(211),
xlabel('time(sec.)'),ylabel('amplitude(mV.)'); [h,w]=FFT(Xn);
subplot(212),
plot(w/(2*pi)*Fs,(abs(h)));axis([0 250 0 .04]);grid; xlabel('frequency(Hz)'),ylabel('amplitude(mV.)');
%% RLS for ii=M:length(Xn) R=Ref(ii:-1:ii-M+1)'; K=(Lamda^(-1)*P*R)/(Lamda^(-1)*R'*P*R+1); Alpha=Xn(ii)-W'*R; EE(ii)=Alpha; W=W+K*Alpha; P=Lamda^(-1)*(P-K*R'*P); ww(ii)=W'*R-Ref(ii); end figure, subplot(211),
plot(T,EE);axis([0 10 -inf inf]);grid;
xlabel('time(sec.)'),ylabel('amplitude(mV.)'); [h,w]=FFT(EE);
subplot(212),
plot(w/(2*pi)*Fs,(abs(h)));axis([0 250 0 .04]);grid; xlabel('frequency(Hz)'),ylabel('amplitude(mV.)');
%% FileClose fclose(fid);
三、
結果
在此部分將會展示使用使演算法所濾波的結果，在這裡使用的例子為心電信 號之電力線干擾消除，在展示結果之前，先給定以下條件: 𝑑(𝑛) = 𝑚(𝑛) + 𝑣(𝑛) (1) = 𝑚(𝑛) + 𝐴𝑣𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑣𝑛) (2) 𝑢(𝑛) = 𝐴𝑢𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑢𝑛) 其中𝑚(𝑛)為未受干擾的心電信號，𝑣(𝑛)代表的是電力線干擾信號，也就是(2) 中的第二項。而在(2)中，𝐴𝑣為電力線干擾振幅；𝑓𝑣為電力線干擾頻率，在此為60Hz。再來是參考信號𝑢(𝑛)，其中數值與(1)中𝑣(𝑛)相似，在此假設相等。再來 是誤差式 ξ(𝑛) = 𝑑(𝑛) − 𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)𝒖(𝑛) (3) 其中𝒘̂𝐻為估測權重的共軛轉至，其中(3)中𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)𝒖(𝑛)若與𝑣(𝑛)相等，則 ξ(𝑛) = 𝑚(𝑛) + 𝑣(𝑛) − 𝑣(𝑛) (4) ξ(𝑛) = 𝑚(𝑛) 因此，如果經由參考信號運算出的𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)𝒖(𝑛)越接近真實干擾信號，則 相減出來的誤差會越接近真實的心電信號，還有在此假設𝜆為 1。 在結果中，除了直接從時域以及頻率域觀察演算法結果外，在此也引用了[2] 中的MSE 演算法來觀察濾波器階數、𝛿大小，以及干擾振幅大小對濾波器所造成 的性能會有何變化，而[2]中 MSE 演算法定義如下: 𝑀𝑆𝐸 = ∑ (𝑑(𝑛) − 𝑑̂(𝑛))2 𝐿−1 𝑛=0 𝐿 (5) (5)代表在時間長度 L 中，將原始信號與經過濾波器的信號相減、平方、累 加L-1 後除上時間長度 L。如果經過(5)運算後的數值越小，代表濾波器的性能越 好，反之，則越差。除了(5)，也使用了學習曲線(learning curve)來觀察濾波器的 收斂速度，在此使用的不是ξ(𝑛)，是𝑢(𝑛) − 𝒘̂𝐻(𝑛 − 1)𝒖(𝑛)的結果，因此跟[1]中 不太一樣，不過也具有相同的趨勢。 以下為實驗結果。
圖2
圖4(𝐴𝑣 = 𝐴𝑢 = 0.2)
圖5
從圖 2 及圖 3 可以看到，受干擾的心電信號經過 RLS 演算法後，成功的將 干擾濾除，而且比起LMS 快很多。而在圖 4 可以看到，在相同的延遲下，當𝛿越 大，則其MSE 值也越大；另外，當𝛿固定，當使用的延遲越多，MSE 也越大，反 之亦然。圖5 可以很明顯看到，𝛿越大，收斂速度越慢，跟圖 6 的 LMS 收斂速度 比起來，整體速度是快於LMS。
四、
參考資料
[1] S. Haykin, Adaptive Filter Theory, Pearson, 2014.
[2] K. M. Chang, “Arrhythmia ECG Noise Reduction by Ensemble Empirical Mode Decomposition”, Sensors in Biomechanics and Biomedicine, vol. 10, issue 6, pp. 6063-6080, 2010.
