一個國小三年級兒童的有理數概念

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國立臺中教育大學數學教育系

在職進修教學碩士論文

指導教授：甯平獻博士

一個國小三年級兒童的有理數概念

研究生：紀家鳳撰

中華民國九十八年七月

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摘要

本研究的主要目的在探索一位國小三年級兒童的有理數概念。研究者透過教學晤談法對一位國小三年級兒童－小宣，進行七次訪談，蒐集其對有理數概念的解題活動資料，並將資料轉譯和編輯成訪談原案，再依據訪談原案分析其有理數概念的解題活動類型。依據原案分析結果，本研究主張小宣的有理數概念：在正整數情境下是合成巢狀數概念；在分數情境下則是與合成巢狀數概念相對應的加法性分數概念；對等關係具備加法性和等分割性質。其解題活動類型具有以下性質：一、能通過皮亞傑的古典的部份－全體測試二、整合正整數加減運算問題成部份－全體問題三、能同時使用兩種高低階單位且不混淆四、能成功的解決高階的分數部份－全體問題五、尚未暸解乘法交換律和乘法對加法的分配性六、無法視高階單位為組織全體的單位七、無法以乘法取消除法八、全體中的殘餘部份不能成為其他部份的全體九、假分數化為帶分數上的表現不穩定十、對等關係具備加法性和等分割的性質根據以上結論，研究者提出對本研究的反思並提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。關鍵詞：有理數概念、教學晤談法、部份－全體運思

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ABSTRACT

T h e ma i n p u r p o s e o f t h i s s t u d y w a s t o e x p l o r e a t h i r d - g r a d e s t u d e n t ’s c o n c e p t o f r a t i o n a l n u mb e r s . T h e r e s e a r c h e r, t h r o u g h a t e a c h i n g i n t e r v i e w m e t h o d , c a r r i e d o u t s e v e n i n t e r v i e w s w i t h a t h i r d - g r a d e s t u d e n t , X i a o - x u a n . T h e r a t i o n a l n u mb e r p r o b l e m- s o l v i n g a c t i v i t i e s w e r e c o l l e c t e d , t h en t r a n s c r i b e d a n d e d i t e d i n t o i n t e r v i e w p r o t o c o l s ; b a s e d o n t h e i n t e rvi e w p r o t o c o l s , t h e p a t t e r n s o f r a t i o n a l n u mb e r p r o b l e m- s o l v i n g a c t i v i t i e s w er e a n a l y z ed . A f t e r a n a l y z i n g t h e p r o t o c o ls , t h e s t u d y d e c l a r e d t h a t X i a o - x u a n ’s r a t i o n a l n u mb e r c o n c e p t w a s t h e f o l l o w i n g : u n d e r n a t u r a l n um b e r s i t u a t i o n h e r c o n c e p t m a t c h e d a n i n t e g r a t i ve n e s t e d n u mbe r s c o n c e p t . U n d e r f r a c t i o n a l n u m b e r s i t u a t i o n ( c o r r e s p o n d i n g t o i n t e g r at i v e n e s t ed n u m b e r s ) h e r c o n c e p t ma t c h e d a n a d d i t i v e fr a c t i o n c o n c e p t . A b l e t o a d d a n d p a r t i t i o n i n s o l v i n g t h e p r o b l e m o f c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s h i p . T h e p r o b l e m- s o l v i n g t y p e s h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : 1 . A b l e t o p a s s P i a g e t ’ s C l a s s i c a l P a r t - w h o l e T e s t . 2 . I n t e g r a t e t h e a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n o f n a t u r a l n u m b e r p r o b l e m - s o l v i n g t o p a r t - w h o l e q u e s t i o n s a n d s u c c e s s f u l l y s o l v e t h e m a l l . 3 . Ab l e t o u s e c o mp o s i t e u n i t a n d u n i t o n e w i t h o u t c o n f u s i n g . 4 . A b l e t o s o l v e a d v a n c e d f r a c t i o n P a r t - W h o l e p r o - b l e m s . 5. N o t a b l e t o u n d e r s t a n d m u l t i p l i c a t i o n e x c h a n g e l a w s a n d m u l t i p l i c a t i o n d i s t r i b u t i v e l a w y e t . 6 . N o t a b l e t o v i e w c o mp o s i t e u n i t a s a u n i t t h a t c o mp o s e s t h e w h o l e . 7. N o t a b l e t o u s e m u l t i p l i c a t i o n t o c a n c e l d i v i s i o n . 8. Th e r e s i d u a l p a r t o f t h e w h o l e c a n ’ t b e a w h o l e t o a l l

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t h e o t h e r p a r t s . 9 . T h e a b i l i t y t o c h a n g e i m p r o p e r f r a c t i o n s t o m i x e d f r a c t i o n s i s n ’ t c o n s t a n t . 1 0 . A b l e t o a d d a n d p a r t i t i o n i n s o lv i n g t h e p r o b l e m o f c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n s h i p . I n l i g h t o f t h e s e c o n c l u s i o n s , t h e r e s e a r c h e r p r o p o s e s i n t r o s p e c t i o n s a n d m a k e s s e v e r a l s u g g e s t i o n s t o s e r v e a s r e f e r e n c e f o r t e a c h e r s a n d f u t u r e r e s e a r c h . K e y w o r d s : r a t i o n a l n u m b e r c o n c e p t , t e a c h i n g i n t e r v i e w , p a r t - w h o l e o p e r a t i o n s .

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摘要 ... I

ABSTRACT ...III

目次 ... V

表次 ... VII

圖次 ... VIII

第一章緒論 ...1

第一節研究背景與動機 ... 1

第二節研究目的 ... 3

第三節論文組織 ... 3

第二章文獻探討 ...5

第一節知識論與心理學理論的立場 ... 5

第二節數學概念與數概念的本質 ... 9

第三節有理數的相關研究 ... 11

第三章研究方法 ... 31

第一節教學晤談法 ... 31

第二節受試者的選擇 ... 32

第三節訪談問題的結構與內容 ... 32

第四節資料的蒐集過程 ... 36

第五節資料的整理分析 ... 37

第四章小宣的有理數概念 ... 39

第一節小宣的有理數概念 ... 39

第二節小宣在有理數問題情境中的解題策略 ... 71

第五章結論與建議 ... 123

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第一節結論 ... 123

第二節檢討與反思 ... 136

第三節建議 ... 136

參考文獻 ... 139

一、中文部份 ... 139

二、英文部份 ... 141

附錄：訪談原案 ... 145

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表次

表一小宣解加減法問題的解題策略 ... 130 表二小宣解乘法相關問題的解題策略 ... 132 表三小宣解等分除問題的解題策略 ... 133 表四小宣解分數問題的解題策略 ... 134 表五小宣解對等關係問題的解題策略 ... 135

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圖次

圖 3-1 累進性合成運思下的內嵌數 ... 15 圖 3-2 部份－全體運思下的合成巢狀數 ... 17 圖 4-1 原案二的解題紀錄 ... 41 圖 4-2 原案三的解題紀錄 ... 43 圖 4-3 原案五的解題紀錄 ... 46 圖 4-4 原案七的解題紀錄 ... 48 圖 4-5 原案八的解題紀錄 ... 50 圖 4-6 原案九的解題紀錄 ... 51 圖 4-7 原案十的解題紀錄 ... 52 圖 4-8 原案十四的解題紀錄 ... 62 圖 4-9 原案十六的解題紀錄 ... 65 圖 4-10 原案十九的解題紀錄 ... 69 圖 4-11 原案二十一的解題紀錄 ... 73 圖 4-12 原案二十二的解題紀錄 ... 77 圖 4-13 原案二十五的解題紀錄 ... 83 圖 4-14 原案二十七的解題紀錄 ... 85 圖 4-15 原案二十八的解題紀錄 ... 95 圖 4-16 原案三十一的解題紀錄 ... 102 圖 4-17 原案三十八的解題紀錄 ... 117

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第一章緒論

本章共分成三節，首先論述研究背景與動機，其次闡述研究目的，最後說明論文組織。

第一節研究背景與動機

數學是科學教育的基礎，也是國民教育的核心課程之一，其重要性不容置疑。九年一貫數學領域的課程主題中，「數與量」在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要概念的形成奠基於國小階段（教育部，民 92）。可見在國民教育的國小階段中，數概念的學習為數學課程的主要內容。國小階段的數概念學習涵蓋了正整數與有理數的範疇，其中正整數概念是學習數學的基礎，而有理數概念應用課題相當廣，是小學數學教育中最有挑戰性的教學主題，恰如 Behr,Harel, Post 和 Lesh（1992）所說的，學習有理數為兒童數學發展上的嚴重障礙，這點大家都有共識；但是如何促進有理數概念的理解卻沒有共識。所以兒童的正整數概念如何發展成為有理數概念，是一項值得探究的主題。九年一貫數學學習領域課程綱要中提及整數計算的經驗有時反而會造成有理數學習的錯誤（教育部，民 92）。這種說法不禁令人狐疑之處在於有理數概念應由正整數概念衍生而來，為何會有概念的構成成分妨礙概念的學習之說？有邏輯上的爭議，所以有必要將正整數概念納入有理數概念中，合而為一調查兒童的有理數概念發展情形；再者，這種整數計算的經驗會造成有理數學習錯誤的說法，不免令人質疑大人是以成人的程序性數學知識來看兒童的數學知識，忽略了兒童本身建構知識的主動性，以及其內在運思的本質與限制。 Booth（ 1981）強調很多學生並非使用學校教導的方法來解決問題，而是使用他們自發的策略來解題。是以，兒童的數概念應不同於

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大人的數概念，其數概念的發展過程必定有其不同於大人數概念的演化路徑，欲了解兒童的數概念應將研究焦點回歸兒童主體。根本建構主義的創始人 von Glasersfeld（1987）也指出：由於晚近的研究者察覺兒童是用自己的經驗去概念化其數學經驗，而非發現數學的真理，因此數學教育的研究趨勢逐漸朝向調查數學概念的本質，以及觀察兒童在與該數學概念相關之實際表現。Steffe（1988）也提出說明唯有透過兒童的語言與動作才能確實的了解兒童的數學概念。然而，我國過去對國民小學兒童有理數概念的研究上，一向缺乏對兒童有理數概念的表現特質加以描述之實徵性研究，對課程編製者與教學者而言，無法預期兒童學習有理數概念的可能起點行為或可能達成的學習成果，又怎能促使學童學習有理數概念呢？所以本研究以根本建構主義的知識論立場看待兒童的數學知識，要獲知兒童的有理數概念必須將研究焦點回歸兒童主體，觀察其在有理數情境下的實際表現，也就是致力於描述兒童的解題活動類型。就目前課程的編排上，正整數概念的學習課程從一年級開始，有理數之分數形式在三年級正式引入，而三年級的正整數概念的課程內容包括正整數的四則運算之問題情境，涉及加減法的進退位和乘除法問題的單位量轉換，其中加減法的進退位也是單位量的轉換概念，都是乘法性的問題，所以學童的正整數概念層次也應由加法性需求漸次轉變為乘法性需求；再者， Vergnaud（ 1983）表示有理數概念屬於乘法性結構。乘法概念的發展對日後比、比例、線性函數、指數函數、對數函數概念品質亦有重大的影響（ Smith & Confrey，1994）。是以，為瞭解兒童的有理數概念，其如何從正整數概念發展成為有理數概念，基於上述國小三年級課程編排上正式引入有理數之分數形式，以及正整數之問題情境也轉向有理數之乘法性結構的需求，此兩項理由，故本研究選定一名國小三年級的兒童為研究對象，將正整數概念納入有理數概念中來刻畫兒童的有理數概念，致力於描述兒童在正整數與有理數情境下的解題活動類型，期望能了解其有理數概念發展情

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形，以提供作為國小數學教育之參考。由於本研究是只針對一個個案做一深入的探討之本土實徵資料，所以不預期能將結果類推到其他同齡的兒童身上，不過期望將來教育研究者能繼續致力蒐集更多本土兒童有理數概念的實徵資料，豐富兒童有理數概念之發展演化途徑，以作為教學者之參考以及課程編排之依據。

第二節研究目的

本研究的目的在探討一位三年級兒童的有理數概念，根據兒童在正整數與有理數的問題情境中的解題反應資料，分析描述其解題活動類型，以暸解其有理數概念發展的演化成果。

第三節論文組織

本研究分為五大部份。第一章為緒論，主要說明研究背景與動機、研究目的和論文組織；第二章為文獻探討，除了闡明本研究所持有的知識論以及心理學理論的立場外，接著討論數學概念和數概念的本質，還有對有理數的相關研究加以探討；第三章為研究方法，主要在說明本研究所採行的研究方法以及研究實施過程：首先，第一節說明蒐集資料的方法－教學晤談法，第二節說明受試者的選擇，第三節說明訪談問題的建構，第四節說明資料蒐集的過程，第五節說明資料的處理分析；第四章主要在分析小宣的有理數概念與他的解題策略，小宣的有理數概念在第一節中說明，小宣的解題策略則在第二節中來描述；第五章先總結本研究的結論，接著提出對本研究的檢討與反思，最後提出未來研究的建議。

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第二章文獻探討

本章分為三節。第一節先闡明本研究所持有的知識論以及心理學理論的立場；第二節討論數學概念與數概念的本質；第三節則對有理數的意義與相關研究加以探討。

第一節知識論與心理學理論的立場

本研究旨在探討學童的數概念，乃屬於知識的範疇，因此必須對知識的起源和本質應當有所主張。本研究在知識論上所採取的是根本建構主義的立場，在心理學上所採取的是基模論的立場。

壹、知識論的立場─根本建構主義

知識問題的探討，在哲學上稱之為「知識論」（Theory of Knowledge），或稱為「認識論」（ Epistemology）。知識論是一門研析知識的性質、範圍與確實性的學問（伍振鷟，民 88）。本研究所採取的知識論立場為根本建構主義（ radical constructivism）。其原創者 von Glasersfeld（1995）提出根本建構主義在知識論上有兩項基本的原則：一、知識並非被動地接受而得，它是經由認知個體主動建構而成。二、知識獲得的方式是調融的，認知的功能是用來要組織個體的外在經驗世界，而非用來發現已存在的本體現實（ontological reality）的。根本建構主義的知識論觀點可說是對傳統實在主義知識論的一種反動。傳統實在主義知識論主張知識的本體是客觀的，存在於認知個體之外，認知是去「發現」外在的客觀知識；相對的，根本建構主義知識論將認知的重心置於認知的主體上，強調個體在認知過程中的主動建構，認知是發明的過程。相較之下，根本建構主義的知識論將認

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知的重心由傳統實在主義知識論的客觀知識移轉到認知主體上，強調個體在認知過程中的主動建構知識，而非被動的接受。 von Glasersfeld（1995）認為種種外在的事物自身之內並沒有存在著某種客觀獨立的知識，只有在個體透過感官或是溝通知覺到這些外在的事物及語言，並且將之組織和賦予意義後，知識才被產生出來。根本建構主義除了肯定個體主動建構知識的能力外，也否定傳統實在主義對知識的客觀性看法。由於個體對於外在環境的體認並不相同，因此存在個體心智內的知識並非客觀一致的，但也不意味根本建構主義者認為個體建構的知識是完全唯我主義的，乃因個體的知識是來自於知覺到的世界，個體所建構的知識必然得符合外在環境的限制，以達到認知的調融性功能。所以，根本建構主義揚棄了「客觀知識」的存在假設，而以「交互主觀性」的觀點取而代之（甯自強，民 76）。也就是在交感互動領域中的溝通除了會促使溝通者逐漸調適自己的建構之外，它還會交互的限定溝通者知識建構的方向，使得溝通者的建構達到能相容的（compatible）程度。根本建構主義主張知識是個體為了在環境中生存，所產生的經驗類型。這些類型是功能的、演化的，而且是相對的（甯自強，民 82b；民 83；民 85b）。兒童數概念類型之「功能」是用來組織、解釋甚至預測研究者所經驗到的兒童在問題情境中的表現；而類型的解釋威力若不足以說明新例證時，則類型應當有所調融以組織、解釋新例證，此為類型的「演化」；此外，研究者所建構的類型也會因研究者本身經驗的不同而有所差異，此為類型的「相對性」（張淑怡，民 84）。所以研究者所建構的只是一個在經驗群中能存活的類型，而非永遠的真理。由於晚近的研究者察覺兒童是用自己的經驗去概念化其數學經驗，而非發現數學的真理，因此數學教育的研究趨勢逐漸朝向調查數學概念的本質，以及觀察兒童在與該數學概念相關之實際表現（von

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Glasersfeld， 1987）。研究者認為兒童的數學知識不同於大人的數學知識，其知識有兒童主動建構的特性，否則，經由大人直接灌輸知識，每人理應皆有相同的知識才對，所以，本研究採取根本建構主義的觀點看待兒童的數概念與研究者的兒童數概念。兒童的數概念乃兒童在有關數學情境中所建構的經驗類型；而研究者的兒童數概念則為根據兒童在數學解題情境中的解題表現所建構的類型。是以，研究者所建構的只是一個在經驗群中能存活的闡釋，而非永遠的真理。

貳、心理學的立場－基模論

根本建構主義深受皮亞傑的發生認識論（genetic epistemology）所影響，von Glasersfeld（ 1980）也曾表示皮亞傑的基模論（ scheme theory）和根本建構主義是相容的。皮亞傑認為基模是主體用來認識周圍世界的基石，主體從認識起點的遺傳性基模開始，在後天適應環境的過程中，慢慢分化和複雜化、整併，形成相互交錯的網狀結構，即認知結構（許育彰，民 90）。因此，本研究將以基模論的觀點來組織兒童的數概念。為了彰顯基模的特質，von Glasersfeld （1995）特別對基模下一操作性的定義，以作為研究者進行概念分析時的一項有效工具。他指出一個基模可以分成三個部份：第一、一特定情境之辨識（recognition）。第二、與該情境相連結之ㄧ特定活動。第三、該活動能產生一特定先前經驗結果的期望。第一部份所指乃基模之情境辨識功能。當個體面對一個新的情境時，會將此情境的要素與已有的基模情境要素進行比對，找出與此情境相容的基模情境，以決定發動此基模之特定活動，在此要特別說明的是，新情境的元素對解題者而言並非都是其辨識要素，其可能仍忽略某些與原有基模不相容的情境要素。

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第二部份所指的是進行相容基模之特定活動過程，若此活動產生的結果與發動基模預期的結果一致，則基模同化了此新情境；倘使活動的結果並非預料的結果，而是意外的挫敗，若新情境中與原有基模不相容的情境要素被注意到，這些情境要素被排除到發動基模的條件外，則基模的辨識情境條件改變了，構成了新的基模，此為基模調適的過程；假使活動的結果為意外的驚喜，則被意識到的新情境要素構成了基模的新辨識類型，此改變亦為基模的調適（ von Glasersfeld,1995）。基模是可以重複使用，或進一步推廣的運作系統。不論是活動的類型或是心智上的動作，它們是用來改變情境的狀態，作為同化或調適的工具（Piaget,1970,1980）。當個體面對新情境時運用既有的基模處理，獲得預期的結果，則為同化；若結果並非預期，則引發基模的調適，以期再次同化新情境。綜上所言，分析兒童的解題基模時必須留意，第一部份中所指的特定情境，並非研究者所認知的問題情境，而是解題者所辨識的問題情境；第二部份其特定活動之內在運思不容易被得知，所以必須觀察兒童外顯解題活動的表現以作為推論其內在運思的依據。研究者必須極力使他對兒童活動的解釋，契合兒童的原始初衷（intention），儘可能不做過度或不足的闡釋（甯自強，民 82b）。至於基模第三部份的分析，甯自強（民 81b）曾依據解題者對運作結果的預期能力，以及運作時對於感官材料的依賴程度此兩向度，將解題活動的層次區分為感官活動（sensori-motor activity），表徵活動（re-presenting activity）及心智活動（mental activity）。所謂「感官活動」，係指兒童必須透過感官材料的操作以進行解題的活動，是處於嘗試錯誤的經驗階段，不預期一定能成功解題；而「表徵活動」，是指兒童在無感官材料的情況下，能自行以表徵方式提供所需材料以進行解題的活動，對活動結果的預測能力處於知其然而不知其所以然

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的察覺階段；至於「心智活動」，不需透過感官材料或其表徵進行解題，即可預測活動的結果並說明解題結構，還可以利用解題的結果做進一步的運思，此時為瞭解的階段。甯自強（民 82a，民 85a）強調概念形成是經歷「經驗」、「察覺」、及「瞭解」三階段逐步完成的，顯示了模仿的成功與真正的瞭解間的差異。兒童在解題時發動的特定基模未必可被稱之為「數概念」，皮亞傑強調數概念的擁有必須具備運思顯著的條件（甯自強，民 86a）。因此，以基模論分析組織兒童的數概念時，必須加以區分基模的品質。是以，本研究心理學上採用基模論的觀點組織分析兒童的解題經驗類型，以 von Glasersfeld 對基模所提出操作性定義描述契合兒童原始初衷的解題活動類型，並以解題者對運作結果的預期能力，以及運作時對於感官材料的依賴程度此兩向度區分基模的品質，在活動的歷程中，對於感官材料的依賴程度可依序區分為概念形成之經驗、察覺、及瞭解三階段，以特化兒童的數概念是逐步形成演化的發展本質。綜合以上所言，本研究採取根本建構主義的知識論立場，主張知識乃個體為組織外在經驗世界所產生的經驗類型；採用基模論的心理學觀點組織分析兒童在數學情境中的解題經驗類型，以 von Glasersfeld 對基模所提出操作性定義具體化描述兒童的數概念類型，在活動的歷程中，對於感官材料的依賴程度可依序區分為概念形成之經驗、察覺、及瞭解三階段，以特化兒童的數概念是逐步形成演化的發展本質。

第二節數學概念與數概念的本質

本研究旨在探討一位國小三年級學童的有理數概念，應當先論述數學概念與數概念之本質。數學教育的目的在於使學生獲得數學物件的意義，數學物件的意義，是指教材項目所涉及的概念及其表徵形式，其涉及的數學概念是

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指內蘊化的（interiorized）解題活動類型（甯自強，民 84a），而表徵是用某一種形式，將解題活動表現出來，以達成溝通的目的（蔣智邦，民 83）。雖然上述的數學物件的意義涉及心理運思與社會溝通兩個層面，但本研究主要針對心理的層面進行探討，因此採取是 Steffe（1990）所提出的數學概念，就是從活動中抽象出的基模。是以本研究主張數學概念即是從解題活動中抽象出來的基模，也就是解題活動的類型。關於數的來源主張眾多紛紜。羅素（轉引自甯自強，85b）認為：「由數學的觀點來看，數僅不過是相似的類所成的類。」根據其主張， 3 是由 3 個人、3 朵花、3 本書……等物件的類抽象出「3」的概念，其概念是對物件的共同屬性抽象而來。而 Piaget（1965）經由對兒童的觀察指出，基數概念與序數概念是同時產生的，其概念是透過對物件的心理活動抽象而來。相較之下，羅素的主張中缺少了序數概念，其看法的差異在於，羅素是以活動的結果來看數，皮亞傑則是以活動的歷程來看數。而數學教育家 Davydov（1982）則以測量的觀點來看待數：「數概念是指某量，及該量中用作測量單位的一部分，經由測量活動所建立的一組多重（multiple）的關係。」歐幾里得（轉引自甯自強，85b）說過：「所謂單位是指存有而被稱為一的事物，而數則是單位所構成的多數。」其主張數是單位所構成的多數，與 Davydov 主張數是測量單位與被測量量之間的多重關係，兩者說法有著共通之處：單位概念的存有。另外，杜威（轉引自甯自強，85b）認為：「在簡單的辨認，比如，三個事物為 3 的時候，必須包含下面的運思：將三個被辨認的事物當成一個連通的整體或是群，即辨識出三個事物都是個別的，辨識出一個由三個個體所構成的全體單位。」此說法更進一步主張由單位 1 所

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構成的數也可以當作一個新單位。綜上所述，羅素主張的數概念是相似的類所成的類，皮亞傑主張的數概念是基數概念與序數概念，都能支持歐幾里得對數概念的主張，即數是單位 1 所構成的多數。由 Davydov 和歐幾里得對數概念的主張都可以意識到單位 1 概念在數概念中所扮演的重要角色，杜威對數概念的主張更擴展了數的組織結構，數不僅可由單位 1 構成，更可由 1 所構成的新單位構成數。從心理學的觀點，Steffe 等人（1983）認為：「1 是內蘊化的數數活動，而數則為由集合 1 所構成的單位。」依此說法，只要個體能將由集合 1 所構成的單位視為一體，則數「數」活動的「數」所指向的不再侷限於單位 1，也可以是集聚單位，也就是可以將 3 個 1 當成 1 個 3 的內蘊化數數活動抽象為 1，與杜威的看法相通。以上對數概念本質和單位概念的探討之意義，能在研究分析兒童的有理數概念時，對確認兒童的數概念運思性質有所助益。

第三節有理數的相關研究

壹、有理數的意義

有理數（rational number）是數學家發明了無理數後，將其他數與無理數區別而產生的術語（劉秋木，民 85）。此譯名源自於希臘的「ratio-nal number」，意思是「成比的數」，因為數學家在發明無理數之前認為世上的一切都具有整數或整數之比的性質。是以整數與比是都是有理數的根源，因此有理數的意義基本上已包含著整數的意義與比的意義。有理數的意義非常豐富，且各家說法不盡相同，甚至與分數用語相通互用，沒有區分有理數與分數。例如：數學家認為分數（或有理數）是一種關係， Russell 定義分數 m/n 為當 xn＝ ym 時存在於 x 與

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y 之間的關係，在 m 與 n 不為 0 的情況下， m/n 是一對一的關係（劉秋木，民 85）。有些學者認為有理數是分數的幾個意義間的轉換活動，所以將有理數的意義認為是兒童對分數意義間的「彈性思考能力」（flexibility of thought），也就是當兒童在面對不同的分數意義的表現有差異時，認為是彈性思考能力未達到之故，所以沒有將分數與有理數做一個明確的區分。如Larry 和Joseph（1978）將分數區分為：圖形中全部的一部份、比例中的比、除法中的商、自然數中的有序對數四種形式。

Carpenter、 Fennema 和 Romberg（1992）將有理數視為五種不同的子結構：測量、商、算子、比、部份一全體關係。這五個子結構是形成成熟的有理數功能的五個基礎，這五個基礎無法各自獨立，兒童必須去聯合這些子結構成一個聯合的基模，才能真的有利有理數發展。另外，對於未加以區分分數與有理數的觀點，有學者提出不同的看法。甯自強（Ning , 1992）則認為分數與有理數應做區分，因為若認為有理數只是幾種分數意義間的彈性思考能力，將會造成對兒童在不同分數意義間的表現不一致原因的忽略。所以他提出有理數是分數的等價集的看法，被分數表徵的有理數與分數間的關係，是一個類與構成此類的個體之間的關係。分數是透過分割活動與聚集活動的實施來確定一個量與一個單位量之間的數值關係之指標，由於要確定此關係的分割活動與聚集活動並非唯一，在單位量確定的情形下，把測量同一量的不同數值指標視為相等，忽略不同數值指標的分割數與集聚數而著重在此二者間的比值關係，並把比值當作數值指標的數，稱之為有理數（甯自強，民 84a）。此看法不僅清楚區分出分數與有理數的不同，也說明了有理數的意義包括分數的意義，而且也可透過分數的活動來聯絡 Carpenter 等人（1992）所提出的有理數子結構－測量、算子、部份一全體關係：

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間的數值關係之指標，其中確定量與一個單位量的數值關係本身就是一個測量的活動；而分割與聚集活動具備了算子的意涵；分數詞的初始意義也有賴於能掌握被測量量與單位量之間的部份一全體關係才得以獲得。分數要質變為有理數的意義更有賴於比值的引入，最後有理數才有除的意涵。此外，Kieren 認為若將有理數視為商，此時有理數是一個附加的數量；但若視為比，則有增強有理數特色的效果，因比強調量與單位間的關係屬性（Kieren, T.E. ,1992）。另外，92 年數學領域課程綱要指出小學的有理數教學應包含平分、測量、比例、部份-全體的意涵，最後歸結成日後學習數學中，有理數最核心的意涵－除的意涵（教育部，2003）。綜上所述，正整數與比為有理數的來源，有理數的子結構－測量、算子、部份一全體關係，可以透過分數的活動來聯絡，引入比值的概念後，分數質變為有理數，有除法的意涵，可為商。所以要探索兒童的三年級有理數概念可以先從兒童的正整數概念、分數概念和比的概念著手。

一、正整數概念

在國小數學課程中，所有的數概念皆由正整數概念延伸而來，所以欲探討兒童的有理數概念，勢必瞭解兒童的正整數概念類型。兒童對正整數的運思方式，在不同的運思層次下，會產生不同的正整數概念類型。根據甯自強（民 81a，民 82b，民 83，民 85b）的研究，其將

運思方式分為：序列性合成運思（sequential integration operations）、累進性合成運思（progressive integration operations）、部份－全體運思（part-whole operations）、測量運思（measurement operations）和等比例運思；其運思方式所產生的正整數概念分別為：起始數概念、內嵌數概念、合成巢狀數概念、測量單位數概念和有理數概念。以下，

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將針對此五種不同的運思期所建構的正整數概念提出說明：（一）起始數概念起始數概念的意義為與標準數詞序列中，一段由 1 開始的有限數列，一一對應的一個以「一」為元素的群體，或是集聚「一」所成的單位，而且此集聚單位的數值是有限數列的最後一項。具備起始數概念的兒童在進行數的合成、分解時，序列性的使用合成運思來進行解題活動。序列性合成運思是指兒童依數詞將指示的的量依序全盤表現以進行量的合成與分解，並對合成或分解的結果重新合成加以數值化。序列性合成運思運用在加減法情境時，數數活動都是由 1 開始：例如解決 5＋3＝？時，兒童各自做 5 和 3 的表徵量後，合併它們並由 1 重新數過以確定數值；解決 8－3＝？時，兒童先做出 8 的表徵量後，在 8 的表徵量中利用由 1 數起的方式做出 3 的表徵量，再把 3 的表徵量去除後，由 1 數起來確定剩餘量的數值。解題過程中其所操作的是量，並非數，此階段的數詞都是各自獨立的。在處理比較問題時，具備起始數概念的兒童同樣也使用序列性合成運思，將所有的被比較量表徵出來後，透過一對一的比較活動進行比較，兒童對兩數的比較，僅能比較出其中含 1 的多少，而不是兩數的大小。僅具備起始數概念的兒童能建構一個異於 1 的集聚單位，但是所建構的集聚單位之間沒有關係，所以無法進行單位量的轉換活動。（二）內嵌數概念內嵌數概念的意義為與標準數詞序列中，一段非由 1 開始的連續有限數列，一一對應的一個以「一」為元素的集聚單位，而且此集聚單位的數值是有限數列的項數。內嵌數與起始數的不同處在於，前者以整數群體為觀點－5 是 1 個 5，而後者側重於群體中的元素－5 是 5

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個 1。具備內嵌數概念的兒童在進行數的合成、分解時，累進性的使用合成運思來進行解題活動。累進性合成運思是指以合成運思的成品（集聚單位）為起點，進一步累加更多個「一」以形成另一個新的集聚單位，舊的集聚單位內嵌於新的集聚單位之中。具有內嵌數概念的兒童將小的數內嵌於大的數中，可以理解比較型的減法問題，解合成與分解的問題時，以採用向上數和向下數的策略進行解題。例如解決 5＋3 ＝？時，可以以 5 為基礎，依數詞序列多數 3 個數詞「六、七、八」得到解答 8，如圖 2-1 所示；解決 5－3＝？時，可以以 5 為基礎，依數詞序列倒數 3 個數詞「四、三、二」得到解答 2。圖 3-1 累進性合成運思下的內嵌數具有內嵌數概念的兒童可以在不同的數詞序列中重複製作相同集聚單位，如解決 5＋3＝？時，以 5 為基礎，向上數「六、七、八」3 個數詞就是在製作集聚單位 3，此時集聚單位 3 以不用依賴數詞序列「一、二、三」即可重複製作，內嵌數概念允許了新的單位是可計數的、可再製的以及可重複的，因此能夠處理如 3×4＝？的乘法問題，但是由於 1 仍然內嵌於 3，新舊單位之間的部份－全體關係是隱約的，所以兒童在複製活動中，容易將一個集聚單位 3 與一個單位 1 混淆。此階段的包含除是利用較大的集聚單位元素，製作較小且等價的集聚單位的活動。例如 12÷3＝？的解題是利用 12 個 1 可以做成幾個 3 的想法進行，此階段兒童所進行的除法並不是截割活動，此時的除法可以看成連減的活動。在處理等分除的問題時，例如 12÷3＝？的解題 5 6 7 8 6、7、8 是數詞

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時，則傾向混淆 3 等份與一份 3 個，因為兒童無法把構成集聚單位的元素與整體加以明顯的區分。（三）合成巢狀數概念合成巢狀數概念所指示的集聚單位，可以由 1 與其他的高階單位聯合合成，合成時重複的高階單位不會與 1 產生混淆。在複製過程中高階單位不會與 1 產生混淆，則此高階單位可稱為「可重複的單位結構」，是一個真正的高階單位，因為它的複製成品中含有它與「一」的關係，此為部份－全體運思所建構。在解決單位量的轉換問題時，建構合成巢狀數的部份－全體運思能清楚區分「1」與「3」的差別，能將「1」視為「3」的一個內嵌元素，也能將「1」脫嵌而出，視為與「3」互相獨立的一部份，所以在重複「3」的時候，不會失去「3」的數值，錯把「3」當成「1」。由於兒童已能掌握一個異於 1 的集聚單位，而且不會與單位 1 混淆，能將「34」視為 3 個十與 4 個一所合成的數，其 34、10、4 與 1 之間的部份－全體關係是明顯的，34 與集聚單位 10 和 4 間的關係是透過合成活動來聯絡（甯自強，民 84b），故此階段的兒童其數概念為合成巢狀數概念，如圖 2-2 所示。能用部份一全體關係重新詮釋合成、分解活動、所以能掌握加減互逆的關係；能處理如 3×4＝？的乘法問題，不會混淆「3」與「1」；能察覺交換律的事實，但還不是真正的了解，認為５ ×３和３ ×５的相等是必然的，因算出來皆為「１５」，並非真正的乘法交換律，真正的乘法交換律蘊涵著二階的部份一全體關係的交換，是部份一全體運思期尚無法掌握的活動；處理 12÷3＝？包含除問題是以截割活動進行，還不是包含除的意義活動，因為單位量 3 還不是構成全體 12 的單位，如果能以３為單位來解決３×５＋３ ×？＝２７，其中２７要視為３ ×９才是包含除活動；處理等分除問題是以估計集聚單位的數值方式進行截割活動，若數值不吻合，就重估再截割，雖然會利用乘法算則求解，但是不認為乘除法為反運算，因

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為乘除法為反運算蘊含兩階層的部份－全體關係。【（1.1.1.1.1.1.1.1.1.1）（ 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1）（ 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1）（ 1.1.1.1）】圖 3-2 部份－全體運思下的合成巢狀數（四）測量單位數概念所謂測量單位數也可以說是具有保留概念的合成性巢狀數（Piaget,1987；甯自強，民 83）。所謂合成巢狀數的保留概念是指一數雖由多種單位構成，一旦構成，其總和不會因調整其內部結構而產生變化。如在解 8×3＝ 6×？的問題中，將每一個 8 看成一個 6 和一個 2，而得出 3 個 6 和 3 個 2，再合成 3 個 2 成為一個 6，得到答案 4，在不需確定 24 的情況下，將 24 看成一個結構可變換的合成性巢狀數，其中 6 不但是構成全體 24 的部份，也是部份 2 的全體，此時 6 具備測量單位的性質，稱其為一測量單位，由測量單位所構成的數稱之為測量單位數。測量單位不但可以成為測量單位數的單位量，同時也可以分割成數個等價的低階單位，作為此低階單位的單位數，即單位量和單位數的角色可以互換，用 Piaget 的話來說，就是容器與被容納物的角色互換（ Piaget,1987）。建構測量單位的測量運思能掌握兩階層的部份－全體關係，不但能掌握 1 與 3 的部份－全體關係，並且把 3 當成構成其他集聚單位的明顯部份。因此解 3×5＋ 3×？＝ 27 的問題時，能以 3 為單位求解，解 5×3＋ 4×3＝？的問題時，可以先求出 5＋ 3 的結果，再求出 9×3 的結果，兒童已經開始了解乘法對加法的分配性了；在比較 5×3 和 3×5 時，依據乘法交換律認為他們的相等實屬必然，因為他們可以交換兩階層的部份－全體關係，兒童已能了解乘法的交換律；解決 12÷3＝？包含除問題時，單位量 3 已是全體 12 的明顯構成單位，雖然進行的也是截割活動，但已質變為包含除的意義；進行 12÷3＝？等分除活動時，兒童

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會建構 3 個等價且未定數值的集聚單位，雖然進行的活動仍然是截割活動，但是其截割方式是分配每一個集聚單位一個元素的結果為截割值，進行對全體的截割活動，並以截割數作為每個集聚單位的數值，會利用乘法求解，也認為乘除法為反運算。（五）、有理數概念將正整數當成是等比例的比值時，此時的正整數是有理數。這種意義的正整數含有密度的意味。舉例來說，每班修課的人數必須多於「五」人以上始得開班授課，意指所有課的師生比值須小於五分之ㄧ。密度蘊涵著共變，也就是說數值不受分割數的影響，所以 10/2＝15/3 ＝ … … 等（甯自強，民 81a）。整體而言，當兒童擁有序列性合成運思時，其正整數概念為起始數概念；當兒童擁有累進性合成運思時，其正整數概念為內嵌數概念；當兒童擁有部份－全體運思時，其正整數概念為合成巢狀數概念；當兒童擁有測量運思時，其正整數概念為測量單位數概念；當兒童擁有等比例運思時，其正整數概念為有理數概念。 Vergnaud（1983）提出了有理數概念是屬於乘法性結構的主張。他以「乘法概念域（Multiplicative conceptual field）的觀點，說明比、比例、分數、線性函數等概念皆屬於一個較大的概念體 ─「乘法結構」（Multiplicative structures）。Steffe 認為乘法概念從數數的概念中發展出來，兒童能三個一數、五個一數、...才建構乘法結構；亦即兒童能形成不同單位的概念才發展出乘法結構（劉秋木，民 85）。換句話說，使用異於 1 的單位概念應為發展出有理數乘法性結構的基礎。甯自強（民 82c）也提出相容於 Steffe 的觀點，以單位量轉換的觀點說明乘除運思的本質。他認為乘法活動其實就是將高階單位所表示的量化為低階單位所表示的量的單位量轉換活動；等分除為新高階單位未知的單位量轉換活動；包含除則為將低階單位所表示的量化為高階

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單位所表示的量的單位量轉換活動。是以分析有理數概念之乘法性結構，可以透過乘除情境，了解兒童在單位量轉換中，使用異於 1 的單位之情形。本研究將以甯自強提出的正整數概念類型為理論基礎，觀察兒童在單位量轉換中，使用異於 1 的單位之情形，探討兒童的有理數概念。

二、分數概念

欲探討兒童的有理數概念亦可從兒童的對分數詞掌握的意義分析，有關兒童分數概念的研究相當多。皮亞傑認為兒童能理解分數的意義，必須具有以下的概念：一、能分割整體；二、能決定部分量；三、必須窮盡分割量：四、決定分割數與全體的關係；五、所有的被分割量皆相等；六、知道部份來自於全體；七、部份的和等於全體，且全體是不變的（Piaget,1960）。以上可知分數概念源於等分活動，並以部份－全體概念掌握分數的意義。其中部分－全體概念更是分數發展的基礎。根據甯自強(Ning,1992)的研究指出兒童在不同的運思方式下，對於分數詞意義有不同的掌握。因此根據不同的運思期區分兒童的分數詞意義如下：一、分數的前置概念；二、起始單位分數；三、加法性分數；四、巢狀性分數；五、有理數。（一）分數的前置概念在合成運思下分數詞的意義為「分數的前置概念」。在合成運思期的兒童雖具有數概念與分割活動，但其數概念只有序列性合成運思不見得能進行等分割活動，更缺乏等分割後的分得量與單位量作並置比較，亦即只是靠知覺做判斷，分時不一定相等，也不一定窮盡。當兒童僅能用序列性合成運思(甯自強，民 81a)來處理有關整數問題時，其分數詞所指向的數學物件多為並置類型 (Juxtaposed

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pattern,Ning,1992)。所謂並置類型是由兩個使用子分割單位形成的集聚單位被並置所形成的物件。例如「1/3」對兒童而言，其意義是「1 和 3」或是「3 和 1」，若給予兒童 6 個花片，要求其取出其中的「1/3」來，他的答案會拿出 1 個花片或 3 個花片。據甯自強(民 82d)的說法，其認為「並置類型」的使用大多出現在涉及分散的活動(即離散量)。至於在破裂活動中，分數詞 1/4 的使用未必需涉及分母為四的合成活動，她是純由空間的感覺來指出 1/4 的，亦即她的 1/4 不是約定成俗的分數概念，此類型稱為「撕裂類型」(splitting patterns)。（二）起始單位分數在累進性合成運思下分數詞的意義為「起始單位分數」(initial unit fraction, Ning,1992)。在此運思階段的兒童尚無子分割單位數值化的概念，能將一單位量內嵌於全體做比較。此時將等分割後的分得量與單位量作並置比較，對單位量的掌握並不明確，假如問一份是全部的 1/3，全部是多少，會回答 4，可以說單向的部份-全體關係並不明確，即部份是在全體之中，易混淆部份與全體的關係。分子內嵌於分母之中，將分子移出分母，會導致分母的摧毀。此時的分數詞意義為「內嵌並置類型」(embedded patterns)(甯自強，民 82d)。此外，在累進性合成運思時，無法進行單位分數的累積活動，以分數詞「三分之ㄧ」為例，若兒童無法掌握一與三的部份－全體關係而僅視其為「三份中的一份」時，容易造成 1/3＋1/3＝2/6 的錯誤，因為兩個「三份中的一份」合起來，當然是總數六份中的兩份，故此運思下的分數是不可以被重複的單位分數，故名「起始單位分數」。「起始單位分數」與「單位分數」分數詞意義上的差異，主要來自於兒童是否是利用部份-全體運思來同化數的情境，當缺乏部份 -全體運思時，1/3 是不可被重複的。（三）加法性分數

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在部份-全體運思下分數詞的意義為「加法性分數」。在部份-全體運思期，具有子分割運思，子分割單位自此開始成為所謂的單位分數概念，能將 1/3 視為「以三份為全體的一份部份」，當 1/3＋1/3 時，則指向兩個同為以三份為單位的一份部份的合成，全體三份保持不變，才能得到以三份為全體的兩份部份結果 2/3，所以稱為加法性分數。當兒童的分數詞為加法性分數時，可做同分母的合成、分解、比較問題，但缺乏通分的概念，認為 3/4 與 6/8 是不同的。「起始單位分數」與「加法性分數」兩概念的區分在於分子與分母間是否具備明顯的部份-全體關係(甯自強，民 86b)。而加法性分數的部份-全體關係僅能明顯的出現於單位分數內容為單一個物的情境中。（四）巢狀性分數在測量運思下分數詞的意義為「巢狀性分數」。巢狀性分數(nested fraction)除了分子與分母間具備明顯的部份-全體關係外，它與加法性分數的主要區分在於巢狀分數的部份-全體關係可以出現在單位分數內容物是複數個物的情境中，而加法性分數的部份-全體關係僅能明顯地出現於單位分數內容物單一個物的情境中。此外，由單位的觀點來看，加法性分數是以 1 為基礎的三階單位

(unit of units of units,甯自強，民 86b)，巢狀分數則是以由 1 構成的集聚單位為基礎的三階單位。以一箱汽水有 24 瓶為例，1/4 箱汽水的 1/4 為一單位，此單位一方面以部份-全體的方式並置 1 份與 4 份，而 1 份則是由 6 個 1(6 瓶汽水)所組成的集聚單位。集聚單位 6 在此，一方面是由 1 的部份所構成的全體，另方面也是構成 24 此一全體的部份。集聚單位 6 是能與全體各自獨立運作的部份單位，其是可迭次 (iterable)的單位，亦即 6 是一個部份也可是一個全體。換句話說，在測量運思階段是具有雙向的部份-全體運思與具有子

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分割單位數值化的分數概念，因此時能同時運思兩個分數，因而稱為「巢狀分數」，例如能將 32 視為 5 又 3 分之 1 個 6，此 6 可為某些的全體，亦可為 32 的部份。此外，在測量運思階段可理解等值分數與分數的次序比較，但還缺乏共測單位的概念，因此只能以等分割的方式來運思，而非應用共測單位(甯自強，民 86c)。因此，可將 3/4 與 6/8 視為同一分量的測量值，能進行通分及帶分數、假分數的互化。（五）有理數在等比例運思下分數詞的意義為「有理數」。所謂有理數是巢狀分數的重組，即兩個部份-全體關係的重組。兒童能以分數作為測量單位，比較 3/4 與 2/3 時能以 1/12 為測量單位；1/12 為 3/4 的測量單位亦為 2/3 的測量單位，因此可稱之為 3/4 與 2/3 的共測單位。亦即能以共測單位來理解不同分數詞之間的等值或次序關係。在此運思期下知道分數間的稠密性，亦能將分數視為一“比值”。綜上所述，在分數的前置概念，兒童無法進行等分割活動，更缺乏等分割後的分得量與單位量作並置比較；當兒童能進行等分割活動後，等分割後的分得量與單位量作並置比較，對單位量的掌握並不明確，假如問一份是全部的 1/3，全部是多少，會回答 4，無法進行單位分數的累積活動，1/3＋1/3 的結果是 2/6，此時兒童具備的是起始單位分數；當兒童的明確掌握單位分量和單位量的關係時，可做同分母的合成、分解、比較問題，其所具備的是加法性分數，不過尚缺乏通分的概念；等到兒童能使用通分概念進行分數的解題活動時，就具備了巢狀性分數；如果能以共測單位來理解不同分數詞之間的等值或次序關係，知道分數間的稠密性，能將分數視為一“比值”，則為有理數概念。教育部國立編譯館依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引也有如下的說明：當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以 3/5

(32)

為例），至少可以從下列六個角度來討論分數數詞（字）的意義：（1）部分與全體的比較：全體為 5 時，3 是 5 的部份；（2）除法的活動： 3 除以 5 活動的另一種記法；（3）算子：對於物件 1，進行一個運作，將 1 等分割成 5 份，再取出其中的 3 份；（4）小數的另一種記法；（5）比的意義：表示兩數量的相對關係（ 3：5）；（6）測量：用來測量一個不滿一個單位量的數值問題，或是對兩等量的對等關係進行數值化（比值）（國立編譯館，民 89）。以上的分數概念類型是分析兒童運思的理論基礎，可以透過 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引所提出的六個角度，作為擬定訪談問題情境的參考資料，以探索兒童的分數數詞（字）的意義。

三、比的概念

比是指並置的兩對應關係量的紀錄，例如「小華拿了 4 顆蘋果，去菜市場換了 5 顆橘子」可以記為「4：5」，同時，比也是傳達相對

大小(relative magnitude) 的抽象意義的一種比較性指標 (comparative index)；比有兩種，一種是內在比(internal ratios )，表示兩個量的比是比較其同一層面，例如，教室中男女生的比都是人數的比；另一種稱為外在比(external ratios )，表示兩個量的比是比較其不同層面，例如，學生數與教室面積的比，一方面是人數另一方面是面積大小，是兩種不同屬性的比較。而對於一個比「A:B」是透過找一個後項為「1」，而且和「A:B」相等的比，如「A:B＝X:1」，此時叫「X」為「A:B」的比值( 周筱亭、黃敏晃，民 91)。比是有理數的根源，而且比值的引入才能進一步將分數質變為有理數，所以要探討兒童的有理數勢必從其比的概念著手。然而比對三年級兒童而言，是較高層次的概念，所以要探討兒童的有理數的概念會從比概念之前身－對等關係著眼。

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「對等關係」是 82 年版部編本所採用的專有名詞。所謂對等關係是指兩數量 A、B 之間，由於某種原因，而產生一種配對關係。當將 A 與 B 的對等關係與其他 Am 與 Bm 的對等關係視為等價類時，則「A： B」蛻變為「每 A 個就有 B 個」的等比關係的基礎。這種關係是透過相對的兩量可以同步地進行重覆或等分割活動來體現的。由於三年級的學童尚無足夠的分數經驗解題，所以研究者所佈的對等關係問題中，數值皆限定為整數，包含：（一）整數倍轉換問題；（二）非整數倍轉換問題。總結上述，正整數概念和比概念是有理數的根源，而分數概念也是有理數概念的主要概念，有理數的子概念包含正整數概念、分數概念和比概念。由於本研究旨在探究兒童有理數概念從正整數概念發展成為有理數概念之初始階段，正整數概念之有理數的意義將著重於部分－全體關係與乘法性結構，所以在正整數的情境中的佈題會包含部分－全體關係問題和乘除法之單位量轉換問題；分數概念之有理數的意義將著重於部分－全體關係，由於三年級剛引入分數，其分數概念可能為處於啟蒙階段，不涉入分數在小數與數線上的意義分析，在分數概念的佈題包括部分－全體關係問題，分析兒童是否能以部分－全體關係掌握分數的初始意義，還有確定量的數值、量的合成與分解問題、量的單位量轉換問題、等值分數問題、以分數表示除法的商，分析兒童對分數詞的掌握。至於比還未有比值的概念前，是屬一種對等關係，因而要探討三年級兒童有理數的概念之比概念可由對等關係問題著眼。

貳、有理數的相關研究

Vergnaud（1983）提出了有理數概念是屬於乘法性結構的主張。

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境組成（Vergnaud,1988），Vergnaud 從維度與測度空間將情境分為三種不同類型：測度同構型、測度叉積型（product of measures）、多重比例型（multiple proportion）。 Greer（1992，1994）的研究著重在探討如何使得學生的整數乘除概念得以擴展至有理數，他的觀點源自於學生對乘除運算之迷失概念的研究，其中數值型態是造成學生困難的主因。基於此 Greer 將整數乘除問題分為四種情境：等組問題、乘法性比較問題、乘法叉積、矩形面積；進一步將涉及有理數的乘除法情境分為十類：整數等組問題、有理數等組問題、比率問題、測度的轉換問題、乘法性比較問題、部份全體問題、乘法性改變、組合問題、矩形面積問題、測度的結合問題。為促使學生在乘除情境中所建構的模型具功能性，上述兩位學者的研究提出的多樣化的乘除情境，可供擬定訪談問題之參考，但是必須留意的是，不能單以成人所認定的情境分類作為基模情境分析的依歸，畢竟孩子所辨識的問題情境不等同於研究者所類化的問題情境。在國內以描述國小兒童之有理數概念的子概念－分數概念的文獻最為豐富，比的研究較少，而研究對象大多是高年級的學童，各相關的研究，說明如下：陳瑞發（民 91）以問卷調查法收集國小低年級學童分數概念的表現資料，逐題分析並找出學童主要錯誤類型。研究結果發現：1. 低年級學童在連續量等分問題的表現較離散量問題為佳；在離散量等分問題中，部分學童認為每個人都有分到糖果就是公平的，不管每個人是不是分到一樣多。2. 部分二年級學童在處理簡單分數問題時，同時部分學童離散量情境問題易受分數符號中分子或分母的影響，而在解題時發生錯誤；多數學童真分數教學前自發形成的真分數概念並不正確。3. 低年級學童有忽略單位量的錯誤情形，也發現學童會隨著內容物增加，愈能注意單位量不同；部分學童傾向自行假設單位量進行解題。

(35)

黃靖瑩（民 91）以問卷調查法收集國小中年級學童分數概念的表現資料，分析犯錯誤類型的學童在分數概念的表現。研究結果發現：1、處理「一半」問題優於處理「等分」問題，連續量情境表現優於離散量情境；解單位分數問題表現優於解真分數問題。2、較習慣用全部內容物當單位量，面對餘量再分問題時會自行增減內容物改變單位量，會傾向於自我假設在同一情境中出現的各個分數具有相同的單位量，面對比較問題時受直觀規律的影響而錯誤解題。3、等值分數概念的表現受分母或分子控制的情形而錯誤解題。4、類型九（使用整數支配法）之錯誤類型最困難，犯錯誤類型二（不瞭解分數符號平分意義）的學童在其他概念的表現情形良好，另外八個錯誤類型的學童，在等值分數概念表現最差，簡單分數概念表現最好。詹婉華（民 91）以問卷調查法收集國小高年級學童分數概念的表現資料，探究國小高年級學童的分數概念。研究結果發現：等分概念的錯誤類型包括：未注意等分或忽略等分、受題目中訊息的影響；單位量概念的錯誤類型包括：未注意單位量不一定相等、將總量視為單位量、受題目訊息的影響、以小數解答、單位量錯誤或改變單位量；等值分數概念的錯誤類型包括：受題目分數符號的自然數的影響、未具細分並組合的能力、未以相同的單位比較、不會比較。以上陳瑞發（民 91）、黃靖瑩（民 91）和詹婉華（民 91）都採用問卷調查法分別針對低、中、高年級作分數概念之探究，分別發現三個不同階段中學童分數概念的錯誤類型。若從學生的解題類型有其發展上的意義來看，研究者以錯誤類型來看待孩子的概念是以成人

的

觀點而言，忽略了其

概念的發展性格，況且也無法對造成兒童錯誤類型的成因提出說明，因其描述的是兒童解題的結果，而非致力於解題歷程的描述。林大錦(民 92)利用紙筆測驗來探討三至六年級的兒童其分數部分

(36)

一、由開學到學年結束時，在整個學年的活動發展可發現（1）三年級兒童的分數發展是起於由學習並置類型的活動經驗，並嘗試於加法性分數的經驗活動中，而後發展轉為在察覺於並置類型的活動，並學習加法性分數的活動經驗。（2）四年級兒童的分數發展是起於由加法性分數的經驗活動中，並嘗試於巢狀分數的經驗活動，而後發展轉為其並置類型活動已漸成熟，再以察覺加法性分數的活動，並獲得巢狀分數的初步經驗。（3）五年級兒童的分數發展是起於加法性分數的察覺經驗，並以經驗於巢狀分數活動為基礎，而後發展轉為成熟的加法性分數活動，並漸能察覺到巢狀分數的活動，並獲得有理數中共測單位分數的初步經驗。（4）六年級兒童的分數發展是起於在漸能察覺巢狀分數活動，並有有理數中共測單位分數的活動經驗為基礎，而後發展轉為能察覺到巢狀分數活動，也察覺到共測單位分數活動經驗，但有理數關係中的對等問題，兒童尚未具有明顯的經驗活動。二、暑假過後，兒童學習活動的存活現象：暑假後，整個試題活動顯示其兒童學習後的存活現象大部分是存在的，甚至微升擴張其經驗。兒童在分數的主要學習活動及在嘗試學習活動中，所獲得的試題解題經驗雖經過暑假後，其經驗能具有存活且有時存活還會微升擴張其經驗，但仍有試題活動經驗其存活度降低，只是此種現象較少。張日齊（民 92）以紙筆測驗方式進行國小三至六年級學童分數詞的評量，探討國小學童分數概念發展上的差異。研究結果發現：各年級在分數概念測驗的得分由三至六年級呈上升趨勢，顯示兒童分數概念的發展確實受年級因素的影響；每個年級在各個測驗的得分由起始單位分數至有理數呈下降趨勢，顯示分數概念的發展確有其先後性；三年級學生已有一半的分數概念發展在起始單位分數階段，四年級的

一個國小三年級兒童的有理數概念

國立臺中教育大學數學教育系

在職進修教學碩士論文

指導教授：甯平獻 博士

一個國小三年級兒童的有理數概念

研究生：紀家鳳 撰

中華民國九十八年七月

摘 要

ABSTRACT

目 次

摘 要 ... I

ABSTRACT ...III

目 次 ... V

表 次 ... VII

圖 次 ... VIII

第 一 章 緒 論 ...1

第 一 節 研 究 背 景 與 動 機 ... 1

第 二 節 研 究 目 的 ... 3

第 三 節 論 文 組 織 ... 3

第 二 章 文 獻 探 討 ...5

第 一 節 知 識 論 與 心 理 學 理 論 的 立 場 ... 5

第 二 節 數 學 概 念 與 數 概 念 的 本 質 ... 9

第 三 節 有 理 數 的 相 關 研 究 ... 11

第 三 章 研 究 方 法 ... 31

第 一 節 教 學 晤 談 法 ... 31

第 二 節 受 試 者 的 選 擇 ... 32

第 三 節 訪 談 問 題 的 結 構 與 內 容 ... 32

第 四 節 資 料 的 蒐 集 過 程 ... 36

第 五 節 資 料 的 整 理 分 析 ... 37

第 四 章 小 宣 的 有 理 數 概 念 ... 39

第 一 節 小 宣 的 有 理 數 概 念 ... 39

第 二 節 小 宣 在 有 理 數 問 題 情 境 中 的 解 題 策 略 ... 71

第 五 章 結 論 與 建 議 ... 123

第 一 節 結 論 ... 123

第 二 節 檢 討 與 反 思 ... 136

第 三 節 建 議 ... 136

參 考 文 獻 ... 139

一 、 中 文 部 份 ... 139

二 、 英 文 部 份 ... 141

附 錄 ： 訪 談 原 案 ... 145

表 次

圖 次

第一章 緒論

第一節 研究背景與動機

第二節 研究目的

第三節 論文組織

第二章 文獻探討

第一節 知識論與心理學理論的立場