平面凸多邊形內臨近周邊兩相鄰交叉對角線長度乘積方程式(下)

平面凸多邊形內臨近周邊兩相鄰交叉對角

線長度乘積方程式

(下)

李輝濱

嘉 義 市 輔 仁 高 級 中 學 退 休 教 師 【(續)科 學 教 育月 刊 第 422 期 第 64 頁 之後 】 C-5. 平 面 凸 八 邊 形 [C-5.a] 展 示 平 面凸 八 邊 形 內臨 近 周 邊 兩相 鄰 交 叉 對角 線 長 度 乘積 方 程 式 ： 圖 8 請 看 上 圖8.並 參 照 B.的 2 個 綜 合定 則，先 列 出 兩 組相 對 邉 邉 長集 合；{

V

₁，

V

₃} 與 {

V

₂，

V

₄，

V

₅，

V

₆，

V

₇，

V

₈}，編 製 出 6 項 相 對邉 邉 長乘 積；

V

₁

V

₃、

V

₂

V

₄、 5 2

V

V

、

V

₂

V

₆、

V

₂

V

₇、

V

₂

V

₈，再 依 操 作 的 方 針 規 劃，得 第 一 部 份 內 容 組 成 結 構 為 2 3 1

)

( V

V

+

( V

V

_{2 4}

)

2+

( V

V

2 5

)

2+ 2 6 2

)

( V

V

+

( V

V

2 7

)

2+ 2 8 2

)

( V

V

，而 第 二 部 份 內 容 組 成 結 構 則 為

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄，

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅，

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆，

V

₁

V

₂

V

₃

V

₇，

V

₁

V

₂

V

₃

V

₈，

V

₂2

V

₄

V

₅，

V

₂2

V

₄

V

₆， 7 4 2 2

V

V

V

，

V

₂2

V

₄

V

₈，

V

₂2

V

₅

V

₆，

V

₂2

V

₅

V

₇，

V

₂2

V

₅

V

₈，

V

₂2

V

₆

V

₇，

V

₂2

V

₆

V

₈，

V

₂2

V

₇

V

₈， 引 導 的 15 個 cosine 項 所 形成 ！ 因 此 ，翔 實 的 將 這 2 部份 內 容組 成 結 構 編排 陳

列 出 完 整 的 八 邊 形 內 臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 如 下 ； 2 24 2 13

d

d

=

( V

V

_{1 3}

)

2+

( V

V

_{2 4}

)

2+

( V

V

_{2 5}

)

2+

( V

V

_{2 6}

)

2+

( V

V

_{2 7}

)

2+

( V

V

2 8

)

2



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

+

2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

+

2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₇

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇

)



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₈

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

4 5 5 2 2

cos

2

V

V

V

A



+ 2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos



A

₅



A

₆



－2

V

₂2

V

₄

V

₇

cos(

A

₅



A

₆



A

₇

)

+2

V

₂2

V

₄

V

₈

cos(

A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

－2

V

22

V

5

V

6

cos A

6 +2 5 7 2 2

V

V

V

cos



A

₆



A

₇



－2

V

₂2

V

₅

V

₈

cos



A

₆



A

₇



A

₈



－2

V

22

V

6

V

7

cos A

7 + 2 2 2

V

V

₆

V

₈

cos(

A

₇



A

₈

)



2

V

₂2

V

₇

V

₈

cos

A

₈ (8) [C-5.b] 方程 式(8)的驗 證 證 明： 請 參 看 下 圖 9.開 始 的幾 何 作 圖 解說 與 證 明 ； (1) 連 接 兩 頂 點

A

₁與

A

₄形 成 對 角 線 長

A

₁

A

₄



d

， 並 依 循[C-1.b].指 引 的 思 考 方 向 先 將 此 八 邉 形 最 前 緣 四 個 頂 點 所 形 成 的 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄為 基 底 作 出 一 個 如 範 例 所 述 的 輔 助 三 角 形



TA

₁

A

₃， 如 下 圖 9.， 此 處



A

₁

A

₄

T





A

₂

A

₄

A

₃(互 為 相 似 形 )。 圖9

仿 效[C-1.b].的 推理 ， 可 求 得

A

₁

T



(

V

₂

d

)

/

d

₂₄ (8-1) 及

A

₃

T



(

V

₁

V

₃

)

/

d

₂₄ (8-2) 以 及 在 頂 點 T 處 四 周 圍 角 度 關 係 可 得



A

₁

TA

₃ =

A

₂(頂 角 ) +



A

₃

A

₄

A

₁ (8-3) (2) 接 著 要 將 八 邉 形 (圖 9.)中 另 外 部 份 六 邉 形

A

₁

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈以 相 似 形 結 構 黏 附 在 3 1

A

TA



的 邉 長

TA

₁上 ； 此 需 藉 由 下 列 幾 合 作 圖 法 來 完 成 輔 助 相 似 形 的 製 作 ； (i) 連 接對 角 線

A

₄

A

₈、

A

₄

A

₇及

A

₄

A

₆， 將 六 邉 形 分 割 成 四 個 三 角 形 如 下 圖9-a. 圖9-a. (ii) 作 相似 形 應 自 三角 形 做 起，此處 先 從



A

₈

A

₁

A

₄開 始；見 圖9-a.，對



TA

₁

A

₃的 一 邊 長

TA

₁自 頂 點

A

₁向 外 側 作 一 射 線

A

₁

B

，使



TA

₁

B

=



A

₄

A

₁

A

₈，又 在 頂 點

T

處 對 圖 形 外 側 作 另 一 射 線

TB

，使



A

₁

TB





A

₁

A

₄

A

₈，此 兩 射 線 交 在

B

點；見 圖 10. 圖 10

則



A

₁

BT





A

₁

A

₈

A

₄(互 為 相 似 形 ) 且



TBA

₁





A

₄

A

₈

A

₁。由 對 應 邉 長 成 正 比 例 關 係 得

A

₁

B

:

V

₈



A

₁

T

:

d



BT

:

A

₄

A

₈



A

₁

B



(

V

₈



A

₁

T

)

/

d

(8-1a) 再 將 (8-1)式 的 邉長

A

1

T

代 入 (8-1a)式 ，得

A

1

B



(

V

8

V

2

)

/

d

24 (8-4) (iii) 同理 ， 在 圖 10.裡自 線 段

TB

外 側 再 作 出 第 二 個 三 角 形



TCB

； 見 下 圖 11.； 圖11 自 頂 點

B

向 外 側 作 一 射 線

BC

，使



TBC

=



A

₄

A

₈

A

₇，又 在 頂 點

T

處 對 圖 形 外 側 作 另 一 射 線

TC

， 使



BTC





A

₈

A

₄

A

₇， 此 兩 射 線 交 在

C

點 ； 則 可 得



TCB

與 8 7 4

A

A

A



兩 者 呈 相 似 形，且



TCB





A

₄

A

₇

A

₈。再 由 對 應 邉 長 成 正 比 例 關 係 得 4 7 4 8 7

:

:

:

V

BT

A

A

CT

A

A

BC





，又 因 為

BT

:

A

₈

A

₄



A

₁

T

:

d

，故 聯 立 得 出； 4 7 4 8 7

:

:

:

V

BT

A

A

CT

A

A

BC





=

A :

₁

T

d

(8-1b) 對 (8-1b)作 運 算得 出



BC



(

V

₇



A

₁

T

)

/

d

(8-1c) 再 將 (8-1)式 的 邉長

TA

₁代 入 (8-1c)式 ，即 得 出；

BC



(

V

₇

V

₂

)

/

d

₂₄ (8-5) (iv) 繼 續 仿 效 (iii).的 作 圖 分 析 過 程 ， 在 圖 11.裡 自 線 段

TC

外 側 再 作 出 第 三 個 三 角 形



TCD

；見 下 圖 12.；自頂 點

C

向 外 側 作 一 射 線

CD

，使



TCD

=



A

₄

A

₇

A

₆， 又 在 頂 點

T

處 對 圖 形 外 側 作 另 一 射 線

TD

，使



CTD





A

₇

A

₄

A

₆，而 此 兩 射 線 相 交 在

D

點；則 得



TCD





A

₄

A

₇

A

₆(互 為 相 似 形 )。且



TDC





A

₄

A

₆

A

₇。

再 由 對 應 邉 長 成 正 比 例 關 係 得

CD

:

V

₆



DT

:

A

₆

A

₄



CT

:

A

₇

A

₄ ，又 由 (8-1b) 式 ， 圖 12 得

CD

:

V

₆



DT

:

A

₆

A

₄



CT

:

A

₇

A

₄=

A :

₁

T

d

(8-1d) ， 故 演 算 後 得 出 ； 邉 長

CD

的 長 度 值 為 ；

CD



(

V

₆



A

₁

T

)

/

d

(8-1e) 再 將 (8-1)式 的 邉長

TA

₁代 入 (8-1e)式 ，即 得 出；

CD



(

V

₆

V

₂

)

/

d

₂₄ (8-6) (v) 繼 續仿 效(iv).的 作 圖， 在 圖 12.裡 自 線 段

TD

外 側 再 作 出 第 四 個 三 角 形



TDE

； 見 下 圖13.； 使得



TDE





A

₄

A

₆

A

₅(互 為 相 似 形 )。 且



TED



A

₅(頂 角 )。 圖 13

再 由 對 應 邉 長 成 正 比 例 關 係 得

DE

:

V

₅



ET

:

V

₄



DT

:

A

₆

A

₄ ，又 由 (8-1d)式， 得

DE

:

V

₅



ET

:

V

₄



DT

:

A

₆

A

₄



CT

:

A

₇

A

₄



A

₁

T

:

d

，故 演 算 後 分 別 得 出； 邉 長

DE

的 長 度 值 為 ；

DE



(

V

₅



A

₁

T

)

/

d

(8-1f) 邉 長

ET

的 長 度 值 為 ；

ET



(

V

₄



A

₁

T

)

/

d

(8-1g) 再 將 (8-1)式 的 邉長

TA

₁代 入 (8-1f)式 ， 即 得 出；

DE



(

V

₅

V

₂

)

/

d

₂₄ (8-7) 又 將 (8-1)式 的 邉長

TA

₁代 入 (8-1g)式 ， 即 得 出；

ET



(

V

₄

V

₂

)

/

d

₂₄ (8-8) 在 此 步 驟(2).過 程 所 得 四 組 相 似 三 角 形 的 對 應 角 關 係 中 ， 再 得 到 依 此 四 組 相 似 三 角 形 分 別 組 合 成 的 平 面 凸 六 邊 形

A

₄

A

₁

A

₈

A

₇

A

₆

A

₅與 平 面 凸 六 邉 形

TA

₁

BCDE

兩 者 間 具 有 下 列 的 相 等 角 度 關 係 ；



A

₁

TE

=



A

₁

TB

+



BTC

+



CTD

+



DTE

= 8 4 1

A

A

A



+



A

₈

A

₄

A

₇+



A

₇

A

₄

A

₆+



A

₆

A

₄

A

₅=



A

₁

A

₄

A

₅， 頂 角

A

₅=頂 角

E

， 頂 角

A

₆=



A

₄

A

₆

A

₅+



A

₄

A

₆

A

₇=



TDE

+



TDC

=頂 角

D

， 頂 角

A

₇=



A

₄

A

₇

A

₆+



A

₄

A

₇

A

₈=



TCD

+



TCB

=頂 角

C

， 頂 角

A

₈=



A

₄

A

₈

A

₇+



A

₄

A

₈

A

₁=



TBC

+



TBA

₁=頂 角

B

，



TA

₁

B

=



A

₄

A

₁

A

₈。 (3) 由 步 驟 (2). 推 導 出 的 所 有 比 例 關 係 式 可 聯 結 成 下 列 各 對 應 邉 長 成 正 比 例 式 ；





A

T

d

V

B

A

₁

:

_{8 1}

:

BC

:V

₇



CD

:

V

₆



DE

:

V

₅



ET

:V

₄ ， 又 因 為 圖 13.中平 面 凸 六 邉 形

TA

₁

BCDE

與 平 面 凸 六 邉 形

A

₄

A

₁

A

₈

A

₇

A

₆

A

₅的 各 對 應 頂 角 相 等 ， 則 此 兩 個 凸 六 邉 形 必 呈 相 似 形 關 係，見 圖 13. 。 輔 助 作圖 到 此 為 止，可 看 到 這凸 六 邉 形

TA

₁

BCDE

相 似 形 結 構 確 實 黏 附 在



TA

₁

A

₃的 邉 長

TA

₁外 側 上 。 此 刻，這 相 似 六 邉 形

TA

₁

BCDE

的 五 個 邉 長

A

₁

B

、

BC

、

CD

、

DE

、

ET

都 逐 一 尋 獲 了 。 它 們 的 數 值 確 實 分 別 由 原 凸 八 邉 形 的 邉 長 以 比 例 式 關 係 構 成 ！ (4) 經 由 以 上 幾 何 作 圖 推 證 ， 已 成 功 地 將 原 凸 八 邉 形 的 八 個 邉 長 以 比 例 式 關 係 縮 減 成 圖 13.中 的 平面 凸 七 邊 形

A

₁

A

₃

TEDCB

裡 六 個 邉 長 的 新 構 圖 ！ 這 新 構 的 七 邊 形 有 一 個 頂 角



A

₃

TE

其 角 度 未 明 ， 由 圖 13.知 這 頂 角 的 值為； 頂 角

TE

A

₃



=



A

₃

TA

₁+



A

₁

TE

，而 (8-3)式；



A

₁

TA

₃ =

A

₂(頂 角 )+



A

₃

A

₄

A

₁，再 由 六 邉 形

TA

₁

BCDE

與

A

₄

A

₁

A

₈

A

₇

A

₆

A

₅的 相 似 形 關 係 ， 得



A

₁

TE

=



A

₁

A

₄

A

₅， 故 頂 角

TE

A

₃



=

A

₂(頂 角 )+



A

₃

A

₄

A

₁+



A

₁

A

₄

A

₅ =

A

₂(頂 角 )+

A

₄(頂 角 )。 圖 13 (5) 另 外由 六 邉 形 相似 形 性 質 知；兩 個 六 邉形 的 各 對 應角 必 完 全 相等，所 以 有； 頂 角

A

₅=頂 角

E

， 頂 角

A

₆=頂 角

D

， 頂 角

A

₇=頂 角

C

， 頂 角

A

₈=頂 角

B

， (6) 再 參考 新 構 的 圖 14. 如 下；新構 的 凸 七邊 形

A

₁

A

₃

TEDCB

裡，各 邉 長 與 所 需 的 各 圖 14 頂 角 都 推 求 到 了 ， 應 用 引 理 5.平 面 凸 七邊 形 的 餘 弦定 理 方 程 式(3)， 可 完 整敘 述

出 新 構 的 平 面 凸 七 邊 形

A

₁

A

₃

TEDCB

所 屬 的 餘 弦 定 理 公 式 ， 得

2 3 1

A

A

=

TA

₃2+

TE

2+

ED

2+

DC

2+

CB

2+

BA

₁2－2

TA

₃



TE

cos(



A

₃

TE

)

－2

TE



ED

cos

E

－2

ED



DC

cos

D

－2

DC



CB

cos

C

－2

CB



BA

1

cos

B

+2

TA

₃



ED

cos





A

₃

TE



E



+2

TE



DC

cos



E



D



+2

ED



CB

cos



D



C



+2

DC



BA

₁

cos



C



B



－2

TA

₃



DC

cos(



A

₃

TE



E



D

)

－2

TE



CB

cos(

E



D



C

)

－2

ED



BA

₁

cos(

D



C



B

)

+2

TA

₃



CB

cos(



A

₃

TD



E



D



C

)

+2

TE



BA

₁

cos(

E



D



C



B

)

－2

TA

₃



BA

₁

cos(



A

₃

TE



E



D



C



B

)

(3-2) 現 在 將 凸 七 邊 形 各 邉 長 的 比 例 數 值 及 各 角 角 度 值 代 入 方 程 式 (3-2)， 得 下 式； 2 13

d

=

[(

V

₁

V

₃

)

/

d

₂₄

]

2+

[(

V

₄

V

₂

)

/

d

₂₄

]

2+

[(

V

₅

V

₂

)

/

d

₂₄

]

2+

[(

V

₆

V

₂

)

/

d

₂₄

]

2+

[(

V

₇

V

₂

)

/

d

₂₄

]

2 +

[(

V

₈

V

₂

)

/

d

₂₄

]

2－2

[(

V

₁

V

₃

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₄

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos(

A

₂



A

₄

)

－2

[(

V

₄

V

₂

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₅

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos A

₅－2

[(

V

₅

V

₂

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₆

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos A

₆ －2

[(

V

₆

V

₂

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₇

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos A

₇－2

[(

V

₇

V

₂

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₈

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos A

₈ +2

[(

V

₁

V

₃

)

/

d

₂₄

]

[(

V

₅

V

₂

)

/

d

₂₄

]

cos



A

₂



A

₄



A

₅



+2

[(

V

₄

V

₆

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos



A

₅



A

₆



+2

[(

V

₅

V

₇

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos



A

₆



A

₇



+2

[(

V

₆

V

₈

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos



A

₇



A

₈



-2

[(

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

-2

[(

V

₄

V

₇

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₅



A

₆



A

₇

)

－2

[(

V

₅

V

₈

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₆



A

₇



A

₈

)

+2

[(

V

₁

V

₂

V

₃

V

₇

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇

)

+2

[(

V

₄

V

₈

V

₂2

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

－2

[(

V

₁

V

₂

V

₃

V

₈

)

/

d

₂₄2

]

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

(3-3) 將 (3-3)式 的 等 號兩 側 同 乘 以

d

₂₄2後，再 重 組 運 算，化 簡 整 裡，最 後 得 (8)式。平 面 凸 八 邊 形 的 方 程 式 (8)式 等號 右 邊 共 有項 式

C

₂81=

C

₂7= 21 項。證 明 完成。方 程 式 (8)式 即 為 得 證 出 的 平 面 凸 八 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 。 此 方 程 式 真 的 由 應 用 平 面 七 邊 形 的 餘 弦 公 式 推 證 而 來 。 [C-5.c] 檢 驗 方 程式(8)； 方 程 式 (8)的 結 構 型 態 中 毎 一 項 式 內 涵 裡 表 徵 的 邉 長 與 頂 角 排 列 型 式 都 呈 現 出 秩 序 、 規 律 、 條 理 。 縱 然 如 此 ， 仍 須 透 過 下 列 詳 盡 的 檢 驗 以 強 化 其 正 確 性 。 (1) 若 令

V

₈



0

， 使 頂 點

A

₈趨 近 於 頂 點

A

₁， 頂 角

A

₈= 0 ， 則平 面 凸 八 邊 形退 化 成 平 面 凸 七 邊 形 ， 方 程 式 (8)隨 即 縮 減 退 化成 下 式 ； 2 24 2 13

d

d

₌

( V

V

_{1 3}

)

2 +

( V

V

_{2 4}

)

2+ 2 5 2

)

( V

V

₊ 2 6 2

)

( V

V

₊ 2 7 2

)

( V

V



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

+

2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

+

2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₇

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇

)



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅+ 2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos



A

₅



A

₆



－2

V

₂2

V

₄

V

₇

cos(

A

₅



A

₆



A

₇

)

－2

V

₂2

V

₅

V

₆

cos A

₆ +2

V

₂2

V

₅

V

₇

cos



A

₆



A

₇



－2

V

₂2

V

₆

V

₇

cos A

₇ (7*) 比 對 方 程 式 (7*)與 方 程 式(7)完 全 相 同。 (2) 若 令

V

₈

 V

₇



0

， 使 頂 點

A

₈與

A

₇接 趨 近 於 頂 點

A

₁， 頂 角

A

₈



A

₇= 0 ， 則 平 面 凸 八 邊 形 退 化 成 平 面 凸 六 邊 形 ， 方 程 式 (8)隨 即 縮減 退 化 成 下式 ； 2 24 2 13

d

d

=

( V

V

_{1 3}

)

2+

( V

V

_{2 4}

)

2+

( V

V

_{2 5}

)

2+

( V

V

_{2 6}

)

2－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

－2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos A

₅－2

V

₂2

V

₅

V

₆

cos A

₆ +2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos



A

₂



A

₄



A

₅



+ 2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos



A

₅



A

₆



－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

(6*) 比 對 方 程 式 (6*)與 方 程 式 (6)， 再 應 用 引 理 2.將

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



4





A

₁



A

₃ 轉 換 運 算 後 ， 兩 方 程 式 完 全 相 同 。 (3) 若 令

V

₈



V

₇



V

₆



0

， 使 得 頂 角

A

₈



A

₇



A

₆= 0 ， 則 平 面 凸 八 邊 形 退 化 成 平 面 凸 五 邊 形 ， 方 程 式 (8)立 即 縮 減 退 化成 下 式 ； 2 24 2 13

d

d

=

( V

V

_{1 3}

)

2+

( V

V

_{2 4}

)

2+

( V

V

_{2 5}

)

2－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

－2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos A

₅ +2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos



A

₂



A

₄



A

₅



(5*) 比 對 方 程 式 (5*)與 方 程 式 (5)， 兩 者 為 相 同的 等 價 方 程式 。 (4) 若 令

V

₈



V

₇



V

₆



V

₅



0

，使 得 頂 角

A

₈



A

₇



A

₆



A

₅= 0 ，則 平 面凸 八 邊 形 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形 ， 方 程 式 (8)立 即 縮減 退 化 成 下式 ；

d

₁₃2

d

₂₄2=

( V

V

_{1 3}

)

2+

( V

V

_{2 4}

)

2－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

(4) (5) 若 再令 此 平 面 凸四 邊 形 內 接於 一 圓 ， 由兩 頂 角

A

₂與

A

₄互 補 性 質 ， 得

d

₁₃

d

₂₄=

V

₁

V

₃+

V

₂

V

₄ (9) 方 程 式 (9)就 是 托勒 密 定 理 (Ptolemy theorem)。 (6) 探 究圓 內 接 八 邊形 的 情 況 ： 圖 15. 的 圓內 接 八 邊 形； 對 角 線 長

A

₁

A

₄



d

， 圖 15 圖 16

(a) 對 圖 15.中 的 圓內 接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄有 托 勒 密 定 理 關 係 式 如 下 ；

d

₁₃

d

₂₄



V

₁

V

₃



V

₂

d

，現 在 將 其完 全 平 方 ，得 下 式 ；

d

V

V

V

d

V

V

V

d

d

2 _{1 2 3} 2 2 3 1 2 24 13

)

(

)

(

)

2

(







(10) (b) 仿 效引 理 5.可 得六 邊 形 餘 弦公 式，對 圖 15.中 的 六邊 形

A

₁

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈可 得 下 列 餘 弦 定 理 關 係 式 ； 2

d

=

V

₄2+

V

₅2+

V

₆2+

V

₇2+

V

₈2－ 2

V

₄

V

₅

cos A

₅－2

V

₅

V

₆

cos A

₆－2

V

₆

V

₇

cos A

₇ －2

V

₇

V

₈

cos A

₈+2

V

₄

V

₆

cos



A

₅



A

₆



+2

V

₅

V

₇

cos



A

₆



A

₇



+ 2

V

₆

V

₈

cos



A

₇



A

₈



－ 2

V

₄

V

₇

cos



A

₅



A

₆



A

₇



－ 2

V

₅

V

₈

cos



A

₆



A

₇



A

₈



+ 2

V

₄

V

₈

cos



A

₅



A

₆



A

₇



A

₈



(11) (c) 另 外六 邊 形

A

₁

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈也 有 邉 長 與 頂 角 角 度 關 係 式 如 下 ； 見 上 圖 16.，

令 角 度

m





A

₈

A

₁

A

₄，角 度

k





A

₁

A

₄

A

₅，對 六 邊 形 言，由 引 理 1.可 得；

d

=

V cos

₄

k

+

V

₅

cos[

k



(





A

₅

)]

+

V

₆

cos[

k



(





A

₅

)



(





A

₆

)]

+

V

₇

cos[

k



(





A

₅

)



(





A

₆

)



(





A

₇

)]

+

V cos

₈

m

=

V cos

₄

k



V

₅

cos(

k



A

₅

)

+

V

₆

cos(

k



A

₅



A

₆

)



V

₇

cos(

k



A

₅



A

₆



A

₇

)

+

V cos

₈

m

由 圖 16. 知 ，

角 度

m





A

₈

A

₁

A

₄



A

₁





A

₂

A

₁

A

₄



A

₁



(





A

₃

)



A

₁



A

₃





，

同 理，角 度

k





A

₁

A

₄

A

₅=

A

₂



A

₄





，現 將 此 兩 角 度 代 入

d

的 等 式 中，得；

d

=



V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

+

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)



V

₆

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

+

V

₇

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇

)



V

₈

cos(

A

₁



A

₃

)

(12)

(d) 將(11)式 的

d

2及 (12)式 的

d

一 起 同 步 代 入 (10)式 中 ， 運算 並 移 項 整理 成 ； 2 24 2 13

d

d

=

( V

V

_{1 3}

)

2+

( V

V

_{2 4}

)

2+

( V

V

_{2 5}

)

2+

( V

V

_{2 6}

)

2+

( V

V

_{2 7}

)

2+

( V

V

_{2 8}

)

2 －2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos A

₅－2

V

₂2

V

5

V

6

cos A

6－2 2 2

V

V

6

V

7

cos A

7 + 2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos



A

5



A

6



－2 2 2

V

V

7

V

8

cos A

8+2 6 8 2 2

V

V

V

cos



A

7



A

8



－2

V

₂2

V

₅

V

₈

cos(

A

6



A

7



A

8

)

+ 2 5 7 2 2

V

V

V

cos



A

6



A

7



－2

V

₂2

V

₄

V

₇

cos(

A

₅



A

₆



A

₇

)

+2

V

₂2

V

₄

V

₈

cos(

A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

+2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos



A

₂



A

₄



A

₅



－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₆

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆

)

+2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₇

cos(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇

)

－2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₈

cos(

A

₁



A

₃

)

(13) 方 程 式 (13)式 的最 末 一 項 －2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₈

cos(

A

₁



A

₃

)

，其 頂 角 組 合

A

₁



A

₃轉 換 成

6





(

A

₂



A

₄



A

₅



A

₆



A

₇



A

₈

)

代 入 (13)式 中，經運 算，再 化簡，整 理 排 序 ， 最 後 就 得 到 方 程 式 (8)式 。 得 證 出 的 方 程 式 (8)式 即 是 圓 內 接 八 邊 形 內 臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式。(8)式 內 的各 項 角 度 組合 若 再 應 用引 理 3.的 性質 還 可 將 它的 內 容 再 轉 化 成 最 精 簡 型 態 。 因 此 ， 無 論 是 圓 內 接 八 邊 形 或 平 面 凸 八 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 都 是 上 述 的 (8)式 與 (13)式 的 等 價 形 式 。 至 此，檢 驗 過 程 同 時 也 實 際 採 納 各 不 同 面 向 考 量 來 察 驗 出 這 些 公 式 的 真 實 正 確 性， 並 再 次 強 化 了 本 文 各 節 次 內 容 裡 這 所 有 公 式 獲 得 證 明 的 嚴 謹 、 充 裕 、 完 整 、 堅 實 不 朽 的 理 論 基 礎 ！ C-6. 平 面 凸 九 邊 形 、 凸 十 邊 形 、 …、 凸

n

邊 形 平 面 凸 九 邊 形 、 凸 十 邊 形 、…、 凸

n

邊 形 等 各 類 圖 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 都 能 依 循 上 述 的 2 個 綜 合定 則 明 細 寫出 各 個 獨 自完 整 無 瑕 的精 確 公 式 ， 也 都 能 一 一 仿 效 平 面 凸 八 邊 形 的 證 明 模 式 加 以 證 明 以 及 持 續 相 關 的 檢 驗 驗 證 。 諸 多 證 明 與 驗 證 過 程 於 此 就 不 再 撰 文 贅 述 。

參、 結論

1. 最 後，由 全 文 敘述 推 理 引 證過 程 中 明 顯地 察 覺 到；自圓 內 接 八邊 形 的 情 況作 研 析 而 導 證 出 的 臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 是 比 較 容 易 的 ， 以 此 觀 點 推 廣 到 圓 內 接

n

邊 形 的 情 況 必 然 是 一 樣 的 ！ 是 故 ， 先 快 速 依 圖 形 推 求 出 圓 內 接

n

邊 形 的 公 式 型 態，而 此 公 式 正 是 一 般 凸

n

邊 形 所 屬 的 正 確 型 態，再 比 對 這 方 程 式 的 各 項 結 構 與(

n



1

)邉 形 餘 弦 定 理 公 式 兩 者 間 的 各 項 相 對 應 位 置 關 係 ， 並 配 合 基 底 四 邊 形 幾 何 相 似 形 作 圖 法 ， 混 成 思 考 ， 步 步 演 繹 試 算 才 彙 整 歸 納 出 本 文 研 發 創 意 的 嶄 新 方 針 ， 進 而 尋 獲 規 範 方 程 式 的2 個 綜 合 定則 。 2. 在圖 14.中 縮 減的 新 構 七 邊形 是 凸 七 邊形 ， 若 要 求作 出 一 新 構的 凹 七 邊 形也 可 達 成； 只 須 將 圖 8. 的八 邉 形 變 身 一下 ， 變 身 成下 圖 17.， 即 可仿 效 前 述中 的 圖 17 圖 18 幾 何 相 似 形 作 圖 法 製 作 出 圖18.的 新 構平 面 凹 七 邊形

A

₁

A

₃

TEDCB

。再 根 據 正 文 內 的 推 理 敘 述 過 程，仿 效 其 導 證 步 驟 要 領，即 可 將 此 平 面 凹 七 邊 形

A

₁

A

₃

TEDCB

依 循 它 的 餘 弦 定 理 公 式 再 加 以 推 演 運 算 就 能 獲 得 完 全 相 同 的 方 程 式 (8)式 。 不 論 是 圖 8. 的 八 邉 形 抑 或 是 圖 17. 的 八 邉 形 其 結 構 形 狀 都 不 失 為 作 圖 的 一 般 性 ， 而 兩 圖 形 的 順 勢 發 展 也 都 能 嚴 謹 推 理 導 證 出 完 全 相 同 的 方 程 式 (8)式。 3. 輔 助 相 似 形 幾 何 作 圖 法 的 效 應 與 多 邉 形 餘 弦 定 理 的 功 能 在 平 面 幾 何 學 上 的 直 接 或 間 接 應 用 都 非 常 廣 泛 、 強 大 ！ 將 一 個

n

邉 形 以 相 似 形 幾 何 作 圖 法 縮 減 成 一 個 小 的 新 構 (

n



1

)邉 形 使 其 落 在 原

n

邉 形 內 部，且 共 享 兩 頂 點

A

₁與

A

₃。新 構 建 的 (

n



1

)邉 形 內 的

n



2

個 邉 長 恰 好 為 原 本

n

邉 形 內

n

個 邉 長 以 適 當 有 序 的 美 妙 比 例 關 係 式 構 成。如 是 無 比 精 準 的 完 善 搭 配 ， 值 得 推 廣 應 用 到 其 他 思 維 領 域 上 。 4. 檢 驗 終 了 時 ， 可 以 完 全 意 識 到 這 平 面 凸 八 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 (8)式 與 (13)、(14)式 已 經 完 美 統一 了 平 面 凸七 邊 形、平面 凸 六 邉

形、平 面 凸 五 邉 形、平 面 凸 四 邉 形 與 托 勒 密 定 理 等 同 質 性 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 ！ 使 這 些 公 式 都 成 為 平 面 凸 八 邊 形 方 程 式 的 特 例 ！ 更 有 甚 者 ， 直 接 推 廣 到 所 有 自 平 面 凸 (

n



1

)邉 形 以 下 的 同 質 性 的 方 程 式 都 必 成 為 平 面 凸

n

邊 形 方 程 式 的 特 例 ！ 5. 最 值 得 賞 析 且 提 示 的 是 ； 將 一 個 平 面 凸

n

邊 形 圖 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 針 對 其 所 有 項 式 的 個 別 內 涵 成 份 如 實 比 對 ， 參 照 各 邊 長 與 頂 角 的 圖 形 相 關 位 置 而 精 緻 地 彙 整、歸 納、條 理 出 完 美 方 程 式 的 2 個 綜 合 定則。依 循 這 2 定 則 的程 序 操作 所 排 列 出的 各 樣 圖 形方 程 式，都 能 讓 方 程 式原 本 凌 亂 不堪 的 眾 多 項 繁 複 情 境 被 逐 一 統 整 並 展 現 出 各 方 程 式 彼 此 之 間 連 貫 的 一 致 共 同 規 律 秩 序 特 質 ！

參考文獻

李 輝 濱，平 面 凸 五 邊 形 內 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式。科 學 教 育 月 刊407 期， 第 24 頁 ， 2018 年 4 月 出 版 發 行 。 李 輝 濱，平 面 凸 六 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式。科 學 教 育 月 刊410 期 ， 第 10 頁 ， 2018 年 7 月 出 版 發 行 。 李 輝 濱，平 面 凸 七 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式。科 學 教 育 月 刊413 期 ， 第 31~50 頁 ， 2018 年 10 月 出 版 發行 。 蔡 聰 明 ， 數 學 拾 貝---星 空 燦 爛 的 數 學 ， 2000，三 民 書 局 。 林 聰 源 ， 數 學 史---古 典 篇 ， 1995，凡 異 出 版 社。 項 武 義 ， 基 礎 幾 何 學 ， 五 南 圖 書 出 版 公 司 。 項 武 義 ， 基 礎 分 析 學 ， 五 南 圖 書 出 版 公 司 。

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