教師亟待學習的評量專業:以MiC「型與符號」的評量為例

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教師亟待學習的評量專業:以 MiC「型與符號」的評量為例

曾志華 嘉義市興安國小教師

摘 要

國內九年一貫課程的實施,讓第一線教師在課程發展上擁有較高的自主性, 然而筆者發現,多年來由學校教師所發展出來的課程計畫其中的評量一項,往往 一再地受到忽視、敷衍,這顯示教師的評量專業亟待學習和提升。基此,本文以 美國威斯康辛大學數學科學教育研究中心和荷蘭Freudenthal 研究中心共同合作 開發的一套數學課程(MiC)當中的評量為例,提供作為數學教育工作同仁借鏡和 參考。 關鍵字:評量、脈絡數學、型與符號

壹、 前言

開學了,又是一個新學期的開始。筆者從事小學教育工作十五年,接觸過六 十四年版、八十二年版課程到最近九年一貫課程,的確看到了教師在課程發展的 自主性正逐漸地提高。然而,自主性的提高卻並不等於教師專業的提高。我們從 學校新學期教師自行發展的數學課程計畫來看,就其中評量計畫這一項而言,顯 而易見的,都只應付式的評量。因為,從一到六年級的評量方式全部都是「觀察、 實作、紙筆測驗、寫作業、口頭報告」這幾個範疇,無一例外。難道一到六年級 的數學課程目標都一致嗎?教學內容都一樣嗎?其實不然!這幾個評量的範疇 在課程計畫裡也沒有發現具體可行的評量方案。這種現象不僅一到六年級都是如 此,幾乎這些年來也都是如此。教師有關評量的專業,實在有待學習和提升。 筆者認為,課室中教學之後的評量對象主要是學生。所以,首先必須弄清楚

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到底要評量學生什麼?而這個問題的答案和評量的目標是有密切關聯的。因為評 量所獲知訊息,就是在告知教師教學目的是否已經達到。是故,評量必須和課程 的目標、教學方法及內容結合在一起才是好的評量。本文作者在彰化師大科研所 攻讀博士學位期間,曾經接觸過一套美國中學數學課程教材,名為”脈絡數學:5 到8 年級的連結課程(Mathematics in Context: A Connected Curriculum for Grades 5-8,簡稱MiC)”。除了對於其中的脈絡化數學課程感到有趣之外,其中的評量 設計更令筆者覺得印象深刻,頗值得借鏡並作為國內教師發展評量之參考。本文 先概略介紹此課程發展的背景,再以其中「型與符號」這一單元的評量設計為例 加以闡述。

貳、 MiC 課程發展背景、內容及目標

1991 年春至 1995 年間,美國國家科學基金會(NSF)提供$5,000,000 的經費 贊助位在威斯康辛大學的數學科學教育研究中心,和荷蘭Utrecht 大學的 Freudenthal Institute 的研究員一共四十多位組成一個課程發展小組共同研究這套 中學數學課程教材。這些成員包括主持人Dr. Romberg,研究助理、數學教授、 統計學教授、課程與教學專家、行政首長、中學教師、研究學者等。來自荷蘭的 學者主要有Jan de Lange(當時的主持人)、Koeno Gravemeijer 等人。他們的工作 是:發展一份執行計畫的藍圖、創造教材、預試教材、實際測試並修改之後的教 材,再交由Encyclopaedia Britannica Educational Corporation(EBEC)出版。小組成 員每年見面一次,監督整個計畫進展的情形,並且提供建議。這一套課程教材總 共包括40 個教學單元(每個單元預計教 2-4 週),所以,5 到 8 年級每個年級大約 有10 個單元的教材。每個單元均包括: 一、 一套單元指引(unit guide)。內容有:單元目標說明、該單元和數學課程與評 鑑標準(NCTM, 1989)的關聯、該單元的相關研究、和其他單元的關係、討論 該單元的數學內容及教學、學生在這單元中的活動概要、建議其他類似的活

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動、提供補充的活動給學生回顧或練習。 二、 一本學生手冊(student booklet)。手冊裡面是由一些有組織的活動構成。這些 活動圍繞著某一個主題(脈絡、社會或數學的),可以讓學生配合一個教學單 元在2-4 週之內使用。這份手冊由荷蘭編寫草稿,小組成員審閱、修改,並 且加以美國化(Americanized)。修改訂正之後,在威斯康辛州作預試(pilot test) 評估中學生實際使用情形,再修訂之後,再作更廣泛的實際測試(field test)。 三、 評量的材料(assessment materials)。提供非例行性的問題,用以評量學生的數 學功力(mathematical power)。鼓勵採用多元的評量方式了解學生的成長和成 就。

四、 教學管理材料(instructional management materials)。內容包括:40 個單元的 關係圖、討論每一個年級的單元內容如何安排成為完整的一堂課,描述每一 年級學生在某些單元的先備條件及描述評量的方式。 五、 多媒體材料(multimedia materials)。EBEC 將會提供電腦、軟體、VCD 等材 料,作為學習之用。 六、 科技平台(technological platform),發展電算器讓每個學生使用,教室裡有高 效能的電腦、VCD 播放器、監控裝置等。 MiC 雖然是美國和荷蘭合作一起開發出來的中學數學課程,其共同的哲學理 念均是「視數學為人類的活動」。不過,Dr. Romberg 拿到荷蘭最初編出來的材料 之後,便加以「美國化」並且在美國本土測試、修改,最後才出版。基本上,所 謂的「美國化」主要是將其中的課程內容設計、教學方法和評量,以美國數學教 師協會(National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM)出版的各項標 準,如數學課程與評鑑標準(NCTM, 1989)、教學專業標準(NCTM, 1991)和評量 標準(NCTM, 1995)為依歸。所以,MiC 課程的目標就是要發展學生的數學能力 (mathematical abilities)或數學功力(mathematical power) (NCTM, 1989)。而其中評 量的目的也是針對學生數學能力或功力的發展情況加以評估。

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參、 「型與符號」的單元目標

在MiC 課程中,一共包含了 40 個單元。每個單元都固定有三個「大目標」 且都是一樣的,亦即評量學生的「概念性和程序性的知識」、「推理、溝通、思考、 連結」、「建模、解非例行性問題、分析批判、類推」等。在這些「大目標」底下, 再依單元主題的不同,分別列出若干個不同的「子目標」。茲以「型與符號」為 例,進一步說明如下: 一、 概念性和程序性知識 (一) 從排列好的物件、圖形和符號中認識其中的”型”(patterns)。 (二) 有效地使用符號表徵”型”。 (三) 確認和創造可反覆的、對稱的型。 (四) 發展配對的概念,以及奇、偶數等概念。 (五) 透過組合創造出等價、縮短的型。 二、 推理、溝通、思考、連結 (六) 使用配對、對稱、奇偶數、符號、方向等,作有關型的推理。 (七) 確認用來描述反覆、對稱和成長的型的規則。 (八) 從描述當中,產生、拓展、轉換型。 (九) 在解題中,作視覺與符號表徵之間的轉換。 三、 建模、解非例行性問題、分析批判、類推 (十) 從型當中,類推其中的關係和規則。 在「型與符號」這一單元之中,MiC 的教學內容與評量問題,均以上述這三 大目標及其中十項子目標作為設計的基礎。換言之,課程的設計就是依據上述這 些目標來培養學生學習「型與符號」這方面的數學能力或功力,並作為發展評量 的架構和依據。綜合觀之,MiC 課程的目標導引了教學的內容和評量的方向,因 此教師進行教學與評量時,對於課程目標的釐清相當重要。

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肆、 配合單元目標設計的評量問題

承上述,學生在「型與符號」這單元的數學功力被置換成「單元目標」具體 描述之後,評量也依據這個單元目標所形成的架構來設計。

在MiC「型與符號」這個單元的內容,一共分為六段(section A~ section F), 每一段都有一個主題,例如,section A 的主題是”配對”(pairing)、section F 主題 是”更多的符號和積木”(more about symbols and blocks)。評量的題目則設計在每 一段落的最後,即所謂「總結問題」(summary questions),例如:section A”配對” 這個主題,在學生學完主題內容的最後會有二個總結問題: 一、 「決定下列圖形是否是偶數或奇數個方塊。解釋你怎麼知道的。」 筆者根據該教師手冊加以分析發現,這個問題實際上是要評量上述十項子目 標中的1(從排列好的物件、圖形和符號中認識其中的”型”)和 6(使用配對、對稱、 奇偶數、符號、方向等,作有關型的推理)。學生可能的答案則有「全部點數、 配對著數、畫圖重新排列」等。教師可再根據學生的回答,再自行設計評分的方 式。 二、 「寫下奇數和偶數之間的差異。」 這個問題則是要評量學生十項子目標當中的4(發展配對的概念,以及奇、偶 數等概念),學生的答案也可能有很多樣。至於第 10 項子目標的評量題目,在 section F 的總結問題裡有這樣的一個範例:

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a.假設你知道一列由站立和躺下的積木組合起來的長度。若想要知道一個躺著的 積木有多長,你還必須要知道些什麼?寫下來。 b.在一排積木當中,改變站著和躺下的積木,並形成自己的規則。選擇一位同伴 並運用自己的規則,把一列積木盡可能的改成最短。你的規則都能夠把一列積 木變短一點嗎? 從上述所舉的例子,包括section A 和 section F 共四個問題範例,可以得知 我們究竟要評量學生什麼?其實答案都在單元目標裡面了。此外值得一提的是, 這些總結問題並不是我們常提到的總結性評量,它仍是在教學中進行的評量,所 以他們又稱之為進行中的評量(ongoing assessment)。另外,在整個單元教完之 後,MiC 還編入了一些所謂單元結束後的評量(end-of-unit assessment)。例如,送 花(delivering flowers)(如附件)。筆者根據該教師手冊的分析,「送花」其中的評 量題目,是可以用來評量上述子目標的第2,5,8 和 10 項。另本文作者分析「型與 符號」這個單元得知,其中類似「送花」這樣的評量題目一共有四個,手冊中建 議老師可以僅選擇其中一項來評量,也可以全部評量,可以在學校課堂上做,也 可以帶回家當家庭作業,既多元又很有彈性。

伍、 哪些評量方式可以提供有用的訊息?

除了上述的評量題目可供我們作為發展評量的參考之外,MiC 的課程裡也建 議老師可以從以下這幾個方向來看學生數學功力的成長與改變: 一、 師生的對話和訪談。 二、 教學中,利用檢核表作觀察記錄。 三、 學生作品檔案。 四、 學生的札記或其他自我評量資料。 五、 紙筆測驗。

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六、 實作。 七、 寫報告或文章。 八、 模型製作展覽。 九、 計畫或其他任務 十、 在教學中發表。 十一、 二階段考試(考試→回饋→訂正→給類題再做)。 十二、 回家做作業。 十三、 同儕評量。 在這麼多種評量方式中,教師可以透過「問、看、聽」等方式瞭解學生做數 學活動的表現品質,教師必須要特別注意「平衡的問題」,也就是教師看到的和 學生做的作品之間必須取得平衡,才不致於造成過度主觀的評量。所以,評量最 好不要只侷限在某一種方式,評量訊息的取得也不應只有一條管道而已。

陸、 計分方式

MiC 的計分方式視題目的類型而定,而且主張評量的過程和結果同樣重要。 它並且建議教師應該看學生回答問題的內容當中所包含的數學,而不是只看答案 的正確與否。學生的解答有它的複雜度、成熟度和精緻度,老師可以根據這些來 評分。通常,可以給一些關鍵字(key words),例如:正在浮現(emerging)、發展 中(developing)、快要達成(accomplishing)、精通(proficient)、開竅了(enlightened)、 超好(exceeding)等,用來描述學生數學解題、推理和溝通的技巧。教師也可以給 一些短語以及等第來描述學生數學能力的成長,這樣會比只給一個分數要好。由 此可知,MiC 的評量其實並沒有反對給學生分數,但如果只有給分數,則看不出 學生對數學的理解、技巧和態度,以及學生學習上的問題。所以,最好加上一些 評語來描述會較清楚些。 此外,MiC 也建議教師公開地和學生討論彼此之間的期望,並且讓每位學生

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知道自己的學習成就和進步情形,亦即師生共同參與評量的活動。

柒、 啟示

從美國威斯康辛大學數學科學教育研究中心發展的這套中學數學課程(MiC) 來看,我們很清楚的知道它的教學目標,是要培養學生的數學能力或功力,而教 學內容和評量的設計也都跟著這個目標來發展。MiC 希望能夠透過評量讓學生再 次獲得學習的機會,並且知道自己的進步情形,教師也可以從評量當中獲得一些 有用的訊息,作為教學改進的參考。 如果再拿上述MiC 中「型與符號」的教學內容和上述所舉的一些評量實例 來對照便可以發現,它的問話方式、問題內容、問題情境其實都和當時教學所給 的問題情境相當類似,表面上並沒有太大的差異。但實際上,兩者是有區別的。 因為,在一個熟悉的情境下,探索新的概念,和在一個不熟悉的情境下,探索舊 概念是不同的(Romberg et al., 1991, p.151)。前者屬於教學,也就是讓學生在熟悉 的情境下學習新概念,後者則屬於評量,也就是把學過的概念,再加以運用。尤 其學生運用所學概念在解非例行性的問題上,對於評量學生的數學功力扮演十分 重要的角色。所以,對學生而言,問題情境中的概念是新的,則屬於教學的範圍, 而概念已經學過了,給定的問題情境是新的,則可以作為評量的題目。 MiC 這套數學課程的內容、教學方法和評量可以說發展的相當完整而連貫。 作者撰寫本文的目的之一便是他山之石可以攻錯,而不是全盤倣效。畢竟美國的 教育政策與教學環境和國內截然不同。我們從本文所介紹MiC 課程裡的評量, 可以了解它的特色便是目標清楚、多元、有組織和連貫。現今國內教師在九年一 貫課程改革的氛圍之下,如何在忙錄的教學工作之餘又能兼顧評量呢?作者建議 在學校擔內數學學習領域課程發展的委員們,利用每年寒暑假備課週完成數學課 程計畫(通常不到一天即可完成)之後,再撥出一些時間和學年主任共同合作編寫 適合於各年級學生的數學評量手冊,進行方式可參考本文所介紹內容,先討論釐

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清我們的數學教育要培養學生什麼能力?我們的課程、教學和評量的目標在哪 裡?再從教材內容及學校建立(或書商提供)的題庫中挑選或設計符合各單元目 標的評量題目及評分標準,如此逐步累積,逐年修正,工作份量便會愈來愈減輕。 九年一貫數學課程的實施,也會因為教師如此專業的評量計畫而更加落實。

參考文獻

Mathematic in Context(1997). Patterns and Symbols: Teacher Guide, p. 117. Encyclopedia. Britannica Educational Corporation.

National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: NCTM.

National Council of Teachers of Mathematics. (1995). Assessment standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

Romberg, T. A., Allison, J., Clark, B. A., Clark, D. M., Pedro, J. D., & Spence, M. (1991). A blue-print for mathematics in context: A connected curriculum for grade 5-8. Madison, WI: Wisconsin Center for Education Research.

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附件

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Suppose that you deliver flowers for a flower shop. You are paid by the number of deliveries you make. The city map is a grid, and each square in the grid is equal to five minutes’ travel.

Here are the directions for three deliveries:

A. SWSWSEENE B. ENESSW C. WSWSENE

1. Use the grid on the right to locate the place for each delivery. Label the destinations A. B. and C.

2. Can you make all three deliveries in one-half hour or less? Explain your answer.

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