102指考數甲非選擇題參考答案

102 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案

數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達

推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如

果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法

得到分數。

數學科試題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法以供各界參考

。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請詳見本中心將於

8 月 15 日出刊的《選才

電子報》

。

102 學年度指定科目考試數學甲各大題的參考答案說明如下：

第一題

(1)

設 ( ) n ₁ n 0 p x a x   a xa ， 由 題 設 a_i0， 故 當 x 時 ，1 成 立 ， 而 ， 故 ( ) 0 p x  2 1 x 0    ( ) 1 2 p x    x 1 t 必 成 立 。

(2)

當 時 ， 3 2 1 1 ( 1 ) 3 t x t x x x dx x       



4₃ t₃3 t    。

(3)

由 題 設 及(1)可 知 ， 所 圍 成 有 界 區 域 的 面 積 為 2 4 3 2 1 ( ) 1 d t p x x x t t t t           



C ， 令 t 得 0 4 C1   ， 故 C 4。

(4)

【 解 法 一 】 因 為 t _{1 0} 1 _{0 0} 1 ( ) 1( ) (1 1 ) t n n n n n a a p x dx a x a x a dx t a t a n n             





  

，

由 題 設 及(1)與 (2)得 知 3 1 4 0 0 4 ( ) ( )= 3 2 1 1 3 3 n n n a a t t a t a t t t t t n n  _{           }     4，故 n3；也 就 是 4 3 2 4 3 2 3 2 1 3 2 1 0 0 1 4 ( 1) ( )  t 4 4 3 2 4 3 2 3 a a a a a a t   t  t  a  t   a    t t t 。 比 較 係 數 得 a₃4、 a₂2、 a₁2、 a₀ ， 所 以0 p x( ) 4 x32x22x。 【 解 法 二 】 將 所 圍 成 區 域 的 面 積 2 4 3 2 1 ( ) 1 d t p x x x t t t t         C  



2 3 2 ( ) 1 4 3 2 1 對 變 數 取 微 分 ， 由 微 積 分 基 本 定 理 知

t

p t   t t  t  t ， 故 _{p x}( )_4x3_2x2_2x。

第二題

(1)

設 M a b ， 由 題 設 得 知 c d       1 1 0 2 M _{ }       ， 因 此 解 得 1 2 a c      ； 同 理 ， 1 0 1 2 M _{ }       ， 因 此 解 得 1 2 b d       ； 故 1 1 2 2 M      。 一 般 高 中 課 本 採 用 如 上 所 述 的 行 向 量 運 算 。 如 果 採 用 列 向 量 運 算 ， 對 應 的 解 法 如 下 ： 設 M a b ， 由 題 設 得 知





c d       1 0 M  1 2 ， 因 此 解 得 1 2 a b      ； 同 理 ，



0 1



M  _ 1 2 ， 因 此 解得 1 2 c d       ； 故 1 2 1 2 M         。

(2)

【 解 法 一 】 設 C之 坐 標 為 ( , )a b ， 此 處 a b ， 則 由1 1 1 2 2 M    _  得 知 之 坐 標 為  C (a b  , 2a 2 )b 。 ABC的 重 心 G 之 坐 標 為 三 頂 點 坐 標 的 平 均 ， 也 就 是 1 1 ( , 3 3 a b   ) ； 同 理 ， A B C   的 重 心 G' 之 坐 標 為 三 頂 點 坐 標 的 平 均 ， 也 就 是 ( , 2 2 2 3 3 ab  2 ) a b 。 又 由 矩 陣 乘 法 得 1 1 1 1 1 _{3 3 3} 1 1 1 2 2 _{2 2} 2 2 2 2 3 3 3 a a b b a b a b 3 3 ab      _                     _{   }            _{  }             ， 所 以 M 將 ABC 的 重 心G映 射 至 A B C  的 重 心G'。 【 解 法 二 】 設O為 原 點 ，ABC的 重 心 為G， A B C  的 重 心 為G'， 因 為M 是 個 線 性 變 換 ， 所 以 M (O G )  M



1( 3  O AO B O C )



 1 3



M (  O A ) M (O B )  M (O C )



 1( 3  O A 'O B ' O C ' ) O G '。 

(3)

【 解 法 一 】 設 滿 足 條 件 的 點 坐 標 為 ，依 題 意 到 直 線 （ 由 及 坐 標 知 道 為 ）的 距 離 為 C x y ( , )a b ( , )a b AB A(1,0) B(0,1) 1 0 2 3 2 3 2 2 ABC _ AB  面積 ，由 點 到 直 線 的 距 離 公 式 得 知 1 2 a b  3 2 ， 也 就 是 a   。b 1 6 C 經 M 映 射 後 為 ( , 2 2 C a b  a b) ， 故 C 到 直 線 A B  （ 由 A(1, 2)及 B( 1, 2) 坐 標 知 道 為 2 0 y  ） 的 距 離 為 2 2 2 2 1 1 a b a b       6 2 。 【 解 法 二 】 因 為ΔABC 的 面 積 為 ， 所 以3 A B C  的 面 積 為 detM  3 6 2， 而 A' B' ，2 所 以 C 與 直 線 A B 的 距 離 為 2 6 2 2 6 2 2 A B C A B      _  _   面積 。