95 指定科目考試
數學甲及數學乙之非選擇題作答情形
編者案：承續前三期，介紹 95 指定科目考試各科非選擇題的評分原則與其說明，本期選 才電子報刊登數學甲及數學乙非選擇題的考生作答情形。為瞭解考生在解題過程 中所使用的概念與想法，每年大考中心均會針對數學甲及數學乙的非選擇題進行 抽樣，並對所抽樣之答案卷進行作答情形分析，從中探究學生可能的迷思概念與 錯誤類型，以提供給高中教師參考。 ▓第一處 朱惠文、陳慧美 95年 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 與 數 學 乙 的 考 試 題 型 可 分 為 ： 選 擇 題 、 選 填 題 與 計 算 證 明 題 。 其 中 計 算 證 明 題 主 要 是 評 量 考 生 能 否 解 題 時 的 論 證 過 程 ， 以 及 數 學 表 達 能 力 。 因 此 ， 為 瞭 解 學 生 於 非 選 擇 題 上 的 推 理 過 程 ， 我 們 抽 樣 了 數 學 甲1423份 、 數 學 乙 1433份 的 非 選 擇 題 作 答 卷 ， 來 瞭 解 考 生 的 解 題 概 念 與 想 法 ， 並 配 合95年 數 學 甲 、 數 學 乙 全 體 考 生 在 非 選 擇 題 的 得 分 情 形 來 分 析 。 下 面 將 分 別 對95年 數 學 甲 與 數 學 乙 非 選 擇 題 部 分 ， 來 說 明 學 生 可 能 出 現 的 錯 誤 觀 念 。數 學 甲
表 一 列 出91至 95年 數 學 甲 非 選 擇 題 得 零 分 的 考 生 人 數 及 人 數 百 分 比 。 由 表 一 可 看 出 ，95年 的 零 分 人 數 為 2582人 ， 百 分 比 為 5%， 與 94年 的 零 分 人 數 相 差 不 多 ， 可 能 是 因 為 各 題 內 均 放 了 兩 題 引 導 題 。 另 外 ， 再 由 表 二 可 知 ， 今 年 非 選 擇 題 滿 分 人 數 是 最 少 的 ， 與91年 相 差 不 大 。 但 91年 有 一 題 是 證 明 題 ， 評 量 考 生 推 理 論 證 的 能 力 ， 與 今 年 不 大 相 同 。 以 下 將 就95年 數 學 甲 非 選 擇 題 抽 樣 考 生(1423份 )的 作 答 情 形 ， 與 全 體 考 生 非 選 擇 題 的 得 分 情 形 來 分 析 。表一 91至95年數學甲非選擇題零分人數統計表 年 度 人 數 百 分 比 95 2582 5% 94 3910 7% 93 19211 33% 92 無 91 11585 22% 表二 91至95年數學甲非選擇題滿分人數統計表 年 度 人 數 百 分 比 95 68 0.12% 94 1196 2.06% 93 4597 7.78% 92 無 91 345 0.67% 第一題題目： (1) (3 分) 將 48510 分解成質因數的乘積。 (2) (7 分) 寫出在 1 和 250 之間且與 48510 互質的所有合數(合數就是比 1 大而不是 質數的整數)。
課 程 。 不 過 約1%的 考 生 雖 然 得 出 正 解 ， 但 將 試 題 中 質 因 數 乘 積 誤 解 成 將 質 因 數 相 乘，而 得2310，以 及 約 2%的 考 生 可 利 用 短 除 法 寫 出 正 確 的 因 數 分 解 過 程 ， 但 是 卻 無 法 將 其 轉 換 成 質 因 數 乘 積 ， 這 群 考 生 均 是 知 道 如 何 進 行 質 因 數 分 解 ， 但 是 卻 因 誤 解 題 意 或 沒 有 轉 換 成 正 確 的 數 學 式 ， 而 沒 有 得 到 分 數 ， 實 屬 可 惜 。 表三 第一大題之第(1)小題考生的作答情形統計表 第(1)小題作答情形 人數 百分比 未答 14 1.0 隨便亂寫，毫無道理，或未列過程直接寫答案，且答案錯誤。 6 0.4 未列過程，直接寫答案。 296 20.8 質因數分解不徹底，答案中仍有合數。 43 3.0 過程正確（例如利用短除法），但答案表示錯誤(未列或列錯或多餘加註)。 35 2.5 分解錯誤(如寫成 22×3×53×11 或 2×32×5×72×13 或 2×3×5×7×11) 61 4.3 其他錯誤。 24 1.7 誤解「將一數分解為質因數乘積」的意義，將答案寫為2×3×5×7× 11=2310，或正確表示之後再加寫此式，或其他。 22 1.5 完全正確。 845 59.4 至 於 第 二 小 題 ， 考 生 如 果 若 能 將 試 題 內 有 關 「 合 數 」 指 的 是 比1大 而 不 是 質 數 的 整 數 的 說 明，解 讀 成「 合 數 」可 分 解 成 質 因 數 的 乘 積，再 加 上 需 與48510 互 質 ， 可 得 答 案 可 能 是13 、2 13 17× 、13 19× 、17 … 等 等 。 因 為 試 題 要 求 介 於 12 和250之 間 ， 得 答 案 只 有13 、2 13 17× 、13 19× 。 表 四 抽 樣 生 本 小 題 的 作 答 情 形 。 約 1 4的 考 生 放 棄 作 答 ， 約 1 5的 考 生 不 知 如 何 下 手 ， 只 有 一 成 的 考 生 知 道 可 以 從 質 因 數 下 手 解 題 ， 但 是 這 些 考 生 中 ， 約 一 半 的 考 生 少 考 慮 了 範 圍 的 界 定 ， 或 是 質 因 數 少 算 了13 或 17 ， 使 得 真 正 做 對 的 考 生 只 有 4% 。 多 半 的 考 生 能 寫 出 2 13 、13 17× 、13 19× 中 的 兩 個 ， 但 是 漏 寫 了 一 個 ， 或 是 多 寫 了11 13× ； 當 然 也 有 考 生 直 接 在 試 卷 上 寫 出1至 250的 數 字 ， 再 將 與 48510不 互 質 與 質 數 逐 個 刪 除 ， 不 過 採 用 這 個 解 法 的 考 生 ， 因 為 需 排 除 的 數 字 個 數 相 當 多 ， 幾 乎 沒 有 人 完 全 做 對 。
表四 第一大題之第(2)小題考生的作答情形統計表 第(2)小題作答情形 人數 百分比 未答 359 25.2 隨便亂寫，毫無道理，或未列過程直接寫答案，且答案錯誤。 266 18.7 未列過程，或說明理由牽強，但答案部分正確或完全正確。 424 29.8 利用列舉法(刪除法)，但列舉錯誤。 132 9.3 利用互質的觀念，說出所求合數的質因數特質，但漏列或多 列答案。 73 5.1 利用互質的觀念，說出所求合數的質因數特質，也寫出三個 正確答案。但乘積錯誤，如132寫成199。 1 0.1 其他錯誤。 2 0.1 完全正確。 61 4.3 圖 一 為 全 體 考 生 本 題 的 得 分 情 形 。 近 五 成 的 考 生 可 以 得 到 三 分 ， 而 得 七 分 與 九 分 的 考 生 均 約15%。 僅 約 3%的 考 生 本 題 可 以 得 到 滿 分 。 從 表 三 與 表 四 的 分 析 可 以 看 出 ， 至 少 約 二 成 的 考 生 並 沒 有 列 出 解 題 的 過 程 或 是 寫 出 理 由 ， 而 直 接 寫 出 答 案，例 如 第 一 小 題，直 接 寫 2 3× × × × ；第 二 小 題 直 接 寫2 5 72 11 13 、2 13 17× 、13 19× 。 這 樣 直 接 寫 答 案 ， 沒 有 寫 出 過 程 的 方 式 ， 並 不 符 合 計 算 證 明 題 的 要 求 。 試 卷 內 有 關 計 算 證 明 題 的 作 答 說 明 詳 述 「 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由 ， 否 則 將 予 扣 分 。 」 而 且 非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 用 數 學 語 言 表 達 解 題 過 程 的 能 力 ， 並 從 考 生 解 題 的 過 程 中 ， 評 量 其 所 使 用 的 概 念 與 推 論 是 否 正 確 ， 因 此 非 選 擇 題 解 題 的 過 程 與 理 由 ， 是 其 評 分 的 重 要 依 據 。
數學甲非選擇題第一題 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分數 人 數 百 分 比 圖一 數學甲非選擇題第一題成績分佈圖 第二題題目： 傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針在變形時 永遠保持為圓柱體，其底圓半徑原為 12 公分且以每秒 1 公分的等速率縮短，而長度 以每秒 20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止， 且知在這段變形過程中，當底圓半徑為 10 公分時其體積最大。 (1) (2 分) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？ (2) (6 分) 試求定海神針原來的長度。 (3) (5 分) 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。 本 題 主 要 評 量 考 生 多 項 式 圖 形 的 最 大 、 最 小 值 的 相 關 概 念 ， 且 以 「 孫 悟 空 」 的 「 如 意 金 箍 棒 」 為 情 境 來 加 以 包 裝 ， 整 題 字 數 為207個 字 。 因 此 考 生 解 題 時 ， 須 先 讀 懂 題 意 ， 找 出 所 需 要 的 數 學 元 素 ， 並 利 用 所 學 過 相 關 數 學 知 識 解 題 。 拆 開 本 題 的 包 裝 ， 可 發 現 此 題 與 坊 間 常 見 的 微 分 試 題 類 似 ， 不 同 點 在 於 試 題 內 提 供 最 大 值 所 在 的 位 置 ， 請 考 生 算 出 原 長 應 該 是 多 少 。 第 一 至 第 三 小 題 的 試 題 設 計 與 上 題 類 似 ， 是 採 引 導 的 方 式 逐 步 協 助 考 生 解 題 。 第 一 小 題 直 接 問 神 針 什 麼 時 候 體 積 最 大 ， 考 生 只 要 讀 懂 試 題 內 有 關 「 底 圓 半 徑 原 為12 公 分 且 以 每 秒1公 分 的 等 速 率 縮 短 」 以 及 「 已 知 神 針 之 底 圓 半 徑 只 能 從 12公 分 縮 到4公 分 為 止 」 ， 寫 出 正 確 的 底 圓 半 徑 與 時 間 的 關 係 式 ， 即 可 得 出 2秒 時 ， 體 積V 最 大。表 五 為 抽 樣 生 的 作 答 情 形。考 生 不 是 完 全 做 對，就 是 不 知 如 何 下 手 做 答 。 完 全 放 棄 的 考 生 約 一 成 ， 約 七 成 的 考 生 能 完 全 作 對 。
表五 第二大題之第(1)小題考生的作答情形統計表 第(1)小題作答情形 人數 百分比 未答 192 13.6 隨便亂寫，毫無道理，或未列過程直接寫答案，且答案錯誤。 112 7.9 直接寫答案，無說明。 263 18.5 答案正確，但式子過於簡略，如：12-10=2。 119 8.4 完全正確。 626 44 第 二 小 題 則 是 求 定 海 神 針 原 來 的 長 度 。 解 題 時 ， 可 利 用 微 分 、 亦 可 利 用 算 術 平 均 大 於 等 於 幾 何 平 均 （ 以 下 簡 稱 算 幾 不 等 式 ） 的 方 法 。 表 六 列 出 抽 樣 生 此 題 的 作 答 情 形 。 與 上 題 的 結 果 相 反 ， 約 七 成 的 考 生 不 知 如 何 下 手 求 解 。 本 題 的 正 確 寫 法 應 先 說 明 底 圓 半 徑 從12公 分 縮 到 4公 分 ， 可 得 時 間 t 的 範 圍 介 於0至 8秒 ， 因 此 當t=2時 有 最 大 值 ， 所 以V'(2) 0= ， 然 後 再 利 用 微 分 或 是 算 幾 不 等 式 作 答。從 表 六 可 看 出 多 半 會 作 答 的 考 生，僅 能 寫 出 體 積V 的 關 係 式，接 下 來 不 知 如 何 往 下 進 行 。 有 些 考 生 能 寫 出 正 確 的 體 積 公 式 ， 亦 會 利 用 微 分 法 求 極 大 值 ， 而 且 知 道 利 用V'(2) 0= ， 但 是 並 未 說 明 當 t=2時 有 極 大 值 ， 所 以 '(2) 0 V = 。 從 表 中 ， 亦 可 看 出 能 完 全 作 對 的 考 生 不 到 4%。
表六 第二大題之第(2)小題考生的作答情形統計表 第(2)小題作答情形 人數 百分比 未答 618 43.4 隨便亂寫，毫無道理，或未列過程直接寫答案，且答案錯誤。 403 28.3 未列過程，或隨便亂寫不知所云，但答案正確。 21 1.5 體積之表示，列式錯誤。 34 2.4 體積之表示，列式正確。但未進一步處理，或後續處理錯誤。 77 5.4 體積之表示，列式正確。以微分法處理時，微分錯誤。 27 1.9 體積之表示，列式正確。以微分法處理時，微分正確，但最終處 理錯誤，如V'(2)代入錯誤，或解V'(2) 0= 錯誤。 26 1.8 體積之表示，列式正確。以微分法處理時，微分正確，且由解 '(2) 0 V = 得出答案，但未說明當t=2時有極大值，微分為0，故 '(2) 0 V = 。 53 3.7 體積之表示，列式正確。以算幾不等式處理時，不等式列式錯誤。 10 0.7 其他錯誤。 3 0.2 完全正確1。以微分方式求得，也提到當t=2時有極大值，故 '(2) 0 V = 。 45 3.2 完全正確2。以算幾不等式方式求得。 2 0.1 前 兩 小 題 都 圍 繞 體 積 的 極 大 值 的 想 法 解 題 。 第 三 小 題 則 是 請 問 體 積 最 小 時 ， 金 箍 棒 的 長 度 。 本 題 的 解 法 需 先 說 明 最 小 值 發 生 在 端 點 的 位 置 ， 這 可 利 用 圖 形 或 是 微 分 等 方 法 ， 再 比 較 兩 端 點 的 體 積 值 ， 最 後 才 求 出 正 確 答 案 為 當 2 t = 時 ， 體 積 最 小 ， 此 時 的 長 度 為220公 分 。 表 七 是 抽 樣 生 的 作 答 情 形 。 約 六 成 的 考 生 連 寫 都 不 願 意 寫 ， 直 接 放 棄 ； 約 一 成 的 考 生 是 直 接 猜 答 。 能 完 全 作 對 的 考 生 不 到1%。而 約 1%的 考 生 直 接 解V t'( ) 0= ，得t=2,12，認 為t=12時 體 積 最 小 。 這 些 考 生 不 是 不 會 ， 而 是 忽 略 了 需 先 考 慮 t 的 範 圍 。 事 實 上 ， 第 二 小 題 求 解 時 ， 就 必 須 先 考 量t 的 範 圍 ， 不 過 多 半 考 生 作 答 時 ， 直 接 認 為 極 值 就 是 發 生 在 一 次 導 數 等 於 零 ， 而 忽 略 了 有 範 圍 限 制 的 多 項 式 函 數 ， 其 最 大 、 最 小 值
可 以 發 生 在 一 次 導 數 為 零 ， 也 可 以 在 端 點 的 地 方 。 另 外 ， 也 有 些 考 生 最 後 比 較V(0)與V(8)的 值 時 ， 卻 計 算 錯 誤 ， 實 屬 可 惜 。 表七 第二大題之第(3)小題考生的作答情形統計表 第(3)小題作答情形 人數 百分比 未答 919 64.6 隨便亂寫，毫無道理，或未列過程直接寫答案，且答案錯誤。 210 14.8 未列過程，或隨便亂寫不知所云，但答案正確。 17 1.2 沒有任何說明，或不當說明，就直接代值求L(0)、L(6)、L(8) 等，答案錯誤。 51 3.6 沒有任何說明，就直接算L(8)，且答案正確。 6 0.4 有部分說明，但不完整(如未比較 (0)V 與V(8)之值)，算出 (8)L 得正確答案。 31 2.2 未注意0≤ ≤t 8之範圍，直接由微分等於0解出t=12代入，得 出錯誤最小值。 13 0.9 比較V(0)與V(8)之值，未說理由，但得出正確答案。 6 0.4 比較V(0)與V(8)之值，有說明理由(如極值與端點，或遞增與 遞減等)，但因計算錯誤得出錯誤答案。 26 1.8 其他錯誤。 27 1.9 完全正確。 12 0.8 圖 二 列 出 全 體 考 生 的 得 分 情 形 。 約 六 成 的 考 生 可 以 得 到 兩 分 ， 這 些 考 生
數學甲非選擇題第二題 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分數 人 數 百 分 比 圖二 數學甲非選擇題第二題成績分佈圖 今 年 兩 題 計 算 證 明 題 ， 第 一 題 評 量 考 生 能 否 作 基 本 的 數 字 運 算 ， 以 及 因 數 概 念 。 第 二 題 則 是 評 量 考 生 多 項 式 函 數 的 極 大 極 小 值 。 這 兩 題 解 題 所 需 要 的 概 念 與 技 巧 對 高 中 生 而 言 ， 應 不 陌 生 。 但 是 第 二 題 考 生 所 反 應 的 得 分 與 作 答 結 果，顯 示 考 生 對 函 數 的 概 念 似 乎 是 越 來 越 薄 弱，而 且 也 不 願 意 下 筆 作 答 。 另 外 ， 非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 清 楚 表 達 解 題 時 的 推 理 過 程 ， 給 分 關 鍵 在 於 每 一 步 的 推 理 過 程 是 否 合 理 。 而 且 試 卷 上 也 明 白 說 明 「 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由 ， 否 則 將 予 扣 分 」 。 但 是 從 以 上 考 生 的 作 答 結 果 ， 發 現 近 兩 成 的 考 生 沒 有 任 何 演 算 過 程 或 理 由 ， 直 接 寫 答 案 ， 這 些 考 生 可 能 不 曉 得 應 該 如 何 描 述 自 己 的 解 題 過 程 ， 但 是 用 文 字 或 是 數 學 語 言 表 達 的 能 力 仍 是 高 中 數 學 教 學 中 很 重 要 的 一 環 ， 而 且 也 是 高 中 生 所 需 具 備 的 能 力 之 一 。
數 學 乙
表 八 列 出91至 95年 數 學 乙 非 選 擇 題 得 零 分 的 考 生 人 數 及 人 數 百 分 比 。 由 表 八 可 看 出 ，95年 的 零 分 人 數 為 9798人，百 分 比 為 10%，較 94年 的 零 分 人 數 減 少 許 多，可 能 原 因 是 非 選 擇 題 中 出 了 一 題 試 求 1521 的 值，是 屬 國 中 課 程 所 學 之 知 識 ， 因 此 考 生 多 半 能 作 答 。 另 外 ， 再 由 表 九 可 知 ， 今 年 非 選 擇 題 滿 分 人 數 是 最 多 的 ， 滿 分 人 數 百 分 比 與93年 較 為 相 近 。 以 下 將 就 95年 數 學 乙 非 選 擇 題 抽 樣 考 生(1433份 )的 作 答 情 形 ， 與 全 體 考 生 非 選 擇 題 的 得 分 情 形 來 分 析 。 表八 91至95年數學乙非選擇題零分人數統計表 年 度 人 數 百 分 比 95 9798 10% 94 31808 33% 93 13348 14% 92 無 91 6255 7% 表九 91至95年數學乙非選擇題滿分人數統計表 年 度 人 數 百 分 比 95 9709 10% 94 773 0.8% 93 9081 9.24%第一題題目： 珈 慶 杯 撞 球 大 賽 的 勝 負 是 這 樣 決 定 的：裁判將寬16 公分、長7 公分的 千 元 鈔 票 貼 邊 放 置 在 長 方 形 球 台 的 左 下 角 ， 如 右 圖 所 示 。 甲 、 乙 兩 參 賽 者 分 別 擊 球 ， 球 靜 止 位 置 離 鈔 票 中心點較近者獲勝。 甲 、 乙 擊 球 後 ， 裁 判 拿 尺 仔 細 量 得 甲 所 擊 球 停 在 離 球 台 左 緣23 公 分，離球台下邊39.5 公分處；乙所 擊球停在離球台左緣40 公分，離球台下邊27.5 公分處。 (1)已知 1521 是一個正整數，求此 正整數。（3分） (2)求甲所擊球停止位置與鈔票中心點的距離。（4分） （答案必須以最簡單的形式表示） (3)如果你是裁判，你會裁定甲或乙獲勝？理由為何？（6分） 本 題 是 想 評 量 考 生 能 否 求 出 兩 點 間 的 距 離 ， 以 撞 球 大 賽 為 情 境 來 判 斷 甲 、 乙 球 與 千 元 鈔 票 中 心 點 的 距 離 ， 距 離 千 元 鈔 票 中 心 點 較 近 者 獲 勝 。 第(1)小題為求出 1521 的 值 ， 考 生 所 採 取 的 做 法 約 有 下 列 三 種 ： (1)利 用 質 因 數 分 解 知1521 3 13= ×2 2， 求 出 1521 39= 。 (2)依 據 直 式 開 方 法 1 5 ' 2 1， 求 出 1521 39= (3)或 是 以 推 估 方 式 求 得 ， 如 ： 402 =1600,392 =1521，求得 1521 39= 。 表十 第一大題之第(1)小題考生的作答情形統計表 第(1)小題作答情形 人數 百分比 未答或有寫一些跟答案無關的內容，可看出考不知該如何作答 141 10.8 計算過程中寫成 1521= ± 39 10 0.7 計算過程中寫成 1521 39= 2 11 0.7 其他 33 2.3 完全正確 1180 82.3
表 十 是 抽 樣1433名 考 生 的 作 答 情 形 ， 在 第 (1)小 題 中 近 一 成 的 考 生 是 未 答 或 寫 一 些 與 答 案 無 關 的 內 容 ； 有8成 的 考 生 則 能 完 全 作 對 。 考 生 在 此 小 題 中 常 出 現 的 錯 誤 為 ， 在 計 算 過 程 中 將 1521寫 成 ±39， 或 將 1521寫 成39 。 2 表十一 第一大題之第(2)小題考生的作答情形統計表 第(2)小題作答情形 人數 百分比 未答，或有寫一些跟答案無關的內容，可看出考不知該如何 作答 330 23.1 直接寫39，而無任何計算過程 5 0.3 甲球坐標(23,39.5) ，鈔票中心點坐標 (8,3.5) 有一錯誤 35 2.4 利用距離公式寫出 (23 8)− 2 +(39.5 3.5)− 2 ，或利用距離公 式直接寫出 152+362 ，但答案只寫 1521 ，沒有繼續化簡 7 0.5 利用距離公式寫出 (23 8)− 2 +(39.5 3.5)− 2 ，或利用距離公 式直接寫出 152+362 ，但計算結果非39 或 1521 55 3.8 利用距離公式，但誤寫成 (23 3.5)− 2+(39.5 8)− 2 17 1.2 利用距離公式，僅求出甲球到原點距離 232 +39.52 ；或利 用距離公式，先算甲球到原點距離 232 +39.52 後，再減掉 鈔票中心點到原點距離 3.52+82 ，這兩種距離都不是甲球 到鈔票中心的距離 17 1.2
第(2)小 題 是 求 甲 球 到 鈔 票 中 心 點 的 距 離 ， 正 確 做 法 可 分 為 兩 種 ， 一 是 定 出 甲 球 及 鈔 票 中 心 點 的 坐 標 後 ， 再 利 用 距 離 公 式 求 出 這 二 點 間 的 距 離 ； 二 為 定 出 坐 標 後 ， 試 著 在 坐 標 中 畫 出 一 個 以 甲 球 到 鈔 票 中 心 點 的 距 離 為 斜 邊 的 直 角 三 角 形，再 利 用 直 角 三 角 形 中 5,12,13 的 邊 長 比 關 係，求 出 甲 球 到 鈔 票 中 心 點 的 距 離 。 將 抽 樣1433名 考 生 的 答 案 卷 作 答 情 形 歸 納 如 表 十 一 ， 約 有 2成 的 學 生 未 答 或 寫 一 些 與 答 案 無 關 的 內 容 ， 約 有5成 的 考 生 能 完 全 作 對 。 從 考 生 的 作 答 情 形 發 現 ， 多 半 考 生 知 道 要 利 用 距 離 公 式 來 求 解 ， 但 有 些 學 生 在 定 坐 標 時 產 生 錯 誤(約 2%)； 或 計 算 錯 誤 (近 4%)； 或 誤 求 成 甲 球 到 原 點 距 離 (約 1%)； 在 其 他 的 部 分 ， 有 學 生 知 道 利 用 距 離 公 式 ， 但 卻 寫 成 ∆ − Ο2 2 的 形 式 ， 亦 或 寫 成 2 2 ∆ + Ο 形 式，但 裏 面 數 值 不 知 是 如 何 得 知，也 看 不 出 其 數 值 與152+362有 關 。 另 外 ， 有 考 生 只 寫 了39(或 1521 )而 沒 有 計 算 過 程 ， 但 因 試 卷 中 計 算 證 明 題 的 作 答 說 明 上 詳 述 「 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由 ， 否 則 將 予 扣 分 」 ， 因 此 若 無 解 題 的 過 程 與 理 由 時 ， 閱 卷 時 是 很 難 給 到 滿 分 。
表十二 第一大題之第(3)小題考生的作答情形統計表 第(3)小題作答情形 人數 百分比 未答或有寫一些跟答案無關的內容，可看出考不知該如何作答 144 10.1 只寫甲勝，或只寫乙勝，但沒有任何理由 49 3.4 主觀認為甲或乙的距離較近，沒有任何距離數據(如：我認為…) 220 15.4 直接在試題卷上用尺量出長度，而判斷甲或乙勝 6 0.4 乙球坐標(40, 27.5) ，鈔票中心點坐標 (8,3.5) 有一錯誤 15 1.0 利用距離公式寫出 (40 8)− 2+(27.5 3.5)− 2，或直接寫出 322+242 ， 但化簡結果非40 或 1600 48 3.3 利用距離公式，但誤寫寫成 (40 3.5)− 2+(27.5 8)− 2 6 0.4 利用距離公式，僅求出乙球到原點距離 402+27.52 ；或利用距離公 式，先算乙球到原點距離 402+27.52 ，減掉鈔票中心點到原點距離 2 2 3.5 +8 ，這兩種距離都不是乙球到鈔票中心的距離 8 0.6 有寫出 ∆ +○ 形式，但裏面的數值有誤 2 2 77 5.4 看出邊長3，4，5 的相似三角形，知道比例為放大 8 倍，得距離為 40 6 0.4 因計算錯誤導出乙球的距離較甲的距離近，而判斷乙勝 64 4.5 其他 141 9.8 完全正確 608 42.4
數學乙非選擇題第一題 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分數 人 數 百 分 比 圖三 數學乙非選擇題第一題成績分佈圖 圖 三 為 全 體 考 生 在 本 題 的 得 分 情 形，零 分 的 考 生 約13%，可 見 這 群 考 生 對 1521 的 分 解 是 有 困 難 的 ； 約 20%的 考 生 得 3分 ， 這 些 考 生 可 能 只 答 對 第 (1)小 題；另 外，由 圖 中 可 看 出 部 分 考 生 的 分 數 集 中 於5-12分，原 因 是 考 生 在 列 式 上 (定 坐 標、距 離 公 式 )、計 算 上 有 所 出 錯，使 得 無 法 在 此 題 上 拿 得 滿 分；約 有 45% 的 考 生 得 滿 分 。 第二題題目： 為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少84 單位的營 養素A、至少72 單位的營養素B 和至少60 單位的營養素C 給他的雞群。這三種營 養素可由兩種飼料中獲得，且知第一種飼料每公斤售價5 元並含有7 單位的營養素 A，3 單位的營養素B 與3 單位的營養素C；第二種飼料每公斤售價4 元並含有2 單 位的營養素A，6 單位的營養素B 與2 單位的營養素C。 (1)若雞場主人每天使用
x
公斤的第一種飼料與y
公斤的第二種飼料就能符合營養師 吩咐，則除了 x≥0, 0y≥ 兩個條件外，寫下 ,x y 必須滿足的不等式組。（3分） (2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求，則 x y 的值為何？最少, 的飼料成本又是多少？（10分） 本 題 是 想 評 量 考 生 能 否 將 情 境 問 題 轉 換 成 數 學 式 ， 進 而 用 線 性 規 劃 原 理 解 題 。表十三 第二大題之第(1)小題考生的作答情形統計表 第(1)小題作答情形 人數 百分比 未答，或有寫一些跟答案無關的內容，可看出考不知該如何作 答 289 20.2 以營養素A、B、C 為變數列出錯誤的式子，如：7A+3B+3C； 2A+6B+3C 24 1.7 列式中的變數x、y 角色互換，使得列式錯誤，如 2x+7y≥84 1 0.1 列式中的變數並非是以x、y 來表示，但數字及不等式符號皆正 確 1 0.1 將 不 等 式 寫 成 等 式 7x+2y=84， 或 寫 成 7x+2y>84 ， 或 7x+2y<84，或某個式子正確 81 5.7 列出奇怪或嚴重錯誤的式子 138 9.6 完全正確 846 59.1 在 第(1)小 題 中 ， 是 想 測 驗 考 生 能 否 讀 懂 題 意 ， 並 能 寫 出 ,x y 必 須 滿 足 的 不 等 式 組 。 由 表 十 三 抽 樣 卷 的 分 析 結 果 知 ， 有 二 成 多 的 考 生 未 答 或 寫 一 些 與 答 案 無 關 的 內 容 ； 有 近 六 成 的 考 生 能 將 不 等 式 組 完 全 列 對 ； 考 生 在 列 式 時 較 有 問 題 的 是 ， 會 以 營 養 素A、 B、 C為 變 數 列 式 ， 或 不 等 式 符 號 寫 錯 ， 可 能 的 原 因 是 考 生 無 法 組 織 題 意 中 所 給 的 訊 息 ， 並 辨 識 出 題 目 中 的 數 學 元 素 來 以 數 學 式 表 達 。
表十四 第二大題之第(2)小題考生的作答情形統計表 第(2)小題作答類型 人數 百分比 未答，或有寫一些跟答案無關的內容，可看出考不知該如何作 答 462 32.3 方程式列對，但直線畫錯 67 4.6 方程式列對，直線畫對，但可行解區域標示錯誤 45 3.1 方程式列對，直線畫對，但可行解區域標示錯誤，因而認為最 小值發生在(10,7) 21 1.4 方程式列對，但求出錯誤的頂點坐標 118 8.2 方程式列對，圖形標示正確，但頂點坐標計算錯誤 54 3.7 方程式列對，但只求二個頂點(6,21)與(18,3)，代入目標函數中， 雖仍可得最小值發生的點在x=18 ,y= ，但方法不完備 3 89 6.2 方程式列對，所求之頂點也正確，但目標函數寫錯，使得最小 值發生的點不在x=18 ,y= 3 7 0.4 方程式列對，所求頂點與目標函數皆正確，但代入目標函數後 卻計算錯誤 3 0.2 方程式列對，所求頂點與目標函數皆正確，但卻未代入目標函 數做比較，而直接判定最小值發生的點在x=18 ,y= 3 22 1.5 利用平行線法來解題，且在圖中畫出斜率 5 4 m= − 的平行線，或 直接用文字說明「目標函數之斜率 5 4 m= − 介於斜率 3 2 − 與 1 2 − 之間」 29 2.0 完全正確 209 14.58 在 第(2)小 題 中 ， 是 想 測 驗 考 生 以 線 性 規 劃 概 念 來 解 題 時 ， 先 將 可 行 解 區 域 畫 出，再 使 用 平 行 線 法：即 利 用 目 標 函 數 f x y( , ) 5= x+4y的 斜 率 為 5 4 − 。因 此 ，
當 以 f(x,y)=5x+4y=k的 直 線 掃 動 時，即 可 知 成 本 的 最 小 值 會 發 生 在 x=18,y=3 時 。 亦 可 利 用 頂 點 法 ： 將 可 行 解 區 域 的 頂 點 求 出 後 ， 再 分 別 代 入 目 標 函 數 內 比 大 小，得 出 成 本 的 最 小 值。從 抽 樣 卷 的 分 析 結 果 知(見 表 十 四 )，較 少 考 生 (約 2%)是 以 平 行 線 法 的 觀 念 來 做，大 部 分 考 生 是 以 頂 點 法 來 處 理 此 題。有 三 成 多 的 考 生 未 答 或 寫 一 些 與 答 案 無 關 的 內 容 ； 約 一 成 五 的 考 生 則 是 能 完 全 寫 對 。 考 生 在 這 部 分 較 有 問 題 的 是 ， 方 程 式 列 對 但 直 線 畫 錯(約 4%)， 這 群 考 生 在 代 數 轉 換 成 幾 何 圖 形 時 可 能 有 些 困 難 ； 另 有 考 生 不 等 式 列 對 ， 直 線 也 畫 對 ， 但 在 可 行 解 區 域 的 標 示 上 有 誤(約 3%)， 這 群 考 生 在 圖 示 不 等 式 的 學 習 上 須 再 加 強 ； 有 考 生 則 是 不 等 式 列 對 ， 但 在 求 頂 點 時 算 錯(約 8%)， 其 中 有 3%的 考 生 是 圖 形 標 示 正 確 ， 但 卻 在 解 聯 立 方 程 式 時 將 頂 點 算 錯 ； 另 有 考 生 只 求 了 二 個 頂 點 後(約 6%)， 就 得 到 最 小 值 是 發 生 在 x=18 ,y= ， 完 全 看 不 出 是 以 平 行 線 法 的3 概 念 來 判 斷 。 另 有 考 生(約 1%)則 是 四 個 頂 點 皆 正 確 ， 但 未 將 頂 點 代 入 目 標 函 數 中 做 比 較 ， 因 此 沒 辦 法 得 知 考 生 是 否 利 用 平 行 線 法 ， 或 頂 點 法 來 判 斷 出 最 小 值 所 發 生 的 點 。 數學乙非選擇題第二題 0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分數 人 數 百 分 比
進 而 影 響 頂 點 的 正 確 性 ， 以 及 在 答 題 過 程 中 沒 有 明 確 說 明 出 是 依 據 何 種 概 念 來 判 斷 出 最 小 值 ， 此 題 約 有14%的 考 生 得 滿 分 。 今 年 數 學 乙 的 計 算 證 明 題 並 不 困 難 ， 所 用 到 的 解 題 概 念 皆 很 基 本 ， 主 要 是 評 量 考 生 能 從 情 境 中 建 立 平 面 坐 標 系，並 能 計 算 兩 點 間 的 距 離 及 能 利 用 線 性 規 劃 原 理 來 解 題 ， 學 生 若 能 從 情 境 中 辨 識 數 學 元 素 ， 並 能 使 用 數 學 語 言 來 回 答 問 題 ， 應 可 拿 到 不 錯 的 分 數 。
