國小學生小數學習能力之因素分析研究（以國小五年級學生為例）

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國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：陳鉪逸教授

國小學生小數學習能力之因素分析研究

（以國小五年級學生為例）

研究生：林巧芸撰

中華民國九十五年六月

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摘要

本研究的主要目的在：探究國小五年級學生學習小數以後，影響學生表現的主要潛在因素，以及學生不同的背景影響其學習成效之分析探討。研究方法與樣本：以量的因素分析軟體 SPSS 進行，收集的樣本是以彰化縣市國小五年級學生為主。研究結果發現： 1.國小五年級學生小數學習後.影響學生能力表現的主要因素，分別為第ㄧ因素『小數位值概念的理解與應用於運算之能力』、第二因素『分數與小數概念的轉換能力-分母為 10 或 100』、第三因素『小數概念的圖解能力』、第四因素『度量衡單位小數的換算能力』。其中，第ㄧ因素『小數位值概念的理解與應用於運算之能力』最具影響力，則以『第ㄧ主因素』稱之。 2.各因素所含小數類型能力之重要性 a.學生在「小數的結構能力」、「小數的單位量化聚能力」之能力表現較佳者，則在第一主因素的能力表現也較理想。 b.學生在「小數與分數的雙向轉換能力」之能力表現較佳者，則在第二因素的能力表現也會較理想。 c.學生在「小數的意義之理解能力」之能力表現較佳者，則在第三因素的能力表現也會較理想。 d.學生在「度量衡單位小數的換算能力」之能力表現較佳者，則在第四因素的能力表現也會較理想。 3.不同屬性的學生在第一主因素中的能力表現情形 a.性別在第一主因素中的能力表現並無明顯差異。 b.學校類型在第一主因素中的成績有明顯差異，能力表現還是有城鄉差異的存在。 c.課後數學加強在第一主因素中的能力表現並無明顯差異。 d.家庭管教方式，在第一主因素中的能力表現有顯著差異的存在。 e.在不同屬性交互作用下，唯有性別與學校規模雙因子交互作用，會顯著影響第一主因素的能力表現。關鍵字：國小五年級、小數、小數概念、因素分析

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A Study of the potential factors that construct Decimal

Numbers Concept Of of Elementary School Students

Fifth Grade Students Used as Study Sample

Abstract

1、The purpose of this research was to find out ：c the potential factors that construct elementary students’ performance abilities on learning decimals numbers and d the elements caused by different students’ background that influence students’ achievements on learning decimals numbers.

2、Research approaches used and sample: Quantitative analysis approaches was used to analyse data collected by means of questionnaire to Fifth Graders of the elementary schools in Changhwa County and urban area in Changhwa.

3、Findings:

A、Four major factors that construct elementary students’ performance abilities on learning decimals numbers were found. They were:

c the abilities of conceptual understanding on decimal numbers and of practicing on decimal place value. dthe ability of converting decimals to fractions with base 10 and 100 and vice versa . e the abilities of making or using a drawing in learning decimal concepts f the abilities in converting units of measure in decimals system. Among these four factors, the first one was named as the major factor with most powerful influence.

B、The elements caused by different students’ background that influence students’ achievements on learning decimals numbers were：.

a. Sizes of school

b. Sites that school located c. Parents’ schooling levels

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第一章緒論---1 第一節研究動機---1 第二節研究目的---4 第三節待答問題---5 第四節名詞解釋---6 第五節研究範圍與限制---7 第二章文獻探討---9 第一節小數知識的學習與探討---9 第二節我國國小小數課程與教材內容分析---20 第三節小數概念學習的相關研究---25 第三章研究方法---37 第一節研究架構---37 第二節研究流程---39 第三節研究樣本---40 第四節研究工具---41 第五節研究工具的信度與效度---46 第六節資料處理與分析---49 第四章研究結果與討論---56 第一節國小學生小數學習後影響其能力表現的潛在因素探討---56 第二節各潛在因素所含小數類型能力之重要性探討---66 第三節不同屬性的學生在第一主因素中的能力表現情形---72 第五章結論與建議---91 第一節結論---91 第二節建議---98

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參考書目---101 ㄧ、中文部份---101 二、英文部分---103 附錄---105 附錄一---105 附錄二---108 附錄三---109 附錄四---112 附錄五---113 附錄六---120 附錄七---121 附錄八---122

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圖

目

次

圖 3-1 研究架構關係圖---38 圖 3-2 研究流程圖---39 圖 3-4-1 小數教材架構圖---41 圖 3-4-2 小數教材內涵分析圖---42 圖 3-4-3 編製題目流程圖---43 圖 3-6 雙因子變異數分析流程圖---55 圖 4-1 小數概念試題之因素分析陡坡圖---57 圖 4-3 雙因子變異數分析的流程圖---81

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表目次

表 2-1-1 小數與整數知識的比較表---11 表 2-1-2 小數與分數知識的比較表---13 表 2-1-3 整數、分數和小數知識的比較表---14 表 2-2-1 八十二年版課程標準小數的教材綱要表---21 表 2-2-2 九年一貫小數教材能力指標比表---22 表 2-2-3 康軒版、南一版小數教材內容分析表---24 表 2-3 學生在小數知識學習的相關研究歸納表---34 表 3-3 研究樣本的分布情形表---40 表 3-4 試題概念分析表---45 表 3-5 小數試卷預試之項目分析表---47 表 3-6-1 變項的線性組合轉換成因素矩陣表---51 表 3-6-2 KMO 統計量的判斷原理表---52 表 4-1-1 KMO 取樣適當性檢定及 Bartlett 球面性考驗表---56 表 4-1-2 抽離出的四、五、六個潛在因素之比較表---59 表 4-1-3 抽離出四個、五個潛在因素所含題項的比較表---60 表 4-1-4 抽離出四個、六個潛在因素所含題項的比較表---60 表 4-1-5 抽離出五個、六個潛在因素所含題項的比較表---61 表 4-1-6 抽離出四個、五個、六個潛在因素所含題項的比較表---61 表 4-1-7 學生小數概念試題的四個潛在因素之解說總變異量分析表---62 表 4-1-8 小數概念試題之四個潛在因素命名表---64 表 4-2-1 KMO 取樣適當性檢定及 Bartlett 球面性考驗表---66 表 4-2-2 抽離出的三、四個潛在因素之比較表---67 表 4-2-3 KMO 取樣適當性檢定及 Bartlett 球面性考驗表---68 表 4-2-4 KMO 取樣適當性檢定及 Bartlett 球面性考驗表---70 表 4-3-1 各自變項在 F1、F2、F3、F4 的能力值表---73 表 4-3-2 不同性別之學生在第一主因素中的獨立樣本 t 檢定表---74 表 4-3-3 不同學校類型之學生在第一主因素的變異數分析表---75

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表 4-3-4 不同類型的學校在第一主因素的多重比較表---75 表 4-3-5 課輔情形不同之學生在第一主因素的獨立樣本 t 檢定表---77 表 4-3-6 家庭管教方式不同的學生在第一主因素中的能力表現之變異數分析表---78 表 4-3-7 家庭管教方式不同的學生在第一主因素的能力表現之多重比較表---79 表 4-3-8 性別與學校類型二因子交互作用下的雙因子變異數分析摘要表---82 表 4-3-9 性別單因子：男生之變異數分析表---83 表 4-3-10 Post Hoc 檢定表---83 表 4-3-11 性別單因子：女生之變異數分析表---84 表 4-3-12 學校類型單因子：智型學校之變異數分析表---84 表 4-3-13 學校類型單因子：仁型學校之變異數分析表---85 表 4-3-14 學校類型單因子：勇型學校之變異數分析表---85 表 4-3-15 以上單純主要效果的變異數綜合分析摘要表---86 表 4-3-16 課後輔導情形與學校類型二因子交互作用下的變異數分析摘要表--87 表 4-3-17 家庭管教方式與學校類型二因子交互作用下的變異數分析摘要表--89 表 4-3-18 管教方式與課後輔導情形二因子交互作用下的變異數分析摘要表--90

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第一章緒論

本章將依研究動機、研究目的、待答問題、名詞解釋和研究範圍與限制，分五節做說明。

第一節研究動機

以我國國小數學教育來看，國小數學課程中有關數概念的學習佔了三分之二左右（甯自強，1996a）。數的學習內容又可分為整數、分數、小數與概數等四個主題（教育部，1993），在國民中小學九年一貫課程暫行綱要中數學領域能力指標的數學內容，小數教學單元至少就佔了十個單元，顯示出小數在課程中佔了一席之地位。小數的概念與整數和分數有極為密切的關係，小數的概念仍起源於分數的「部分-全體關係」與整數的「位值概念」（劉曼麗，1998a）。且在現今的日常生活中，小數知識的使用是極為普遍的事，例如：體溫的測量上、實際距離的測量上、各種產品的成分標示、成績的統計、計算機的使用……等，更充分彰顯了小數的重要性。因此，「小數」在國小數學的領域中具有不可或缺的重要地位，而有關學生在小數方面的概念研究，也就顯得相對重要了。綜觀最近十多年來的國內外ㄧ些評量的報告和研究結果的顯示，可以發現國小學生在小數的學習情形及表現並不理想。先就國外的研究而言， Carpenter,T.P.,Corbitt,M.K.,Jr, H.K.,Lindquist,M.M.& Reys, R.E. （1981）的報告指出：學生在分數化成小數能力不好，例如有一些學生在分數化為小數時會直接將分數的分子與分母放在小數點前面或後面的位置，就算轉換完成了。有些學生缺乏小數位值的基本概念，忽視小數點的存在，而將小數加減當作整數加減處理，因而在判斷小數大小時會以小數點後數字多的其值就越大的方式來處理。Wearne 和 Hiebert（1986）與 Resnick,L.B.,Nesher,P.,Leonard,F.Magone,M.,Omanson.S.,& Peled,I. （1989）的研究顯示小學生他以前所學的整數與分數等先備知識有干擾學生建構正確的小數概念現象，國小學生在比較小數大小時有困難。美國數學教

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師協會（National Council of Teachers of Mathematics,NCTM）出版的課程與評量標準ㄧ書中，就特別關注小數與分數的學習，認為小學生在小數知識能力的發展應該與分數和整數配合進行：且指出小數的教學方法應採用類似於分數的教學方式（NCTM,1989）。Gelman（1991）針對小學到高中學生的研究發現學生對分數及小數常持續某種錯誤的現象。同樣的困難也在大學生身上出現。另外也發現國小學生在小數計算的能力上優於對小數意義的解釋能力。由上述的研究結果顯示，學生在小數概念的學習可說是不盡理想。再者，就國內的研究而言，杜建台（1996）；陳永峰（1998）；劉曼麗（1998）發現部分學生讀小數時，會將小數點後的數字是為整數來讀，且年級越低錯誤比例越高。陳文利（2001）在其研究中提出，單一表徵化的教學、缺乏位值概念的教學、數線引入技巧的不足等教學現象，都是可能造成學生迷思概念的成因。郭孟儒（2002）的研究發現，學生在分數與小數的轉換上、在小數的化聚上、在小數的大小比較上、單複名數的轉換上等概念上的表現都不盡理想。梁惠珍（2003）在其研究指出，學生易忽略單位小數 0.1（0.01）內容物個數，而將 0.a（0.0a）視為 a 個。學生將非整數部分套用整數的讀法。認為 0.a 中，a 的位名是個位，0 的位名是十位。劉曼麗（2001；2003）在研究中發現：學生因對於小數點左右邊的數之意義掌握不夠，不易理解整數部分與非整數部分有何關聯，故易將小數符號由表面形式直接轉換成分數符號。學生也容易直接將分子與分母當作整數與小數部份或小數與整數部份，並以小數位數的多寡來判斷小數大小等錯誤概念。小數概念在課程上因它的實用性日漸重要，在內容上又與整數和分數環環相扣。從文獻中知道國內學童對小數概念仍糢糊不清，這是值得省思的一大問題。因此，研究者對小數概念頗為感興趣，回顧國內的文獻，關於小數研究的背景都是以教育部八十二年所頒布的「國民小學數學課程標準」中的教育理念。現行的九年一貫課程雖延續了 82 年版的數學課程精神，但在課程的編排上還是有所差異，而目前九年一貫課程已推行到五年級，因此驗收第一批接受九年一貫課程的五年級學童具有時代的意義。有關小數概念之探究已有相當多的文獻，這些報告大都指出學生在小數概念的學習有哪些錯誤的想法，卻鮮少有針對學生小數學習後影響其能力表

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現的潛在因素探討，或更進一步找出影響學生小數學習所獲得之能力表現最具影響力的「第一主因素」之探究。因此，研究者以當代心理計量領域比較受到注意與討論的分析方法之一『因素分析』，來對學生小數概念學習中，教材所涵蓋的七個不同類型能力（小數的意義之理解能力類型、小數的結構能力類型、小數的大小比較能力類型、小數的單位量化聚能力類型、度量衡單位小數的換算能力類型、小數與分數的雙向轉換能力類型、小數的加減運算能力類型）等的表現能力做因素分析，探討學生在學習小數單元後，哪些能力是學生能力表現的主要因素。其次，研究者也想了解除了自己所教的學生外，如果性別不同、學校規模不同、參加課輔情形不同、家庭管教方式不同等，學生在小數概念學習後的能力表現是否有所不同？因而，研究者希望藉此次的研究，可以作為教師小數教學的參考依據，教學者若能在進行小數單元的教學之前，先針對學生小數學習所獲得之能力表現最具影響力的「第一主成分因素」有大致的了解，並在教學過程中能多花些時間讓學生觀察、操作、思考及討論這些因素，這樣的教學將對學生小數概念知識的學習必然能更加有所助益。

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第二節研究目的

依據研究動機，本研究是針對第一批接受九年一貫數學課程的國小五年級學生，對他們在小數概念學習的探討。藉此以充實研究者對國小五年級學生在小數概念的發展及發展過程之了解，有助於研究者在小數概念之教學能力，並將研究結果提供編製國小小數概念的教材及教師在國小小數概念的教學參考。因此，本研究的主要目的有：（一）國小學生小數學習後影響其能力表現的潛在因素。以自編的「小數概念試題」為工具作因素分析之研究，將小數教材分成七個類型能力，各別命題以測驗各類型之能力，再從測驗成績中歸類出幾個共同因素並分別命名，找出最具影響力的第一主因素。（二）探討各潛在因素所含小數類型能力之重要性。（三）探討不同屬性的國小學生在第一主因素中的能力表現情形。 1. 探討不同性別的學生在第一主因素中之能力表現差異。 2. 探討不同學校類型的學生在第一主因素中之能力表現差異。 3. 探討課後輔導情形不同的學生在第一主因素中之能力表現差異。 4. 探討家庭管教方式不同的學生在第一主因素中之能力表現差異。 5.探討不同屬性交互作用下的學生在第一主因素的能力表現受影響的情形。（1）性別與學校規模兩不同屬性交互作用下，影響學生於第一主 因素的能力表現情形。 （2）課後輔導情形與學校規模兩不同屬性交互作用下，影響學生於第一主因素的能力表現情形。（3）家庭管教與學校規模兩不同屬性交互作用下，影響學生於第一主因素的能力表現情形。（4）課後輔導情形與家庭管教方式兩不同屬性交互作用下，影響學生於第一主因素的能力表現情形。

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第三節待答問題

根據上述的研究目的，本研究待答問題如下：（一）以自編的「小數概念試題」為工具作因素分析之研究，將小數教材分成七個類型能力，各別命題以測驗各類型之能力，再從測驗成績中分類決定出共同能力因素名稱及其個數，找出最具影響力的第一主因素。（二）探討各潛在因素所含小數類型能力的重要性。（三）探討不同屬性的國小學生在第一主因素中的能力表現情形如何？ 1. 探討不同性別的學生在第一主因素中之能力表現的差異。 2. 探討不同學校類型的學生在第一主因素中之能力表現差異。 3. 探討課後輔導情形不同的學生在第一主因素中之能力表現的差異。 4. 探討家庭管教方式不同的學生在第一主因素中之能力表現的差異。 5.探討不同屬性交互作用下的學生在第一主因素的能力表現受影響的情形。（1）性別與學校規模兩不同屬性交互作用下，對學生於第一主因 素的能力表現情形的影響。 （2）課後輔導情形與學校規模兩不同屬性交互作用下，對學生於第一主因素的能力表現情形的影響。（3）家庭管教與學校規模兩不同屬性交互作用下，對學生於第一主因素的能力表現情形的影響。（4）課後輔導情形與家庭管教方式兩不同屬性交互作用下，對學生於第一主因素的能力表現情形的影響。

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第四節

名詞解釋

本研究所涉及之重要名詞，界定如下：ㄧ、國小五年級學生及數學課程本研究所指的國小五年級學生係指九十學年度入學即開始實施九年一貫課程之國小五年級學生。數學課程是指依九年一貫暫行綱要（教育部， 2002）所編製的五年級數學課程。二、小數概念本研究中的小數主要是以一位、二位的純小數和帶小數為研究範圍，循環小數或無理數則不包含在內。本研究探討有關小數的概念是根據九年一貫暫行綱要之小數教材能力指標為準則，所探討的小數概念包含了小數的意義之理解能力、小數的結構能力、小數的大小比較能力、小數的單位量化聚能力、度量衡單位小數的換算能力、小數與分數的雙向轉換能力、小數的加減運算能力等七個類型能力。三、分數本研究所提及的分數是指有理數的範圍內，在整數的分割下將小數看做是分數的另ㄧ種記法，且是局限於國小數學教材內容的範圍內。四、新課程本研究所指的新課程是指教育部推行的九年一貫暫行綱要之數學學習領域課程。

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五、舊課程本研究所指的舊課程是指教育部推行的八十二年版數學課程標準。六、指示物 Hiebert（1988）十分強調具體物的操作，其主張小數學習的認知過程開始於小數符號與指示物的連結過程，因此，可利用日常生活中的物品或教具等具體物，做為小數符號的指示物。經常被拿來當作小數符號的指示物之教具為積木、百格板和大立方體。

第五節

研究範圍與限制

ㄧ、研究範圍本研究為達成前述之研究目的，先進行理論文獻分析，再編製試題施測以做探討。茲將研究範圍說明如下：（一）研究對象本研究的對象以彰化縣市智、仁、勇三類型的學校之國小年級五學生為對象。（二）研究內容本研究旨在探究國小五年級學生小數概念之形成因素分析。在研究內容上，首先分析國小課程中小數的教材地位，並對過去有關小數的研究作ㄧ整理，進而編製ㄧ份小數概念試題為工具，施測後再分析學生小數能力表現之形成主要因素。

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二、研究限制本研究的研究限制可從下列兩方面來探討：（一）研究方法方面本研究係以「自編小數概念試題」為研究工具，施測時，受試者填寫可能受到主觀因素，如個人情緒、態度或班及氣氛等影響，這是研究者所無法掌控到的。（二）研究結果方面本研究考量時間及人力的不足且研究的便利性，研究對象僅以彰化縣智、仁、勇三類型的學校之國小五年級學生為範圍，未包含其他縣市之學校學生。因此，在本研究結果之解釋與推論時，受限於地域因素。

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第二章文獻探討

本章共分為三節，第一節小數知識的學習與探討，藉由本節的討論可以知道小數的由來、小數與整數、分數三者間的異同比較以及小數學習的相關理論；第二節我國國小小數課程與教材內容分析，藉由本節的探討，將能更了解新、舊課程在小數教材上的差異及五年級小數數學教材的內容，也使研究者更能掌握出題的方向；第三節小數概念學習的相關研究，藉由本節的探討，研究者將引入國內外小數概念的相關研究，以了解學生在小數概念的學習情形。

第一節

小數知識的學習與探討

ㄧ、小數知識的起源人類早從西元前二千多年就能使用小數，當時的巴比倫人便已有位值的概念，只是當時的記數系統是六十進位制，而非現今所用的十進位制。因此小數的實用性並沒那麼明顯，而小數系統的建立應歸功於荷蘭科學家 Stevin，由於他明確地陳述小數理論、介紹與運算有關的規則，使大眾了解到小數和整數一樣可以被應用在四則運算上。後來經過印度及阿拉伯數學家的改進，便演變成現在我們所看到的小數。早期人類生活中，如進行測量時對於數字並不需要那麼精準，且對數字的需要也並不是很多，在那時只要有整數就足夠了，隨著人類的進步，人類開始要建築房屋，要與別人談生意，這時才發現整數不再是很夠用，當人們開始嘗試去測量一些精確度高的事物時，例如長度、面積、重量、容量以及溫度時，會發現整數在人們的日常生活中根本不夠用，因此將測量的單位給予細分變得非常重要。為了描述這些單位中的小單位，人們需要一種符號，其大小要比整數還要小，因而小數就慢慢產生了。由此可見，小數是在以某單位測量長度時的餘量而產生的，也就是

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比單位 1 還小的數（劉曼麗，1998）。小數是指：解決未滿一的分量。它是來自拉丁文〝decima〞，〝decima〞的意思是指小部份「tithe」或是時十分之一的部分。二、小數與整數、分數三者間的關係我國國小的數學課程教材中，對於整數、分數和小數的安排順序，首先先引入整數部份，再進入分數部份，最後才藉由分數概念引入小數部份。因此在探討小數概念時，若要理解小數的意義可從兩各層面著手：一是整數層面的多單位記數系統；二是分數層面的「部分與全體」意義。由此可知，學童的小數概念是會受到整數和分數概念的影響。然而，整數、分數和小數三者間的概念也有些異同點，以下就分別加以探討與比較說明。（一）小數與整數知識的比較當兒童利用多單位來組織數概念時，就是他們在學習印-阿記數系統的位值概念（甯自強，1997b）。印-阿記數系統是世界上普遍使用的一種方法，在印-阿記數系統下，學童學習使用 0~9 的十個數字，及其被置放的相對位置，來表徵所有的非負整數（劉曼麗，1996， 1998）。小數可透過整數的位值概念，以個位為基準點，往右邊延伸為十分位、百分位、千分位等等，來了解小數的記數系統。因此小數的記法可從整數的多單位點來看。Resnick et al.（1989）表示學生先前的整數概念可以遷移和干擾小數概念的建構。如果學生對小數與整數間的不同點理解不夠，也常誤導學生將小數視為整數，所以會產生所謂「整數法則」，將小數點後的數字讀成整數的迷思概念。以下摘錄 Resnick,Nesher,Leonnard,Magone,Omansonc 和 Peled（1989）對“小數與整數的比較＂如表 2-2-1：

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表 2-1-1 小數與整數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989,p.10）類似（＋）小數知識的元素整數知識的元素不同（－） A.數字的位值 A.數字的位值 1.數字從左而右，值會變小 1.數字從左而右，值會變小＋ 2.左邊數字位值是右邊數字 2.左邊數字位值是右邊數字＋位值的 10 倍位值的 10 倍 3.「0」有位值的意義 3.「0」有位值的意義＋ 4.一個數的最右邊增加「0」 4.一個數的最左邊增加「0」－時，其值不變時，其值不變 5.從小數點開始往右其值是 5.從小數點開始往左其值是－遞減遞增 B.數字的位名 B.數字的位名 1.小數點以後名稱按數字次 1.沒有小數點以後的數字－序讀出 2.從十分位開始 2.從個位開始－ 3.位名順序是從左到右（十 3.位名順序是從右到左（個－分位，百分位，…… ）位，十位…百位，……） 4.讀數字順序是十分位，百 4.讀數字的順序是千位，百－分位，千分位位，十位，個位 C.讀的規則 C.讀的規則 1.小數點左邊的整數部分按 1.依整數十進結構讀出－照整數讀法讀出，右邊數字則依照數字次序讀出從上表 2-1-1 中可發現小數與整數的相同點大致有兩點：（1）小數和整數中，數字從左而右其值都會變小，且左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍。（2）小數與整數中的 0 皆有位值的意義。小數與整數的相異點大致有四點：（1）當「0」加到小數部份的最右邊時，其值不變：但若加到整數的最右邊時，其值則會變成原來的 10 倍。（2）小數部份中，從小數點開始往右其值是遞減；整數部份中，從小數點

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開始往左其數值是遞增。（3）在數字的位名，小數是從十分位開始且位名順序是從左而右；整數是從個位開始且位名順序是從右而左。（4）在讀法規則上，小數是依照數字次序讀出；而整數則是依整數十進結構讀出。若學生無法區分上述這些相異點，就會使得學生在學習小數時，易受到整數概念之干擾，因而產生「整數法則」、「位值概念不清楚」、「小數點後的數字精讀」等錯誤概念。（二）小數與分數知識的比較有理數的範圍內將小數看做是分數的另一種表示法或寫法，小數與分數的記數法可以互換，例如 0.9＝ 10 9 ；0.37＝ 100 37 。分數的意義可從『部分－全體』關係的解釋來了解，將一個整體等分後，再集聚其中一部份的量，分數就是用來表示或記錄此分量。而小數根源於分數，小數如同分數一樣，整體可反覆地被分割為十分位，接著十分位被分割為百分位，依此類推。此種無限制被分割的觀念，正可用來說明小數稠密性的性質（劉曼麗，1996，1998a）。例如在小數的記數中的 0.1，是將 1 分成十等分，再取其中的一部份，亦即 0.1＝ 10 1 ；0.01 則是將 0.1 分成十等分，再取其中的一部份，亦即 0.01＝ 100 1 。因此大多數國家或學者把小數當做分數的另一種記法來指導學生學習小數概念，也就是分數符號能與小數符號互換，因此在數學教材的編排中，指導學生小數概念時宜由分數著手，之後再將分數的概念應用在小數上。但也由於分數與小數的某些相異點，干擾學生在建構小數概念時，極易產生「分數法則」（小數點後數字越多其值越小）的迷思概念。以下摘錄 Resnick,Nesher,Leonnard,Magone,Omansonc 和 Peled（1989）對“小數與分數的比較＂如表 3-1-2：

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表 2-1-2 小數與分數知識的比較表（引自 Resnick et al.,1989,p.12）小數知識的元素分數知識的元素類似（＋）不同（－） A.小數數值 A.分數數值 1.表示 0 與 1 之間的一個值 1.表示 0 與 1 之間的一個值＋ 2.整數被分割成越多等份， 2.整數被分割成越多等份，＋每一份的數值就越小每一份的數值就越小 3.在 0 與 1 之間有無限多個 3.在 0 與 1 之間有無限多個＋小數存在分數存在 B.小數符號 B.分數符號 1.一個單位被等分成多少等 1.一個單位被等分成多少等－份是隱含在位數中份是由分母顯示 2.佔多少等份是由小數點後 2.佔多少等份是由分子顯示－的部分顯示 3.整體被分成 10 的冪次方等 3.整體被分成任何等份，都－份，才能以小數表示能用分數表示從表 2-1-2 中可發現小數與分數的相同點大致有兩點：（1）小數與分數所代表的値是相同的，兩者皆是指在 0 與 1 之間的一個值，且 0 與 1 之間有無限多個小數或分數存在。（2）兩者都是由整數分割而得，且整數被分割成越多等份，每ㄧ份的數值就越小。小數與分數的相異點大致有兩點：（1）當一個單位被等分割時，小數知識中分割成多少等份是被隱藏在位數中，小數點後的部份顯示佔多少等份；分數知識中分母則代表被切割的份數，分子代表佔了多少等分。（2）小數的分割被限制於 10 的冪次方；分數則可以被分割成任何等份，分割是隨著分母的不同而得到不同的分數。

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（三）小數、分數和整數知識三者的比較由前面的說明可知，小數的概念起源於分數的「部分-全體關係」，與整數的「位值概念」，因此，學生關於分數和整數之先備知識對於小數概念的學習有著關鍵性的影響。 Resnick,Nesher,Leonnard,Magone,Omansonc 和 Peled（1989）即指出整數與分數等小數的先備知識一方面支持小數的學習，但另一方面卻也有可能干擾小數概念的建構，造成學童小數迷思概念的來源。以下摘錄 Hiebert（1992）將“小數、整數和分數的比較＂如表 2-1-3：表 2-1-3 整數、分數和小數知識的比較表（引自 Hiebert 1992 p.293）全數分數小數 1.形式：abc 1.形式：a/b 1.形式：ab.c

2.十進位，最小單位為 2.分母代表被分割的 2.十進位，最小單位最右邊的位值。基本單位，這單位為最右邊的位值。 3.一個位置的數值是由是暗示的。 3.一個位置的數值是該數字與其所在的位 3.分子代表幾部分的由該數字與其所在值結合而成。基本單位。的位值結合而成。 4.全部的數值是所有數 4.全部的數值是所有字的數值加起來的。數字的數值加起來的。 1.加減採對齊位值的方 1.加法採通分，使分 1.加減採對齊位值的式，做進位、退位的母相同後，分子進方式，做進位、退計算。位、退位的計算。位的計算。 2.乘法採多步驟的運算 2.乘法採分母乘分母 2.乘法與整數同，點步驟。，分子乘分子的運上小數點。 3.除法採多步驟的運算算法則。 3.除法與整數同，點步驟。 3.除法採將除數的分上小數點。 4.從最大的位值開始比子分母顛倒，再相 4.從最大的位值開始較大小。乘。比較大小。 4.比較大小時，先通分，分母相同後，再比分子。離散量連續量連續量數量運算規則記數系統

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總而言之，要掌握小數的意義必需從整數的多單位記數系統和分數的「部分-全體」概念兩部分著手，由表 2-1-3 我們可以發現小數的記數系統和運算規則都跟整數一樣，僅是表示的形式上不同，小數部份多了小數點的存在，而在小數點右邊的數字所代表的位名、位值則不同於整數規則。小數可說是分數的一種特殊表示形式，因而純小數與真分數在記數系統和運算規則方面的差異性很大，相同的則是兩者皆是介在 0 與 1 之間，且在 0 與 1 之間都是存在著無限多個純小數或真分數。從以上說明可以知道，小數與整數、分數的概念是有相關連性的，因此，小數概念可以藉由整數或分數概念來加以解釋或理解。我國小數課程中有關「數」的領域之安排上，包括有整數、分數、小數與概數等四個主題（教育部，1975，1993），其中整數與分數兩者代表不一樣的數的系統，需要不一樣的規則來應用，但小數對於初學者而言，也是屬於一個全新的數的系統，然而，小數的意義卻是從分數與整數概念之延伸與統整所建立起來的（Behr & Post,1988；Hiebert,1984； Hiebert & Wearne,1983；Thipkong,1988）。但是，學生若無法了解小數與整數、分數之間的異同，將會極易形成「張冠李戴」的情形，這是值得教師教學時應特別注意的（劉曼麗，2001a,b）。三、小數學習的相關理論概念（concepts）就是個人將自己的經驗加以歸納整理建立起的類別。概念的形成則為屬性（attributes）或特徵（features）等同類事物的總稱（鄭麗玉，1995）。所以根據某些事物共有的重要屬性或特徵，將其歸納為ㄧ類，就形成了一個概念。藉著概念的形成，人們將訊息按概念分類處理，不須每ㄧ件事物都给予一個名稱，如此便可節省許多字彙及記憶的負擔，因此可用概念來進行推理、決策或問題解決等思考活動，故概念形成可說是思考的基礎。當前數學教育所強調的是解題及概念的學習（NCTM,1991；教育部，1993），小數教材內容也是著重學生概念的獲得。然而，學生必須具有什麼樣的相關知識才算具有完整的小數概念？Hiebert（1992）曾在「小數知識分析-他們是如何學習的？」一文中認為小數概念可以具體分類為三種

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小數知識：（1）記數系統的知識（notation system）：知道什麼是小數的形式，什麼不是小數的形式。（2）運算規則知識（rules）：指學童操弄規則以產生正確答案的小數知識。例如：小數加減時小數點要對齊、小數的四則運算規則。（3）數量表示的知識（quantity）：能了解小數所表示數量的意思，包括小數運算時，數值的位值、位移、相加減後數值變化的意義，能知道物體可以用ㄧ個單位測量，也可以用十分之一個單位量測量，或是以百分之ㄧ個單位量測量等等。 Hiebert 非常強調『連結（connect）』的觀念，他認為學生在上述的三種小數知識的連結工作做得並不理想。學生利用太多的時間和注意力在運算規則上，使得抽象的數學表徵脫離具體真實世界的表徵。學生可能只知道記數符號，卻不了解數學符號的意義，如果我們希望學生真正了解數學，就必須加強「記數系統的知識」、「運算規則知識」與「數量表示的知識」彼此間的連結。可藉助指示物的操弄幫助彼此間的連結，這是教師教學時值得注意的。（一）概念性知識與程序性知識的探討在教導學生小數概念時，雖可藉由整數與分數概念的相關連性加以解釋或理解，然而小數仍有其本身的獨特性，所以學生學習小數時，所涉及的概念就具有複雜性。Hiebert 和 Wearne（1988）曾將小數的內容加以分析，從不同教學和經驗來源中匯集了許多的知識，使學生對小數知識的獲得大致上可以區分為兩類：概念性知識（conceptual knowledge）與程序性知識（procedural knowledge）。兩者在學生數學學習的過程中佔了一個極重要的關鍵，特別是兩者能提供一個描述學生數學學習與表現的視野（Hiebert ＆ Lefevre，1986）。在 Hiebert 和 Wearne 的一系列研究中可以發現，學生在小數理解上受到程序性知識的影響，比受到概念性知識的影響還大，學生的概念性知識與程序性知識往往無法連結起來，兩者之間似乎有ㄧ道很大的

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鴻溝，由此可見，釐清兩種知識之間的差異的確是有其必要性的，底下將就概念性知識與程序性知識做進ㄧ步的探討，期望能對學生在學習小數概念時有所幫助。 Hiebert 和 Lefevre（1986）認為早期有許多學者就已開始探討概念性知識與程序性知識之間的關係，只是他們當時分別以不ㄧ樣的名詞來說明而已，但這些不同的名稱所要傳達的訊息是ㄧ樣的。而目前，現今的認知心理學家與數學教育學者比較傾向於「概念性知識」與「程序性知識」的說法。 Hiebert 和 Wearne（1986）提出關於小數的概念性知識和程序性知識，總結所謂的「概念性知識」是指學生可以經由組織和建構的方法將相關知識連結形成一個網路架構，一些獨立的知識或以前的知識能互相結合在一起，這就形成了概念。換句話說，此新的數學知識被同化成為學生之概念性知識裡的一部份。例如，學生在學習小數位名知識時，如果只是把位名（十分位、百分位、千分位）當作孤立的片段知識儲存且只是口語的標籤，這樣並不代表學生就已經學會了此概念性知識，唯有當學生將舊經驗與新知識產生連結，形成自己知識網路架構的一部份之後，才會成為「概念性知識」。 Hiebert 和 Wearne（1986）把「程序性知識」分成兩種型態來解釋：第ㄧ種是有關數學符號的運算知識，亦即是由數學的正式語言或符號表徵系統所組成，是指只知道數學符號的運算行為，並不包含符號的意義。第二種是解決數學問題的算則或使用規則的運用知識，重視的是在解題過程中的運算方法、步驟以及策略。這些程序規定學生按部就班地依照解題順序來進行運算，亦即學生只要根據語法規則來操作數學符號，而不必了解數學符號所代表的意義。既然概念性知識與程序性知識在學童數學學習的過程中佔了一個極重要的關鍵，因此學生該如何面對並學習概念性知識與程序性知識呢？由 Hiebert 和 Wearne 二人的研究結果來看，認為學生的數學能力是在兩種知識之間產生連結的一種特徵，數學能力差的學生就是缺乏彼此間的連結。我們無法很明確的指出這個連結是如何建立的，但是，仍然有跡可尋，例如，可從學生在解題方面的資料來判斷。如果學生是採取程序性的知識，則在解題時，他的解題行為將只會注重問題的表面特徵，並應用所有的記憶符號去

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處理規則，因而將會製造一些不合理的答案出來。所以 Hiebert 和 Wearne 歸納出在解題的過程中有三個連結概念性知識與程序性知識的重要位置：符號意義、程序的執行、解題的評估，從這三個位置可以分別清楚地描寫解題的三個現象。符號意義：首先學生透過符號的解釋，把問題裡的數學符號與指示物（refernts）互相連結而賦予意義。程序的執行：一但問題經過學生的解釋之後，即可選擇與應用程序來解決問題，而此程序的執行即為解題的第二個位置，學生在第二個階段能把概念性知識與程序性知識作連結。解題的評估：學生到了解題的最後一個位置即可獲得答案，此時學生不僅能自我檢查答案的正確性，也能檢查其合理性。（Hiebert & Wearne,1984,1986） Hiebert 和 Wearneu 也指出學生在小數學習表現不佳的原因有（1）學生很少將「概念性知識」和「程序性知識」產生連結，學生過度類化整數運算符號的知識到小數運算中，而且學生可能缺乏概念網路（conceptual networks），無法與符號產生連結。（2）在教學上似乎是程序性的知識比教概念性的知識更容易，而導致學生過度依賴程序而缺乏了解概念內容，當學生遇到非常熟悉的問題時，會企圖修正他們原有的記憶規則去解決這些非例行性的問題，但卻會衍生出不正確的結果，而學生也無法合理的思考去檢核他們的回答是否正確。（3）學生對小數的概念的獲得是程序性知識多於概念性知識，大多數學生將小數視為獨立的形式之符號，一種新的數字寫法，有其獨特的規則，似乎是程序性知識已主導著學生小數概念學習的能力表現。由上所述，教學者應隨時注意如何在概念性知識與程序性知識之間取得一個適當的平衡點，以促進學生學習兩種知識間的建構與連結。如此之下，學生在小數概念的學習才能建立一套有系統、有組織的結構體系。（二）小數概念學習的過程位值概念是記數系統的重要特質，也是數與計算的基本原理，艾如昀（1994）的研究發現，在小數的學習中，學生對於位值的理解程度，對其往後學習小數十分重要。然而這些研究結果均顯示，學生對位值的理解有困難。學生在學習小數的概念時，ㄧ是只著重於符號表徵的操作，ㄧ是對符號意義的真正理解。Hiebert 和 Wearne（1988）針對學生學習小數知識提出了四個

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學習認知過程：

（1）連結過程（The connecting process）

透過具體教具與符號相聯繫的過程。連結過程所強調的是透過指示物的操作，連結數字符號和運算符號。日常生活中的物質或是特別設計的教材，都可當作指示物。如在丹尼積木的分割活動中，將立方體積木（由 1000 個 1 立方公分的小積木組成）視為 1，十等分割後的一片積木（由 100 個 1 立方公分的小積木組成），可連結小數符號 0.1；再將一片積木十等分割後的一條長形積木（由 10 個 1 立方公分的小積木組成），可連結小數符號 0.01；而後再將一條長形積木十等分後的一個小積木（即是 1 立方公分的小積木），可以連結小數符號 0.001。（2）發展過程（The developing process）

建立在處理符號的程序上。發展過程所強調的是在指示物與符號產生連結後，透過指示物的操作，發展出處理符號的程序性知識。例如以 3 片積木和 5 條長形積木所合成的結果，可建立小數符號 0.35 的程序性知識。連結和發展過程主要在於透過指示物的世界，從意義上了解小數符號的表達方式、指示物與符號的連結，以及觀察指示物活動所發展出的規則。

（3）精緻與熟練過程（The elaborating/routinizing process）

主要在擴展規則。精緻與熟練的過程所強調的是能在適當的情境中應用解題規則，並加以熟練、記憶，直到概念自動化。事實上，精緻與熟練是兩個獨立的過程，精緻在前，熟練在後。精緻是指擴展語法的程序到其他合適的內容上，如一樣是乘法，『8.2×2.5』的運算規則，就可以擴展到『8.246×2.54』的式子上。而熟練是指記住和練習語法的程序規則，直到學生能自動地執行這些語法程序來解決問題。在這個過程中，符號和規則透過真實世界的指示物表徵得到意義，在符號與規則能替代指示物表徵其意義時，更能發揮它的學術上之功能。

（4）抽象過程（The abstracting process）

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過程所強調的是以從前的符號為指示物，再重複三階段，而與另一層次的符號建立更為抽象的系統。前兩階段是發展小數概念的意義，後兩階段是熟練計算的程序，學生在學習小數概念時，必須具有清楚的小數概念的意義後，而後才能正確的使用計算程序並加以應用到非例行性題目，也唯有如此，學生才是真正的學會小數概念。

第二節

我國國小小數課程與教材內容分析

九十學年度起分階段逐年實施的九年一貫課程，延續了八十二年版的數學課程精神，強調學生概念性的理解，為避免課程範圍出現鐘擺現象及考量一般學生的學習穩定性，九年一貫暫行綱要（簡稱新課程）的修訂應承續過去長久的穩定教材，將八十二年版數學課程標準（簡稱舊課程）所使用的國小數學教材等，作一折衷處理。因此，現行的國小五年級之數學教材是依據新、舊課程所編寫，本研究的目的著重在國小高年級學生在小數概念的理解因素方面，因此，了解課程標準及課程綱要中有關小數概念的範圍是有必要的。本節分為三個部份：一、八十二年版的數學課程標準；二、國民中小學九年一貫課程暫行綱要中的數學學習領域；三、各版本的小數教材分析。ㄧ、八十二年版的數學課程標準在八十二年版的數學課程中有關小數教材的內容，雖各版本的進度稍有不同，但都是依據八十二年數學課程綱要編寫的，茲將有關八十二年版的小數教材綱要列於表 2-2-1：

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表 2-2-1 八十二年版課程標準小數的教材綱要表年級數計算 ● ㄧ位小數的認識、化聚、進位與位值 ● ㄧ位小數的加減三年級 ● ㄧ位小數的數線 ● 十分位、小數、小數點 ● 二位小數的認識、化聚、進位與位值 ● 二位小數的加減四年級 ● 二位小數的數線 ● 小數與分數（分母為 10、100、1000）的雙向連結 ● 百分位五年級 ● 三位小數的認識、化聚、進位與位值 ● 三位小數的加減 ● 千分位六年級 ● 乘數、除數是整數的小數乘除 ● 乘數、除數是小數的小數乘除八十二年數學課程小數教材是從三年級開始介紹，在三年級階段介紹ㄧ位小數的概念，透過 10 1 認識 0.1 的意義，並進行 0.1 和 1 的化聚問題，計算部份則分別為在連續量和離散量的情境下解決一位小數的合成、分解問題。四年級階段介紹二位小數的概念，透過 100 1 認識 0.01 的意義，並進行 0.1 和 0.01 的化聚問題，計算部份則分別為在連續量和離散量的情境下解決二位小數的合成、分解問題。五年級階段介紹三位小數的概念，透過 1000 1 認識 0.001 的意義，並進行 0.001、0.01 和 0.1 的化聚活動，計算部份則分別為在連續量和離散量的情境下解決三位小數的合成、分解問題。六年級階段在數的部份並沒有介紹新的小數單元，計算部份則分別在連續量和離散量的情境下介紹乘數、除數是整數的小數乘除問題，以及乘數、除數是小數的小數乘除問題。

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二、國民中小學九年一貫課程暫行綱要中的數學學習領域國民中小學九年一貫課程暫行綱要於九十學年度全面逐年逐步實施，各家版本在編寫九年一貫課程的小數教材內容上，雖進度不太相同，但皆是依據數學能力指標所編寫的，茲將有關小數的能力指標整理如下表 2-2-2：表 2-2-2 九年一貫小數教材能力指標比表階段能力指標 N-1-8 在一個整體 1 被明確十等分的具體生活情境（包含離散量、連續量），能以一位小數描述其中的幾分，並進行一位小數的合成、分解活動（和及被減數＜1）。 N-2-7 能以二位小數描述具體的量，並解決二位小數的合成、分解及簡單整數倍問題。 N-2-19 能利用等分好的線段上，做出一條簡單的整數數線，並能進一步延伸至簡單的分數和小數的數線。 N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上（小數），並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問題。 N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果（除的結果為有限小數）。由表 2-2-2 可知，在第一階段中（國小一至三年級），先由 1 被明確十等分的情境中，介紹一位小數，約為三年級下學期的課程，此與八十二年課程的三年級小數內容呼應；在第二階段中（國小四、五年級），以認識二位小數為主，包含學習小數與分數相向連結、小數的加減及整數倍等問題，此與八十二年課程的五年級小數內容相同；在第三階段（國小六年級、國中一年級），是以三位小數（或三位以上）的學習內容為主，另包含小數的基本運算、應用及用小數來表示除的結果等內容，此與八十二年課程的五、六年級小數內容呼應。三、新舊課程之比較：由表 2-2-1、表 2-2-2 中發現，新舊課程在小數的學習內容上沒有太大的差異，兩者的教材內容都包含一、二、三位小數的認識和應用小數的加、減、乘、除法解決問題為主。整體而言，國小階段小數的教材分布於三~六年級，數學課程對於小數教材的處理方式，所持的兩個觀點有二：一為透過

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分數來了解小數的意義，因此，小數可以看成是等分割和合成活動製作而成。二為經由多單位記數系統的位值概念來了解小數的結構。新舊課程不同點只是在小數教材的安排進度上，新課程在五年級的課程中，還在強調二位小數的概念及計算應用，直到第三階段（即學生六年級時）才延伸小數的認識到三位以上（小數），舊課程的小數學習內容編排較新課程快，此差別使得學生在學習小數的教材內容時，每個單元的學習都能有較充分的時間讓學生去理解，我們也發現這樣的課程編排完全是站在學生的立場，以學生的認知為出發點的課程設計。而然，目前國小五年級學生即是第一批從國小一年級就接受新課程的學生，在經由更充分的時間學習、理解後，是否完整具備了能力指標中所涵蓋的小數概念，而在小數概念的學習上有更好的成效，正是研究者想了解的部份。四、各版本的小數教材分析目前市面上所見的數學教科書，雖然大致上有康軒版、南ㄧ版、翰林版、仁林版、牛頓版等五種版本，但由於研究者所欲施測的彰化縣市智仁勇學校之學生，經隨機取樣下發現，研究對象所使用的數學教材版本為康軒版或南ㄧ版兩家，以下僅就康軒版、南ㄧ版的小數教材討論之。

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表 2-2-3 康軒版、南一版小數教材內容分析表第六冊（三下）第七冊（四上）第八冊（四下）第九冊（五上）康軒版 ●認識ㄧ位小數。 ●以 0.1 為單位的小數化聚。 ●ㄧ位小數的位值。 ●能比較一位小數的大小。 ●能做一位小數的合成、分解活動。 ●認識二位小數，並以二位小數描述具體的量。 ●二位小數的化聚、進位與位值。 ●認識二位帶小數。 ●解決二位小數的加、減問題。 ●理解小數加減直式。 ●能解決ㄧ、二位小數的加減（直式算則）。 ●能解決ㄧ、二位小數簡單整數倍問題。 ●認識簡單的小數數線。南ㄧ版 ●N-1-8 在一個整數被明確十等分的具體生活情境中，能以一位小數描述其中的幾分，並能進行一位小數的合成、分解活動。 ●N-2-7 能以二位小數描述具體的量。 ●N-2-11 能理解生活中，各種量的測量工具上刻度間的結構，進而對以同單位表達的量作形式計算。 ●N-2- 7 能以二位小數描述具體量，並解決二位小數的合成、分解及簡單整數倍問題。第十冊（五下） ●加、減、乘、除的估算。 ●解決二位小數的乘法問題。 ●整數或小數除以整數,商為小數而能除盡的問題。 ●整數或小數除以整數,商為小數而有餘數的問題。第十一冊（六上）第十二冊（六下） ●三位以上小數的意義與位值。 ●了解小數加減直式算則。 ●數的十進結構。 ●嘗試理解小數乘法直式算則。 ●小數、分數互換。 ●用分數、小數表示除的結果。 ●小數、分數與百分率的關係。 ●小數除以整數、整數除以小數、小數除以小數。 ●嘗試理解除法的直式算則（整數、小數）。 ●察覺除法問題中，被除數、除數與商的變化關係。 ●用電算器計算小數的除法。 ●理解同類量中不同單位間的關係及化聚（含分數、小數）。 ●N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上小數，並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問題。 ●N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果（除的結果為有限小數）。 ●N-3-9 能理解同類量中不同單位間的關係，並作化聚活動（可以有分數、小數）。 ●N-3-5 能解決生活中與小數有關的乘、除問題。

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由上述各版本的小數教材分析可以得知，雖然現行的各家版本在小數的進度與內容略有差異，但皆是依據九年一貫暫行綱要之數學能力指標來編製，且可發現在各版本的小數教材都在國小三年級（下學期）開始指導學生認識一位小數，到了國小四年級時才擴及二位小數的認識，直到國小六年級才有三位以上的小數認識，而在國小五年級（第九冊）時，都已學到了一、二位小數的小數基本概念。所以，研究者的施測對象，不會因不同學校在數學版本的使用差異而受到影響。本研究著重於探討高年級學生的小數概念，而非小數的計算能力（例如加、減、乘、除的計算及運用）。因此，研究者將考慮針對小數的意義、小數的結構、小數的化聚、小數的大小比較、小數與分數的關係等部份，來設計筆測題目。

第三節

小數概念學習的相關研究

在九年一貫數學學習領域的數與量課程中，小數教材佔了極重要的地位。小數很重要，但偏偏小數的概念卻是十分複雜，而學生在小數概念的學習上也常遭遇困難，根據一些研究結果或評量報告，發現學生在小數學習方面並不理想。以下將針對研究學生在小數知識的學習之相關文獻，分別整理敘述於下：艾如昀（1994）的研究以七種小數類型測量 61 位國小五年級學童，研究結果發現：（1）在比較大小方面：學童在小數大小比較問題的正確率為 73%。學童錯誤的類型大致可以被歸納為整數法則與分數法則兩種，只有 55% 答題錯誤的學童符合 Resnick 等人（1989）之三種判斷小數大小的法則（整數法則、分數法則、零法則），甚至還有許多學童是交互使用其他法則。同時，他從各種小數題型犯錯的可能原因中做分析，發現都跟小數位值概念有關係，顯示大部分學童的小數位值概念還不正確或不完整。（2）在分數與小數相互轉換方面：大部分的學生在小數轉換成分數時，直接將小數點前後的數字分別置於分子與分母的位置；在分數轉換成小數時，則將分子與分母置於小數點的前後。顯示小數概念與分數概念缺乏良好的聯繫。（3）小數計算

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方面：對小數計算規則不熟悉的學生人數隨著難度的增加而增加，而在計算加減的錯誤率雖不高，但錯誤者以小數點未位對齊居多。研究結果發現，五年級學童在小數類型中犯錯的原因，是由於學童對小數位數與數值大小知識缺乏，因此，要幫助學生學習小數，最重要的是，先使學生對於小數的位數和所代表位值大小間的關係有清楚的了解。若能加強此方面的學習，則能增進學童在各種小數題目上的表現。杜建台（1996）對四、五、六年級學生的研究發現：（1）學童十進位結構理解的錯誤，例如 0.17 是 0 到 1 中間分成 20 格中的第 17 格，且年級越低，對小數意義的理解越困難。且較熟悉用運算方式理解小數的十進位結構（例如：0.1 與 1 的關係），但卻忽視概念性知識與理解性知識的獲得。（2）有關小數數線表徵方式的表現情形：將數線分成十等份、不分等份、一百等份、五等份以及八等份。結果發現學童對於小數與數線對應的理解的確有其困難；學童最難理解的是分成八等份的數線。（3）年級越高越能正確反應小數與數線對應的關係。（4）小數中有 0 的數字或有小數點存在時，會對學童造成理解上的困難擾，以及學童會自己建構出錯誤的比較大小模式，並不只有整數法則、分數法則以及零法則等三個法則。學生較不易理解純小數間的大小次序及其關係，尤其是三個小數的相互比較。（5）學童在說出 0.2 和 0.3 之間的小數時僅有 44%的學童答對，顯見學童缺乏小數的稠密性觀念。（6）讀二位小數時，易將小數點後的數字是視為整數來讀。吳昭容（1996）以國小四、五、六年級共 356 名學童為研究對象，研究結果發現在受試學童中所發生的錯誤多半與小數位值概念有關，而且更與整數的位值概念有密切的關係。（1）在小數大小比較作業上：回答錯誤的學童有 91%可歸類到三種錯誤類型中（整數法則、分數法則、零法則），此與 Sackur-Grisvard 和 Leonard、Resnick 等人的研究結果極為相近。另則學生進行小數比較大小時，其使用法則發展順序，依序為：不管小數點的存在、整數法則、零法則、分數法則、正確者；（2）在符號-指稱對象的連結，小數學習可能需要分數經驗的前導，但符號-符號向度的連結，小數的學習可能獨立於分數。（3）處理小數的位值概念有困難，且與整數位值概念有密切關係。

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陳永峰（1998）對六年級學生的研究結果發現：（1）傳統與實驗兩班級在小數加減的計算皆表現不錯，在解題策略上，傳統班較單一化，實驗班較多樣化。在計算規則上，傳統班只會運用，但實驗班還能說明其理由。（2）學生在處理小數與分數的關係時，當分母是 10、100、1000 的情形下表現相當不錯；但當分母是 5 或其它時，則有些困難。（3）在度量衡單位小數與複名數換成單名數上，有的學生將小數點做為大單位與小單位的區隔，以傳統班表現較不理想。（4）學生在「小數位值」方面的迷思概念為：學童將整數的位名觀念移植在小數位名上。（5）在小數的比較大小時，實驗班有「0.6 ＜0.54」及「0.3＞0.09＞0.385」錯誤類型，其可能受「整數法則」、「分數法則」的錯誤概念影響。（6）處理小數的化聚問題較常用計算方法得到答案，實驗班較常用單位小數的轉換概念。劉曼麗（1998）在國小數學教學實踐知識的研究中發現，中年級學生常犯的錯誤為：（1）在序數小數如遇進位容易出錯，如 0.9 後就 0.10。（2）在比較小數大小時，有的認為小數點後的數字越多其值越大，但也有的認為其值越小。或只比較小數部分而忽略整數的比較；小數比 0 小（3）在轉換分數為小數時，會將分母當整數、分子當小數或分子當整數（例如： 2/5=5.2）、分母當小數（例如：2/5=2.5）、不管分母的數字，就直接把分子拿來當成小數部分（例如：2/5=0.2）（4）在小數的化聚上，有的學生不清楚小數與整數的關係、直接將個數放在小數點後面，如 36 個 0.1 是 0.36。有的學生則是以小數點的位置來決定化聚的結果，如 3.2 化成小單位 0.1 時，直接拿掉 3.2 的「.」，又如將 36 個小單位 0.1 聚成 0.36 時，直接在 36 前面加上「0.」。（5）在小數的加減時，常犯的錯誤有：在小數點的概念上有未對齊小數點；在 0 的概念上，只劃掉最末位的 0、小數點前面的 0 亦省略、整數最前面的 0 多寫出來；在計算上，加法計算錯誤、進位錯誤、退位錯誤、抄錯數字或符號、將不等位數的計算以等位數來計算。（6）在數線上讀小數或標小數點時，會弄錯兩格之間的單位，例如：0.1 與 0.2 之間分成十格時，不知每兩小格間代表的是 0.01。（7）在單名數轉換為複名數的題目上，學童認為小數點前的數字代表大單位，小數點後的數字代表小單位。例如 50.4 公升=50 公升+4 毫升或者 50.4 公升=50 公升+0.4 毫升。在複

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名數轉換為單名數的題目上，學童知道答案中的數字ㄧ定與題目中的數字有關，但無法判斷兩者的相對關係，故其答案內容僅含有題目出面過的數字，但無法理解問題與答案間的相對關係。如：1 公尺 5 公分=（1.5）公尺或 3 公尺 7 公分=（3.7 公尺）。劉曼麗（2001）在國小學生的小數知識研究中發現：國小四、五、六年級的學生常犯的錯誤概念題部分有（1）學生直接將分子與分母當作整數與小數部份或小數與整數部份。（2）學生會以小數位數的多寡來判斷小數大小。劉曼麗（2003）在從小數符號的問題探討學生之小數概念知研究結果發現：國小四、五、六年級多數學生的表現都不理想，學生因對於小數點左右邊的數之意義掌握不夠，不易理解整數部分與非整數部分有何關聯，在圖像表徵方面：四年級學生傾向將 a.b 由表面的形式直接轉換成圖像，如將小數點左右兩邊的數視為兩個獨立的整數（a、b）；五、六年級則雖能透過分數觀點看待小數，但在單位量的表示（分幾份與幾份）仍不清楚。在與分數的雙向連結方面：各年級學生因不清楚小數點左右兩邊數字的關係，故易將小數符號由表面形式直接轉換成分數符號（反之亦然），如將 a.b 化成 a b （或 a b 化成 a.b）。吳金聰（1999）在國小三年級小數教學研究發現：（1）部分學生有以整數位名代替小數位名命名的迷思。（2）引導學生以 0.1 為單位做大小比較，可提升比較大小的運思層次。（3）以直尺的 10 等份特性畫數線，讓學生產生量感有利數線教學。藉由教師或學生提出認知衝突問題並進行質疑辯證，不但可以促使學生反思，也有益於迷思概念或錯誤做法的澄清。另外，讓學生操作數學積木等的具體教學策略，有助於增進學生在小數教材的學習。黃偉洲（2001）在其透過指示物活動來改進國小六年級學生小數概念的個案研究發現：（1）透過指示物的分割與合成活動，有助於建立「1 與 0.1」、「1 與 0.01」等被計數單位之間關係的概念。（2）透過指示物的做數活動有助於建立小數化聚概念。（3）透過指示物的十進轉換活動有助於建立小數多單位概念、小數大小的比較概念，其研究結果顯示出指示物活動的重要性及

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功能。陳文利（2001）在國小四年級學生小數迷思概念之研究結果發現：缺乏討論或師生較無互動的教學方式、具體物的操作程度不夠、單一表徵化的教學、缺乏位值概念的教學、數線引入技巧的不足等教學現象，都是可能造成學生迷思概念的成因。郭孟儒（2002）在其國小五年級學生小數迷思概念及其成因之研究結果發現：（1）在分數轉換為小數上：學生普遍具有直接把分母（分子）當成整數部份，而把分子（分母）當成小數部份；或是不管分母的數字，就直接把分子拿來當成小數部份。（2）在小數轉換為分數上：學生普遍會因小數點後 2 個數字，就判斷小數轉換為分數後的分母為 10。（3）在小數大小比較上：學生具有以整數的概念去解釋小數的概念，所以認為小數點後數值越大，其值越大：從分數被分割的概念推論小數，所以學生認為小數位數越多會被分割成的部份就越小，因此其值必定較小。（4）在小數的化聚上：學生普遍會因不能區分 1 和 0.1 的不同而產生將相同單位名（個）視為相同單位的錯誤概念，甚至學生會存有任何一個數乘以 0 點幾，答案就會變為 0 點幾的迷思。（5）在單名數轉換為複名數上：學生會因為不了解小數點或單位互換的意義，而將小數當成「隔開」大、小單位的記號。（6）在複名數轉換為單名數上：學生亦將大單位數字視為整數部份，將小單位部分視為小數點後的部份。面對學生產生迷思概念時，教師若能從任之衝突的觀點著手，採用適當的問話，用以製造認知衝突，如此一來，學生可能會自行發現自己的迷思概念，甚至會修正自己的迷思概念。梁惠珍（2003）在國小四年級小數診斷教學之研究結果發現：（1）小數離散量表徵方面：學生易忽略單位小數 0.1（0.01）內容物個數，而將 0.a （0.0a）視為 a 個。（2）小數符號方面：學生將非整數部分套用整數的讀法。認為 0.a 中，a 的位名是個位，0 的位名是十位。（3）小數的化聚方面：認為 0.a 是 a 個 0.01 的錯誤概念。（4）小數的比大小方面：認為小數是比 1 小的數，且易將小數部份以整數概念來套用而比較大小。美國 NAEP（Carpenter,et al.,1981）的報告指出：受試者在分數化成小數時，直接將分子與分母放在小數點前面或後面的位置，例如 1/8 = 1.8

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或 8.1。學生缺乏小數位值的基本概念，忽視小數點的存在，而將小數當作整數處理，因而以小數點後數字多的其值就越大。 Wearne 和 Hiebert（1984）的研究發現：五年級學童在利用具體物（例如整捆的棍子）寫出整數的問題上，比較沒有遇到困難。但緊接著學童並沒有把這種整數符號與圖形指示物連結的能力，延伸到小數系統上。所以在以圖形的表徵方式來表示小數的問題上，只有 13%的五年級學童正確的回答，七年級則為 36%，即使到了九年級也只有 53%。由此推論，學童若無法將整數符號與具體物連結的能力延伸至小數系統，即使是已學過小數好幾年的學童，也無法對小數符號具有真正的理解。 Hiebert 和 Wearne（1985）的研究發現：認為學童在計算小數問題時，要經過三個解題的策略。決策一：如何將橫式問題改為直式運算式。決策二：計算數值的答案。決策三：小數點如何放置。這三個決策點只要有一個出現錯誤，那麼學生便無法做出正確的答案。例如：6 + 0.32，若學生無法在決策點一上為數字 6 適當的點上小數點，則容易產生 0.38 的錯誤答案；而 0.86 – 0.3 的題目，若在決策一點上以對齊最右的數字取代對齊小數點，則會產生 0.83 或 8.3 的錯誤答案。 Hiebert 和 Wearne（1986）的研究發現：學童在比較小數大小時有困難，他們在研究中要求五、六、七及九年級一共 44 為受試學童，從 0.9、0.385、 0.3、0.1814 選出最大的數。在受測的五、六年級學童中，只有三分之一的學童能正確地回答。大部分的受訪者都認為 0.1814 是最大值（事實上應是 0.385），其中五年級的學童佔 89%的人，六年級的有 46%的人，七年級的有 44%的人，九年級的則有 31%的人。少部分受訪者認為 0.3 是最大值，其中越高年級的人數相對地越多。Wearne 和 Hiebert 解解學童之所以會認為小數點右邊的數目越少其值就越大的原因，有可能是他們採用了數線來加以解釋—當小數點的右邊越少數字時，則表示其值是越接近零，故其值會越來越大。大部分的學童無法輕易地在小數與分數之間作轉換，很多受試者以為只要依照將小數（分數）所出現的數字來寫分數（小數）即可，例如 0.09 = 0/9； 3/10 = 3.10。儘管小數與分數這兩個符號所代表的是相同的表徵，但學童若未能了解這兩者間的語意連結關係，則很容易會產生轉換上的問題。

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在分數轉換為小數的題目上，也提出了學童主要有三種迷思：（1）直接把分子當成整數部分而把分母當成小數部分（例如：2/5=2.5）。（2）直接把分母當成整數部分而把分子當成小數部分（例如：2/5=5.2）。（3）不管分母的數字，就直接把分子拿來當成小數部分（例如：2/5=0.2）。 Sackur-Grisvard 和 Leonard（1985）的研究發現：當學童所比較的兩個帶小數之整數部分不同時（例如 12.7 與 15.56），比較不會犯錯；但當學童所面對的兩個帶小數之整數部分是相同，且小數點右邊的位數相異的情況下（例如 3.195 與 3.2），則比較感到困難。為了了解學童小數概念的情形，設計了許多以三個小數為一組的題目，以四、五、六、七年級共 237 名法國學童為研究對象，要求學童依照小數之大小順序排列，以找出他們的錯誤類型，結果發現共有四種普遍性錯誤，Sackur-Grisvard 和 Leonard 因而提出四種法則來解釋錯誤的類型：第一種『法則 0』：學童會忽視小數點的存在，而將小數視為一個整數來看。例如，5.125 會比 12.3 還大，這是因為 5125 比 123 大，這類型的學童人數最少，並不常見。第二種『法則 1』：也是忽視小數點的存在，但將小數點左右兩邊的數字視為兩個整數來看。例如，9.12 比 9.8 大，這是因為 12 比 8 大，這類型的學童人數最多，四年級學童大約有 43%，五年級學童大約有 26%，六年級學童大約有 19%，七年級學童大約有 11%。第三種『法則 2』：小數點右邊的數字越多，其值就越小。例如，9.86 比 9.5 小，這類型的學童人數較少，總共只有不到 6%的學童。第四種『法則 3』：如果小數點的右邊要是有零的情形，琪職責比較小，這類型的學生較第二種學童略為少一點。總之，他們發現從產生錯誤的學童當中，可歸類到這四種錯誤類型的比例有 89%，這也提供了大部分學童具有小數迷思概念的證據。

Resnick 等人（1989）繼續探討 Sackur-Grisvard 和 Leonard 所做的研究：由於 Resnick 等人較感興趣的是：學童在建構新的數學知識時，是如何運用過去經驗中的就知識呢？一方面，學童過去所學的整數與分數等先備知識能支持小數的學習，但另一方面，卻也有可能干擾學童建構正確的小數概念。他們認為造成學童錯誤產生的原因，便是由於學童不適當地應用先備知識所致。因此，Resnick 等人便從小數與整數知識的比較、小數與分數的比