中學生通訊解題第八十二期題目參考解答及評註

中學生通訊解題第八十二期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學 數學科

如 右 圖，一 特 製 邊 長 為2 的 正 三角 形 撞球 桌，從 AB 邊 的 中 點 M 向 AC 邊 上 N 點 擊出 撞 球， 經 反 彈 至 BC 邊上 P 點 、再 反 彈 至 AB 邊 上 Q 點、 再 反 彈 至 AC 邊 上 R 點、最 後 反 彈 至 B 點。若 形成 這 路 徑 時 ， 則AN 的 長 度 是 多 少 ？ 參 考 解 答 ： Ans : 5 6 取 BC 邊上 的 中 點 D， 所 以 NC： MD = 4：5， 因 MD = 1， 得 NC = 5 4 ， 故 AN = 5 6 解 題 評 註 ： 對 稱 的 觀 念 是 歐 氏 幾 何 的 重 要 觀 念 ， 本 題 便 是 一 個 好 例 子 。 問 題 編 號 8201 D M N C A  B A B C M N P Q R 

設x₁,x₂,,x₂₀₁₀是 整 數 ， 且 滿 足 下 列 條 件 (1) 1x_n 2(n1,2,...,2010) (2) x₁x₂x₂₀₁₀ 204 (3) x₁2 x₂2x₂₀₁₀2 2010 試 求x₁3 x₂3x₂₀₁₀3之 最 小 值 及 最 大 值 。 參 考 解 答 ： 設 這2010 個 整 數中 有 r 個-1， q 個 0， s 個 1， t 個 2 則 3 1107 0 369 2010 4 204 2                 t t s t s r t s r t t s r x x x13 23 20103   8 2046 204x13x23x20103 2418 事 實 上 若 取r=903,q=0,s=1107,t=0 時 ，x13x23x20103有 最 小 值 204 若 取r=534,q=1107,s=0,t=369 時 ， x₁3 x₂3x₂₀₁₀3有 最 大 值 2418 解 題 評 註 ： 作 答 時 僅 需 掌 握 一 些 不 等 式 的 運 算 ， 應 不 難 答 對 。 已 知n 是 三 位 正整 數 ， 若 n2_{之 末 三 位 數 等 於 n + 110， 求 n 之 值。} 參 考 解 答 ： 符 合 題 意 之 正 整 數 n 有 兩 個， 即 ：115 與 886。 解 法 如 下 ： 依 題 意 ，n2_{之 末 三 位 數 等 於 n + 110， 即 n}2 _{– (n + 110) 是 1000 的 倍 數，} 得1000 | (n2 _{– n – 110)，即 1000 | (n+10)( n –11) ⇒ 2}3_×53 _{| (n+10)( n –11)，} ∵ 若 d | x 且 d | y， 則 d | ( m x ± n y ) ， ∴ 若 d | (n+10) 且 d | ( n –11)， 則 d | 21， 問 題 編 號 8203 問 題 編 號 8202

而 知(n+10) 與 ( n –11) 之公 因數 必 為 21 之 因 數 ⇒ (n+10) 與 ( n –11) 二 數 之公 因 數 不可 能 是 2, 5， 因 此        b n a n 125 11 8 10 或        B n A n 8 11 125 10 ⇒ 8a – 10 = 125b + 11 ⇒ 8a – 125b = 21 ⇒          t b t a 8 1 125 13 或 125A – 10 = 8B+ 11 ⇒ 125A – 8B = 21 ⇒        t B t A 125 13 8 1 ⇒ ( a , b ) = ( 112 , 7 )， ( A , B ) = ( 1, 13 )， 故 n 之 值 為 886 或 115。 解 題 評 註 ： 本 題 應 用 因 數 與 倍 數 的 關 係 以 解 題，只 要 想 到 了「n2_{之 末 三 位 數 等 於 n + 110」其 實} 就 是「n2 _{– (n + 110) 是 1000 的倍 數 」，尋 求n 值 之 路 立可 豁 然 開 朗！ 在 得 知 原題 意即 ( n + 10 )} 與( n – 11 ) 二數 乘積為 ( 23_{× 5}3_{) 之 倍 數 後，如 何 討 論所 有 的 可 能情 形 而 找 到 n 值 是 解 題重} 點 ， 此 時 我 們 注 意 到 ：「 一 數 的 倍 數 與 倍 數 之 和 或 差 ， 仍 是 該 數 的 倍 數 」， 此 一 性 質 常 以 符 號 表 述 如 下 ： 「若 d | x 且 d | y， 則 d | ( m x ± n y ) ， 其 中 d, x, y, m, n 都 是 整 數 。」 這 是 求 解 本 題 主 要 的 理 論 依 據 。 本 題 應 徵 答 題 人 數 共 有5 人。其 中台 北 市敦 化 國 中 林同 學、台 北市 大 安 國 中王 同 學、 台 北 市 大 安 國 中 陳 同 學 皆 由 「 令 n = 100a + 10 b + c」 著 手 ， 前 者比 較 n2_{末 三 位 與 n 之 關} 係，理 路 清 晰；後 二 者 依 序 討 論c, b, a 之 可 能 值，雖 然 過 程 略為 繁 複，但 是 都 能 清 楚表 述， 值 得 鼓 勵。 台 北 縣 光 復 國 中 王 同 學 則 在 先 考 慮 n 的 個 位 數可 能 為 0, 1, 5, 6 後，表 列 n 之 末 二位 的 所有 可 能 一 一檢 視 ， 而 得到 正 確 答 案， 列 表 詳 明， 也 堪 嘉 許。 台 北 市 北投 國 中 吳 同 學 觀 察 到 了 n2_{與(n + 110) 除 以 1000 同 餘，但未 進 一 步據 此 討 論 n}2 _{– (n +110) 與} 1000 的 關係，而 亦 就 n 之 個位 數 僅 可 能 為 0, 1, 5, 6 一一 討 論 求解，雖 當 然亦 可 行，卻 不 免 可 惜 了 原 始 的 重 要 發 現 ！ 在 觀 察 題 意 初 有 所 得 後 ， 如 何 想 方 設 法 ， 探 尋 可 能 進 路 ， 值 得 同 學 再 多 練 習 與 深 思 。 有 道 是 ：「 山 窮 水 盡 疑 無 路 ， 柳 暗 花 明 又 一 村 」， 咦 ！ 數 學 解 題 之 所 以 迷 人 者 在 此 ！ 問 題 編 號 8204

設

[x

]

表 示 不 大 於

x

最 大 整 數 ， 例 如 ：[3]3,[2.3]2,[2.5]3， 則              2010 2010 2010 2010 2010  之 值 為 何 ？ (其 中 共 有 2010 個 2010) 參 考 解 答 ： 定 義 數 列 ，a_n1 2010a_n,a₁  2010 46 45 46 2056 2010 2055 45 45 44 ₁     ₁     ₂   a a a 繼 續 如 此 的 步 驟45a₃ 4645a₄ 4645a₂₀₁₀ 46， 故 所 求[a₂₀₁₀]45 解 題 評 註 ： 有 同 學 利 用 無 限 多 個2010 來 作 答，是 個不 錯 的 嘗 試，但 若 無 法確 定 極 限 存在 與 否，對極 限 值 作 四 則 運 算 有 很 大 的 機 會 會 出 問 題 ， 這 可 能 須 要 交 待 清 楚 平 面 上 有 2010 個 相 異點 ， 任三 點 都 不 共線 (1) 給 定任 一 直 線L， 且L不 與 這 2010 個 點 中 任意 兩 點 所 連直 線 平 行 或重 合 ， 是 否一 定 找 得 到 直 線L平 行L或 與L重 合 ， 而 且 把 這 2010 個 點 隔 成 個 數 相 等 的 兩 堆 ？ (2) 給 定一 個 與 這 2010 個 點 都 不同 的 點P，且 含 P後 的 這2011 個 點 中，任 三 點 都 不共 線， 是 否 一 定 找 得 到 直 線M 通 過P， 而 且 把 這 2010 個 點 隔 成 個 數 相 等 的 兩 堆 ？ 參 考 解 答 ： (1) 作 一條 平 行 L，且 讓 所 有 點 都在 同 側(假 定在 右 側)的 直 線 M，讓 M 往 右 移，並 計算 右 側 的 點 個 數 ， 則 點 個 數 由 2010 變 到 0， 又因 為 沒有 兩 個 點 連線 與 L 平 行會 重 合 ， 故 移 動 的 過 程 跨 過 M 的 點 一 次只 能 一 點 ，所 以 點 數 的變 化 是 連 續整 數 ， 故 必有 一 個 時 候 ， 右 邊 的 點 個 數 是1005，此 時 M 平 行或 與 L 重 合， 且 把 2010 個 點隔 成 個數 相 等 的 兩 堆 (2) 過 P 作一 條 不 過 這 2010 個 點的 直 線 M，分 別 計 算 兩側(一 邊 定 為右 側，另 一邊 定 為 左 側)的點 個 數 ， 並計 算 右 側 的點 個 數 減 左邊 的 點 個 數 n， 問 題 編 號 8205

若n=0， 則 M 即 為 所求 ， 若 不 是 ， 則n 必 為 偶數 ， 令 n=2k， 以 P 為中 心 旋 轉 M 直 到 轉 180 度 過 程 中 ，n 從 2k 變 到-2k，又 含 P 後 這 2011 個 點 中， 任 三 點 都不 共 線 ， 所以 每 次 跨 過 M 的 點 至 多 一點，因 此，n 的 變 化 是連 續 偶 數，故必 有 一 個時 候，n=0，此 時 M 把 2010 個 點隔 成 個數 相 等 的 兩堆 學 校 舉 辦 足 球 賽，每 個 參 賽 隊 都 與 其 它 隊 各 賽 一 場，勝 一 場 積 分2 分，平 一 場 積 分 1 分 ， 負 一 場 積 分0 分， 已 知 僅 有一 個 隊 積 分最 多 ， 但 他勝 的 場 數 最少 ， 問 最 少有 幾 個 隊 參賽 才 有 這 種 可 能 ？ 參 考 解 答 ： 1. 積 分最 多 的 隊 為冠 軍。設 冠軍 隊 勝 n 場，平 m 場，則 他 共 積 2n＋m 分。由 題 意 其 餘 各 隊 勝 的 場 次 n 1， 即 積 分2(n1)， 由 2n＋m＞2(n＋1)， 得m3， 因 此 有 隊 踢 過 平 局，他 的 積 分2(n 1) 1，由 2n＋m＞2(n＋1) ＋1，得m4，冠 軍 隊 至 少 勝 一 場，否 則 他 的 積 分 S 1(S 為 參 賽隊 數)，其 餘各 隊 的 積 分均 少 於S ，所有各隊積1 分 之 和 ＜S S( 1)， 而 每 賽 一 場 雙 方 積 分 之 和 為 2，因 此 各隊 積 分 之 和為S S( 1)， 矛 盾，因 此n1，m4，冠 軍 隊 參 加 比 賽 的 的 場 數5，參 賽 隊 數(包 括 冠 軍 隊 )6個 。 2. 以 下比 賽 積 分 表 有 6 個 隊 參賽 且 滿 足 題意 ， 因 此 最少 有 6 個 隊參 加 。 A B C D E F 積 分 A 1 1 1 1 2 6 B 1 2 0 0 2 5 C 1 0 0 2 2 5 D 1 2 2 0 0 5 E 1 2 0 2 0 5 F 0 0 0 2 2 4 問 題 編 號 8206

解 題 評 註 ： 1. 參 與徵 答 的 同 學中 有 兩 位 能按 題 意 條 理說 明 清 楚 ，並 說 明 有 6 隊 參 賽 確 實滿 足 條 件 的 情 況 ， 非 常 好 ！ 2. 作 答時 應 注 意：除 了說 明 至 少 6 隊 參 賽，也要 說 明 有 6 隊 參 賽確 實 滿 足 條件 的 情 況。 換 句 話 說 ，『 至 少 6 隊 ， 6 隊 是 成立 的 』。 3. 有 同學 用 列 舉 的方 法 說 明 2 隊、3 隊、4 隊、5 隊 不合 條 件，應 將 所 有 比 賽結 果 均 考 慮 。 同 學 作 答 的 那 一 種 不 合 條 件 ， 未 必 其 他 比 賽 結 果 均 不 合 條 件 ， 這 是 有 欠 嚴 謹 的 地 方 。 4. 有 一位 同 學 答 案錯 誤 ， 這 是因 為 冠 軍 隊有 一 勝 ， 那麼 其 他 隊 中有 一 隊 敗 給冠 軍 隊 ， 同 學 錯 在 這 裡 。