2-1.銳角三角函數
[多選題]
1.設 ΔABC 的三頂點 A,B,C 所對的邊長分別為 a,b,c,AH 為高,則AH 之長為(A)b sin B (B) c sin C (C) b sin C (D) c sin B (E) a sin A。
[2-1.銳角三角函數][計算題]
1.假設cos+3sin=2,且θ 為銳角,試求(1)cos 的值 (2)3cos-sin 的值。 2.設 3+5sin2=10sincos,試求 tan之值。
3.若 sin3+cos3=1,求下列各式的值(1)sin+cos (2)sin4+cos4。 4.直角△ABC 中,∠A=α,∠C= 2 ,a,b,c 表三角形之三內角∠A,∠B,∠C 之對邊長,若 a -b= 4 c ,求tanα。
5.矩形 ABCD,AB=2,BC=6,在BC上取一點P,使∠APD=90°,令∠BAP=θ,求 tanθ。
6.半徑為 a,b(a>b>o)之兩圓外切,其兩外公切線夾角為 2θ,求 sinθ,cosθ。 7.設 x 為正銳角,求 log(secx+tanx)+log(secx-tanx)之值。
8.設 θ 為銳角,若 sin2θ+1=3 sinθcosθ,試求 tanθ 之值。
9.設 cosθ=sin2θ,試求各式之值:(1)sin6θ (2)cos2θ+sin4θ+sin6θ (3)
1 cos 1 cos 1 1 - 10. 如右圖:設ABCD是一個長方形的撞球床,由撞球床的中心O 擊球撞到AB上點X,反射回來擊到BC邊上的點Y。已知: a 2 AB ,BC2b, AXO=∠BXY=θ 。 ∠ (1)試以a,b θ, 表示BY的長。 (2)若由X反射回來的球恰好撞到頂點C,而a 3b,求 。θ 11.設等腰銳角△ABC 之三角為 36°,72°,72°,AD是分角線,若AB=1,求底邊長,並試由此 求sin18°之值。
12.等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若BC的中點D,∠BAD=,求tan之值。
13.直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若 a-b= 13 7 c,且 a>b,求tanA之值。 14.設tan=2,試求 cos sin 2 cos sin 2 + - 之值。
15.為銳角,設2sincos=1,試求sin+cos+tan+cot+sec+csc之值。
16.直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,∠A 的平分線交BC於D,∠DAB=
,求tan之值。
17.已知2sin2-3sincos+cos2=0,求tan之值。
18.設tan+sin=a,tan-sin=b,請用a、b 表示cos。
19.設a2+b2=5,a、b 均為正數,若acos-bsin=1,試求asin+bcos之值。 20.試求(sin+csc)2+(cos+sec)2-(tan+cot)2之值。
21.假設 cosθ+3sinθ=2,且 00<θ<900,求cosθ+sinθ 之值。
50°東,距離 O 點 1 浬處,1.船速 2.這段時間內,船與 O 之最小距離。 [2-1.銳角三角函數][單選題]
1.設是銳角,滿足sec2=2-2tan,則值為 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12 。 2. sin 1 cos sin 1 cos + +
- 的值為 (A)2sin (B)2csc (C)2cos (D)2sec (E)2tan。
3.下列各式何者的值為 2+1 (A)tan15 (B)tan22.5 (C)tan45 (D)tan67.5 (E)tan75 。 4. 1 csc 1 sec 1 1 cos 1 1 sin 1 1 + + + + + +
+ 之值為 (A)2 (B)1 (C)2sin (D)2cos (E)4。 5.下列敘述何者正確? (A)sin50<cos50 (B)tan50<cot50 (C)tan50<sec50 (D)
sin230 230
cos < (E)tan230<cot230。 6.設 是銳角,下列何者滿足 sec2=4tan (A)
12 (B) 8 (C) 6 (D) 4 (E) 3 。 7. cos 1 sin + + sin cos
1+ 的值為 (A)2sin (B)2cos (C)2tan (D)2cot (E)2csc。
8.tan 8 的值為 (A) 4 2 (B) 4 1 5- (C) 2 -1 (D) 2+1 (E) 4 2 6- 。 9. 2 sin 1 1 + +1 cos2 1 + +1 sec2 1 + +1 csc2 1
+ 的值為 (A)4 (B)2 (C)1 (D)2sin2 (E)2cos2。 10.某甲觀測一飛行中之熱氣球,發現其方向一直維持在正前方,而仰角則以等速遞減。已知此氣球 之高度維持不變,則氣球正以 (A)等速飛行 (B)加速向某甲飛來 (C)減速向某甲飛來 (D)加速離 某甲飛去 (E)減速離某甲飛去。 11. 三角形EFG之底為b,高為h;長方形ABCD中,BC2CD, 則CD=?(A) 2 h (B) 2 b (C) b h bh (D)hb bh 2 (E) 2 hb 。 12. 如右圖,單位圓O與y軸交於A、B兩點。角θ的頂點為原點, 始邊在x軸正向上,終邊為CO,直線AC垂直於y軸且與角θ的 終邊交於C點。則下列那一個函數值為AC? (A)sin
(B)
cos (C)tan
(D)cot
(E)sec
。 [2-1.銳角三角函數][填充題]1.設 θ 為一銳角,且
8 15
2.直角△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,自C作CD垂 直AB於D,作DE垂直AC於E,則DE的長為。 3.直角△ABC ∠中,C為直角,∠A=,AB=c,BC=a,CA=b, 若滿足3a+3c=5b,則tan= 。 4.設方程式x2-(tan+cot)x+4=0有一根 1 5- ,則sincos的值為 。 5.設 3 4 cos
sin+ = ,且是銳角,sin+cos+tan+cot+sec+csc的值為 。 6.設是銳角,且sin+cos= 2,則sec3+cos3的值為 。
7.設3+5cos2=10sincos,則tan的值為 。 8.設是銳角,且
3 1 cos
sin6+ 6= ,則tan cot+ 的值為 。
9.直角△ABC 中,∠C=90° , AC=3 , BC=5 , BD=2 , CD=3,若∠BAD=,則 tan的值
為 。
10.直角△ABC 中,AB=c , BC=a , CA=b , ∠C 為直角 , ∠A=,若滿足 a+c=5b,則 tan=
。
11.設 sin , cos是方程式 3x2-4x+k=0 的兩根,則以 tan , cot為二根得方程式 x2+px+q=0 時, p= 。
12.已知 sin-cos= 13 ,且sin及 cos為 2x2+px+q=0 的兩個根,則判別式 p2-8q= 。 13.設 為銳角,若 acos-bsin=4 , asin+bcos=3,則 a2+b2的值為 。 14.兩圓外切,半徑分別為 4 與 9,若兩圓外公切線的夾角為 2,則 sin= 。 15.2sin2-cos2= 5 4 ,則cos10+sin10之值為 。 16.設 θ 為銳角,若 cosθ= 3 2 ,則 csc tan sin = 。 17. 右圖為單位圓,AT,BS均與圓相切,PQ垂直x軸,PR垂直y ∠ 軸,AOP=θ,若BS= 3 4 ,則矩形OQPR的周長為。
18.如右圖,正方形 ABCD,M 為BC中點,∠MAC=α,cotα= 。 19.如右圖△ABC中,AD⊥BC;已知AB=25,sinB= 5 3 ,sinC= 17 15 , 則BC=。 20.設 0<θ<45°,則 sin2(45°+θ)+sin2(45°-θ)= 。 21.已知 sinθ-cosθ= 3 1 且sinθ 及 cosθ 為 2x2+px+q=0 的兩個根,則判別式 p2-8q= 。 22.設 x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有一根為 3-2 2,則sinθcosθ= 。 23.設 tanθ+cotθ= 6 13 且0°<θ<45°,求(1)sinθcosθ= ,(2)sinθ+cosθ= ,(3)sinθ-cosθ= 。 24.設 θ 為銳角,試以 tanθ 表出 sinθ= 。 25.(1)(1+sin45°+3tan30°)(1-cos45°+tan60°)之值= 。(2) 45 csc log 2 16 log 2 1 1 5 log 60 cos log 3 45 sin log 2 - 之值= 。
26.設 θ 為銳角且滿足方程式 2cos2θ+3cosθ=2,則 sinθ+cot
2 = 。 27.在圖中,ΔABC是邊長為8的正三角形撞球檯,線段BP= 2,今由P點將一球以平行BA方向射出,最後又回到P點, 球所走的路徑如圖箭號所示,則此路徑的長度為。 28.(如圖)四面體ABCD之AD垂直於平面BCD,BCBD, BC=7,AB=24,AD=15,AC= 面ADB與面ADC的夾 θ 角,則sinθ= 。
29.sin2300 cos2600 tan600cos300= 。
30.0<A<45°,則sin2(450A)sin2(450 A)tan(450A)tan(450A)= 。
33. ABC 是等腰直角三角形,若B900,且D 是 BC 邊的中點,則tanBAD= ,tan DAC = 。 34.θ 為銳角,cotθ= 5 12 ,則sinθ-cosθ= 。 35.θ 為銳角,sinθ=a,則 tanθ 用 a 表示為 。 36.cotθ=2,則 sin 3 cos cos 5 sin = 。
37.tansin540csc540 tan2300sec2300 sin420sec480= 。
38.三角形 ABC 中,A、B、C之對邊長,依次為a、b、c,若
,
,
4
5
,
,
90
0a
b
c
B
A
BAC
C
則(1)sinθ= (2)cosθ= 。39. ABC ABC ACB ,BC
5 1 cos , 5 4 cos 中, 之中點為M,而 BC MH H BC AH垂直 於 , 5,則 。 40.ABCD且AB:BC:CD2:3:1以BC為直徑作圓,取圓上一點
B,p C) (tan APB) (tan CPD) p ( p 則 。 41.θ 為銳角,sinθ+cosθ= 13 17 ,則tanθ= 。 42.sinθcosθ= 4 3 ,則sin cos = 。 43.θ 為銳角,tanθ+secθ=5,則 cosθ= 。 44.cscθ+cotθ=2+ 3,則csc cot = 。 45. 3 1 cos
sin 且sinθ 及 cosθ 為2x2 pxq0的兩根,則p2 8q之值為 。
46. , (log tan )(log cot ) 2 2 cot tan , 90 0 2 2 0 0 則 。 47.x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有一根為 2- 3,sinθcosθ= 。 48.2x2 ( 31)xp0之二根sinθ、cosθ,則 tan 1 cos cot 1 sin 。
49.若 x 之二次方程式x2 3xcos 20及x2 6xsin 40有公根,則 tan = 。
50.x2 (tan cot)x10有一根為3
2 2
,則sinθcosθ 之值為 。 51.ABC中,C 900,4sinAsinB 1,則tanA= 。
52.1sin2 3sincos則tanθ= 。
53.sinsin coscos 1,則sin cos2= 。
[2-1.銳角三角函數][證明題] 1.試證:一圓的半徑為 r,則內接正 n 邊形的邊長和為 n 180 sin nr 2 。
2.直角△ABC 中,∠C=90°,AB=1,∠A 的平分線交BC於D,若∠A=試證: cos 1 cos sin CD + = 。
3.△ABC 中,∠C=90° , AB=1,∠A 的角平分線交BC於D,若∠A=,試證BD=
cos 1 sin + 。 4.試證sec2csc2=sec2+csc2。 5.半徑為 a,b(a>b)之二圓外切,兩外公切線之夾角為 2θ 證明:sin (ab)/(ab) 6.msecθ=1+tanθ,nsecθ=1-tanθ,證明m2n2 2。
7.cosθ-sinθ= 2 sinθ,證明 cosθ+sinθ= 2 cosθ。
8.證明 cos sin 1 sin 1 cos 。 9.證明 sin 1 cos 1 sec tan 1 sec tan 。 10.證明 sin cos cot 1 sin tan 1 cos 。 11.證明 2csc cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 。 12.證明 cos sin cos sin 2 1 cot 1 cot tan 1 tan 2 2 2 3 2 3 。
[2-1.銳角三角函數][多選題] 1.CD [2-1.銳角三角函數][計算題] 1.(1) 10 6 3 2 (2) 6 2.tan= 2 1 或 4 3 3.(1) 1 (2) 1 4. 15 31 16 5. 2 5 3 6. b a b a - , b a ab 2 7.0 8.1 或2 1 9.(1) 5-2 (2)1 (3) 51 10.(1)atan-b(2)60° 11. 4 1 5- 12. 3 1 13. 5 12 14. 5 3 15. 2 3 2+ 16. 3 1 17.1 或 2 1 18. b a b a + - 19.2 20.5 21. 5 6 4 2 2.3 7浬/時, 721 [2-1.銳角三角函數][單選題] 1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.E 8.C 9.B 1 0.D 11.D 12.D [2-1.銳角三角函數][填充題] 1. 8 17 2. 25 48 3. 15 8 4. 4 5 5. 3 22 6. 2 2 7.2 或 x 3 4 8. 2 2 3 9. 4 1 10. 5 12 11. 7 18 - 12. 3 4 13.25 14. 13 5 15. 125 11 16. 18 25 17. 5 14 18.3 19.28 20.1 21. 3 4 22. 6 1 23. 13 6 , 13 13 5 , 13 13 - 24. 2 tan 1 tan 25.27 2 3,-1 26. 2 3 3 27.24 28.25, 20 7 29. 12 25 30.2 31.5 32. 4 1 33. 3 1 , 2 1 34. 13 7 35. 2 1 a a 36. 11 37. 3 11 38.(1) 8 7 5 (2) 8 7 5 39.22 40. 10 1 4 1. 5 12 12 5 或 42. 2 1 3 43. 13 5 44.2 3 45. 3 4 46. 4 1 47. 4 1 48. 2 1 3 49.2 或-1 50. 6 1 51. 15 8 52. 2 1 或1 53.1 [2-1.銳角三角函數][證明題] 1.略 2.略 3.略 4.略 5.略 6.略 7.略 8.略 9. 略 10.略 11.略 12.略