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2-1銳角三角函數

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Academic year: 2021

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(1)

2-1.銳角三角函數

[多選題]

  1.設 ΔABC 的三頂點 A,B,C 所對的邊長分別為 a,b,c,AH 為高,則AH 之長為(A)b sinB (B) c sinC (C) b sinC (D) c sinB (E) a sinA

[2-1.銳角三角函數][計算題]

  1.假設cos+3sin=2,且θ 為銳角,試求(1)cos 的值 (2)3cos-sin 的值。   2.設 3+5sin2=10sincos,試求 tan之值。

  3.若 sin3+cos3=1,求下列各式的值(1)sin+cos (2)sin4+cos4。   4.直角△ABC 中,∠A=α,∠C= 2  ,a,b,c 表三角形之三內角∠A,∠B,∠C 之對邊長,若 a -b= 4 c ,求tanα。

  5.矩形 ABCD,AB=2,BC=6,在BC上取一點P,使∠APD=90°,令∠BAP=θ,求 tanθ。

  6.半徑為 a,b(a>b>o)之兩圓外切,其兩外公切線夾角為 2θ,求 sinθ,cosθ。   7.設 x 為正銳角,求 log(secx+tanx)+log(secx-tanx)之值。

  8.設 θ 為銳角,若 sin2θ+1=3 sinθcosθ,試求 tanθ 之值。

  9.設 cosθ=sin2θ,試求各式之值:(1)sin6θ (2)cos2θ+sin4θ+sin6θ (3)

  1 cos 1 cos 1 1 -    10. 如右圖:設ABCD是一個長方形的撞球床,由撞球床的中心O 擊球撞到AB上點X,反射回來擊到BC邊上的點Y。已知: a 2 AB BC2b, AXO=∠BXY=θ 。 ∠ (1)試以a,b θ, 表示BY的長。 (2)若由X反射回來的球恰好撞到頂點C,而a 3b,求 。θ  11.設等腰銳角△ABC 之三角為 36°,72°,72°,AD是分角線,若AB=1,求底邊長,並試由此 求sin18°之值。

 12.等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若BC的中點D,∠BAD=,求tan之值。

 13.直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若 a-b= 13 7 c,且 a>b,求tanA之值。  14.設tan=2,試求     cos sin 2 cos sin 2 + - 之值。

 15.為銳角,設2sincos=1,試求sin+cos+tan+cot+sec+csc之值。

 16.直角三角形 ABC 中,∠C=90°,若AB=5,AC=4,∠A 的平分線交BC於D,∠DAB=

,求tan之值。

 17.已知2sin23sincoscos20,求tan之值。

 18.設tan+sin=a,tan-sin=b,請用a、b 表示cos。

 19.設a2b25,a、b 均為正數,若acosbsin1,試求asinbcos之值。  20.試求(sincsc)2(cossec)2(tancot)2之值。

 21.假設 cosθ+3sinθ=2,且 00<θ<900,求cosθ+sinθ 之值。

(2)

50°東,距離 O 點 1 浬處,1.船速 2.這段時間內,船與 O 之最小距離。 [2-1.銳角三角函數][單選題]

  1.設是銳角,滿足sec222tan,則值為 (A) 3  (B) 4  (C) 6  (D) 8  (E) 12  。   2.     sin 1 cos sin 1 cos + +

- 的值為 (A)2sin (B)2csc (C)2cos (D)2sec (E)2tan。

  3.下列各式何者的值為 2+1 (A)tan15 (B)tan22.5 (C)tan45 (D)tan67.5 (E)tan75 。   4.     1 csc 1 sec 1 1 cos 1 1 sin 1 1 + + + + + +

+ 之值為 (A)2 (B)1 (C)2sin (D)2cos (E)4。   5.下列敘述何者正確? (A)sin50<cos50 (B)tan50<cot50 (C)tan50<sec50 (D)

  sin230 230

cos < (E)tan230<cot230。   6.設  是銳角,下列何者滿足 sec2=4tan (A)

12  (B) 8  (C) 6  (D) 4  (E) 3  。   7.   cos 1 sin + +   sin cos

1+ 的值為 (A)2sin (B)2cos (C)2tan (D)2cot (E)2csc。

  8.tan 8  的值為 (A) 4 2 (B) 4 1 5- (C) 2 -1 (D) 2+1 (E) 4 2 6-   9.  2 sin 1 1 + +1 cos2 1 + +1 sec2  1 + +1 csc2  1

+ 的值為 (A)4 (B)2 (C)1 (D)2sin2 (E)2cos2。  10.某甲觀測一飛行中之熱氣球,發現其方向一直維持在正前方,而仰角則以等速遞減。已知此氣球 之高度維持不變,則氣球正以 (A)等速飛行 (B)加速向某甲飛來 (C)減速向某甲飛來 (D)加速離 某甲飛去 (E)減速離某甲飛去。  11. 三角形EFGbhABCDBC2CDCD=(A) 2 h (B) 2 b (C) b h bh (D)hb bh  2 (E) 2 hb 。  12. 如右圖,單位圓OyABθ 始邊在xCOACyθ 終邊交於CAC ()sin

()

cos ()tan

()cot

()sec

[2-1.銳角三角函數][填充題]

  1.設 θ 為一銳角,且

8 15

(3)

  2.直角△ABC中,∠C90°AC=4,BC=3,自CCD 直ABDDEACEDE   3.ABC ∠C為直角,∠AAB=c,BC=a,CA=b, 若滿足3a3c5btan   4.設方程式x2(tancot)x40有一根 1 5- ,則sincos的值為 。   5.設 3 4 cos

sin+ = ,且是銳角,sin+cos+tan+cot+sec+csc的值為 。   6.設是銳角,且sin+cos= 2,則sec3cos3的值為 。

  7.設35cos210sincos,則tan的值為 。   8.設是銳角,且

3 1 cos

sin6 6 ,則tan cot 的值為 。

  9.直角△ABC 中,∠C=90° , AC=3 , BC=5 , BD=2 , CD=3,若∠BAD=,則 tan的值

為        。

 10.直角△ABC 中,AB=c , BC=a , CA=b , ∠C 為直角 , ∠A=,若滿足 a+c=5b,則 tan=

 11.設 sin , cos是方程式 3x2-4x+k=0 的兩根,則以 tan , cot為二根得方程式 x2+px+q=0 時, p=        。

 12.已知 sin-cos= 13 ,且sin及 cos為 2x2+px+q=0 的兩個根,則判別式 p2-8q=     。  13.設  為銳角,若 acos-bsin=4 , asin+bcos=3,則 a2+b2的值為        。  14.兩圓外切,半徑分別為 4 與 9,若兩圓外公切線的夾角為 2,則 sin=         。  15.2sin2-cos2= 5 4 ,則cos10+sin10之值為        。  16.設 θ 為銳角,若 cosθ= 3 2 ,則    csc tan sin  =    。  17. 右圖為單位圓,ATBSPQxPRy ∠ 軸,AOP=θ,若BS= 3 4 ,則矩形OQPR

(4)

 18.如右圖,正方形 ABCD,M 為BC中點,∠MAC=α,cotα=  。  19.如右圖△ABCADBCAB=25sinB= 5 3sinC= 17 15 , 則BC=  20.設 0<θ<45°,則 sin2(45°+θ)+sin2(45°-θ)=  。  21.已知 sinθ-cosθ= 3 1 且sinθ 及 cosθ 為 2x2+px+q=0 的兩個根,則判別式 p2-8q=  。  22.設 x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有一根為 3-2 2,則sinθcosθ=  。  23.設 tanθ+cotθ= 6 13 且0°<θ<45°,求(1)sinθcosθ=   ,(2)sinθ+cosθ=   ,(3)sinθ-cosθ=  。  24.設 θ 為銳角,試以 tanθ 表出 sinθ=  。  25.(1)(1+sin45°+3tan30°)(1-cos45°+tan60°)之值=  。(2)    45 csc log 2 16 log 2 1 1 5 log 60 cos log 3 45 sin log 2 - 之值=  。

 26.設 θ 為銳角且滿足方程式 2cos2θ+3cosθ=2,則 sinθ+cot

2  =  。  27.在圖中,ΔABC是邊長為8的正三角形撞球檯,線段BP= 2PBAP 球所走的路徑如圖箭號所示,則此路徑的長度為。  28.(如圖)四面體ABCD之AD垂直於平面BCD,BCBDBC=7AB=24AD=15AC= ADBADC θ 角,則sinθ=

 29.sin2300 cos2600 tan600cos300= 。

 30.0<A<45°,則sin2(450A)sin2(450A)tan(450A)tan(450A)= 。

(5)

 33. ABC 是等腰直角三角形,若B900,且D 是 BC 邊的中點,則tanBAD= ,tan DAC  = 。  34.θ 為銳角,cotθ= 5 12 ,則sinθ-cosθ= 。  35.θ 為銳角,sinθ=a,則 tanθ 用 a 表示為 。  36.cotθ=2,則   sin 3 cos cos 5 sin   = 。

 37.tansin540csc540 tan2300sec2300 sin420sec480= 。

 38.三角形 ABC 中,A、B、C之對邊長,依次為a、b、c,若

,

,

4

5

,

,

90

0

a

b

c

B

A

BAC

C

則(1)sinθ= (2)cosθ= 。

 39. ABC ABC ACB ,BC

5 1 cos , 5 4 cos     中, 之中點為M,而   BC MH H BC AH垂直 於 , 5,則 。  40.ABCDAB:BC:CD2:3:1以BC為直徑作圓,取圓上一點     

B,p C) (tan APB) (tan CPD) p ( p 則 。  41.θ 為銳角,sinθ+cosθ= 13 17 ,則tanθ= 。  42.sinθcosθ= 4 3 ,則sin cos = 。  43.θ 為銳角,tanθ+secθ=5,則 cosθ= 。  44.cscθ+cotθ=2+ 3,則csc cot = 。  45. 3 1 cos

sin    sinθ 及 cosθ 為2x2 pxq0的兩根,則p2 8q之值為 。

 46.     , (log tan )(log cot ) 2 2 cot tan , 90 0 2 2 0 0  47.x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有一根為 2- 3,sinθcosθ= 。  48.2x2 ( 31)xp0之二根sinθ、cosθ,則         tan 1 cos cot 1 sin

 49.若 x 之二次方程式x2 3xcos 20x2 6xsin 40有公根,則 tan= 。

 50.x2 (tan cot)x10有一根為3

2 2

 ,則sinθcosθ 之值為 。  51.ABC中,C 9004sinAsinB 1,則tanA= 。

 52.1sin23sincostanθ= 。

 53.sinsin coscos 1,則sin cos2= 。

[2-1.銳角三角函數][證明題]   1.試證:一圓的半徑為 r,則內接正 n 邊形的邊長和為 n 180 sin nr 2 。

(6)

  2.直角△ABC 中,∠C=90°,AB=1,∠A 的平分線交BC於D,若∠A=試證:    cos 1 cos sin CD + = 。

  3.△ABC 中,∠C=90° , AB=1,∠A 的角平分線交BC於D,若∠A=,試證BD=

  cos 1 sin + 。   4.試證sec2csc2sec2csc2   5.半徑為 a,b(a>b)之二圓外切,兩外公切線之夾角為 2θ 證明:sin (ab)/(ab)   6.msecθ=1+tanθ,nsecθ=1-tanθ,證明m2n2 2

  7.cosθ-sinθ= 2 sinθ,證明 cosθ+sinθ= 2 cosθ。

  8.證明  cos sin 1 sin 1 cos   。   9.證明   sin 1 cos 1 sec tan 1 sec tan       。  10.證明  sincoscot 1 sin tan 1 cos    。  11.證明 2csccos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1          。  12.證明         cos sin cos sin 2 1 cot 1 cot tan 1 tan 2 2 2 3 2 3     。

(7)

[2-1.銳角三角函數][多選題]   1.CD [2-1.銳角三角函數][計算題]   1.(1) 10 6 3 2(2) 6  2.tan= 2 1 或 4 3   3.(1) 1 (2) 1  4. 15 31 16  5. 2 5 3   6. b a b a  - , b a ab 2    7.0  8.1 或2 1   9.(1) 5-2 (2)1 (3) 51 10.(1)atan-b(2)60° 11. 4 1 5-  12. 3 1  13. 5 12  14. 5 3  15. 2 3 2+  16. 3 1  17.1 或 2 1  18. b a b a + -  19.2 20.5 21. 5 6 4  2 2.3 7浬/時, 721 [2-1.銳角三角函數][單選題]   1.D  2.D  3.D  4.A  5.C  6.A  7.E  8.C  9.B 1 0.D 11.D 12.D [2-1.銳角三角函數][填充題]   1. 8 17   2. 25 48   3. 15 8   4. 4 5   5. 3 22   6. 2 2   7.2 或 x 3 4    8. 2 2 3   9. 4 1  10. 5 12  11. 7 18 -  12. 3 4  13.25 14. 13 5  15. 125 11  16. 18 25  17. 5 14  18.3 19.28 20.1 21. 3 4  22. 6 1  23. 13 613 13 5 13 13 -  24.   2 tan 1 tan   25.27 2 3,-1 26. 2 3 3  27.24  28.25, 20 7  29. 12 25  30.2 31.5 32. 4 1  33. 3 1 , 2 1  34. 13 7   35. 2 1 a a   36. 11  37. 3 11  38.(1) 8 7 5 (2) 8 7 5  39.22 40. 10 1  4 1. 5 12 12 5 或  42. 2 1 3  43. 13 5  44.2 3 45. 3 4  46. 4 1   47. 4 1  48. 2 1 3  49.2 或-1 50. 6 1  51. 15 8  52. 2 1 或1 53.1 [2-1.銳角三角函數][證明題]   1.略  2.略  3.略  4.略  5.略  6.略  7.略  8.略  9. 略 10.略 11.略 12.略

參考文獻

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