單元02-三角函數的圖形

18

甲

正弦與餘弦函數的圖形

　　在各三角比都有定義的情形下，給定一個廣義角_{x，sin x , cos x 與 tan x 的值都} 隨之唯一確定；因此它們都是x 的函數，依序稱為正弦函數，餘弦函數與正切 函數。接下來我們先介紹正弦與餘弦函數的圖形，並藉此討論它們的特性。

（一）正弦函數

_y

_{= sin x 的圖形}

　　描繪函數圖形最直接的方法就是描點法。首先對某些特殊的_{x 值（弳）求出} 其對應的函數值_{y = sin x，列表如下。} x 0 r₆ r₄ r_{3 2}r 2r₃ 3r₄ 5r₆ r 5r 4 3r2 7r4 2r y 0 1_{2 2} 2 _{2 1}3 ₂ 3 ₂ 2 1₂ 0 - ₂ 2 -1 - _{2 0}2 　　生活上有許多波動與三角函數息息相關，例如 將繩子一端固定在牆壁、另一端作上下規律的振 動，得到的這個規律波形是與正弦函數相關的圖 形。本單元將逐一介紹各三角函數的圖形，並探討 它們的特性。 ▲圖₁

三角函數的圖形

2

19

2

三角函數的圖形 接著，利用計算機算出上表中_{x , y 的（近似）值，再將點} (_{x , y}) 逐一標示於坐標 平面上。如果描點數夠多，並用平滑曲線將這些點連起來，就可得到 _{y = sin x 在} 0 ≤ x ≤ 2r 上的圖形（如圖 2 所示）。 ▲圖₂ 　　除此之外，也可以利用單位圓來描繪正弦函數的圖形。 　　首先，在坐標平面上，以原點_{O 為圓心，作一單位圓，再以 x 軸正向為始邊，} 作一廣義角 i，如圖 _{3 所示。因為廣義角 i 的終邊與單位圓交於 P}(_{cos i ,sin i})， 所以_{sin i} 是_{P 點的 y 坐標。} ▲圖₃ 　　接著，當 i 由 _{0 逐漸增加到 2r 時，P 點會繞單位圓一圈，此時 P 點的 y 坐} 標（即 _{sin i 值）的變化情形可用圖 4(a) 中的線段顏色（紅色表正，綠色表負）} 與長短（_{sin i 的絕對值愈大，長度愈長）來表示。} 　　最後，利用這些 _{P 點的 y 坐標，就可描繪出函數 y =sin x 在 0 ≤ x ≤ 2r 上的} 圖形，如圖 _{4(b) 所示。} (a) (b) ▲圖₄

20

　　無論從描點或是用單位圓的方式，都可觀察正弦函數_{y = sin x 的圖形有以下} 的現象： 1 當 x 從 0 增加到r₂時，_{y =sin x 的值從 0 增加到 1。} 2 當 x 從r₂增加到 r 時，_{y =sin x 的值從 1 減少到 0。} 3 當 x 從 r 增加到 3₂r時，y =sin x 的值從 0 減少到 - 1。 4 當 x 從 3₂r增加到2r 時，y = sin x 的值從 - 1 增加到 0。 　　由同界角的換算公式sin (2r + x)=sin x 可知：當變數 x 的值增加 2r 時，正 弦函數的值會重複的出現；因此，_{y = sin x 在 2r ≤ x ≤ 4r 上的圖形與在 0 ≤ x ≤ 2r} 上的圖形完全相同，其餘範圍以此類推。也就是說，只要把_{y = sin x 在 0 ≤ x ≤ 2r} 上所畫的圖形複製並逐次向右及向左平移2r 單位，就可得到 y = sin x 的全部圖形 （如圖5 所示）。 ▲圖₅ 像這樣圖形會重複出現的函數，我們稱函數_{y = sin x 為}週期函數。又 _{y = sin x 在} 0 ≤ x ≤ 2r 範圍內的圖形沒有重複，且將其複製並向右及向左平移 2r 單位的倍數 可得_{y = sin x 的全部圖形，我們稱 2r 是函數 y = sin x 的}週期。 　　在函數關係中，_{x 取值的範圍稱作該函數的}定義域，而其對應值_{y 的範圍稱} 作該函數的值域。由圖5 觀察發現：正弦函數的定義域為全體實數 R，且值域 在 -1 與 1 之間（含端點）。 　　接著再進一步討論正弦函數y =sin x 的特性： 1 定義域：因為對任意實數 x , sin x 都有定義，所以其定義域為全體實數 R。 2 值　域：因為正弦函數的值涵蓋每個在 - 1 與 1 之間的實數，所以其值域為 {y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 1}。

21

2

三角函數的圖形 3 週　期：由圖形知其週期為 2r。 4 振　幅： 從圖 5 中發現正弦函數圖形在 x 軸上方或下方擺動的最大距離為 1； 此時稱正弦函數 _{y = sin x 的振幅為 1。} 5 對稱性： 由換算公式 sin (-x)= -sin x 知其圖形對稱於原點。從圖 5 中發現， y=sin x 的圖形會對稱於所有通過波峰或波谷的鉛直線（如直線 x= r_{2 ,} x= 3₂r）。 　　藉助y=sin x 的圖形及圖形平移的概念，可以畫出與 y=sin x 相關的函數之圖形。 利用_{y = sin x 的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其週期、最大值及最小} 值。 1 y =sin x + 1。　　　　2 y = sin

(

x - 3₄r

)

。

例題

1

1 因為對每一個 x , y = sin x + 1 的值總是比 y = sin x 多 1，所以 y = sin x + 1 的圖形可由 y = sin x 的圖形向上平移 1 單位得到，如下圖所示。 故函數 y = sin x + 1 的週期是 2r，最大值為 2，最小值為 0。 2 觀察 x = 3r 4 代入y = sin

(

x - 3r4

)

的值與x = 0 代入 y = sin x 的值相等；事 實上，將 x = t + 3r 4 代入 y =s i n

(

x - 3 r 4

)

的值與 x = t 代入 y = s i n x 的值 相等；因此 y = sin

(

x - 3r 4

)

的圖形可由 y = sin x 的圖形往右平移 3 r 4 單 位得到，如下圖所示。 解

22

故函數 y = sin

(

x - 3₄r

)

的週期是 2r，最大值為 1，最小值為 - 1。 利用_{y = sin x 的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其週期、最大值及最小} 值。 1 y =sin x - 1。 2 y = sin

(

x + r 2

)

。

隨堂練習

23

2

三角函數的圖形 　　關於正弦函數圖形平移的概念，我們以流程圖表示如下。 y = sin x 的圖形 y = sin (x - h) 的圖形 y = sin (x - h)+k 的圖形 往右平移h 單位 往左平移h 單位 向下平移k 單位 向上平移k 單位 例如：函數_{y = sin}

(

_{x -} r 3

)

+2 的圖形可由 y = sin x 的圖形往右平移 r 3單位，向上平 移2 單位得到。 　　利用以上的流程圖來做一道正弦函數圖形平移的例題。 已知右圖為 _{y = sin} (_{x - h}) 一個週期的圖形， 其中_{0 < h < 2r，求 h 的值。}

例題

2

因為 y = s i n (x - h) 的圖形可由 y = s i n x 的圖形往右平移 h 單位得到，所 以從題目的圖形可知： h = 2₃r。 已知右圖為 y = sin (x + h) 一個週期的圖形， 其中0 < h < 2r，求 h 的值。 解

隨堂練習

24

　　藉助_{y = sin x 的圖形及圖形伸縮的概念，來畫出與 y = sin x 相關的函數之圖形。} 利用_{y = sin x 的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其週期、最大值及最小} 值。 1 y =2sin x。　　　　2 y = sin 2x。

例題

3

1 因為對每一個 x , y = 2 s i n x 的值總是 y = s i n x 的 2 倍，所以 y = 2 s i n x 圖形振幅為 y = sin x 圖形振幅的 2 倍，如下圖所示。 故函數 y = 2 sin x 的週期是 2r，最大值為 2，最小值為 - 2。 2 觀察 x = r 4代入 y = s i n 2x 的值與 x = r 2代入 y = s i n x 的值相等；事實 上，將 x = t 2代入 y =s i n 2x 的值與 x = t 代入 y = s i n x 的值相等；因此 y = sin 2x 的週期只有 y = sin x 的 1₂ ，如下圖所示。 故函數 y = sin 2x 的週期是 r，最大值為 1，最小值為 - 1。 解

25

2

三角函數的圖形 利用_{y = sin x 的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其週期、最大值及最小} 值。 1 _{y = 12 sin x。} 2 y = sin x2 。

隨堂練習

　　關於正弦函數圖形伸縮的概念，我們以流程圖表示如下： y = sin x 的圖形 y = a sin x 的圖形 y = a sin bx 的圖形 振幅變為a 倍（a > 0） 週期變為 1 b 倍（b > 0） 例如：函數 y = 3 sin 2x 的圖形可由 y = sin x 的圖形鉛直伸縮為原來的 3 倍（振幅 變為_{3），水平伸縮為原來的 12 倍（週期變為}2r 2 = r）後得到。

26

　　來看一道從圖形判斷伸縮的例題。 已知右圖為 _{y = a sin bx 一個週期的圖形，其中} a > 0 , b > 0，求 a 與 b 的值。

例題

4

根據圖形伸縮的概念，得函數y = a sin bx 的 振幅為a，週期為 2r b ； 又由圖形可知：函數y = a sin bx 的 振幅為2，週期為 2r 3 。 故得a =2 , b = 3。 已知右圖為 _{y = sin bx 一個週期的圖形，} 其中_{b > 0，求 b 的值。} 　　形如_{y = a sin} (_{bx + c})+d（其中 a , b , c , d 均為常數）的函數圖形可經由 y = sin x 的圖形平移與伸縮得到；又因為伸縮可能會改變圖形的振幅與週期，所以在實際 操作上，我們會先處理伸縮再進行平移。 解

隨堂練習

27

2

三角函數的圖形 利用_{y = sin x 的圖形畫出函數 y = 3 sin}

(

_{2x + 2r} 3

)

+1 的圖形，並求其週期、 最大值及最小值。

例題

5

將函數y = 3 sin

(

2x + 2r 3

)

+1 改寫為 y =3 sin

(

2

(

x + r 3

))

+1， 接著，依據先伸縮再平移的步驟畫出各圖形。 步驟1：振幅變為 3 倍 步驟2：週期變為 2r 2 = r 步驟3：往左平移r 3單位，向上平移1 單位 故根據以上的圖形可知 ，函數 y =3 s i n

(

2x + 2r 3

)

+1 的週期是 r，最大值 為4，最小值為 - 2。 解

28

模仿例題_{5 的做法，在下圖畫出函數 y = 2 sin x2 -2 的圖形，並求其週期、} 最大值及最小值。

隨堂練習

(二)餘弦函數 y = cos x 的圖形

　　有了正弦函數的圖形，可以藉助它及圖形平移的概念來描繪餘弦函數的圖 形。由換算公式cos x = sin

(

_{x +} r 2

)

可知，y = cos x 的圖形可由正弦函數 y = sin x 的 圖形往左平移r 2單位得到（振幅與週期都與sin x 相同），如圖 6 所示。 ▲圖₆ 　　接著再進一步討論餘弦函數_{y = cos x 的特性：} 1 定義域：因為對任意實數 x , cos x 都有定義，所以其定義域為全體實數 R。 2 值　域：因為餘弦函數的值涵蓋每個在 - 1 與 1 之間的實數，所以其值域為 　　　　{y ∈ R | - 1 ≤ y ≤ 1}。 3 週　期：因為餘弦函數圖形可由正弦函數平移得到，所以其週期為 2r。 4 振　幅：因為餘弦函數圖形可由正弦函數平移得到，所以其振幅為 1。

29

2

三角函數的圖形

5 對稱性： 由換算公式 cos (-x)=cos x 知其圖形對稱於 y 軸。

從圖_{6 中發現，y 軸通過餘弦函數的波峰；事實上，y = cos x 的圖形} 會對稱於所有通過波峰或波谷的鉛直線（如直線_{x = 2r、x = r）。} 　　餘弦函數平移與伸縮的概念與正弦函數相同，做以下練習。 利用 _{y = cos x 的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其最大值、最小值及} 週期。 1 y =cos x + 2。 2 y = 3 cos x。

隨堂練習

30

　　接著利用正餘弦函數的圖形來比較其函數值的大小。

利用_{y = sin x 的圖形比較 a = sin 1 , b = sin 2 , c = sin 3 , d = sin 4 的大小。}

例題

6

由a = sin 1 , b = sin 2 , c = sin 3 , d = sin 4 可知 (1 , a), (2 , b), (3 , c)與 (4 , d) 四點分別落在y = sin x 的圖形上。 因為r 2≈ 1.57 , r ≈ 3.14 , 32r≈ 4.71，所以四點的約略位置如下圖所示。 又因為r 2≈ 1.57，可知 2 比 1 更接近 r 2 ，所以點 (2 , b) 比點 (1 , a) 高 ， 即b > a。綜合可得 b > a > c > d。

利用_{y = cos x 的圖形比較 a = cos 1 , b = cos 2 , c = cos 3 , d = cos 4 的大小。}

　　因為_{y = cos x 為週期 2r 的週期函數，所以求方程式 cos x = k（其中 k 為實數）} 所有的解，只要先求出在_{0 ≤ x ≤ 2r 範圍內的解，再利用同界角的概念，即可得} 到所有的解；我們以底下例題來做說明。

解

31

2

三角函數的圖形 在_{0 ≤ x ≤ 4r 的範圍內，求方程式 cos x = 1} 2的解。

例題

7

首先，因為「方程式 c o s x = 1 2解的個數」與「y =c o s x 與 y = 12兩圖形的 交點數」相等，所以在同一坐標平面上的0 ≤ x ≤ 2r 範圍內，描繪 y= cos x 與y = 1 2的圖形，如下圖所示。 接著 ，由上圖可知 ： 在 0 ≤ x ≤ 2r 範圍內，y = c o s x 與 y = 1 2的圖形恰有 兩個交點，即方程式 cos x = 1 2恰有兩個解。又因為 cos r 3 =cos 5 r 3 = 12， 所以這兩解即為r 3與 5 r 3 。 最後，利用同界角的概念可推得在 2r ≤ x ≤ 4r 範圍內的解為 r 3 +2r = 7 r 3 與 5 r 3 +2r = 11 r 3 。 故在0 ≤ x ≤ 4r 的範圍內，方程式 cos x = 1 2有4 個解，分別為 x = r 3 , 5 r 3 , 7 r 3 , 11 r 3 。 在_{0 ≤ x ≤ 4r 範圍內，求方程式 sin x = 12 的解。} 解

隨堂練習

32

　　由例題 _{7 可知，利用函數的圖形可以判斷方程式解的個數；我們再來看一個} 較複雜的方程式例子。 求方程式 _{sin x = x} 10解的個數。

例題

8

在同一坐標平面上，描繪y = sin x 與 y = x 10的圖形，如下圖所示。 (10,1) (−10,−1) y=−₁₀x y=sinx x y O 1 2 3 −1 −2 −3 2 3 − −2 −3 因為 y = sin x 的振幅為 1，所以只須考慮 y = x 10在 -10 ≤ x ≤ 10 範圍內的 圖形即可；也就是說，y =sin x 與 y = x 10的交點僅會落在連接(-10 , - 1), (10 , 1) 兩點的線段上。因此由圖形可知，y = sin x 與 y = x 10有7 個交點。 故方程式 sin x = x 10有 7 個解。 利用_{y = cos x 的圖形，求方程式 8 cos x = x 解的個數。} 解

隨堂練習

33

2

三角函數的圖形 　　最後，來看一題有關風力發電機的實際例子。 風力發電機的三個葉片長度皆為 40 公尺，其旋轉 中心離地面67 公尺，如右圖所示，P 點為某葉片的 頂端且逆時針方向旋轉一圈需時 4 秒。當風力發電 機開始運轉時，_{P 點恰在離地最高的位置上，x 秒} 後，_{P 點離地的高度 y（公尺）可表為} y = a sin

(

bx + r 2

)

+c， 其中_{a 與 b 都是正數。求 a , b 與 c 的值。}

例題

9

根據圖形平移與伸縮的概念 ，函數 y = a s i n

(

b x + r 2

)

+c 的圖形之週期為 2r b ；又因為 P 點逆時針方向旋轉一圈需時 4 秒，所以 2r b =4。 解得b = r 2 ，可得 y = a sin

(

bx + r 2

)

+c = a sin

(

r 2x + r2

)

+c。 根 據 圖 形 平 移 與 伸 縮 的 概 念 ， 函 數 y = a s i n

(

r 2x + r2

)

+c 的最大值為 a + c，最小值為 - a + c，即 a + c = 107 -a + c = 27， 解得a = 40 , c = 67。 解

34

海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象。假設下圖是某港口在 一天24 小時海水漲落的水深記錄圖。 經過長期的觀測得知，上圖的水深 _{y（公尺）與時間 x（小時）的關係可} 表為 y = a sin bx + c， 其中_{a , b , c 都是正數。根據上圖求 a , b , c 的值。}

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乙

正切函數的圖形

　　之前利用單位圓的變化來描繪正弦函數的圖形。我們也可以用同樣的方式來 描繪正切函數的圖形，並討論它的特性。 　　因為換算公式 tan(x + r)=tan x 成立，所以只須畫出 - r 2 ≤ x ≤ r 2範圍內的圖形；又因為 tan x 在 x = r2及x = - r2處 沒有定義，所以僅在 - r 2 <x < r2範圍內做討論。 　　利用單位圓來描繪正切函數的圖形：

35

2

三角函數的圖形 　　首先，在坐標平面上，以原點_{O 為圓心，作一單位圓及過點 T}(_{1 , 0})的切線_L； 再以_{x 軸正向為始邊，作一廣義角 i，如圖 7(a) 所示。因為廣義角 i 的終邊與直} 線_{L 交於 P}(_{1 ,tan i})，所以_{tan i}是_{P 點的 y 坐標。} (a) (b) (c) ▲圖₇ 　　接著，當 i 由 - r 2逐漸增加到 r 2時，P 點的 y 坐標（tan i 值）的變化情形可 用圖 _{7(b) 中的線段顏色（紅色表正，綠色表負）與長短（tan i 的絕對值愈大，} 長度愈長）來表示。 　　最後，利用這些_{P 點的 y 坐標，就可描繪出函數 y =}tan x 在 - r 2 <x < r 2 上 的圖形，如圖_{7(c) 所示。} 　　因為_tan (_{x + r})=tan x，所以只需將圖 7(c) 的圖複製並逐次向右或向左平移 r 單位，就可得到_{y = tan x 的全部圖形（如圖 8 所示）。} ▲圖₈

36

　　正切函數_{y = tan x 的圖形有以下的現象：} 1 當 x 從 0 逐漸增加而接近r₂時，_{y =tan x 從 0 逐漸增加而趨向無限大。} 2 當 x 從 0 逐漸減少而接近 - r₂時，y =tan x 從 0 逐漸減少而趨向負無限大。 　　接著再進一步討論正切函數y = tan x 的特性： 1 定義域：正切函數 tan x = sin x cos x 的定義域為 {x ∈ R |x≠kr + r 2 , k ∈ Z}。 2 值　域：因為正切函數的值涵蓋每一個實數，所以其值域為全體實數 R。 3 週　期：由圖形知其週期為 r。 4 對稱性：由換算公式 tan(-x)= -tan x 知其圖形對稱於原點。

在_{0 < x < 2r 範圍內，y = tan x 和 y = cos x 的圖形共有幾個交點？}

37

2

三角函數的圖形

2

觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 函數 y = 2 sin 3x 的最大值為 2。 2 函數 y = 2 sin 3x 的週期為 2₃r。 3 函數 y = 2 cos 3x 的圖形對稱於直線 x = r₆。 4 函數 y = 2 cos 3x 的圖形對稱於原點。 5 函數 y = tan x 與 y = 100 的圖形有交點。

一、基礎題

右圖可以是哪個函數的圖形？ 1 y = sin

(

x - r 2

)

2y = sin

(

x + r2

)

3 y = sin

(

x - 3r 2

)

4y = sin x + 1。 求下列各函數的週期、最大值及最小值：

1 y =_{3 sin x。　　　2 y = sin x3 。　　　3 y=5 sin 3x。}

下列哪些函數經過左右或上下平移後會與 _{y = sin x 的圖形重合？}

1 y = sin

(

x - r

38

求下列各函數的週期、最大值及最小值： 1 y = 4 cos x + 2。　　2 y = sin

(

3x - r 2

)

。　　3 y = 2 cos

(

x + r3

)

-1。 利用_{y =sin x 的圖形比較 a = sin r} 5 , b = sin 3 r 5 , c=sin 7 r 5 , d=sin 9 r 5 的大小。 在 -2r ≤ x ≤ 2r 範圍內，求方程式 cos x = - 1 2的解。 求方程式 _{sin x = - x} 12解的個數。 下圖是使用示波器觀測某交流電發電機的電壓 _{v（伏特）與時間 t（秒）所} 形成的波形，其中橫軸每格為 _{0.025 秒。} 上圖電壓 _{v 與時間 t 可表為} v = a sin bt， 其中 _{a 與 b 都是正數。} 1 求 a 與 b 的值。 2 已知每一週期發電機的線圈會轉一圈，求每秒鐘線圈轉的圈數為多少？

39

2

三角函數的圖形

二、進階題

已知右圖為 y = sin (x - h) 一個週期的圖形， 其中 0 < h < 2r，求 h 的值。 在 0 ≤ x < 2r 的範圍內，求方程式 2 sin 2x + 5 cos x - 4 = 0 的解。 在 0 ≤ x < 2r 的範圍內，求方程式 tan x = 1 - x 的解的個數。 已知 a > 0 , b > 0，函數 y = a s i n b x 的 圖 形 通 過 最 高 點 P ( 3 , 2) 及 最 低 點 Q(9 , - 2)， 且 與 直 線 y = - 1 交 於 A , B , C 三點，如圖所示，求 1 a , b 的值。 2 AB 的長度。 3 BC 的長度。