數學算板中碎形觀察及探索的工具

數學算板中碎形觀察及探索的工具

林保平

臺 北 市 立 大 學 數 學 系 退 休 副 教 授

一、數學算板內建的碎形簡介

碎 形 （fractal） 是 重 複 或 放 縮 地 展 示 一 個 （ 或 若 干 個 ） 花 樣 (或 圖 案 )的 自 然 現 象 或 數 學 集 合 的 圖 像 。 如 果 圖 像 中 各 花 樣 除 大 小 外 都 完 全 一 樣 ， 稱 其 具 有 自 我 相 似(self-similar) 的 特 性 。 而 碎 形 的 數 學 根 源 就 是 遞 迴(recursion)的 概念 。 遞 迴 定 義(recursive definition)是 定 義 一 個 無 限 序 列 的 方 法 。 這 個 定 義 有 兩 個 部 分: 基 本(base)及 歸 納(induction)。基 本 部 分 定義 序 列 的 起始 值 ， 歸 納部 分 根 據第 n 及 之 前 的 項 ， 定 義 出 第n+1 項 。 例 如階 乘 函 數 n!的 遞迴 定 義就 是 ： （1） 1 （2） n＋1 ， 0。 又 如 費 波 拉 漆 數 列(Fibonacci sequence)的 遞迴 定 義 就是 ： （1） 1， 1 （2） ， 0。 透 過 遞 迴 定 義 求 出 無 限 序 列 的 各 項，稱 為 迭 代（iteration)，n 稱 為 迭代 的 層次(stage)。 在 不 同 的 起 始 點 同 時 進 行 若 干 個 迭 代 時 ，「 層 次 」 的 意 義 就 有 別 於 迭 代 的 次 數 。 透 過 迭 代 求 出 一 個 無 窮 序 列 的 各 項，並 將 各 項 以 圖 示 而 得 的 圖 形 整 體 就 是 碎 形。將 碎 形 圖 案 的 部 分 放 大 後 ， 可 看 到 與 整 體 相 似 的 圖 形 。 數 學 算 板(MathBoard, http://mathboard.tw )內 建 了 一 些 常 見 的 碎 形 構 圖 及 探 索 的 程 式 工 具 ， 如 雪 花(Koch snowflake)碎 形 、 席 爾 平 斯 基 (Sierpinski)碎 形 、 勾 股 樹 (Pythagoras)碎 形 、 邦 思 理 蕨 葉(Barnsley Fern)碎 形 、 曼德 布 洛 特(Mandelbrot)碎形 、 朱 立 亞(Julia)碎 形及 牛 頓(Newton)碎 形。前 三 者 是線 段 或 其 內部 構 成 的 碎形，其 他 是複 函 數 點 集合 構 成 的 碎形。

邦 思 理 蕨 葉 碎 形 是 Barnsley(1993)透 過 下列 迭 代 函 數系 統 （Iterated function system） , 0.85 0.04

0.04 0.85 0.001.60 , 0.15 0.28

0.26 0.24 0.000.44 , 0.20_{0.23 0.22}0.26 0.00_1.60

, 0.00 0.00 0.00 0.16 建 立 的 碎 形 實 例。電 腦 繪 圖 時，程 式 首 先 畫 出 原 點（0，0），然 後 根據 指 定的 機 率 ， 隨 機 選 出 上 述 四 個 函 數 中 的 一 個 來 得 到 下 一 個 點，依 次 迭 代。迭 代 的 次 數 足 夠 之 後，就 可 以 得 到 清 楚 的 蕨 葉 碎 形 。 而 的 起 始 值 是 根 據 Barnsley 提 出 的 下 列 公 式 決 定 的 。 設 , ， 其 中A a_c b_d ， _{g ，我們定}e _∑| _| | |， 其 中i=1,2,3,⋯N。 曼 德 布 洛 特 碎 形、朱 立 亞 碎 形 及 牛 頓 碎 形 是 根 據 下 列 集 合 M，J，N，迭 代 分辨 點 是 否 在 該 集 合 內 ， 分 別 塗 色 之 後 作 出 的 圖 形 。 曼 德布 洛 特 集 合（ Mandelbrot Set） M 的 數 學定 義 是 ∈ lim → ∞ 其 中 ： ， ， 為 含 有 一 個 複 常 數 a 的複 變 數 函數 f。 也 就 是說 ， 曼 德 布洛 特 集 合 是 一 個 符 合 上 述 條 件 的 複 數 集 合，對 於 任 意 複 數a，若 n 趨 近 於 無限 大，而 迭代 的 函 數 Z 不趨近於無 限大 時，a 就 是 該集合 的元 素。前 述條 件中， 最常 見到的 迭代 函數 是 ，可 一 般 化 到 函 數 ，其 中d 為 整 數，也有 人 研 究 函數 的曼 德 布 洛 特 集合 。 朱 立 亞 集 合 （Julia Set） J 的 數 學 定 義是 ∈ lim → ∞ 其 中 ： ， ， ∈ ， 為含有複數常數 a 的複變數函數 f。其定義與曼德布 洛 特 集 合 相 似，但 對 一 個 函 數，曼 德 布 洛 特 集 合 只 有 一 個，而 朱 立 亞 集 合 卻 有 無 限 多 個， 每 一 個 常 數a 都 有 一個 朱 立亞 集 合。朱 立 亞 集 合 中的 函 數 通 常定 義 為 ，其 中 p,q 為 複 係 數 多項 式 ， 也 有研 究 其 他 函數 的 朱 立 亞集 合 。 牛 頓集 合 N 的 數學 定 義 是 ∈ lim → 其 中 ： ， ， ∈ ， 0

，牛 頓 集 合 其 實 是 朱 立 亞 集 合 的 特 例，a 通 常 為 1，取名 牛 頓是 因 為 使 用「 牛 頓 法」求 方 程 式 0解的近似值。 由 於 迭 代 的 序 列 是 無 窮 序 列，繪 圖 時 無 法 畫 出 無 窮 的 線 段 或 點，前 三 者 我 們 會 訂 出 迭 代 的 層 次 ， 只 畫 出 該 層 次 內 的 線 段 。 對 於 M， J，N 點 集 合 的 碎形 ， 我 們 會內 定 一 個 畫圖 框，在 此 圖 框 內 的 每 一 點，分 別 測 試 判 斷 是 否 為 點 集 合 內 的 點（ 不 趨 近 無 限 大 或 趨 近 方 程 式 的 根 ）， 集 合 內 的 點 與 集 合 外 的 點 分 別 塗 上 不 同 的 顏 色 。 由 於 我 們 不 可 能 測 試 或 迭 代 無 限 多 次 ， 因 此 我 們 就 訂 出 了 迭 代 的 「 最 大 次 數 」。 判 斷 序 列 是 否 趨 近 於 無 限 大 時 ， 若 迭 代 所 得 的 複 數 值 絕 對 值 大 於 4(此 時的 迭 代次 數 稱 為 逸出 次 數(escape time))，則 該 序列 通 常 都 會 趨 近 無 限 大。因 此， 迭 代 測 試 時，若 發 現「 逸 出 」時， 我 們 就 知 道 該 點 不 在 點 集 合 裡， 若 測 試 到 了 迭 代 的「 最 大 次 數 」尚 未 逸 出，我 們 就 把 此 點「 視 為 」集 合 內 的 點。若 序 列 要 趨 近 一 個 函 數 的 根，我 們 就 訂 出 接 近 該 根 的 容 許 值，達 到 容 許 值 的 點 就 視 為 函 數 的 根，測 試 到 迭 代 「 最 大 次 數 」 尚 未 達 到 容 許 值 ， 此 序 列 就 當 作 「 不 趨 近 於 根 」， 此 點 就 「 視 為 」 不 是 集 合 內 的 點。畫 圖 框 範 圍 愈 大、容 許 值 愈 小 或 迭 代「 最 大 次 數 」定 得 愈 大，程 式 運 行 可 能 就 需 要 更 長 的 時 間 。 數 學 算 板 以 java 語 言建 立 ，除 了 透 過 主程 式 在 桌 上型 電 腦 執 行之 外 ， 內 建的 這 些 碎 形 探 索 工 具，可 以 分 別 整 理 儲 存 為 java web star 啟 動 的 網 頁 程式。以 下 我們 探 討 各 種碎 形 探 索 程 式 共 同 具 有 的 功 能 ， 然 後 分 項 討 論 各 種 碎 形 探 索 工 具 。

二、碎形構圖及探索工具的共同特性

碎 形 構 圖 及 探 索 工 具，具 有 下 列 特 性，我 們 先 分 條 加 以 敘 述，在 分 類 討 論 工 具 時，再 舉 出 實 例 。 （1） 局 部 放 縮 或 整 體 放 縮 ─ 為 探 索 碎 形 的 自 我 相 似 性 質 ， 對 於 點 集 合 的 碎 形 ， 我 們 內 建 了 用 滑 鼠 拖 曳 畫 出 矩 形 （ 若 圖 形 不 是 獨 立 視 窗 需 按 Shift 再 拖曳 出 矩 形 ）， 並 將 該 矩 形 內 的 圖 形 放 大 的 功 能 ， 方 便 使 用 者 觀 察 局 部 圖 形 與 整 體 圖 形 的 相 似 性 質 。 對 於 線 段 碎 形 ， 我 們 提 供 了 整 體 旋 轉 （ 透 過 一 個 隱 藏 的 旋 轉 點 ） 及 圖 形 「 大 小 」 選 擇 或 輸 入 的 功 能 。 （2） 解 析 度 或 迭 代 層 次 選 擇 ─ 由 於 點 集 合 繪 圖 時 ， 高 解 析 度 繪 圖 比 較 費 時 ， 我 們 提 供 了 不 同 的 解 析 度 ， 可 在 探 索 時 作 選 擇 ， 對 於 繪 圖 費 時 的 碎 形 ， 可 先 用 低 解 析 度 繪 圖 ， 探 索 其 大 略 形 狀 ， 或 觀 察 參 數 對 圖 形 形 狀 的 影 響 ， 需 要 較 清 楚 的 圖 形 時 ， 才 畫 出 高 解 析 度 的 圖 形 。 對 於 線 段 碎 形 ， 選 擇 不 同 的 層 次 可 觀 察 圖 形 迭 代 的 狀 況 。 （3） 內 建 參 數 選 擇 及 參 數 微 調 滾 輪 (spinner)─ 由 於 有 些 參 數 繪 出 的 圖 形 並 不 十 分 有 趣 ，

我 們 提 供 了 參 數 的 選 擇 框 ， 內 建 了 一 些 常 見 的 參 數 ， 使 用 者 可 以 選 擇 這 些 參 數 來 觀 察 參 數 對 圖 形 的 影 響 ， 當 然 也 可 以 自 行 輸 入 參 數 來 觀 察 輸 入 參 數 的 圖 形 。 選 了 參 數 或 自 訂 參 數 時 ， 這 些 參 數 就 會 被 指 定 到 參 數 滾 輪 。 參 數 滾 輪 是 一 個 有 上 下 界 的 數 字 框 ， 邊 上 有 上 、 下 三 角 形 箭 頭 ， 可 在 上 、 下 界 之 間 上 下 微 調 改 變 數 值 。 透 過 滾 輪 微 調 ， 可 以 改 變 參 數 及 觀 察 參 數 變 化 時 圖 形 的 動 態 變 化 ， 也 可 以 直 接 輸 入 新 的 滾 輪 數 值，再 加 以 變 化。滾 輪 參 數 滾 動 變 化 的 步 幅（ 間 距 ），也 可 以 透 過「 步 幅 」輸 入 框 加 以 改 變 。 （4） 選 擇 函 數 或 輸 入 函 數 ─ 若 碎 形 工 具 有 展 示 函 數 ， 使 用 者 可 以 透 過 數 學 算 板 編 輯 函 數 的 選 項 來 改 變 函 數 ， 若 有 展 示 函 數 選 擇 或 輸 入 框 ， 則 可 選 擇 內 定 的 函 數 ， 或 依 規 定 的 方 式 輸 入 函 數 ， 以 觀 察 及 探 索 新 函 數 構 成 的 圖 形 ， 複 函 數 碎 形 在 數 學 算 板 上 使 用 的 函 數 限定使用複常數變數 a。 （5） 選 擇 或 輸 入 著 色 系 統 ─ 對 於 線 段 碎 形 ， 有 的 可 以 透 過 數 學 算 板 的 顏 色 選 項 來 改 變 碎 形 的 顏 色 。 對 於 點 集 合 的 碎 形 ， 我 們 提 供 了 兩 類 著 色 方 式 ， 不 同 的 著 色 構 成 的 碎 形 大 異 其 趣。朱 立 亞 集 合 及 曼 德 布 洛 特 集 合 塗 色 基 本 上 是 根 據 確 定「 逸 出 的 次 數 」，若 在 迭 代「 最 大 次 數 」內 無 法 確 定 其 為 發 散（ 無 法 逸 出 ），則 認 定 它 為 收 斂。收 斂 的 點 （ 亦 即 集 合 內 的 點 ） 內 定 為 黑 色 ， 其 他 的 點 （ 非 集 合 內 的 點 ）， 則 根 據 上 述 「 次 數 」 在 色 譜 中 選 出 顏 色 。 牛 頓 集 合 則 以 確 定 該 點 收 斂 至 方 程 式 的 根 （ 在 容 許 值 內 ） 的 迭 代 次 數 作 為 塗 色 的 根 據 ， 若 在 迭 代 「 最 大 次 數 」 內 不 能 確 定 其 收 斂 至 根 ， 則 定 其 為 不 收 斂 至 根 。 第 一 類 色 譜 是 將 顏 色 依 序 排 列 ， 根 據 「 次 數 」 及 內 插 法 來 選 取 顏 色 ， 沒 有 收 斂 的 序 列，定 其 次 數 為 迭 代 的「 最 大 次 數 」。圖 1 左 表 就是 第 一 種 色譜 選 項， 也 可 以 輸 入 顏 色 第 一 個 字 母，以 逗 號 分 隔 作 為 顏 色 順 序，可 用 的 顏 色 是：Red、Green、 Blue、Cyan、White、Yellow、Magenta、Orange、Pink。若 選 取左 表 中 的 others，程 式 會 呈 現 圖 1 右 表。右 表 前三 選 項 中 的三 個 數 字 表示 將 色 彩 的 R、G、B 三 原色 的 二 進 位 數 字 偏 移 的 量 ， 選 Random， 程 式 將隨 機 定 出 三個 偏 移 量 。 圖 1、 兩 種色 彩 系 統 的選 項

三、碎形探索工具

（1） 雪 花 碎 形 ─ 雪 花 碎 形 是 最 簡 單 的 碎 形 構 圖 ， 在 數 學 算 板 中 選 取 雪 花 碎 形 選 項 ， 程 式 會 出 現 一 個 雪 花 碎 形（ 圖 2 左 ），並 提供 遞 迴 層 次、圖 形 大 小、相 關 公 式的 選 項， 前 二 者 也 可 以 直 接 輸 入 數 值 。 設 0 層 次的 正 三 角 形邊 長 為 a， 則 公 式選 項 可選 擇 展 示 第 n 層 次 的 邊長 、 邊 數 、周 長 、 面 積， 分 別 為

、3 4 、 3

、

√

₈

₃

。

圖2、 雪 花碎 形 畫 面 及旋 轉 的 雪 花 圖 3 展 示 選 取 遞迴 層 次 0～4 構 成 的 圖 形， 可 以 探 索雪 花 碎 形 構成 的 原 理 ，每 一 層 次 就 是 將 前 一 層 次 中 的 每 一 個 線 段 在 三 分 之 一 及 三 分 之 二 的 位 置，作 出 一 個 向 外 凸 起 無 底 邊 的 正 三 角 形。讓 學 生 探 索 研 究 雪 花 碎 形 在 各 個 層 次 的 邊 數、邊 長、周 長 及 面 積 是 不 錯 的 活 動 。 圖3、 第 0 層 至 第 4 層 的 雪 花 構 圖

（2） 席 爾 平 斯 基 碎 形 ─ 席 爾 平 斯 基 碎 形 有 兩 種 ─ 三 角 碎 形 與 地 毯 碎 形 。 在 數 學 算 板 中 選 取 席 爾 平 斯 基 三 角 碎 形 得 到 圖 4 的 畫 面。 其 探 索 選項 分 別 為 遞迴 層 次 、 正三 角 形 、 相 關 公 式 的 選 項 。 本 程 式 內 建 為 任 意 三 角 形 ， 移 動 三 角 形 三 頂 點 可 以 改 變 三 角 形 的 形 狀，按 鈕「 正 三 角 形 」可 使 圖 形 轉 變 為 正 三 角 形。設 0 層 次的 三 角 形 某邊 長 為 a， 面 積 為 A， 公 式選 項 可 選 擇展 示 第 n 層次 的 實 三 角形 相 應 邊 長、 實 三 角 形數 、 實 三 角 形 總 面 積 ， 依 次 分 別 為2 、3 、 。 透 過 不 同 遞 迴 層 次 的 選 定 ， 使 用 者 可 以 探 索 此 碎 形 的 構 成 方 式 。 圖 5 為 展 示 層次 0～ 層次 4 的 圖 形 ，可 以 看 出 其製 作 方 式 是 「 取 三 角 形 三 邊 中 點 ， 將 實 三 角 形 內 部 挖 空 」 的 重 複 迭 代 。 圖 4、 席 爾平 斯 基 三 角碎 形 畫 面 圖 5、 第 0 層 至 第 4 層 的 席 爾 平 斯基 三 角 碎 形 在數 學 算 板 中 選取 席 爾 平 斯基 地 毯 碎 形得 到 圖 6 的 畫面 。 移 動正 方 形 一 邊上 的 兩 端 點 可 以 改 變 正 方 形 的 大 小 及 方 位 。 其 探 索 選 項 分 別 為 遞 迴 層 次 、 相 關 公 式 的 選 項。設 0 層 次 的實 正 方 形 邊長 為 a，公 式選 項 可 選擇 展 示 第 n 層 次 的 實 正方 形 邊 長、

實 正 方 形 數 、 實 正 方 形 總 面 積 ， 依 次 分 別 為

3

、

8 、

。

透 過 不 同 遞 迴 層 次 的 選 定 ， 使 用 者 可 以 探 索 地 毯 碎 形 的 構 成 方 式 。 圖 7 為 展 示層 次 0～ 層 次 4 的 圖 形 ， 可 以 看 出 其 製 作 方 式 是 「 將 實 正 方 形 平 均 分 割 為 9 個 小 正方 形 ， 將 中間 那 個 正 方 形 內 部 挖 空 」的 重 複 迭 代。由 於 實 正 方 形 連 在 一 起，看 不 出 它 們 個 別 正 方 形 樣 式， 數 算 個 數 時 應 特 別 注 意 。 圖 6、 席 爾平 斯 基 地 毯碎 形 畫 面 圖 7、 第 0 層 至 第 4 層 的 席 爾 平 斯基 地 毯 碎 形 （3） 勾 股 樹 碎 形 ─ 勾 股 樹 碎 形 是 在 正 方 形 一 邊 作 出 直 角 三 角 形 ， 然 後 在 直 角 三 角 形 兩 股 的 線 段 上 作 出 正 方 形，之 後 再 重 複 前 述 的 製 作 過 程，圖 8 為 展示 一 個 層 次 12 的 勾 股 樹 碎 形 。 正 方 形 邊 上 的 三 點 可 以 用 滑 鼠 移 動 改 變 其 大 小 及 方 位 ， 中 間 的 紅 點 可 控 制 直 角 三 角 形 的 直 角 頂 點 的 位 置 ， 圖 8 左右 並 不 對 稱， 三 角 形 為等 腰 直 角 三角 形 時 ， 可 得 對 稱 的 勾 股 樹。圖 9 為 展 示 0～ 4 層 次 的勾 股 樹製 作 過 程。讓 學 生 計 算各 層 次 的 正 方 形 個 數 也 是 不 錯 的 探 索 活 動 。

圖 8、 勾 股樹 碎 形 圖 9、 第 0 層 至 第 4 層 次 的 勾 股 樹 （4） 蕨 葉 碎 形 ─圖 10 為 展 示數 學 算 板 執行 蕨 葉 碎 形程 式 的 畫 面。 圖 10 表 中的 P 行 表 示 各 函 數 取 點 時 的 機 率，程 式 將 依 此 機 率 決 定 選 取 哪 一 個 函 數 來 迭 代。圖 10 第 一 行 探 索 項 目 分 別 是 步 幅 、 蕨 葉 種 類 選 項 、 蕨 葉 的 大 小 選 項 、 迭 代 的 次 數 輸 入 或 選 擇 框 、 參 數 滾 輪 、 著 色 選 項 。 圖 11 為展 示 迭代 次 數 不 同， 繪 製 出 來的 圖 形 。圖 12 為 展 示 蕨 葉 碎 形 不 同 預 設 種 類 （ 整 體 參 數 的 共 同 改 變 ） 的 選 擇 框 及 顏 色 系 統 的 選 擇 框 ， 使 用 者 可 以 選 擇 不 同 預 設 參 數 的 蕨 葉 及 不 同 的 著 色 系 統 來 著 色 。

圖 10、 邦 思理 蕨 葉 碎 形程 式 畫 面

圖 11、 迭 代次 數 10000， 30000， 50000， 100000 繪 製 出 的蕨 葉

圖13 為 展 示 兩 組不 同 參 數 表構 成 的 蕨 葉(密 毛 毛 蕨 Cyclosorus,金 毛 狗 蕨 Culcita)， 左 圖 配 上 表 ， 右 圖 配 下 表 。 圖 13、 不 同參 數 表 構 成的 不 同 形 式蕨 葉 對 於 任 意 蕨 葉 ， 以 滑 鼠 雙 擊 表 中 一 個 數 ， 此 數 值 會 呈 現 在 有 ＠ 記 號 的 滾 輪 中 ， 按 滾 輪 的 上 下 鍵 ， 可 以 增 減 該 數 值 ， 數 值 的 變 化 會 直 接 反 應 在 圖 形 中 ， 使 用 者 可 觀 察 探 索 該 參 數 變 化 對 圖 形 的 影 響 。 圖 14 左圖 為 展示 圖 14 上表 參數 b 行第 四 列 的 0.005 改 變 到 0.030 後，圖 形的 最 後 結果（0.005 至 0.030 數 值的 改 變 在 滾輪 上 呈 現， 再 雙 擊 表 中 其 他 數 時 ， 表 中 的 0.005 將改為 0.030）。 圖 14 右 圖為 展 示 圖 14 下表 b 行 第 二 列 參 數-0.28 改 變 到-0.138 時 ， 圖形 的 最 後 結果 。 圖 14、 參 數改 變 對 圖 形的 影 響 （ 改變 的 數 ： 上表 b 行 第 四 列 ， 下 表 b 第 二 列 ）

（5）複數 碎 形 探索 ─ 進 入 複數 碎 形 探 索將 見 到 圖 15 的 畫 面。標 題 左方 選 擇鍵 可 以 選 擇曼 德 布 洛 特 、 朱 立 亞 或 牛 頓 法 碎 形 ， 標 題 右 方 按 鈕 是 圖 形 局 部 放 大 後 的 還 原 鈕 。 各 種 碎 形 提 供 的 探 索 項 目 有 些 不 同 。 A .曼德 布 洛 特 碎形 ─ 圖 15 展 示 的是 曼 德布 洛 特 碎 形。 標 題 下 方探 索 項 目 分別 為 函 數 選 擇 或 輸 入 框 、 解 析 度 選 擇 框 及 著 色 系 統 選 擇 框 。 圖 16 為 展示 圖 15 中小 方 框 放 大 後 的 圖 像。圖 17 為 展示 圖 16 使 用不 同 著 色 方法 得 到 的 圖形。圖 18 為 展 示 不 同 函 數 選 項 , , 得出的圖形。 圖 15、 複 數碎 形 探 索 起始 畫 面 圖 16、 圖 15 中 小 方 框放 大 後 的 圖像

圖 17、 圖 16 使 用 不 同著 色 方 法 的結 果 圖 18、 , , 的曼 德 布 洛 特圖 形 曼 德 布 洛 特 圖 形 是 連 通 的(connected)圖 形，其 面 積 是有 限 的，但 其 邊 長 則 為 無 限 的，將 其 邊 緣 放 大，可 看 出 其 邊 緣 變 化 多 端，永 無 止 境。曼 德 布 洛 特 集 合 的 維 度 介 於 2 與 3 之 間，是 個分 數 維 度(fractional dimension)這 也是「碎 」形 得 名 的 原 因 （ 非 「 整 」 維 度 ， 故 曰 「 碎 」）。 B. 朱立 亞 碎 形 ─ 圖 19 展 示 朱立 亞 碎 形 探索 的 探 索 項目。下 方 按鈕 依 次 為 函數 選 擇 框、朱 立 亞 集 合 的 a 值 選 單（ 複數 ）、a 值 實 部 滾 輪、a 值 虛 部滾 輪、滾 輪間 距、 解 析 度、色 彩 系 統 選 單 一、色 彩 系 統 選 單 二。圖 20 及 圖 21 展 示 在 不 同 a 值 形 成 的圖 形（ 也 使用 不 同 的 色彩 ），若 在 網 路 上 發 現 不 同 值 的 有 趣 圖 形， 也 可 以 輸 入 此 值 ， 繪 出 圖 形 。 圖 19、 朱 立亞 碎 形 探 索的 探 索 項 目

圖 20、 朱 立亞 集 合 ， 值 依 次 為-0.835-0.2321i、 -0.8+0.156i 及 -0.4+0.59i 之 圖 形

圖 21、 朱 立亞 集 合 ， 值 依 次 為-0.1+0.651i、 -0.835-0.2321i 及 -.8673+0.156i 之 圖 形 圖 22～ 圖 24 展 示朱 立 亞 集合 利 用 滾 輪取 得 之 圖 像節 錄 的 圖 形 變 化，使 用 者 只 要 在 a 值 選單 中 選 取或 輸 入 數 值，該 數 值 會自 動 在 滾 輪中 呈 現 （ 也 可 以 直 接 在 滾 輪 中 輸 入 起 始 數 值 再 變 化 該 數 ），以 滑 鼠 單 擊 或 按 壓 上 下 箭 頭， 使 數 值 增 減 ， 即 可 觀 察 圖 形 的 變 化 。 圖 22、 朱 立亞 集 ， 值 實 部 0.4， 虛 部 分 別 為 0.0013， 0.0020， 0.0023， 0.0024 之 圖 形 變 化 圖 23、 朱 立亞 集 合 ， 值 實 部 0.4， 虛 部 分 別 為 0.0025， 0.0026， 0.0028， 0.0029 之 圖 形 變 化

圖 24、 朱 立亞 集 合 ， 值 實 部 0.4， 虛 部 分 別 為 0.0030， 0.0032， 0.0033， 0.0034 之 圖 形 變 化 C. 牛頓 法 碎 形 ─ 圖 25 為 展 示牛 頓 法 碎 形探 索 的 探 索項 目。下 方按 鈕 依 次 為函 數 選 擇 框、 牛 頓 法 集 合 常 數 a 之 實 部 滾輪 、 常 數 a 之虛 部 滾 輪、 滾 輪 間 距、 解 析 度 選擇 框 、 色 彩 輸 入 或 選 擇 框 。 選 擇 函 數 時 ， 選 取 函 數 1、 1、 1、 1 程式會將趨近相 同 根 的 點 塗 出 相 同 的 顏 色 ， 每 一 個 跟 都 給 予 不 同 的 顏 色 。 其 他 函 數 則 只 看 是 否 趨 近 於 根 ， 不 分 辨 趨 近 哪 一 個 根 。 使 用 者 也 可 輸 入 大 於 1 的 整 數 值 n， 此時 程 式會 畫 出 函 數 1之牛頓集合圖形，但不用不同的顏色分辨其趨近於哪一個根。圖 26 展示 1、 1兩函數依收斂至某一根而著同一色的牛頓法碎形。圖 27 展示 1、 1 兩 函 數 不 依 根 著 色 的 牛 頓 法 碎 形 。 圖 25、 牛 頓法 碎 形 探 索的 探 索 項 目 圖26、 1、 1 兩函數依收斂至某一根而著色的牛頓法碎形

圖 27、 1、 1 兩函數不依根著色的牛頓之碎形 D. 曼 朱碎 形 關 係─ 圖 28 為展 示 曼 朱 碎形 關 係 探 索程 式 的 畫 面。 上 方 的 探索 選 項 分 別為 複 函 數、左 圖 的 放 大 鈕、還 原 鈕、解 析 度、常 數 點(指 定 a 值)、標 題、常 數 a 之 實 部 滾 輪、常 數a 之 虛部 滾 輪、步 幅、右 圖 的放 大 鈕、還 原鈕、色 譜選 擇 及 輸 入框。圖 28 左 圖 是 曼 德 布 洛 特 圖 形，其 上 有 一 可 移 動 的 點（ 複 數 點，圖 中 此 點 為 峽 谷 間 的 白 點 ），移 動 此 點 至 適 當 位 置 後，按 鈕「 常 數 點 」，此 點 就 變 成 朱 立 亞 集 合 的 a 值，其實 部 及 虛 部 將 出 現 在 ax, ay 的 微 調滾 輪 上，而 圖 28 右 圖 則會 同 時展 示 a 為 此常 數 時 的 朱立 亞 圖 形 （ 注 意 ： 畫 面 中 複 數 坐 標 原 點 在 畫 框 中 心 ， 右 下 方 為 第 一 象 限 ）。 圖 28、 曼 朱穗 形 關 係 a =-0.01-0.8i 畫 面 微 調 滾 輪 可 以 看 到 a 值 細 微變 化 時 的 圖形 變 化 。 事實 上 ， 朱 立亞 a 值 與 曼德 布 洛 特 集 合 有 相 當 有 趣 的 關 係 ：

＊ 當 a 值 在 曼 德布 洛 特 集 合內 部 時 ， 朱立 亞 的 圖 形為 連 通 的 ，若 在 外 部 ， 圖 形 則 是 不 連 通 的(亦即 至 少 分 成兩 部 分)。 ＊ 當 a 值在 邊 界附 近 的 時 候， 朱 立 亞 圖形 變 得 「 纖細 」 且 多 「迴 旋 」 一 些。 ＊ 當 a 值在 邊 界時 ， 朱 立 亞圖 形 的 形 狀與 曼 德 布 洛特 該 處 的 圖形 相 似 。 因 此 曼 德 布 洛 特 集 合 可 說 是 朱 立 亞 集 合 的 「 地 圖 」。 圖 29 展 示 a 值 實 部 為 0.34， 虛 部 微 調 分 別 擷 取 虛 部 為 0.071（ 點 在邊 界 附 近 內部 ），0.055（ 點在 邊 界 附近 ）及 0.04 （ 點 在 邊 界 附 近 外 部 ） 的 圖 形 ， 透 過 滾 輪 微 調 ， 使 用 者 可 動 態 觀 察 其 變 化 。 圖 30 為 a =-0.6-0.66i 時 ，曼 德 布 洛 特及 朱 立 亞 的圖 形 局 部 放大 後 的 相 近圖 形 。 其 實 在 複 數 平 面，用 複 變 函 數（ 或 變 換 ）將 圖 形 做 適 當 的 調 整 再 作 迭 代，也 可 以 得 到 有 趣 的 圖 形 ， 圖 31 展 示 一個 圓 ， 透 過數 學 算 板 內建 的 莫 必 烏斯(Mobius)變 換 的迭 代 ，調 整 圓 半 徑 後 ， 得 到 的 相 切 圓 系 。 圖 29、 朱 立亞 圖 形 在 實部 為 0.34， 虛 部 分 別 為 0.071、 0.055 及 0.04 之 圖 形 30、 曼 朱圖 形 在 a =-0.6-0.66i 附 近 的 比 較 （ 均經 局 部 放 大）

圖 31、 將 複平 面 上 的 A、 B、 C 點 對 應 到 A、B、 D 點 的 Mobius 變 換 將 一 個 圓作 迭 代 的 結 果 ，A 點右 下 方 兩 點決 定 的 圓 為變 換 的 起 始圓

四、結語

數 學 算 板 是 作 者 退 休 後 致 力 發 展 的 一 套 動 態 數 學 軟 體，目 標 在 提 供 教 師 教 室 教 學 或 學 生 在 教 師 指 導 下 使 用 的 教 具 與 學 具 之 電 腦 工 具。數 學 算 板 包 含 幾 何 畫 板、代 數 算 板、龜 行 幾 何、機 率 與 統 計 等 模 組。本 文 介 紹 數 學 算 板 中 內 建 的 碎 形 教 學 探 索 工 具，可 供 教 師 在 介 紹 碎 形 時 ， 透 過 電 腦 投 影 指 導 學 生 學 習 及 探 索 碎 形 性 質 及 內 涵 。 內 建 的 工 具 包 含 雪 花 碎 形、席 爾 平 斯 基 三 角 及 地 毯 碎 形、勾 股 樹 碎 形、蕨 葉 碎 形、曼 德 布 洛 特 碎 形、朱 立 亞 碎 形、 牛 頓 法 碎 形 及 曼 朱 關 係 探 索 程 式 ， 希 望 對 教 師 的 教 學 及 學 生 的 學 習 有 幫 助 。

五、後記

「 數 學 算 板 測 試 版 1.0」已 置於 網 頁：http://mathboard.tw（http://mathboard.org）下 載 區，提 供 給 有 興 趣 的 讀 者 下 載 測 試，本 文 相 關 的 部 分 可 操 作 圖 形 程 式 網 路 版，也 可 以 在 下 載 區 取 得 連 結 。

參考文獻

Barnsley, M. F. and Rising, H. Fractals Everywhere, 2nd ed. Boston, MA: Academic Press, 1993.