93指考預試卷解答

93 學年度研究試題測試

數學考科（卷一）參考答案

一、選擇題答案

題號 答案 1 4 2 2345 3 1245 4 12345 5 124 6 0 7 0 8 2 9 1 10 1 11 0 12 9 13 2 14 6 15 1 16 3 17 2 18 3

（1） 靠窗者其座號除以 8 需餘 1 或 2. 而 514=64*8+2 故靠窗 （2） 373、375、376 除以 8 各餘 5,7,0（8 亦可） 故三人坐在同一 排且相連的位置 （3）之（a） 今年非閏年，生日是星期六，但今年是閏年多一天，所以其 生日應為星期日 （3）之（b） 4 月 2 日與 4 月 24 日相差 22 天, 又 22 除以 7 餘 1，故 4 月 24 日為星期六。4 月 24 日與 5 月 24 日相差 30 天， 又 30 除以 7 餘 2 故 5 月 24 日為星期一。依此推算若隔大月則加 3，小 月則加 2。故 6 月 24 日須加 3，即 2+3=5； 7 月 24 日須加 2，即 5+2=7； 8 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 9 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 10 月 24 日須加 2，即 6+2=8，除以 7 餘 1； 故 10 月 24 日為星期日； 11 月 24 日為星期三；12 月 24 日為星期五。反之 3 月 24 日 為星期三；2 月 24 日為星期二；1 月 24 日為星期六。故今年 只有 10 月 24 日在星期日， 得知筆友的生日在 10 月 （3）之（c） 若不是閏年一年有 365 天， 365 除以 7 餘 1，不過每四年有 一閏年，故到 2008 年時，應加 5 天(即星期五)。因此得等到 2009 年 10 月 24 日才會是星期六，也就是還得等 5 年。 卷一第二題 題號 解答 （1） 若180°< A<270°，則210°< A+30°<300°

因sin2004°=sin204°=sin336°，所以A 無解 （2） 若270°< A<360°，則300°< A+30°<390°

93 學年度研究試題測試

數學考科（卷二）參考答案

一、選擇題答案

題號 答案 1 3 2 3 3 345 4 12345 5 2345 6 134 7 1 8 3 9 2 10 3 11 3 12 2 13 3

一個焦點的座標為

( )

4,0 。以原點為中心，逆時針轉45°之後，另一個 焦點的座標為

(

2 2,2 2

)

（2） 將點

( )

-1,1 順時針轉45°後，得點

( )

0, 2 。將

( )

0, 2 代入 4 8 ) 2 ( : 2 2 _y x + − Γ ，得值為 1，所以旋轉後的點通過(-1,1)。 卷二第二題 題號 解答 （1） 今年非閏年，生日是星期六，但今年是閏年多一天，所以其生日應為 星期日 （2） 4 月 2 日與 4 月 24 日相差 22 天, 又 22 除以 7 餘 1，故 4 月 24 日為星 期六。4 月 24 日與 5 月 24 日相差 30 天， 又 30 除以 7 餘 2 故 5 月 24 日為星期一。依此推算若隔大月則加 3，小月則加 2。故 6 月 24 日須加 3，即 2+3=5； 7 月 24 日須加 2，即 5+2=7； 8 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 9 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 10 月 24 日須加 2，即 6+2=8，除以 7 餘 1； 故 10 月 24 日為星期日； 11 月 24 日為星期三；12 月 24 日為星期五。反之 3 月 24 日為星期三； 2 月 24 日為星期二；1 月 24 日為星期六。故今年只有 10 月 24 日在星 期日， 得知筆友的生日在 10 月 （3） 若不是閏年一年有 365 天， 365 除以 7 餘 1，不過每四年有一閏年， 故到 2008 年時，應加 5 天(即星期五)。因此得等到 2009 年 10 月 24 日才會是星期六，也就是還得等 5 年。

93 學年度研究試題測試

數學考科（卷三）參考答案

一、選擇題答案

題號 答案 1 3 2 1 3 3 4 123 5 235 6 35 7 234 8 2 9 6

（1）

今年非閏年，生日是星期六，但今年是閏年多一天，所以其生日應為 星期日

（2）

4 月 2 日與 4 月 24 日相差 22 天, 又 22 除以 7 餘 1，故 4 月 24 日為星 期六。4 月 24 日與 5 月 24 日相差 30 天， 又 30 除以 7 餘 2 故 5 月 24 日為星期一。依此推算若隔大月則加 3，小月則加 2。故 6 月 24 日須加 3，即 2+3=5； 7 月 24 日須加 2，即 5+2=7； 8 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 9 月 24 日須加 3，即 3+3=6； 10 月 24 日須加 2，即 6+2=8，除以 7 餘 1； 故 10 月 24 日為星期日； 11 月 24 日為星期三；12 月 24 日為星期五。反之 3 月 24 日為星期三； 2 月 24 日為星期二；1 月 24 日為星期六。故今年只有 10 月 24 日在星 期日， 得知筆友的生日在 10 月

（3）

若不是閏年一年有 365 天， 365 除以 7 餘 1，不過每四年有一閏年， 故到 2008 年時，應加 5 天(即星期五)。因此得等到 2009 年 10 月 24 日才會是星期六，也就是還得等 5 年。

題號

解答

（1）

設 k y= 交1 y=sin2x,

(

0≤x≤π

)

;於

(

x _k

) (

x _k1

)

2 1 1, , , 兩點， 可得 2 , 0≤x₁ x₂ ≤π ，則sin2x₁ =sin2x₂ ∴2x₂ =π −2x₁ 2 2 1 π = + ∴x x

（2）

因假設 , cos 0 2 ∴ ≠ ≠ x x π x x k x x k x cos sin 2 cos 1 tan 2 sec2 _{= ⇔ 2 = x x x}

k 2sin cos sin2 1 _{= =} ⇔ 因此滿足sec2 x₌2ktanx_之兩個根 2 1, x x ，即滿足 sin2x k 1 = 之兩根（由 （1）知） 2 2 1 π = + ∴x x

（3）

（法一）tan x 2ktanx 1 0 sec x 2ktanx

2 2 _{− + = ⇔ =} 因此滿足tan2 _x−2_ktan_x+1₌0_之 2 1, x x ， 即為滿足sec2 x₌2ktanx_{之兩根，由（2）知} 2 2 1 π = + x x （法二）設滿足tan2 _x−2_ktan_x+1₌0_之x值為 2 1, x x ，則 2k tanx

tanx₁+ ₂ = ，tanx₁⋅tanx₂ =1 ∴tanx₁ =cotx₂

2 , 0≤ x₁ x₂ ≤π ∵ 2 2 1 π = + ∴x x

數學考科（卷四）參考答案

一、選擇題答案

題號 答案 1 3 2 5 3 13 4 1345 5 345 6 2345 7 235 8 9 二、

非選擇題參考答案：

卷四第一題

解答

因log₁₀P=log₁₀₀q=log₁₀₀₀

(

p+q

)

所以q= p2,p+q= p3 _∴P

(

_P2 _−P−1

)

₌0 解之得 2 5 1+ = P ，故 2 5 1+ = = P p q

題號

解答

（1）

設 k y= 交1 y=sin2x,

(

0≤x≤π

)

;於

(

x _k

) (

x _k1

)

2 1 1, , , 兩點， 可得 2 , 0≤x₁ x₂ ≤π ，則sin2x₁ =sin2x₂ ∴2x₂ =π −2x₁ 2 2 1 π = + ∴x x

（2）

因假設 , cos 0 2 ∴ ≠ ≠ x x π x x k x x k x cos sin 2 cos 1 tan 2 sec2 _{= ⇔ 2 = x x x}

k 2sin cos sin2 1 _{= =} ⇔ 因此滿足sec2 x₌2ktanx_之兩個根 2 1, x x ，即滿足 sin2x k 1 = 之兩根（由 （1）知） 2 2 1 π = + ∴x x

（3）

若t1 =tanx1,t2 =tanx2為 2 1 0 2 _{+ kt+ =} t 之二根 則t₁+t₂ =−2k <0，t₁t₂ =1 故t₁ < t0, ₂ <0 由此推得π < ₁ <π π <x₂ <π 2 , x

2 又tanx1tanx2 =1∴tanx2 =cotx1

因此 π 2 3 x x₁+ ₂ = ∴滿足tan2 _x+2_ktan_x+1₌0_{之x值的和為 π} 2 3