數列與級數
精選例題 數列與數學歸納法 例題1 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a 1 = 2, an = an−1 + n − 1, n ∈ N, n ≥ 2 求一般項 an? [Ans:: an = n 2 − n + 4 2 例題2 列出數列 {an} 的前三項, 其中 a1 = 3, an+1 = 3an+ 2 。 [Ans:3, 11, 35] 例題3 試證: 對任意正整數 n , 則 n3 + 5n 必為6的倍數。 例題4 設 n 為正整數, 則 3n+2 + 42n+1 恆 為某一固定質數 p 的倍數, 試找出此質數 p 並 證明之? [Ans:p = 13] 例題5 用數學歸納法證明: 對所有的正整數 n ,4n + 2 恆為6的倍數。 級數 例題1 計算 10 P k=1 (2k + 3) =? [Ans:140] 例題2 下列級數用 P 的記號來表示: (a) 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 200 =? [Ans: 100 P k=1 2k] (b) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + 99 · 100 =? [Ans: 99 P k=1 k(k + 1)] (c) 1 + 3 × 21 + 5 × 22 + 7 × 23 + · · · + 99 × 249 =? [Ans: 50 P k=1 (2k − 1)2k−1 ] (d) 1 · 2 +1 2 · 3 +1 3 · 4 + · · · +1 999 · 1000 =?1 [Ans: 999 P k=1 1 k(k + 1)] 例題3 一等比實數列 < an >, a2 = −2, a5 = 16 , 求 10 P n=1 an 之值? [Ans:−341] 1https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題4 10 P k=1 (k+10)2 = 112 +122 +132 +· · ·+· · · 202 = 20 P k=1 k2− 10 P k=1 k2 =? [Ans:2485] 例題5 一級數的前 n 項和為 Sn = 13n(n + 1)(n + 2) , 求此級數的一般項 an = ? [Ans:n(n + 1)] · 2 · ∼順伯的窩 ∼