0923向量解答

－ 1 － 0923 向量 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) （ ）1.坐標平面上以 A(8,0)、 (11 5 3, ) 2 2 B 、C(0,0)三點為頂點的△ABC 中，BAC 的度量為何？(A)30(B)45(C)60(D)120 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題意，可得圖示如下： ∵ 所求BAC 為AB、AC之夾角，先求 11 5 3 5 5 3 ( 8, 0) ( , ) 2 2 2 2 AB     (0 8,0 0) ( 8,0) AC     將AB、AC代入夾角公式： 2 2 2 2 5 5 3 ( )( 8) 0( ) 2 2 cos 5 5 3 | || | _{( ) ( ) ( 8) 0} 2 2 AB AC AB AC



           20 20 5 1 10 2 25 75 100 ₂ 64 8 2 4 4 4         得cos 1 2



 ∴ 夾角 60 （ ）2.設 a 



xy,8



， b  



2,2xy



，若 a  b ，則x y (A)2 (B)2 (C)6 (D)6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a 



xy,8



， b  



2, 2xy



∵ 2 2 8 x y a b x y      _{ }    由解得x2，y 4 故x    y 2

 

4 6 （ ）3.設 A(1,  3)與 B(2,  2)為平面上兩點，若一向量 a 與AB的方 向相反，且| a | 1 ，則 a  (A)(1,1) (B)(  1,  1) (C)( 1 , 1 ) 2 2 (D)( 1 , 1 ) 2 2   【龍騰自命題.】 解答 D 解析 AB(2 1, 2   3) (1,1) ∴ |AB| 2 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 | | AB AB  又 a 與AB方向相反 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 | | a a    ∵ | a | 1 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 a    （ ）4.設 a (4,3)， b ( , )x y 為平面上兩向量，且 x2 _y2 _40， 則此二向量內積 a b 的最大值為何？ (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 b  x y  b  x y   設 a 與 b 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10 a b  a b



  







 （∵  1  cos 1） 故 a b 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 a b   x y  x y 由柯西不等式： (42 ₃2_)(x2 _y2₎  _(4x  _3y)2  ₂₅  ₄₀  _(4x  _3y)2  (4x  3y)2 ₁₀₀₀  ₀ [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 a b 的最大值為10 10 （ ）5.設 P1(1,1)、P2(  2,  1)，且直線 L：x  y  1  0 與P P_{1 2} 交於點 P，則P P P P₁ : ₂ (A)1：1(B)3：2(C)2：1(D)2：3 【龍騰自命題.】 解答 B

－ 2 － 解析 ₁ : _{2 1}: ₂ |1 1 1| | 2 1 1|: 3: 2 2 2 P P PP d d        （ ）6.求兩直線 3x  4y  7  0 與 4x  3y  2  0 所夾鈍角平分線方程 式為 (A)2x  5y  16  0 (B)5x  2y  11  0 (C)x  y  9  0 (D)x  y  9  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設角平分線上的點為(x,y)到角兩邊的直線距離相等 2 2 2 2 | 4 3 2 | | 3 4 7 | 4 3 3 4 x y x y     取  (4x  3y  2)  (3x  4y  7)  x  y  9  0 為所求的鈍角平分線 （ ）7.已知 a (5, 3) ， b (7,1)，則2 a 3b  (A)(  11,  9) (B)(9,11) (C)(  2,  4) (D)(12,  2) 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 a 3 b 2(5, 3) 3(7,1)(10, 6) (21,3)(1021, 6 3)   ( 11, 9) （ ）8.在△ABC中，AB8，AC2，若BAC之角平分線交BC 於D，且ADx ABy AC，則x y (A) 1 5  (B) 2 5  (C) 3 5  (D) 4 5  【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ BD DC: AB AC: 8 : 24 :1 由向量內分點公式得 1 4 4 1 4 1 AD AB AC   1 4 5AB 5AC   得 1 5 x ， 4 5 y 故 1 4 3 5 5 5 x    y （ ）9.點(  2,3)到 y 軸距離為 (A)2 (B)3 (C)  2 (D)  3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 點 P(a,b)到 y 軸距離為|a|，故此題距離為 2 （ ）10.點 P(2,  1)到直線 L:12x  5y  10  0 的距離為(A)2(B)3(C)13 (D)39 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）11.如圖，正六邊形 ABCDEF，對角線交於 O 點，設AB a ， BC b ，則CA (A) a  b (B) a b (C) a b (D) a b 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 CA AC (ABBC) (a  b )  a  b （ ）12.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1)，則AB在CD上的 正射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) AB在CD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD  _     5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) （ ）13.設A

 

1,1 、B

 

4,3 、C

 

0, 2 為坐標平面上三點，試求AB在 AC上之正射影長度為 (A) 2 3 (B) 2 2 (C) 2 (D)2 2

－ 3 － 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 AB



4 1,3 1  

  

3, 2 ，AC



0 1, 2 1   

 

1,1



  

3, 2 1,1



1 AB AC      又 AC 

   

12 12  2 則AB在AC上之正射影為

 





2 2 1 1 1 1,1 , 2 2 2 AB AC AC AC      _  _      _{      }     _{ }         故其正射影長為 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2   _{ }  _{ }         （ ）14.設 A(8,9)、B(  1,5)、C(4,6)，則ABAC (A)(11,20) (B)(  5,  1) (C)(5,1) (D)(  13,  7) 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）15.若OB

 

b,4 ，OA



10,5



，則OB在OA上之正射影為

 

4, 2 ，則b之值為 (A)3 (B)2 (C)2 (D)3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 OB OA 

  

b, 4  10,5



10b20 10



b2



 

2 2 10 5 5 5 OA   OB在OA上正射影為





 



  

2 2 10 2 10,5 4, 2 5 5 b OB OA OA OA    _  _  _{   }       得b 2 5  b3 （ ）16.設 a  b 為二向量且| a | 1 ，| b | 3 ，| a  b | 7 ， 則 a 與 b 之夾角為 (A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 | a  b |2| a |22 | a || b | cos



| b |2 ∴ 2 2 2 ( 7 )    1 2 1 3cos



3 ∴ cos 1 2



 ∴  60 （ ）17.ABAC (A)CA (B)CB (C)BC (D) 0 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ABACABCACB （ ）18.設直線L₁: 2x  y 5 0，若直線L₂平行L₁且通過原點，則L₁ 與L₂的距離為(A) 5 3 (B) 5 2 (C) 5 (D)2 5 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 L2平行L1: 2x  y 5 0，可設L2: 2x  y k 0 又L₂過原點

 

0, 0 ，代入L₂得0 0  k 0 0 k   可知L₂: 2x y 0 則



_{1 2}



2 2 5 0 5 , 5 5 2 1 d L L       （ ）19.兩向量



、



不平行，且|



| |



| 1 ，則(







)與 (







)之夾角為(A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 令夾角為  2 2 ( ) ( ) | | | | 0 cos 0 | || | | || | | || |

















 





 





 



              ∴  90 （ ）20.已知 a 、 b 皆為單位向量且 a 與 b 的夾角為 3



，若 a  b 與m a  b 互相垂直，則 m 值為 (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ a 、 b 皆為單位向量，則| a | | b | 1 ∴ | || | cos 1 2 a b  a b



 又 ∵ a b 與m a b 互相垂直 ∴ 0(a  b ) ( m a  b ) 2 2 | | (1 )( ) | | m a m a b b      1(1 ) 1 1 1 2 2 2 m m m       ∴ m  1 （ ）21.若 A(2,3)，B(  1,1)，C(5,k)三點共線，則 k  (A)1 (B)3 (C)5 (D)7

－ 4 － 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 A、B、C 三點共線  AB//AC 3 3 ( 3, 2) //(3, 3) 3 9 6 5 2 3 k k k k               （ ）22.設 r 為實數， a 、 b 、 c 不為零向量，則下列何者錯誤？ (A) a a | a |2 (B)(r a ) b  a(r b ) (C) a b  b a (D) 2 2 2 | a  b | | a | | b | 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 | a  b |2| a |22 a  b | b |2| a |2| b |2 （ ）23.設 A(1,1)、B(3,4)、C(  2,  5)，則AB AC  (A)  24 (B)12 (C)(  6,  18) (D)(6,18) 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）24.設 a (1,2)， b (  2,3)， a 與 b 的夾角為，則 sin (A) 7 65 (B) 4 65 (C) 7 65  (D) 4 65  【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 | a | 1222  5 | b |  ( 2) 232  13 a  b 1  (  2)  2  3  4 ∴ cos 4 4 5 13 65 | || | a b a b  _{ }   sin 2 16 7 1 cos 1 65 65



    （ ）25.設| a |2，| b | 2， a 與 b 的夾角為3 4



，試求 a  b  (A)4 (B)  2 (C)3 (D)2【課本練習題-自我評 量.】 解答 B 解析 | || | cos3 2 2 ( 2) 2 4 2 a  b  a b



     