0923向量解答

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- 1 - 0923 向量 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) ( )1.坐標平面上以 A(8,0)、 (11 5 3, ) 2 2 B 、C(0,0)三點為頂點的△ABC 中,BAC 的度量為何?(A)30(B)45(C)60(D)120 【091 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由題意,可得圖示如下: ∵ 所求BAC 為ABAC之夾角,先求 11 5 3 5 5 3 ( 8, 0) ( , ) 2 2 2 2 AB     (0 8,0 0) ( 8,0) AC     將ABAC代入夾角公式: 2 2 2 2 5 5 3 ( )( 8) 0( ) 2 2 cos 5 5 3 | || | ( ) ( ) ( 8) 0 2 2 AB AC AB AC

           20 20 5 1 10 2 25 75 100 2 64 8 2 4 4 4         得cos 1 2

 ∴ 夾角 60 ( )2.設 a

xy,8

b  

2,2xy

,若 ab ,則x y (A)2 (B)2 (C)6 (D)6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a

xy,8

b  

2, 2xy

∵ 2 2 8 x y a b x y           由解得x2,y 4 故x    y 2

 

4 6 ( )3.設 A(1, 3)與 B(2,  2)為平面上兩點,若一向量 aAB的方 向相反,且| a | 1 ,則 a  (A)(1,1) (B)(  1,  1) (C)( 1 , 1 ) 2 2 (D)( 1 , 1 ) 2 2   【龍騰自命題.】 解答 D 解析 AB(2 1, 2   3) (1,1) ∴ |AB| 2 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 | | AB AB  又 aAB方向相反 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 | | a a    ∵ | a | 1 ∴ ( 1 , 1 ) 2 2 a    ( )4.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2 y2 40, 則此二向量內積 ab 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 bx ybxy   設 ab 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10 aba b

  

 (∵  1  cos 1) 故 ab 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 ab   x yxy 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2) (4x 3y)2  25 40 (4x 3y)2 (4x 3y)2 1000 0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 ab 的最大值為10 10 ( )5.設 P1(1,1)、P2(  2,  1),且直線 L:x y  1  0 與P P1 2 交於點 P,則P P P P1 : 2 (A)1:1(B)3:2(C)2:1(D)2:3 【龍騰自命題.】 解答 B

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- 2 - 解析 1 : 2 1: 2 |1 1 1| | 2 1 1|: 3: 2 2 2 P P PPd d        ( )6.求兩直線 3x 4y  7  0 與 4x 3y  2  0 所夾鈍角平分線方程 式為 (A)2x 5y  16  0 (B)5x 2y  11  0 (C)x y  9  0 (D)x y  9  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設角平分線上的點為(x,y)到角兩邊的直線距離相等 2 2 2 2 | 4 3 2 | | 3 4 7 | 4 3 3 4 xyxy     取  (4x 3y  2)  (3x 4y  7)  x y  9  0 為所求的鈍角平分線 ( )7.已知 a (5, 3) , b (7,1),則2 a 3b  (A)(  11,  9) (B)(9,11) (C)(  2,  4) (D)(12,  2) 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 a 3 b 2(5, 3) 3(7,1)(10, 6) (21,3)(1021, 6 3)   ( 11, 9) ( )8.在△ABC中,AB8,AC2,若BAC之角平分線交BCD,且ADx ABy AC,則x y (A) 1 5  (B) 2 5  (C) 3 5  (D) 4 5  【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 ∵ BD DC: AB AC: 8 : 24 :1 由向量內分點公式得 1 4 4 1 4 1 ADABAC   1 4 5AB 5AC   得 1 5 x , 4 5 y 故 1 4 3 5 5 5 x    y ( )9.點(  2,3)到 y 軸距離為 (A)2 (B)3 (C)  2 (D)  3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 點 P(a,b)到 y 軸距離為|a|,故此題距離為 2 ( )10.點 P(2, 1)到直線 L:12x 5y  10  0 的距離為(A)2(B)3(C)13 (D)39 【龍騰自命題.】 解答 B ( )11.如圖,正六邊形 ABCDEF,對角線交於 O 點,設ABaBCb ,則CA (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 CA AC (ABBC) (ab )  ab ( )12.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1),則AB在CD上的 正射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) ABCD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD     5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) ( )13.設A

 

1,1 、B

 

4,3 、C

 

0, 2 為坐標平面上三點,試求ABAC上之正射影長度為 (A) 2 3 (B) 2 2 (C) 2 (D)2 2

(3)

- 3 - 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 AB

4 1,3 1  

  

3, 2 ,AC

0 1, 2 1   

 

1,1

  

3, 2 1,1

1 AB AC      又 AC

   

12 12  2 則ABAC上之正射影為

 

2 2 1 1 1 1,1 , 2 2 2 AB AC AC AC                          故其正射影長為 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2              ( )14.設 A(8,9)、B( 1,5)、C(4,6),則ABAC (A)(11,20) (B)(  5,  1) (C)(5,1) (D)(  13,  7) 【龍騰自命題.】 解答 D ( )15.若OB

 

b,4 ,OA

10,5

,則OB在OA上之正射影為

 

4, 2 ,則b之值為 (A)3 (B)2 (C)2 (D)3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 OB OA 

  

b, 4  10,5

10b20 10

b2

 

2 2 10 5 5 5 OA   OBOA上正射影為

 

  

2 2 10 2 10,5 4, 2 5 5 b OB OA OA OA           得b 2 5  b3 ( )16.設 ab 為二向量且| a | 1 ,| b | 3 ,| ab | 7 , 則 ab 之夾角為 (A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 | ab |2| a |22 | a || b | cos

| b |2 ∴ 2 2 2 ( 7 )    1 2 1 3cos

3 ∴ cos 1 2

 ∴  60 ( )17.ABAC (A)CA (B)CB (C)BC (D) 0 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ABACABCACB ( )18.設直線L1: 2x  y 5 0,若直線L2平行L1且通過原點,則L1L2的距離為(A) 5 3 (B) 5 2 (C) 5 (D)2 5 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 L2平行L1: 2x  y 5 0,可設L2: 2x  y k 0 又L2過原點

 

0, 0 ,代入L2得0 0  k 0 0 k   可知L2: 2x y 0 則

1 2

2 2 5 0 5 , 5 5 2 1 d L L       ( )19.兩向量

不平行,且|

| |

| 1 ,則(

)與 (

)之夾角為(A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 令夾角為  2 2 ( ) ( ) | | | | 0 cos 0 | || | | || | | || |

 

 

 

              ∴  90 ( )20.已知 ab 皆為單位向量且 ab 的夾角為 3

,若 abm ab 互相垂直,則 m 值為 (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ ab 皆為單位向量,則| a | | b | 1 ∴ | || | cos 1 2 aba b

 又 ∵ abm ab 互相垂直 ∴ 0(ab ) ( m ab ) 2 2 | | (1 )( ) | | m a m a b b      1(1 ) 1 1 1 2 2 2 m m m       ∴ m  1 ( )21.若 A(2,3),B( 1,1),C(5,k)三點共線,則 k  (A)1 (B)3 (C)5 (D)7

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- 4 - 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 A、B、C 三點共線 AB//AC 3 3 ( 3, 2) //(3, 3) 3 9 6 5 2 3 k k k k               ( )22.設 r 為實數, abc 不為零向量,則下列何者錯誤? (A) aa | a |2 (B)(r a ) ba(r b ) (C) abba (D) 2 2 2 | ab | | a | | b | 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 | ab |2| a |22 ab | b |2| a |2| b |2 ( )23.設 A(1,1)、B(3,4)、C(  2,  5),則AB AC  (A)  24 (B)12 (C)(  6,  18) (D)(6,18) 【龍騰自命題.】 解答 A ( )24.設 a (1,2), b (  2,3), ab 的夾角為,則 sin (A) 7 65 (B) 4 65 (C) 7 65  (D) 4 65  【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 | a | 1222  5 | b |  ( 2) 232  13 ab 1  (  2)  2  3  4 ∴ cos 4 4 5 13 65 | || | a b a b   sin 2 16 7 1 cos 1 65 65

    ( )25.設| a |2,| b | 2, ab 的夾角為3 4

,試求 ab  (A)4 (B)  2 (C)3 (D)2【課本練習題-自我評 量.】 解答 B 解析 | || | cos3 2 2 ( 2) 2 4 2 aba b

     

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