Unit 14 平面圖形的基本性質 能力指標：◎（S-3-05）能利用行體的性質解決幾何問題。 ◎ (S-3-10）能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。 ◎（S-4-01）能根據給定的性質作局部的推理。 ◎（S-4-03）能以最少性質辨認刻畫一個圖形並了解定義的意義。 ◎（S-4-04）能根據性質了解某些圖形間的包含關係。 能力一：三角形的性質 一、三角形的定義 三角形（triangle）：係由三條直線交於三個頂點而構成的一個封閉平面圖形。 二、三角形的組成性質 （一）兩邊和、差關係 若 a、b 表示△ABC 之兩邊長，令第三邊長為 c，則 a b c− + ，即兩邊差a b 小於第三邊小於兩邊和，如圖（一）。 （二）內角與外角關係 任意三角形的三個內角和為180o，三個外角和為360o。 任意三角形的一外角等於它內對角的和。 三、三角形的邊角關係 根據樞紐性質，如圖（二），在△ABC 與△DEF 中，AB=DE，AC =DF，則： （1）若 A ，則D BC EF。（2）若BC EF，則 A 。亦即所謂的『大D 邊對大角，小邊對小角』。 四、三角形的中點連線性質 如右圖（三），在△ABC 中，D、E 兩點分別為AB、AC的中點，則 DE BCP 且 1 E 2 D = BC。 五、三角形的種類 （一）正三角形（等角三角形）：如圖（a），三角形的三邊等長，各內角均為60o。 （二）等腰三角形：如圖（b），三角形的兩腰等長，兩底角相等。 （三）銳角三角形：如圖（c），三角形的三個內角度數均小於90o。
（四）直角三角形：如圖（d），三角形中有一內角度數為90o。 （五）鈍角三角形：如圖（e），三角形中有一內角度數大於90o 六、三角形內、外角平分線的性質： （一）型一 1 1 2, 3 4, 90 2 BIC A = = = o+ （二）型二 1 1 2, 3 4, 90 2 BPC A = = = o− （三）型三 1 1 2, 3 4, O 2 B C A = = = 七、三角形相關性質補充說明 ◎兩個相同的正三角形可合併成為菱形。 ◎等腰三角形的頂角=180o−
(
2 底角 。)
◎直角三角形除直角之外，另兩角之和為90o。 ◎若△ABC 中， A 90 , o 則 B+ C<90 o(
+ B C A)
。 【三角形的三邊關係】 講解一： 如右圖 1，圓的圓心是 A，半徑 3 公分，AB =5公分，在圓 A 上取一個點 C，使 其可連成△ABC，則BC的長度範圍為何呢？ Sol)(
5 3−)
BC(
5 3 , 2+)
BC 。 8 練習一： 如右圖 1-1，四邊形 ABCD 中，AB =10，BC =11，CD =6，AD =6，若求BD 圖 1(
)
(
)
(
)
(
)
, 10 6 10 6 , 4 16, , 11 6 11 6 , 5 17, , 5 16 ABC BD BD BCD BD BD BD − + − + V V 中 中 由以上可知 , 180 60 70 50 70 60 50 , , 180 60 65 55 65 60 55 , d>c>BD , d>c>BD>b>a , d>c>b>a ABD DBA BD b a BDC DCB = − − = = − − = o o o o o o o o o o o o o o V Q V Q 中 中 由以上可知 81 78 64 , 9 78 8 , 由上可知, B> A> C( )
1 1 1 1 1 1 6 3, 8 4, 8 4, 2 2 2 2 2 2 3 4 4 11 DE AB EF BC DF AC DEF cm = = = = = = = = = V 的周長= + + = 的範圍為何？ Sol) 【三角形的邊角關係】 講解二： 在△ABC 中，若AB =7，BC =8，CA = 78，則三內角的大小關係為何呢？ Sol) 練習二： 如右圖 2，連接四邊形 ABCD 的對角線BD，若∠ADB=∠CDB=60o，∠ DAB=70o，∠DBC=65o，則四邊長 a、b、c、d 的大小關係為何呢？ Sol) 【三角形兩邊中點連線性質】 講解三： 如右圖 3，D、E、F 分別為△ABC 三邊的中點，若AB=6 cm，BC= AC=8cm， 則△DEF 的周長為何呢？ Sol) 練習三： 如右圖 3-1，△ABC 中，D、E 分別為AB、AC的中點，P、Q 分別為AD、AE 的中點，若BC =10，求 PQ =？ 圖 1-1 圖 2 圖 3(
)
90 , 1 2 , 3 , , CAD=90 50 40
180 40 2 70
BAC ADB AEF AFE
AEF AEF = = = = = − = = − = o o o o o o o Q V 為等腰V 又
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
1 3 2 4 360 1 2 3 4 360 1 2 5 6 360 1 2 180 360 1 2 130 360 1 2 230 B C B C B C B C A B C B C + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + − = + + + + = + + + = o o o o o o o o Sol) 1 1 10 5 , 1 1 5 5 2 2 2 2 2 DE = BC = = PQ= DE = = 。 【三角形的內角與外角度數】 講解四： 如右圖 4，AD為直角△ABC 斜邊BC上的高，又∠B 的平分線交於AC於 E，交 AD於 F，若∠C=50o，則∠AEF=？ Sol) 練習四：如右圖 4-1，銳角△ABC 中，∠A=50o，D、E 分別為AB、AC上的任一點，若
以DE為對稱軸，將 A 折向 A ，則∠1+∠2+∠B+∠C=？ sol) 【十分鐘即時練習】 （A）1.已知三角形兩邊長為 2、7，若第三邊長是奇數，則這三角形的周長是多 少呢？（A）16（B）17（C）18（D）19。 sol)∵7-2<第三邊<7+2，且第三邊為奇數 ∴第三邊為 7 週長=2+7+7=16。 （C）2.等腰三角形的三邊長都是整數，周長為 15，則此種等腰三角形共有幾個 呢？（A）2（B）3（C）4（D）5。 sol)∵15÷2=7.5 ∴兩腰的和>7.5 → ○1 4,4,7 ○2 5,5,5 ○3 6,6,3 ○4 7,7,1 共四組。 （B）3.如圖一，△ABC 中，D、E、F 分別是各邊的中點，若AB =10，BC =8， 7 AC = ，請問四邊形 DBEF 的周長為何呢？（A）17（B）18（C）19（D）20。 圖 3-1 圖 4 圖 4-1
(
)
(
)
(
)
, , A= 2x-4 2 4 2 180 , x=46 , 2 46 4 88 AB AC B C B C x x x A = = = = − + = = − = o o o o o Q 設 則 sol)DF = =8 2 4 , EF =10 =2 5 周長=(
4+ =5)
2 18。 （D）4.若△ABC 為等腰三角形，AB= AC， A 比B的 2 倍少 4o，求△ABC 各內角 A, B, C的度數為何？（A）86 , 47 , 47o o （B）84 , 48 , 48o o o o（C）82 , 49 , 49o o o （D） 88 , 46 , 46o o o。 sol) （C）5.如圖二，已知 = =1 2 70o，BD⊥ AB，則 D 的度數為何呢？ （A）45o（B）50o（C）55o（D）60o。 能力二：四邊形的基本性質 一、四邊形的定義 四邊形（quadrilateral）：係指具有四條直線段所圍成的多邊形，每條邊連接兩個 頂點且不在頂點之間相交。四角形（quadrangle）與四邊形的定義並不相同，請 留意。 二、四邊形的種類 四邊形：可分為「平行四邊形」與「特殊四邊形」兩類。 平行四邊形：有正方形、長方形（矩形）、菱形、平行四邊形。 特殊四邊形：有筝形（鳶型）、梯形、等腰梯形、任意四邊形。如下圖所示。 三、四邊形的性質 正方形：四邊等長且四個內角都是直角的平行四邊形。 長方形（矩形）：四個內角都是直角的平行四邊形。 菱形：四邊等長的平行四邊形。 平行四邊形：兩雙對邊平行、等長且對角線互相平分的四邊形。 筝形（鳶型）：兩組鄰邊等長的四邊形。 梯形：一雙對邊平行，另一雙對邊不平行的四邊形，此不平行的對邊稱為兩腰。 圖二C, , 60 2 120 , 24 3 8 , ABCD =8 4 32 AB BD DC A ABD ACD ABCD = = = = = = = = o o o 且∠BAC=60 ∠ ∠ □ 為菱形 □ 周長 等腰梯形：為一梯形且兩腰等長。 四、四邊形的對角線性質 正方形 長方形 菱形 平行四邊形 鳶形 等腰梯形 梯形 對角線等長 ★ ★ ★ 對角線互相平分 ★ ★ ★ ★ 對角線互相垂直 ★ ★ ★ 五、四邊形的相關性質 ◎菱形與鳶形的判別： 菱形的兩條對角線都會互相平分頂角。鳶型的對角線僅有一條會平分頂角，另一 條不會。 ◎若四邊形的對角線互相垂直，則其面積=對角線的乘積×1 2 。例如：鳶形、菱 形、正方形皆可。 六、多邊形的角度與對角線公式 ◎ 任意 n 邊形的內角和=
(
n −2)
180o。 ◎ 任意 n 邊形的外角和=360o。 ◎ 任意 n 邊形的對角線=(
3)
2 n n − 條。 ◎ 正 n 邊形的每一內角皆相等，其值為(
n 2)
180 n − o 。 ◎ 正 n 邊形的每一外角皆相等，其值為360 n o 。 【四邊形的邊角關係】 講解一： 如右圖 1，用兩個相同的正三角形組合成一個四邊形，若正△ABC 周長為 24， 則□ABCD 是哪一種四邊形呢？周長為何呢？∠ACD=？ sol) 口訣：對角線互相等長：等梯、矩、正 對角線互相平分：平、菱、矩、正 對角線互相垂直：鳶、菱、正 圖 1(
)
, 1= 180 90 2 45 , 3 2 , 3 2 90 , 3 45 , 2 45 , 3 1 2 AB= AD − = BDCD + = o o o o o o 已知 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 練習一： 如右圖 1-1，四邊形 ABCD 中，AB= AD，∠BDC=∠A=90o，BD =12、CD =5， 請問∠1、∠2、∠3 的大小關係為何呢？ Sol) 【四邊形的對角線】 講解二： 長方形具有兩條對角線會等長且互相平分的性質，請問下列哪些四邊形也具有相 同的性質呢？ Sol) 因此，符合此一性質的四邊形分別是，矩形、正方形。選擇（1）（3）（6）。 練習二： 下列四組交叉線段各代表一種四邊形的兩條對角線，請由左至右寫出最適當的四 邊形名稱。 Sol) 等腰梯形、平行四邊形、菱形、正方形。 【四邊形的面積】 講解三： 設一菱形的周長為 60 公分，兩對角線長為 18 公分與 x 公分，則 x=？ sol) ∵菱形的對角線互相平分，所以菱形的一邊長為 60÷4=15， 圖 1-1 依照口訣可知：對角線互相等長：等梯、矩、正； 對角線互相平分：平、菱、矩、正。2 2 12 6 5 3 4 , 9, 2 1 , = 18 2 AI EG FH EFGH EG FH + = − = = = = = Q □ 為菱形 面積
(
)
3 180 120 60 , 1 2 3 4 360 , 4 360 100 110 60 90 = − = + + + = = − + + = o o o o o o o o o ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠(
)
(
)
(
)
2 180 160 360 160 180 180 80 2 2 B C BEC A D AFD + = − = − + = − = − = o o o o o o o Q ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴(
)
2 2 2 2 2 2 18 x 15 81+ 225 2 2 4 144, 576, 24 , 4 24 x x x x x + = = = = = = 負不合 練習三： 已知 ABCD 為等腰梯形，其中 E、F、G、H 分別為各邊之中點，且AD=6，BC =12， 5 AB = ，則四邊形 EFGH 的面積為何？ Sol) 【四邊形的角度】 講解四： 如右圖 4，四邊形 ABCD 中，∠1=100o，∠2=110o，∠BCD=120o，請問∠4=？ Sol) 練習四： 如右圖 4-1，四邊形 ABCD 中，∠B、∠C 的角平分線相交於 E 點，∠A、∠D 的角平分線相交於 F 點，若∠BEC=100o，則∠AFD=？ Sol) 【十分鐘即時練習】 （C）1.如右圖 1，為人行步道上地磚的局部圖形，在六邊形 ABCDEF 中，∠B= ∠E=90o，∠A=∠C=∠D=∠F，請問∠A 等於多少度呢？（A）133o（B）134o（C） 135o（D）136o。 （C）2.一個四邊形最多有幾個內角是鈍角呢？（A）1（B）2（C）3 （D）4 個。 （D）3.在△ABC 中，AB AC， =C 60o，則下列敘述何者正確呢？（A）∠ A 為最小角（B）∠B 為最大角（C）AB為最大邊（D）BC為最大邊。 圖 4 圖 4-1 圖 12 , 2x 180 , 60 , 2 60 120 B D x A x x x A C = = o = o o+ o= o = o = = o= o 令 Sol) 由AB AC知 C B 60o B, =C 60 ,o B 60o 60o。 （C）4.如右圖 2，□ABCD 為一正方形，□EFGH 也是正方形，G、H 在BD上， E、F 兩點分別在AD、AB上，且HD =4，則BD+EH =？（A）12（B）14（C） 16（D）18。 （B）5.平行四邊形 ABCD 中，∠A=∠B+∠D，則∠C=？（A）110o（B）120o（C） 130o（D）140o。 sol) 能力三：圓的基本性質 一、圓的定義 圓（circle）：係指一封閉的平面曲線，其上的每一點都距離一給定的固定點等距 離而成的集合。 二、圓的性質 弧（arc）：圓上兩點 A、B 之間所包含的圓周長片段稱為弧，以»AB表示，若»AB 佔全圓的弧長較小者稱為「劣弧」，反之，所佔弧長較長者稱為「優弧」。 弦（chord）：連接圓上相異兩點所乘的線段，如EF。 弦心距：圓心到弦之距離謂之弦心距，如OH。 圓心角：圓上相異兩點與圓心形成的角度，如 AOB 。 圓周角：圓上相異三點，以其中一點為頂點所形成的角度，如 DEF 。 弦切角：圓上一弦與切線所形成的角度，如 ABC 。 切線：若直線 L 和圓 O 僅交於一點，則稱 L 為圓的一條切線，且切線必與半徑 垂直。 三、圓的角度關係 圓心角： »AB=no AOB=no。（圖 a） 圓周角： » 1 2 AC =no ABC = no。（圖 b） （圖 a） （圖 b） （圖 c） 圖 2
弦切角： » 1 2 BC =no ABC= no。（圖 c） 圓內角： » »
(
)
1 2 AB n APB CPD n m CD m = = = + = o o o o 。（圖 d） 圓外角： » »(
)
1 2 AB n APB n m CD m = = − = o o o o 。（圖 e） 四、圓與四邊形的關係 （一）圓的內接四邊形 定義：圓上相異四點所形成的四邊形稱為圓的內接四邊形。 性質：對角互補，且外角等於其內對角。 特性：圓內接平行四邊形為矩形。 圓內接菱形為正方形。 圓內接梯形為等腰梯形。 （二）圓的外切四邊形 定義：圓形的相異四條切線所圍成的四邊形稱為圓的外切四邊形。 性質：若 ABCD 為圓外切四邊形，則AB+CD= AD+BC。 五、扇形的相關性質 扇形：若有一圓 O，其內有兩條半徑OA、OB，與弧»AB所圍成的區域，即為扇 形，如圖所示。 若圓心角∠AOB=xo，圓 O 半徑為 r，則有下列關係： （一）»AB弧長 » » 2 360 360 AB x AB r x = = o o o o 圓周長 （二）扇形面積 2 360 360 r x = o o o o 扇形面積 圓面積 x 扇形面積= （三）扇形周長 扇形周長=OA OB+ +»AB （圖 d） （圖 e） 圓的外切四邊形 圓的內接四邊形» ¼ 1 1 60 30 2 2 1 1 180 90 2 2 ABC AC ADB ACB = = = = = = o o o o » » 1 1 1 60 , 2 50 2 2 3 1 60 50 110 AD B BC A A = = = = = = = + = + = o o o o o 2 2 1 1 30 = 6 3 , 360 3 O = 4 16 , 360 67.5 16 AOB CO D = = = = o o o o 扇形 面積 圓 的面積 » , 12, , 1 2 12 4 6 OA OB OB AB OAB AB = = = = = V 連接 可知, OA 為正三角形 【圓心角與圓周角的應用】 講解一： 如右圖 1，已知AB是圓 O 的直徑，且 »AC =60o，試問∠ABC 與∠ADB 的度數 為何呢？ Sol) 練習一： 如右圖 1-1，已知AB和CD是圓 O 的兩弦且相交於 E 點，若∠B=60o、∠A=50o， 則∠1、∠2、∠3 的度數為何呢？ sol) 【扇形面積】 講解二： 如圖 2，已知圓 O 與圓 O1的半徑為 6 公分與 4 公分，假設∠AOB=30o，且圖形 中兩扇形面積相同，則∠CO1D=？ sol) 練習二： 有一火車車輪如圖 2-1 所示，車輪部分在鐵軌之下，若AB =12，車輪半徑亦為 12，請問»AB的長度為何呢？ Sol) 【圓與四邊形的關係】 講解三： 右圖 3 所示，三個圓的圓心分別是 P、Q、R，且均與□ABCD 相切，已知圓心 Q 的圓半徑為 1，且 P、Q、R 三點在同一線上，請問□ABCD 面積為何呢？ 圖 1 圖 1-1 圖 2 圖 2-1
(
)
Q 1, 2 ABCD AD 2, D 4, 2 4 8 BC C ABCD = = = = = Q 圓心 的圓半徑為 直徑為 □ 的寬 長AB □ 面積為 平方單位 B , 1, 2 30 , 60 , 90 60 30 OM A H MH OH OA OMOAH AOM AOC
⊥ = = = = = o = o = o− o = o 做 於 令 則 ∴∠ ∠ ∠
(
)
(
)
(
)
1 2 180 160 , 180 2 1 180 360 160 80 2 B C BEC AFD A D + = − = = − + = − − = o o o o o o o Sol) 練習三： 如圖 3-1 所示，圓內的□OABC 為一矩形，若圓 O 的直徑為 18 公分，試求AC的 長度為何？ Sol) ∵□OABC 是矩形 ∴OB= AC =9(
公分 。)
【十分鐘即時練習】 （B）1.有一圓如右圖 1 的摺疊方法所示，展開後請問∠AOC=？ （A）15o（B）30o（C）45o（D）60o。 sol) （B）2.如右圖 2 所示，AC=CD =6，求斜線部份的周長為何呢？ （A）6π（B）12π（C）18π（D）24π。 （D）3.如圖 3 所示，已知 P 為圓外一點， »AB=BC» =CD» ，若 =P 40o，則∠ AOB=？（A）95o（B）100o（C）105o（D）110o。 （A）4.如右圖 4，A、B、C 為圓 O 上三點，D 點為圓 O 內一點 ，且BD交圓 O 於 E 點，請問下列敘述何者正確呢？（A）∠CAB+∠CEB=180o （B）∠CAB+∠CDB=180o（C）∠CAB+∠CEB<180o（D）∠CAB+∠CDB<180osol) （B）5.如右圖 5 所示，AB為直徑，AH =BH，若圓 O 的面積為 4π，試求¼AH 的長度為何？（A）1（B）π（C）2π（D）3π。 【基本觀念題】 （A）1.已知三角形的三個外角度數比是 3：4：5，則此三角形的最大內角是多 少？（A）90o（B）100o（C）110o（D）120o。 （C）2.已知△ABC 中， =A 50o，C的外角為110o，則△ABC 為何種三角形 圖 3 圖 3-1 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5
呢？（A）直角三角形（B）鈍角三角形（C）銳角三角形（D）任意三角形。 （B）3.設△ABC 中，2A: 3 =B 8 : 9 , 2 B: C=6:5 ，則∠A+∠B=？（A）100o （B）105o（C）110o（D）115o。 （D）4.如右圖，若小華由 s 點出發，只准前進不准後退，依照 S→B→C→A→P 的順序走到 P 點，小華共轉了幾度呢？（A）125o（B）150o（C）250o（D）280o。 （C）5.下列四組數，可成為三角形三邊長的共有多少組呢？ （A）1 組（B）2 組（C）3 組（D）4 組。
（A）6.四邊形 ABCD 中，下列哪一個條件不能用來判定 ACBCD 為平行四邊形？ （A）AB CD ACP , =BD（B）AB CD AD BCP , P （C）AB CDP , = A C（D） , AB=CD AD=BC。 （D）7.依次連接一個等腰梯形四邊中點所圍成的四邊形為哪一種四邊形呢？ （A）正方形（B）矩形（C）梯形（D）菱形。 （B）8.如右圖，甲是由一條直徑、一條弦及一圓弧所圍成的灰色圖形，乙是由 兩條半徑與一圓弧所圍成的灰色圖形，丙是由不過圓心 O 的兩線段與一圓弧所 圍成的灰色圖形。下列關於此三圖形的敘述何者正確？（A）只有甲是扇形（B） 只有乙是扇形（C）只有丙是扇形（D）只有乙、丙是扇形。【93.基測（一）】 （B）9.如右圖 ABCD 為矩形房屋，AB = 公尺 ，3 BC = 公尺 ，在牆角 D 綁一2 繩子，繩長 5 公尺，若在繩的末端拴住一隻看門狗，問此狗可以活動的範圍是多 少平方公尺呢？（A）11π（B）22π（C）33π（D）44π（平方公尺）。 （A）10.如右圖是某組合玩具的造型，是由三個相同的半圓與一個大半圓所構 成，若最大半圓的直徑是 l2 公分，問此圖案的面積=？（A）20π（B）22π（C） 23π（D）24π（平方公分）。 【溫故歷屆基測試題】 （D）1.小薰想在花園中，圍出一塊土地種玫瑰花，他以自己的位置為中心找出 與他等距的甲、乙、丙三點，並測量此三點間的距離，記錄如右表。表中有部分 為水漬所弄髒，使得丙到甲的距離無法辨識。已知弄髒的部份為一整數，則此數 可能是下列哪一個？（A）3（B）5（C）6（D）8。【91.基測（一）】 ○a 0.3、0.5、0.5 ○b 5、9、14 ○c 2 2、1、3 ○d 2、99、100
（B）2.在△ABC 中，如果∠A=70o，∠B=40o，則下列四格選項中，哪一個是 正確的？（A）AC BC（B）AB AC（C）AC=BC（D）AB =。【90.基測 （一）】
（D）3. 在△ABC 中，如果∠B 的外角是120o，且 3∠C=2∠ ，試求∠A=？ （A）A
36o（B）48o（C）60o（D）72o。【91.基測（二）】 （A）4.以知有長 3 公分、6 公分之兩線段，下列敘述何者錯誤？ （A）若另有一長為 3 公分的線段，則此三線段可構成等腰三角形。 （B）若另有一長為 6 公分的線段，則此三線段可構成等腰三角形。 （C）若另有一長為 3 3 公分的線段，則此三線段可構成直角三角形。 （D）若另有一長為 3 5 公分的線段，則此三線段可構成直角三角形。【94.基測 （一）】 （A）5.如圖，甲、乙兩人在同一水平面上溜冰，且乙在甲的正東方 200 公尺處。 已知甲、乙分別以東偏北70o、西偏北60o的方向直線滑行，而後剛好相遇，因 而停止滑行。對於兩人滑行的距離，下列敘述何者正確？ （A）乙滑行的距離較長。 （B）兩人滑行的距離一樣長 （C）甲滑行的距離小於 200 公尺。 （D）乙滑行的距離小於 200 公尺。【94.基測（一）】
sol) 兩人行進路線交於 C 點，在△ABC 中，∠B>∠A ACBC。
（B）6.如右圖，在△ABC 中，∠ACB=102o，AF = AC、BE=BC，求∠ECF=？ （A）34o（B）39o（C）45o（D）56o。【94.基測（二）】
sol) ○1 AF = AC∠AFC=∠ACF =
(
a+b)
o。○2 BE =BC∠BEC=∠BCE =
(
b+c)
o。○3 △EFC + + + + =b b c a b 180o2b+102o=180 , o b=39o。
（C）7.如右圖，四邊形 ABCD 、APQR 為兩全等正方形，CD PQ與 相交 E 點， 若∠BAP=20o，則∠PEC=？（A）60o（B）65o（C）70o（D）75o。【94.基測 （二）】
sol) ∠PAD=90o−20o =70o，∠PED=360o−70o−90o−90o， ∠PEC=180o−110o =70o。
(
)
2 2 2 2 3 4 5 , AE , 3 4 5, , 2 2 12 90 36 , 5 360 25 AE AE BC BC ABC r AE ⊥ = + = = = = = = 連接 則 △ 面積 12 ∴ ∴陰影部分面積= 單位 5 » » , P , 90 , 90 40 50 , 1 1 50 25 2 2 OP PA OPA POB PB APB PB = = − = = = = = o o o o o o 連接 ∵ 切圓於 點 ∴∠ ∠ 弦切角∠( )
( )
(
)
(
)
( )
1 1 1 1 1 , 2 1 , , 1 , 2 2 2 2 2 1 1 3 , 1 2 , 2 2 2 1 3 1 3 2 2 AEP CR EP m ACR BS CR m CEPR DQ CR EP BS CR DQ m = = = = = = = + = + = + + = + + = △ 中 △ 中 梯形 中 ∴(
)
(
2)
1 180 90 45 , , , 2 , & , 1 8 , 16 8 64 B C AB AC O BC OA BC OAB OAC OB OA OC ABC = = − = = ⊥ = = = = = o o o ∵ 為 中點 ∴ 為對稱軸 OA ∴△ △ 都是等腰直角三角形 △ 單位 （D）8.如右圖，△ABC 中，∠BAC =90 , o AC =3, AB=4，以 A 為圓心作一圓 弧，切BC於 E 點，且分別交AB AC 於 D、F 兩點，請問此圖形陰影部分的面, 積為多少呢？（A） 9 25 （B） 16 25 （C） 24 25 （D） 36 25 。【90.基測（一）】 sol) （C）9.如右圖，AP為圓 O 的切線，P 為切點，OA交圓 O 於 B 點，若∠A =40o， 則 APB =∠ ？（A）40o（B）30o（C）25o（D）20o。【94.基測（二）】 sol) （D）10.如右圖，S、R、Q 在AP上，B、C、D、E 在AF 上，其中BS CR DQ ，, , 皆垂直AF ，且AB=BC =CD=DE，若PE = 公尺，求 BS2 +CR+DQ的嘗試 多少公尺？（A）3 2（B）2（C） 5 2（D）3。【92.基測（一）】 sol) 【模擬學力基測試題】（D）1.如右圖，△ABC 為等腰直角三角形，∠BAC=90o，O 為BC之中點，若
8
OA = ，則△ABC 面積為何？（A）23（B）32（C）46（D）64。 sol)
( )
2 10 2 2 3 10 3 2 10 10 10 2 102 cm = + = + = + = M M 個鐵環 長度 個鐵環 長度 個鐵環 長度 （A）2.如圖，在△ABC 中， =A 80o，D、E、F 點分別在BC AB AC 上，且, , , BD= BE CD=CF，則∠EDF=？（A）50o（B）52o（C）54o（D）56o。 （B）3.如右圖，AD=BD=CD，則 x=？（A）5o（B）10o（C）15o（D）20o。 （C）4.在△ABC 中，AB=1, BC = 3 1, − AC= 2 1− ，則∠A、∠B、∠C 之 大小的關係為下列何者呢？（A）∠C>∠B>∠A（B）∠B>∠C>∠A（C）∠C> ∠A>∠B（D）∠A>∠B>∠C。 （B）5.如右圖，,△ABC 為每邊 l2 公分的正三角形，四邊形 BFED 是平行四邊 形，求平行四邊形 BFED 的周長為多少公分？（A）22（B）24（C）26（D）28。 （A）6.圓形鐵環的內半徑為 5 公分，外半徑為 6 公{分，今將 l0 個這種鐵環串 聯成一條鐵鍊，如右圖，則兩端拉直以後鐵鍊的長度為多少公分呢？（A）102 （B）103（C）104（D）105（公分）。 sol) （D）7.海邊豎立一圓形的警示牌，已知圓的半徑 60 公分，今天適逢海水漲潮， 圓形警示牌只露出一弓形，如右圖所示，測量»AB的長為 30π公分，求警示牌露 出水面的弓形面積為多少平方公分？（A）450π-1600（B）450π-1800（C）900 π-1600（D）900π-1800（公分）。 （B）8.如右圖，O 為大圓之圓心， 6, 1 4 OA= AB= AC，求斜線周長為何？（A） 6π（B）12π（C）18π（D）24π。 （C）9.如右圖，∠ABC=90o，以AC為邊做正方形 ACDE，O 為兩對角線交點， 設AB=8, AC= ，則△AOC 的面積為何？（A）15（B）20（C）25（D）30。 6 （A）10.如右圖，等腰直角△ABC 中， =A 90o，AB= AC=8，則斜線部分面 積為何？（A）16π-32（B）12π-32（C）18π-32（D）24π-32。 【進階練習題】( )
2 2 2 2 4 , a= 2 5 , 2 4 1 = 4 5 5 2 4 2 2 2 k k k k a k + = = = = = = = l l l l l l l l l 設兩對角線長為 及 邊長 面積 （B）1.一多邊形各內角為 2 ,3 , 4 ,5xo xo xo xo，則其最小角為多少度呢？ （A）30o（B）60o（C）120o（D）160o。 sol)(
5− 2)
180o =18x540=18x =x 30 , o ∴最小內角=2x0 =60o。 （C）2.設一正三角形的邊長為 a，高為 h，若另一正三角形△ABC 的邊長為 2h， 請問△ABC 的面積為何呢？（A） 3 2 2 a （B） 2 3 4 a （C） 2 3 3 4 a （D） 2 3 3 2 a 。 sol) 邊長為 2h 的正△面積為 3( )
2 2 3 2 4 h = h ，邊長為 a 的正△其高 3 2 h= a， 2 2 3 3 3 2 3 3 2 4 h a a = = 。 （D）3.已知菱形的一對角線長為另一對角線的 2 倍，若菱形的面積是 k，則此 菱形的每一邊長是多少呢？（A）1 2 2 k （B） 1 3 2 k （C） 1 4 2 k （D） 1 5 2 k 。 sol) （C）4.如右圖，□ABCD 為邊長 1 公分的正方形，請問斜線部分的面積為多少 平方公分呢？（A） 14 （B） 13 （C） 12 （D） 11 （平方公分）。 sol) 1 12 1 1 2 2 3 2 6 12 CDE = = − = = 斜線部分面積 扇形 。 （C）5.如右圖，已知□OABC 是長方形，扇形 OED 是1 4圓AC長是 5 公分，請 問圓 O 之面積為何呢？（A） 9 （B）16 （C） 25（D） 36 （平方公分）。 Sol) AC =OB=5, ∴圓 面積=O 52 =25 。（A）6.平行四邊形 ABCD 中，若∠C 為∠D 的 3 倍，則∠B=？（A）45o（B） 60o（C）90o（D）135o。 sol) 平行四邊形中，對角相等，同側內角互補，因此，∠D+∠C=180o，∠D+3 ∠D=180o→4∠D=4∠B=180o, ∠B=45o。 （B）7.如右圖，□ABCD 為邊長 4 的正方形，內切四個互切的全等圓，則斜線 部分面積為多少平方公分呢？（A）4+ （B）4 − （C）2 + （D）24 − （平4 方公分）。 sol) 如右圖，斜線面積= 2 2 4 4 4 2 4 − = −
（A）8.如右圖，點 C 為圓心，點 A 為圓上一點，並使得□ABCD 為一長方形， 期長與寬分別是 8 與 6，求陰影部分面積為何呢？（A）25 − （B）2448 −48 （C） 23 −48（D） 22 −48。 sol) C 82 62 10, =1 102 8 6 25 48 4 A = + = 陰影面積 − = − 。 （A）9.下列敘述有哪幾個是正確的呢？ ○1 在一圓中，圓心是直徑的中點。 ○2 同一圓中，不平行的兩弦其中垂線的交點就是圓心。 ○3 直徑是圓中最長的弦。 ○4 同一圓中，兩直徑的交點就是圓心。 ○5 圓的半徑是弦。 （A）○1 ○2 ○3 ○4 （B）○1 ○3 ○5 （C）○1 ○2 ○3 ○5 （D）○1 ○2 ○3 （B）10.如右圖，P 為圓外一點， »AB=BC» =CD» ，若 =P 40o，則 AOB = ？ （A）100o（B）110o（C）120o（D）160o。
