Unit 14 平面圖形的基本性質

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Unit 14 平面圖形的基本性質 能力指標:◎(S-3-05)能利用行體的性質解決幾何問題。 ◎ (S-3-10)能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。 ◎(S-4-01)能根據給定的性質作局部的推理。 ◎(S-4-03)能以最少性質辨認刻畫一個圖形並了解定義的意義。 ◎(S-4-04)能根據性質了解某些圖形間的包含關係。 能力一:三角形的性質 一、三角形的定義 三角形(triangle):係由三條直線交於三個頂點而構成的一個封閉平面圖形。 二、三角形的組成性質 (一)兩邊和、差關係 若 a、b 表示△ABC 之兩邊長,令第三邊長為 c,則 a b c−   + ,即兩邊差a b 小於第三邊小於兩邊和,如圖(一)。 (二)內角與外角關係 任意三角形的三個內角和為180o,三個外角和為360o。 任意三角形的一外角等於它內對角的和。 三、三角形的邊角關係 根據樞紐性質,如圖(二),在△ABC 與△DEF 中,AB=DEAC =DF,則: (1)若 A   ,則D BCEF。(2)若BCEF,則 A   。亦即所謂的『大D 邊對大角,小邊對小角』。 四、三角形的中點連線性質 如右圖(三),在△ABC 中,D、E 兩點分別為ABAC的中點,則 DE BCP 且 1 E 2 D = BC。 五、三角形的種類 (一)正三角形(等角三角形):如圖(a),三角形的三邊等長,各內角均為60o。 (二)等腰三角形:如圖(b),三角形的兩腰等長,兩底角相等。 (三)銳角三角形:如圖(c),三角形的三個內角度數均小於90o。

(2)

(四)直角三角形:如圖(d),三角形中有一內角度數為90o。 (五)鈍角三角形:如圖(e),三角形中有一內角度數大於90o 六、三角形內、外角平分線的性質: (一)型一 1 1 2, 3 4, 90 2 BIC A  =   =    = o+  (二)型二 1 1 2, 3 4, 90 2 BPC A  =   =    = o−  (三)型三 1 1 2, 3 4, O 2 B C A  =   =    =  七、三角形相關性質補充說明 ◎兩個相同的正三角形可合併成為菱形。 ◎等腰三角形的頂角=180o− 

(

2 底角 。

)

◎直角三角形除直角之外,另兩角之和為90o。 ◎若△ABC 中, A 90 , o 則 B+ C<90  o

(

 +   B C A

)

【三角形的三邊關係】 講解一: 如右圖 1,圓的圓心是 A,半徑 3 公分,AB =5公分,在圓 A 上取一個點 C,使 其可連成△ABC,則BC的長度範圍為何呢? Sol)

(

5 3−

)

BC

(

5 3 , 2+

)

BC 。 8 練習一: 如右圖 1-1,四邊形 ABCD 中,AB =10,BC =11,CD =6,AD =6,若求BD 圖 1

(3)

(

)

(

)

(

)

(

)

, 10 6 10 6 , 4 16, , 11 6 11 6 , 5 17, , 5 16 ABC BD BD BCD BD BD BD −   +   −   +     V V 中 中 由以上可知 , 180 60 70 50 70 60 50 , , 180 60 65 55 65 60 55 , d>c>BD , d>c>BD>b>a , d>c>b>a ABD DBA BD b a BDC DCB  = − − =       = − − =    o o o o o o o o o o o o o o V Q V Q 中 中 由以上可知 81 78 64 , 9 78 8 ,    由上可知, B> A> C

( )

1 1 1 1 1 1 6 3, 8 4, 8 4, 2 2 2 2 2 2 3 4 4 11 DE AB EF BC DF AC DEF cm = =  = = =  = = =  =  V 的周長= + + = 的範圍為何? Sol) 【三角形的邊角關係】 講解二: 在△ABC 中,若AB =7,BC =8,CA = 78,則三內角的大小關係為何呢? Sol) 練習二: 如右圖 2,連接四邊形 ABCD 的對角線BD,若∠ADB=∠CDB=60o,∠ DAB=70o,∠DBC=65o,則四邊長 a、b、c、d 的大小關係為何呢? Sol) 【三角形兩邊中點連線性質】 講解三: 如右圖 3,D、E、F 分別為△ABC 三邊的中點,若AB=6 cmBC= AC=8cm, 則△DEF 的周長為何呢? Sol) 練習三: 如右圖 3-1,△ABC 中,D、E 分別為ABAC的中點,P、Q 分別為ADAE 的中點,若BC =10,求 PQ =? 圖 1-1 圖 2 圖 3

(4)

(

)

90 , 1 2 , 3 , , CAD=90 50 40

180 40 2 70

BAC ADB AEF AFE

AEF AEF  =  =  =    =  =    − =   = −  = o o o o o o o Q V 為等腰V 又

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

1 3 2 4 360 1 2 3 4 360 1 2 5 6 360 1 2 180 360 1 2 130 360 1 2 230 B C B C B C B C A B C B C  +  +  +  +  +  =  +  +  +  +  +  =  +  +  +  +  +  =  +  +  +  + −  =  +  +  +  + =   +  +  +  = o o o o o o o o Sol) 1 1 10 5 , 1 1 5 5 2 2 2 2 2 DE = BC =  = PQ= DE =  = 。 【三角形的內角與外角度數】 講解四: 如右圖 4,AD為直角△ABC 斜邊BC上的高,又∠B 的平分線交於AC於 E,交 AD於 F,若∠C=50o,則∠AEF=? Sol) 練習四:

如右圖 4-1,銳角△ABC 中,∠A=50o,D、E 分別為ABAC上的任一點,若

DE為對稱軸,將 A 折向 A ,則∠1+∠2+∠B+∠C=? sol) 【十分鐘即時練習】 (A)1.已知三角形兩邊長為 2、7,若第三邊長是奇數,則這三角形的周長是多 少呢?(A)16(B)17(C)18(D)19。 sol)∵7-2<第三邊<7+2,且第三邊為奇數 ∴第三邊為 7 週長=2+7+7=16。 (C)2.等腰三角形的三邊長都是整數,周長為 15,則此種等腰三角形共有幾個 呢?(A)2(B)3(C)4(D)5。 sol)∵15÷2=7.5 ∴兩腰的和>7.5 → ○1 4,4,7 ○2 5,5,5 ○3 6,6,3 ○4 7,7,1 共四組。 (B)3.如圖一,△ABC 中,D、E、F 分別是各邊的中點,若AB =10,BC =8, 7 AC = ,請問四邊形 DBEF 的周長為何呢?(A)17(B)18(C)19(D)20。 圖 3-1 圖 4 圖 4-1

(5)

(

)

(

)

(

)

, , A= 2x-4 2 4 2 180 , x=46 , 2 46 4 88 AB AC B C B C x x x A =   =   =  =   − + =  =  − = o o o o o Q 設 則 sol)DF =  =8 2 4 , EF =10 =2 5 周長=

(

4+  =5

)

2 18。 (D)4.若△ABC 為等腰三角形,AB= AC, A 比B的 2 倍少 4o,求△ABC 各內角  A, B, C的度數為何?(A)86 , 47 , 47o o (B)84 , 48 , 48o o o o(C)82 , 49 , 49o o o (D) 88 , 46 , 46o o o sol) (C)5.如圖二,已知 =  =1 2 70o,BDAB,則 D 的度數為何呢? (A)45o(B)50o(C)55o(D)60o。 能力二:四邊形的基本性質 一、四邊形的定義 四邊形(quadrilateral):係指具有四條直線段所圍成的多邊形,每條邊連接兩個 頂點且不在頂點之間相交。四角形(quadrangle)與四邊形的定義並不相同,請 留意。 二、四邊形的種類 四邊形:可分為「平行四邊形」與「特殊四邊形」兩類。 平行四邊形:有正方形、長方形(矩形)、菱形、平行四邊形。 特殊四邊形:有筝形(鳶型)、梯形、等腰梯形、任意四邊形。如下圖所示。 三、四邊形的性質 正方形:四邊等長且四個內角都是直角的平行四邊形。 長方形(矩形):四個內角都是直角的平行四邊形。 菱形:四邊等長的平行四邊形。 平行四邊形:兩雙對邊平行、等長且對角線互相平分的四邊形。 筝形(鳶型):兩組鄰邊等長的四邊形。 梯形:一雙對邊平行,另一雙對邊不平行的四邊形,此不平行的對邊稱為兩腰。 圖二

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C, , 60 2 120 , 24 3 8 , ABCD =8 4 32 AB BD DC A ABD ACD ABCD = = = = =  =   =  = o o o 且∠BAC=60 ∠ ∠ □ 為菱形 □ 周長 等腰梯形:為一梯形且兩腰等長。 四、四邊形的對角線性質 正方形 長方形 菱形 平行四邊形 鳶形 等腰梯形 梯形 對角線等長 ★ ★ ★ 對角線互相平分 ★ ★ ★ ★ 對角線互相垂直 ★ ★ ★ 五、四邊形的相關性質 ◎菱形與鳶形的判別: 菱形的兩條對角線都會互相平分頂角。鳶型的對角線僅有一條會平分頂角,另一 條不會。 ◎若四邊形的對角線互相垂直,則其面積=對角線的乘積×1 2 。例如:鳶形、菱 形、正方形皆可。 六、多邊形的角度與對角線公式 ◎ 任意 n 邊形的內角和=

(

n −2

)

180o。 ◎ 任意 n 邊形的外角和=360o。 ◎ 任意 n 邊形的對角線=

(

3

)

2 n n − 條。 ◎ 正 n 邊形的每一內角皆相等,其值為

(

n 2

)

180 n −  o 。 ◎ 正 n 邊形的每一外角皆相等,其值為360 n o 。 【四邊形的邊角關係】 講解一: 如右圖 1,用兩個相同的正三角形組合成一個四邊形,若正△ABC 周長為 24, 則□ABCD 是哪一種四邊形呢?周長為何呢?∠ACD=? sol) 口訣:對角線互相等長:等梯、矩、正 對角線互相平分:平、菱、矩、正 對角線互相垂直:鳶、菱、正 圖 1

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(

)

, 1= 180 90 2 45 , 3 2 , 3 2 90 , 3 45 , 2 45 , 3 1 2 AB= AD −  = BDCD   + =      o o o o o o 已知 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 練習一: 如右圖 1-1,四邊形 ABCD 中,AB= AD,∠BDC=∠A=90o,BD =12、CD =5, 請問∠1、∠2、∠3 的大小關係為何呢? Sol) 【四邊形的對角線】 講解二: 長方形具有兩條對角線會等長且互相平分的性質,請問下列哪些四邊形也具有相 同的性質呢? Sol) 因此,符合此一性質的四邊形分別是,矩形、正方形。選擇(1)(3)(6)。 練習二: 下列四組交叉線段各代表一種四邊形的兩條對角線,請由左至右寫出最適當的四 邊形名稱。 Sol) 等腰梯形、平行四邊形、菱形、正方形。 【四邊形的面積】 講解三: 設一菱形的周長為 60 公分,兩對角線長為 18 公分與 x 公分,則 x=? sol) ∵菱形的對角線互相平分,所以菱形的一邊長為 60÷4=15, 圖 1-1 依照口訣可知:對角線互相等長:等梯、矩、正; 對角線互相平分:平、菱、矩、正。

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2 2 12 6 5 3 4 , 9, 2 1 , = 18 2 AI EG FH EFGH EG FH + = − = = = =    = Q □ 為菱形 面積

(

)

3 180 120 60 , 1 2 3 4 360 , 4 360 100 110 60 90 = − = + + + = = − + + = o o o o o o o o o ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

(

)

(

)

(

)

2 180 160 360 160 180 180 80 2 2 B C BEC A D AFD + =  − = − +  = − = − = o o o o o o o Q ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴

(

)

2 2 2 2 2 2 18 x 15 81+ 225 2 2 4 144, 576, 24 , 4 24 x x x x x   +  = =          = = =  = 負不合 練習三: 已知 ABCD 為等腰梯形,其中 E、F、G、H 分別為各邊之中點,且AD=6,BC =12, 5 AB = ,則四邊形 EFGH 的面積為何? Sol) 【四邊形的角度】 講解四: 如右圖 4,四邊形 ABCD 中,∠1=100o,∠2=110o,∠BCD=120o,請問∠4=? Sol) 練習四: 如右圖 4-1,四邊形 ABCD 中,∠B、∠C 的角平分線相交於 E 點,∠A、∠D 的角平分線相交於 F 點,若∠BEC=100o,則∠AFD=? Sol) 【十分鐘即時練習】 (C)1.如右圖 1,為人行步道上地磚的局部圖形,在六邊形 ABCDEF 中,∠B= ∠E=90o,∠A=∠C=∠D=∠F,請問∠A 等於多少度呢?(A)133o(B)134o(C) 135o(D)136o。 (C)2.一個四邊形最多有幾個內角是鈍角呢?(A)1(B)2(C)3 (D)4 個。 (D)3.在△ABC 中,ABAC, =C 60o,則下列敘述何者正確呢?(A)∠ A 為最小角(B)∠B 為最大角(C)AB為最大邊(D)BC為最大邊。 圖 4 圖 4-1 圖 1

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2 , 2x 180 , 60 , 2 60 120 B D x A x x x A C  =  = o  = o o+ o= o = o  =  =  o= o 令 Sol) 由ABAC知   C B 60o  B,  =C 60 ,o  B 60o   60o。 (C)4.如右圖 2,□ABCD 為一正方形,□EFGH 也是正方形,G、H 在BD上, E、F 兩點分別在AD、AB上,且HD =4,則BD+EH =?(A)12(B)14(C) 16(D)18。 (B)5.平行四邊形 ABCD 中,∠A=∠B+∠D,則∠C=?(A)110o(B)120o(C) 130o(D)140o。 sol) 能力三:圓的基本性質 一、圓的定義 圓(circle):係指一封閉的平面曲線,其上的每一點都距離一給定的固定點等距 離而成的集合。 二、圓的性質 弧(arc):圓上兩點 A、B 之間所包含的圓周長片段稱為弧,以»AB表示,若»AB 佔全圓的弧長較小者稱為「劣弧」,反之,所佔弧長較長者稱為「優弧」。 弦(chord):連接圓上相異兩點所乘的線段,如EF。 弦心距:圓心到弦之距離謂之弦心距,如OH圓心角:圓上相異兩點與圓心形成的角度,如 AOB 。 圓周角:圓上相異三點,以其中一點為頂點所形成的角度,如 DEF 。 弦切角:圓上一弦與切線所形成的角度,如 ABC 。 切線:若直線 L 和圓 O 僅交於一點,則稱 L 為圓的一條切線,且切線必與半徑 垂直。 三、圓的角度關係 圓心角: »AB=no  AOB=no。(圖 a) 圓周角: » 1 2 AC =no ABC = no。(圖 b) (圖 a) (圖 b) (圖 c) 圖 2

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弦切角: » 1 2 BC =no  ABC= no。(圖 c) 圓內角: » »

(

)

1 2 AB n APB CPD n m CD m =    =  = +   = o o o o 。(圖 d) 圓外角: » »

(

)

1 2 AB n APB n m CD m  =    = −  =  o o o o 。(圖 e) 四、圓與四邊形的關係 (一)圓的內接四邊形 定義:圓上相異四點所形成的四邊形稱為圓的內接四邊形。 性質:對角互補,且外角等於其內對角。 特性:圓內接平行四邊形為矩形。 圓內接菱形為正方形。 圓內接梯形為等腰梯形。 (二)圓的外切四邊形 定義:圓形的相異四條切線所圍成的四邊形稱為圓的外切四邊形。 性質:若 ABCD 為圓外切四邊形,則AB+CD= AD+BC。 五、扇形的相關性質 扇形:若有一圓 O,其內有兩條半徑OAOB,與弧»AB所圍成的區域,即為扇 形,如圖所示。 若圓心角∠AOB=xo,圓 O 半徑為 r,則有下列關係: (一)»AB弧長 » » 2 360 360 AB x AB r x =  =   o o o o 圓周長 (二)扇形面積 2 360 360 r x =   o o o o 扇形面積 圓面積 x 扇形面積= (三)扇形周長 扇形周長=OA OB+ +»AB (圖 d) (圖 e) 圓的外切四邊形 圓的內接四邊形

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» ¼ 1 1 60 30 2 2 1 1 180 90 2 2 ABC AC ADB ACB  = =  =  = =  = o o o o » » 1 1 1 60 , 2 50 2 2 3 1 60 50 110 AD B BC A A  = =  =  = =  =  =  +  = + = o o o o o 2 2 1 1 30 = 6 3 , 360 3 O = 4 16 , 360 67.5 16 AOB CO D         =  =  =  = o o o o 扇形 面積 圓 的面積 » , 12, , 1 2 12 4 6 OA OB OB AB OAB AB   = = =  =   = V 連接 可知, OA 為正三角形 【圓心角與圓周角的應用】 講解一: 如右圖 1,已知AB是圓 O 的直徑,且 »AC =60o,試問∠ABC 與∠ADB 的度數 為何呢? Sol) 練習一: 如右圖 1-1,已知ABCD是圓 O 的兩弦且相交於 E 點,若∠B=60o、∠A=50o, 則∠1、∠2、∠3 的度數為何呢? sol) 【扇形面積】 講解二: 如圖 2,已知圓 O 與圓 O1的半徑為 6 公分與 4 公分,假設∠AOB=30o,且圖形 中兩扇形面積相同,則∠CO1D=? sol) 練習二: 有一火車車輪如圖 2-1 所示,車輪部分在鐵軌之下,若AB =12,車輪半徑亦為 12,請問»AB的長度為何呢? Sol) 【圓與四邊形的關係】 講解三: 右圖 3 所示,三個圓的圓心分別是 P、Q、R,且均與□ABCD 相切,已知圓心 Q 的圓半徑為 1,且 P、Q、R 三點在同一線上,請問□ABCD 面積為何呢? 圖 1 圖 1-1 圖 2 圖 2-1

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(

)

Q 1, 2 ABCD AD 2, D 4, 2 4 8 BC C ABCD  = = = =  = Q 圓心 的圓半徑為 直徑為 □ 的寬 長AB □ 面積為 平方單位 B , 1, 2 30 , 60 , 90 60 30 OM A H MH OH OA OM

OAH AOM AOC

⊥ = = = = = o = o = o− o = o 做 於 令 則 ∴∠ ∠ ∠

(

)

(

)

(

)

1 2 180 160 , 180 2 1 180 360 160 80 2 B C BEC AFD A D  +  = −  =  = −  +  = − − = o o o o o o o Sol) 練習三: 如圖 3-1 所示,圓內的□OABC 為一矩形,若圓 O 的直徑為 18 公分,試求AC的 長度為何? Sol) ∵□OABC 是矩形 ∴OB= AC =9

(

公分 。

)

【十分鐘即時練習】 (B)1.有一圓如右圖 1 的摺疊方法所示,展開後請問∠AOC=? (A)15o(B)30o(C)45o(D)60o。 sol) (B)2.如右圖 2 所示,AC=CD =6,求斜線部份的周長為何呢? (A)6π(B)12π(C)18π(D)24π。 (D)3.如圖 3 所示,已知 P 為圓外一點, »AB=BC» =CD» ,若 =P 40o,則∠ AOB=?(A)95o(B)100o(C)105o(D)110o。 (A)4.如右圖 4,A、B、C 為圓 O 上三點,D 點為圓 O 內一點 ,且BD交圓 O 於 E 點,請問下列敘述何者正確呢?(A)∠CAB+∠CEB=180o (B)∠CAB+∠CDB=180o(C)∠CAB+∠CEB<180o(D)∠CAB+∠CDB<180o

sol) (B)5.如右圖 5 所示,AB為直徑,AH =BH,若圓 O 的面積為 4π,試求¼AH 的長度為何?(A)1(B)π(C)2π(D)3π。 【基本觀念題】 (A)1.已知三角形的三個外角度數比是 3:4:5,則此三角形的最大內角是多 少?(A)90o(B)100o(C)110o(D)120o。 (C)2.已知△ABC 中, =A 50o,C的外角為110o,則△ABC 為何種三角形 圖 3 圖 3-1 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5

(13)

呢?(A)直角三角形(B)鈍角三角形(C)銳角三角形(D)任意三角形。 (B)3.設△ABC 中,2A: 3 =B 8 : 9 , 2 B: C=6:5  ,則∠A+∠B=?(A)100o (B)105o(C)110o(D)115o。 (D)4.如右圖,若小華由 s 點出發,只准前進不准後退,依照 S→B→C→A→P 的順序走到 P 點,小華共轉了幾度呢?(A)125o(B)150o(C)250o(D)280o。 (C)5.下列四組數,可成為三角形三邊長的共有多少組呢? (A)1 組(B)2 組(C)3 組(D)4 組。

(A)6.四邊形 ABCD 中,下列哪一個條件不能用來判定 ACBCD 為平行四邊形? (A)AB CD ACP , =BD(B)AB CD AD BCP , P (C)AB CDP ,  = A C(D) , AB=CD AD=BC。 (D)7.依次連接一個等腰梯形四邊中點所圍成的四邊形為哪一種四邊形呢? (A)正方形(B)矩形(C)梯形(D)菱形。 (B)8.如右圖,甲是由一條直徑、一條弦及一圓弧所圍成的灰色圖形,乙是由 兩條半徑與一圓弧所圍成的灰色圖形,丙是由不過圓心 O 的兩線段與一圓弧所 圍成的灰色圖形。下列關於此三圖形的敘述何者正確?(A)只有甲是扇形(B) 只有乙是扇形(C)只有丙是扇形(D)只有乙、丙是扇形。【93.基測(一)】 (B)9.如右圖 ABCD 為矩形房屋,AB = 公尺 ,3 BC = 公尺 ,在牆角 D 綁一2 繩子,繩長 5 公尺,若在繩的末端拴住一隻看門狗,問此狗可以活動的範圍是多 少平方公尺呢?(A)11π(B)22π(C)33π(D)44π(平方公尺)。 (A)10.如右圖是某組合玩具的造型,是由三個相同的半圓與一個大半圓所構 成,若最大半圓的直徑是 l2 公分,問此圖案的面積=?(A)20π(B)22π(C) 23π(D)24π(平方公分)。 【溫故歷屆基測試題】 (D)1.小薰想在花園中,圍出一塊土地種玫瑰花,他以自己的位置為中心找出 與他等距的甲、乙、丙三點,並測量此三點間的距離,記錄如右表。表中有部分 為水漬所弄髒,使得丙到甲的距離無法辨識。已知弄髒的部份為一整數,則此數 可能是下列哪一個?(A)3(B)5(C)6(D)8。【91.基測(一)】 ○a 0.3、0.5、0.5 ○b 5、9、14 ○c 2 2、1、3 ○d 2、99、100

(14)

(B)2.在△ABC 中,如果∠A=70o,∠B=40o,則下列四格選項中,哪一個是 正確的?(A)ACBC(B)ABAC(C)AC=BC(D)AB =。【90.基測 (一)】

(D)3. 在△ABC 中,如果∠B 的外角是120o,且 3∠C=2∠ ,試求∠A=? (A)A

36o(B)48o(C)60o(D)72o。【91.基測(二)】 (A)4.以知有長 3 公分、6 公分之兩線段,下列敘述何者錯誤? (A)若另有一長為 3 公分的線段,則此三線段可構成等腰三角形。 (B)若另有一長為 6 公分的線段,則此三線段可構成等腰三角形。 (C)若另有一長為 3 3 公分的線段,則此三線段可構成直角三角形。 (D)若另有一長為 3 5 公分的線段,則此三線段可構成直角三角形。【94.基測 (一)】 (A)5.如圖,甲、乙兩人在同一水平面上溜冰,且乙在甲的正東方 200 公尺處。 已知甲、乙分別以東偏北70o、西偏北60o的方向直線滑行,而後剛好相遇,因 而停止滑行。對於兩人滑行的距離,下列敘述何者正確? (A)乙滑行的距離較長。 (B)兩人滑行的距離一樣長 (C)甲滑行的距離小於 200 公尺。 (D)乙滑行的距離小於 200 公尺。【94.基測(一)】

sol) 兩人行進路線交於 C 點,在△ABC 中,∠B>∠A ACBC

(B)6.如右圖,在△ABC 中,∠ACB=102o,AF = ACBE=BC,求∠ECF=? (A)34o(B)39o(C)45o(D)56o。【94.基測(二)】

sol) ○1 AF = AC∠AFC=∠ACF =

(

a+b

)

o。

○2 BE =BC∠BEC=∠BCE =

(

b+c

)

o。

○3 △EFC + + + + =b b c a b 180o2b+102o=180 , o b=39o。

(C)7.如右圖,四邊形 ABCD 、APQR 為兩全等正方形,CD PQ與 相交 E 點, 若∠BAP=20o,則∠PEC=?(A)60o(B)65o(C)70o(D)75o。【94.基測 (二)】

sol) ∠PAD=90o−20o =70o,∠PED=360o−70o−90o−90o, ∠PEC=180o−110o =70o。

(15)

(

)

2 2 2 2 3 4 5 , AE , 3 4 5, , 2 2 12 90 36 , 5 360 25 AE AE BC BC ABC r AE     ⊥ = + = = =   = =   =   連接 則 △ 面積 12 ∴ ∴陰影部分面積= 單位 5 » » , P , 90 , 90 40 50 , 1 1 50 25 2 2 OP PA OPA POB PB APB PB = = − = = = =  = o o o o o o 連接 ∵ 切圓於 點 ∴∠ ∠ 弦切角∠

( )

( )

(

)

(

)

( )

1 1 1 1 1 , 2 1 , , 1 , 2 2 2 2 2 1 1 3 , 1 2 , 2 2 2 1 3 1 3 2 2 AEP CR EP m ACR BS CR m CEPR DQ CR EP BS CR DQ m = =  = = =  = = + =  + = + + = + + = △ 中 △ 中 梯形 中 ∴

(

)

(

2

)

1 180 90 45 , , , 2 , & , 1 8 , 16 8 64 B C AB AC O BC OA BC OAB OAC OB OA OC ABC  =  = −  = =  ⊥  = = = =   = o o o 中點 ∴ 為對稱軸 OA ∴△ △ 都是等腰直角三角形 △ 單位 (D)8.如右圖,△ABC 中,∠BAC =90 , o AC =3, AB=4,以 A 為圓心作一圓 弧,切BC於 E 點,且分別交AB AC 於 D、F 兩點,請問此圖形陰影部分的面, 積為多少呢?(A) 9 25 (B) 16 25 (C) 24 25 (D) 36 25 。【90.基測(一)】 sol) (C)9.如右圖,AP為圓 O 的切線,P 為切點,OA交圓 O 於 B 點,若∠A =40o, 則 APB =∠ ?(A)40o(B)30o(C)25o(D)20o。【94.基測(二)】 sol) (D)10.如右圖,S、R、Q 在AP上,B、C、D、E 在AF 上,其中BS CR DQ ,, , 皆垂直AF ,且AB=BC =CD=DE,若PE = 公尺,求 BS2 +CR+DQ的嘗試 多少公尺?(A)3 2(B)2(C) 5 2(D)3。【92.基測(一)】 sol) 【模擬學力基測試題】

(D)1.如右圖,△ABC 為等腰直角三角形,∠BAC=90o,O 為BC之中點,若

8

OA = ,則△ABC 面積為何?(A)23(B)32(C)46(D)64。 sol)

(16)

( )

2 10 2 2 3 10 3 2 10 10 10 2 102 cm  =  +  =  +  =  + = M M 個鐵環 長度 個鐵環 長度 個鐵環 長度 (A)2.如圖,在△ABC 中, =A 80o,D、E、F 點分別在BC AB AC 上,且, , , BD= BE CD=CF,則∠EDF=?(A)50o(B)52o(C)54o(D)56o。 (B)3.如右圖,AD=BD=CD,則 x=?(A)5o(B)10o(C)15o(D)20o。 (C)4.在△ABC 中,AB=1, BC = 3 1, − AC= 2 1− ,則∠A、∠B、∠C 之 大小的關係為下列何者呢?(A)∠C>∠B>∠A(B)∠B>∠C>∠A(C)∠C> ∠A>∠B(D)∠A>∠B>∠C。 (B)5.如右圖,,△ABC 為每邊 l2 公分的正三角形,四邊形 BFED 是平行四邊 形,求平行四邊形 BFED 的周長為多少公分?(A)22(B)24(C)26(D)28。 (A)6.圓形鐵環的內半徑為 5 公分,外半徑為 6 公{分,今將 l0 個這種鐵環串 聯成一條鐵鍊,如右圖,則兩端拉直以後鐵鍊的長度為多少公分呢?(A)102 (B)103(C)104(D)105(公分)。 sol) (D)7.海邊豎立一圓形的警示牌,已知圓的半徑 60 公分,今天適逢海水漲潮, 圓形警示牌只露出一弓形,如右圖所示,測量»AB的長為 30π公分,求警示牌露 出水面的弓形面積為多少平方公分?(A)450π-1600(B)450π-1800(C)900 π-1600(D)900π-1800(公分)。 (B)8.如右圖,O 為大圓之圓心, 6, 1 4 OA= AB= AC,求斜線周長為何?(A) 6π(B)12π(C)18π(D)24π。 (C)9.如右圖,∠ABC=90o,以AC為邊做正方形 ACDE,O 為兩對角線交點, 設AB=8, AC= ,則△AOC 的面積為何?(A)15(B)20(C)25(D)30。 6 (A)10.如右圖,等腰直角△ABC 中, =A 90o,AB= AC=8,則斜線部分面 積為何?(A)16π-32(B)12π-32(C)18π-32(D)24π-32。 【進階練習題】

(17)

( )

2 2 2 2 4 , a= 2 5 , 2 4 1 = 4 5 5 2 4 2 2 2 k k k k a k + =  = =  = =  =  = l l l l l l l l l 設兩對角線長為 及 邊長 面積 (B)1.一多邊形各內角為 2 ,3 , 4 ,5xo xo xo xo,則其最小角為多少度呢? (A)30o(B)60o(C)120o(D)160o。 sol)

(

5− 2

)

180o =18x540=18x =x 30 , o ∴最小內角=2x0 =60o。 (C)2.設一正三角形的邊長為 a,高為 h,若另一正三角形△ABC 的邊長為 2h, 請問△ABC 的面積為何呢?(A) 3 2 2 a (B) 2 3 4 a (C) 2 3 3 4 a (D) 2 3 3 2 a 。 sol) 邊長為 2h 的正△面積為 3

( )

2 2 3 2 4 h = h ,邊長為 a 的正△其高 3 2 h= a, 2 2 3 3 3 2 3 3 2 4 haa  = =   。 (D)3.已知菱形的一對角線長為另一對角線的 2 倍,若菱形的面積是 k,則此 菱形的每一邊長是多少呢?(A)1 2 2 k (B) 1 3 2 k (C) 1 4 2 k (D) 1 5 2 k 。 sol) (C)4.如右圖,□ABCD 為邊長 1 公分的正方形,請問斜線部分的面積為多少 平方公分呢?(A) 14  (B) 13  (C) 12  (D) 11  (平方公分)。 sol) 1 12 1 1 2 2 3 2 6 12 CDE     = =  =  =   斜線部分面積 扇形 。 (C)5.如右圖,已知□OABC 是長方形,扇形 OED 是1 4圓AC長是 5 公分,請 問圓 O 之面積為何呢?(A) 9 (B)16 (C) 25(D) 36 (平方公分)。 Sol) AC =OB=5, ∴圓 面積=O 52 =25 。

(A)6.平行四邊形 ABCD 中,若∠C 為∠D 的 3 倍,則∠B=?(A)45o(B) 60o(C)90o(D)135o。 sol) 平行四邊形中,對角相等,同側內角互補,因此,∠D+∠C=180o,∠D+3 ∠D=180o→4∠D=4∠B=180o, ∠B=45o。 (B)7.如右圖,□ABCD 為邊長 4 的正方形,內切四個互切的全等圓,則斜線 部分面積為多少平方公分呢?(A)4+ (B)4 − (C)2  + (D)24  − (平4 方公分)。 sol) 如右圖,斜線面積= 2 2 4 4 4 2 4       = −        

(18)

(A)8.如右圖,點 C 為圓心,點 A 為圓上一點,並使得□ABCD 為一長方形, 期長與寬分別是 8 與 6,求陰影部分面積為何呢?(A)25 − (B)2448  −48 (C) 23 −48(D) 22 −48。 sol) C 82 62 10, =1 102 8 6 25 48 4 A = + = 陰影面積   −  =  − 。 (A)9.下列敘述有哪幾個是正確的呢? ○1 在一圓中,圓心是直徑的中點。 ○2 同一圓中,不平行的兩弦其中垂線的交點就是圓心。 ○3 直徑是圓中最長的弦。 ○4 同一圓中,兩直徑的交點就是圓心。 ○5 圓的半徑是弦。 (A)○1 ○2 ○3 ○4 (B)○1 ○3 ○5 (C)○1 ○2 ○3 ○5 (D)○1 ○2 ○3 (B)10.如右圖,P 為圓外一點, »AB=BC» =CD» ,若 =P 40o,則 AOB = ? (A)100o(B)110o(C)120o(D)160o。

數據

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參考文獻

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