0309全冊解答

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0309 全冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設x0,y0,x y 6,則 2 xy 之最大值為何? (A)16 (B)18 (C) 25 (D)32 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 x y 6  6 2 2 y y x   由算幾不等式: 3 2 2 3 2 2 y y x y y x       3 1 2 3 4 x y xy   把x y 6代入上式, 則6 3 1 2 3 4xy  2 3 1 2 4xy   3 1 2 2 4xy   2 32 xy  故xy2之最大值為 32 ( )2.已知平面上三點 A(1,3)、B(3,k)、C(5,1),若向量 AB 與 AC 垂直,則 k  (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中,三點 A(1,3)、B(3,k)、C(5,1)且ABAC 先求AB (3 1,k 3) (2,k3) AC (5 1,1 3) (4, 2) ∵ ABACAB AC 0  (2,k  3)(4,  2)  0  2  4  (k  3)  (  2)  0  8  2k  6  0  k  7 ( )3.設 2 2 2 5 2 4 ( 1)( 1) 1 1 x x A Bx C x x x x x x            ,則 A  B  C  (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式兩側乘以(x 1)(x2 x  1)  5x2 2x 4 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1) (A B)x2 (A B C)x ( A C) 5 2 4 A B A B C A C              由   2A C  7… 由   A  3,代回  B  2,代回  C  1 故 A B C  3  2  1  6 ( )4.設 p、q 為二相異正整數,且 an為一等差數列的第 n 項。 若 ap  q,aq  p,則 ap q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1,公差 d ∵ ap q ∴ a1 (p 1)d q… ∵ aq p ∴ a1 (q 1)d p… 由   (p q)d q p d q p 1 p q      d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q a1 p q  1 因此 ap  q a1 (p q 1)d (p q  1)  (p q  1)  (  1)  0 ( )5.圓(x  1)2  (y  3)2  16 與直線 3x  4y  11  0 的交點有 多少個? (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【093 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (x  1)2 (y  3)2 16,圓心為(1 ,  3)、半徑r 164 又圓心(1 ,  3)與 3x 4y  11  0 的距離 2 2 | 3 1 4 ( 3) 11| 4 3 4 d        ∵ d r  圓與直線相切 ∴ 圓(x  1)2 (y  3)2 16 與直線 3x 4y  11  0 只有 1 個交點 ( )6.求橢圓 9x2  5y2  18x  20y  16  0 的長軸長為何? (A)4 (B)5 (C)6 (D)9 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 9x2 5y2 18x 20y  16  0  9(x2 2x) 5(y2 4y)  16  9(x2 2x 1) 5(y2 4y 4) 16 9 20 9(x  1)2 5(y 2)2 45  2 2 ( 1) ( 2) 1 5 9 x y2 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 3 ( 5) y x 即 a  3,b 5 ∴ 長軸長 2a  6 ( )7.設 f ' (x)為函數 f (x)的導函數,若 f ' (x)  2x2,則 0 (2 ) (2) lim 2 f f       ? (A)2 (B)22 (C)23 (D)24 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析

(2)

2 2 0 0 (2 ) (2) 1 (2 ) (2) 1 1 lim lim (2) (2 2 ) 2 2 2 2 2 f f f f f               

( )8.已知i 1,則複數(3  2i)(4  5i)的實部為何? (A)2 (B)7 (C)9 (D)22

【093 年歷屆試題.】 解答 D

解析 (3  2i)(4 5i)  [3  4  (  2)  5]  [3  5  (  2)  4]i  22  7i ∴ (3  2i)(4 5i)的實部為 22 ( )9.中山高中一、二、三年級學生人數的比例分別為 40%、 32%、28%,而一、二、三年級男生人數占該年級的比例分別 為 50%、60%、40%,現從全校學生中任意選取 1 人,則此人 為女生的機率為何? (A)43.2% (B)45.4% (C)47.8% (D)49.6% 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題意,樹狀圖如下: 由、、知所求機率  40%  50%  32%  40%  28%  60%  49.6% 故選(D) ( )10.下列何者為曲線 4y2  (2x  1)2  9 的漸近線? (A) 1 2 y x (B)y  2x  1 (C)y  2x  1 (D)2 1 2 y x 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 4y2 (2x  1)2 9  4y2 (2x  1)2 9 漸近線為 4y2 (2x 1)2 0

即(2y)2 (2x 1)2 0 (2y 2x 1)(2y 2x 1) 0

 1 2 y x 或 1 2 y  x ∴ 漸近線為 1 2 y x 與 1 2 y  x ( )11.若圓 C 的方程式為 x2  y2  6x  4y  4  0,則下列各方 程式的圖形,何者與圓 C 相切? (A)3x  4y  1  0 (B)3x  4y  2  0 (C)3x  4y  7  0 (D)3x  4y  14  0 【098 年歷屆試題】 解答 B 解析 圓 C:x2 y2 6x 4y  4  0 圓心 ( 6, 4) (3, 2) 2 2 O    ,半徑 2 2 1 ( 6) ( 4) 4 4 3 2 r       (A) 2 2 | 3 3 4 2 1| 16 5 3 4 d       r  (B) 2 2 | 3 3 4 2 2 | 15 5 3 4 d       r  (C) 2 2 | 3 3 4 2 7 | 10 5 3 4 d       r  (D) 2 2 | 3 3 4 2 14 | 3 5 3 4 d       r故(B)3x 4y  2  0 與圓 C 相切 ( )12.已知 0   、    。下列各選項中,何者恆為正確? (A)若 cos   cos  ,則    (B)若 cos(    )  0,則    (C)若 sin   sin  ,則    (D)若 sin(    )  0,則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時,y cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數,即 cos  cos    (B)反例:cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ,但 5 2 6 6 (C)反例:sin sin2 3 3  ,但 2 3 3  (D)反例:sin(  0)  sin  0,但  0 ( )13.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三點, 試問△ABC 之重心坐標為何? (A)(2,2) (B)(4,  2) (C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12 ( , ) (4, 2) 3 3       ( )14.設 a、b、c 均為實數且 L:ax  by  c  0 為坐標平面上 之一直線,若 L 的斜角為 6  ,則 a:b  (A)1: 2 (B) 2 :1 (C)1: 3 (D) 3 :1 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 L:ax by c  0,斜率m a a b b    

(3)

又斜角為 6  1 tan 6 3 m     即 1 3 a b ∴ a b: 1: 3 ( )15.判斷下列各數值中,何者小於 0?

(參考公式:cos(    )  cos  cos   sin  sin  ) (A)cos100  sin2011 (B)cos2100  sin2100

(C)cos22011  sin22011 (D)cos100cos2011  sin100sin2011

【100 年歷屆試題.】 解答 B

解析 (A)cos100 cos(90 10)  sin10

sin2011 sin(360 5  211)  sin211 sin(180 31)  sin31

cos100 sin2011 sin10 (  sin31)  sin31 sin10 0

(∵ 10 31  sin10 sin31) (B)cos2100 sin2100

 cos(2  100)  cos200 cos(180 20)  cos20 0

(C)cos22011 sin22011

 cos(2  2011)  cos4022 cos(360 11  62)  cos62 0

(D)cos100cos2011 sin100sin2011

 cos(100 2011)  cos2111 cos(360 5  311)  cos311  cos(360 49)  cos49 0 ( )16.已知△ABC 中,AB4,AC5,BC6,則 sinA  (A) 63 8  (B) 7 8  (C)7 8 (D) 63 8 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 △ABC 中,AB c 4,AC b 5,BC a 6 由餘弦定理知 2 2 2 2 2 2 5 4 6 1 cos 2 2 5 4 8 b c a A bc          又A 為△ABC 的內角  0A  180 ∴ sin 1 cos2 1 ( )1 2 63 63 8 64 8 A  A    ( )17.設向量 u ( , 2)av (3, 2 )aw  ( 1, 2),則下列 敘述何者正確? (A)若 2 uv 與 w 平行,則 a   3 (B) 若 (2 uv ) w 0,則 5 2 a  (C)若| 2 uv | 5 ,則 1 2 a  (D)若| 2 uv | | w |,則 a  0 【101 年歷屆試題.】 解答 B 解析 2 uv 2( , 2)a (3, 2 )a (2 , 4)a (3, 2 )a (2a3, 42 )a 2 2 | 2 uv | (2a3)  (4 2 )a 2 2 (4a 12a 9) (16 16a 4a )        8a228a25 2 2 | w | ( 1) 2  5 (A)∵ 2 uvw 平行 ∴ 2 3 4 2 1 2 a  a    2  (2a  3)  (4  2a) 4a  6  4  2a 6a  10  a  5 3  (B)∵ (2 uv )  w 0 ∴ (2a  3 , 4  2a)(  1 , 2)  0  (2a  3)  (  1)  (4  2a)  2  0  (  2a  3)  (8  4a)  0  2a  5  0  5 2 a  (C)∵ | 2 uv | 5 ∴ 8a228a255  平方 8a2 28a  25  25  8a2 28a  0 4   2a2 7a  0  a(2a  7)  0  a  0 或 7 2  (D)∵ | 2 uv | | w | ∴ 2 8a 28a25 5  平方 8a2 28a  25  5  8a2 28a  20  0 4   2a2 7a  5  0  (2a 5)(a  1)  0  5 2 a  或  1 ( )18.有一籃球隊共有 12 位選手,其前鋒、中鋒、後衛的人 數分別為 4 人、3 人、5 人,現在要選 5 位選手上場比賽,一 般籃球比賽中,每隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1 人、2 人,問共有幾種不同選法? (A)120 (B)154 (C)180 (D)225 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 42 13 52 4! 3! 5! 180 2! 2! 1! 2! 2!3! CCC     故選(C)

(4)

( )19.若 ( ) | sin | 0 2 0 x x f x x      , , ,則lim ( )x0f x  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ ( ) | sin | 0 2 0 x x f x x      , ,  0 0 0

lim ( ) lim | sin | lim sin 0

x  f x x x x  x

  

0 0 0

lim ( ) lim | sin | lim ( sin ) 0

x  f x x x x  x     ∴ 0 lim ( ) 0 xf x  ( )20.已知a、b 為實數,且 3a5,5b9,則ab (A)log 45 15 (B)log 5 (C) 2 (D)3 3 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由對數的定義: 3a 5  log 53a 5b 9  log 95b

ablog 5 log 935 log 93 2

( )21.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列。若甲、乙、 丙、丁四人必排在此列的最前面四位,且甲、乙不相鄰, 則此七人共有多少種排法? (A)36 (B)72 (C)144 (D)840 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ( )22.設 k 為實數,若任意實數 x 均使 kx2  2x  k 恆為正數,則 k 之範圍為何? (A)k  1 (B)0  k  1 (C)  1  k  0 (D)k   1【094 年歷屆試題.】 ∵ 甲、乙不相鄰 ∴ 甲、乙最後排入 先排丙丁:2! 甲、乙插入丙丁的空隙: 3 2 P 再排戊、己、庚:3! 由、、,有 3 2 2!P  3! 72種排法 解答 A 解析 ∵ kx2 2x k 恆為正數 2 2 0 0 ( 2) 4 0 4 4 0                  k k k k k 0 0 ( 1)( 1) 0 1 1 k k k k k k              或 ∴ k 的範圍為 k  1 ( )23.設a、 b 、c三個數均為正實數,且已知a c 36,若 a、 b 、12 三數成等差數列,且 2 、 b 、c三數成等比 數列,則下列敘述何者有誤? (A)b c 32 (B)a b 12 (C)b22c (D) 2b a 12 【103 年歷屆試題】 解答 A 解析 ∵ ab、12為等差數列 ∴ 12 2 a b   2b a 12(選項(D))  a2b12 ∵ 2、bc為等比數列 ∴ 2 2 bc(選項(C))  2 1 2 cba2b12, 1 2 2 cb 代入a c 36 則

2 12

1 2 36 2 b  b  2 2 4b24b 72  2 4 96 0 bb  

b8



b12

0  b8或12 而b為正實數,故b8 把b8代入 與 ,則a  2 8 124, 1 82 32 2 c   (A)b c  8 3240 (B)a b   4 8 12 故選(A) ( )24.試求lim (1 22 2 3 2 ) 1 2 n n n n         (A)0(B) 2 3(C)1(D) 3 2 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 2 2 2 ( 1) (1 2 3 ) 2 3 3 3 3

lim lim lim lim

( 1)(2 1) 1 1 2 2 1 2 2 0 2 6 n n n n n n n n n n n n n n n n                    ( )25.已知△ABC 中,∠C  90,D 在 BC 線段上,且線段長 2 BD ,DC1,AC3,如圖所示。令∠BAD   , 求 cos   (A) 1 10 (B) 1 5 (C) 2 10 (D) 2 5 【100 年歷屆試題.】 解答 D 解析 在直角△ABC 中,AB3232 3 2 在直角△ADC 中, 2 2 3 1 10 AD   在△ABD 中,

(5)

2 2 2 2 2 2 (3 2) ( 10) 2 2 cos 2 2 3 2 10 5 AB AD BD AB AD           

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