1005 數學第一冊解答

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1005 數學第一冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (15 題 每題 4 分 共 60 分)

（ ）1.設兩向量 a 、 b 的夾角為，且| a || b |， | a  b |4，| a  b |3，則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ | a  b |2| a |2| b |22 a  b 16 又 2 2 2 | a  b | | a | | b | 2 a b 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     （∵ | a || b |） 7 7 4 25 ₂₅ 4   （ ）2.設直線 L 的斜率為 2 且在 x 軸之截距為 3，請問下列哪 一點在直線 L 上？ (A)(5,5) (B)(6,6) (C)(7,7) (D)(8,8) 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ 直線 L 之 x 截距為 3  L 過點(3,0) 又 L 的斜率 m  2 由點斜式知直線 L 方程式為 y  0  2(x  3)即 2x  y  6  0 又(6,6)滿足方程式 2x  y  6  0 ∴ 點(6,6)在直線 L 上 （ ）3.設 a 為實數，且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第 一象限，則 a 的可能範圍為何？ (A)a <  1 (B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a a x y a  y  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ，斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且 3 1 0 2 a _  a  1 且 1 3 a ∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a    （ ）4.設 A  P  B 且AP PB: 2 : 3，O、A、B 為△的三頂點， 若 OPx OA y OB ，則 x  y  (A)2 5 (B)1 (C)3 5 (D) 6 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 3 2 2 3 2 3 OP _ OA _ OB 3 2 5OA 5OB   ∴ 3 5 x ， 2 5 y 3 2 1 5 5 x   y （ ）5.化簡 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)得 (A) 3 2 (B) 3 2  (C)1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 D

解析 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)  sin100sin200 cos200cos80

 sin80(  sin20)  (  cos20)cos80 (sin80sin20

 cos20cos80) 1 cos(80 20 ) cos 60 2           （ ）6. △ABC 中， B 105，  C 60 ，a 3 1 ，下列 何者為真？ (A)c 3 (B)c2 2 (C)b 2 1 (D)b 3 1 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 ∵ 已知二角與一邊利用正弦定理 180 105 60 15 A          3 1

sin15 sin105 sin 60

b c  _{ }   （ 6 2 sin15 4    ，

－ 2 － 6 2 sin105 4    ） ∴ 6 2 3 1 3 1 4 6 2 4 b       3 4



3 1



6 2 6 2 c      （ ）7.求 sin120 cot 210 tan 315 cos 240       (A)1 (B) 1 (C) 3 (D) 3 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 3 3 3 sin120 cot 210 _{2 2} 1 3 1 tan 315 cos 240 1 2 2           _{  } _{ }     （ ）8.如圖，河的一邊有 A、B 兩點，且AB30公尺，河的 另一邊有一點 C，測得BAC  45，ABC  75，則 BC (A)15 25 6 公尺 (B)10 2 公尺 (C)10 6 公尺 (D)10 3 公尺 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 C  180 45 75 60 由正弦定理： sin sin c a C  A  30 sin 60 sin 45 a     30 3 2 2 2 a   a  10 6 ∴ BC a 10 6（公尺） （ ）9.比較 y  sinx 與 y  cosx 的圖形，則下列敘述何者錯誤？ (A)  1  y  1 (B)y  sinx 與 y  cosx 的週期相同 (C)

將 y  cosx 的圖形平行右移 2  即得 y  sinx 的圖形 (D)二者均過點(1,0) 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 y  sinx 與 y  cosx 均不過點(1,0) （ ）10.若 為第二象限角且sin 4 5   ，則 sin2 的值為 (A)24 25 (B) 24 25  (C) 4 5  (D)8 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 _sin 4 _{cos 1 ( )}4 2 3 5 5 5         （∵  為第二 象限角） 4 3 24

sin 2 2sin cos 2 ( )

5 5 25         （ ）11.設 a  ( 4,5)， b (1, 2)，則 2 a3 b  (A)18 (B)  20 (C)(  11,4) (D)(  5,4) 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）12.tan(  495)  (A) 3 (B) 3 3  (C)  1 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）13.設 A(2,4)、B(2,  9)，則 AB 的斜率為 (A)  13 (B)0 (C)1 (D)不存在 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）14.若 ax  by  2 與 5x  4y  1  0 表示同一直線，則 a  b  (A)  2 (B)2 (C)10 (D)18 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 10 5 4 1 a b a        、b  8 故 a  b  2 （ ）15.△ABC 中，c 3 1 ，b  2，∠A  60，則∠B  (A) 6  (B) 4  (C) 3  (D)2 3  【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 由餘弦定理：a2 _b2 _c2 _2bccosA  ₆  _a ₆ 再由正弦定理： sin sin a b A B  B 45 4     

二、填充題 (8 格 每格 4 分 共 32 分)

1.設二次函數 f x 在

 

x 1時有最小值 2 ，且f

 

0 3，則

 

f x ____________。 【隨堂測驗】 解答 _x2_2x₃ 解析 設二次函數 f x

  

a x1



22 （∵ f x

 

有最小值 ∴ 圖形開口向上，a0） 又 f

 

0 3





2 0 1 2 3 1 a a       ∴

 





2 2 1 1 2 2 3 f x   x  x  x 2.設 3sin2x  8sinx  3  0，則 sinx  ____________。

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解答 1 3 

解析 3sin2x  8sinx  3  0  (3sinx  1)(sinx  3)  0

 sin 1 3 x  或 sinx  3（不合） 3.已知tan 4 3   ， 3 2     ，則 sin2  ____________。 【龍騰自命題】 解答 24 25 解析 tan 4 3   ，Ⅲ sin 4 5     ，cos 3 5   ∴ sin 2 2sin cos 2 ( 4) ( 3) 24

5 5 25

        

4.△ABC中，  ，cotC 90 A1，則 sinAcosA____________。

【隨堂測驗】 解答 2 解析 ∵ sin 2 2 A ，cos 2 2 A ∴ sin cos 2 2 2 2 2 A A   5.△ABC 中，三邊長分別為 a  3，b  5，c  6，則 (1)△ABC 面積  ____________ (2)△ABC 的內切圓半徑  ____________ (3)secB  ____________ (4)△ABC 的外接圓半徑  ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)2 14;(2)2 14 7 ;(3) 9 5;(4) 45 14 56 解析 (1) 1(3 5 6) 7 2 s    7(7 3)(7 5)(7 6) 7 4 2 1 2 14          △ (2) 2 14 7 rs r s   △ △ (3) 2 2 2 2 2 2 6 3 5 5 cos 2 2 6 3 9 c a b B ca          ∴ 9 sec 5 B (4) 4 abc R  △ ， 3 5 6 45 45 14 4 4 2 14 4 14 56 abc R       △

三、計算題 (2 小題 每小題 4 分 共 8 分)

1.求 1 2 2 1

1 sin 1 cos  1 sec  1 csc  之值。

【隨堂講義-進階題-老師講解】 解答 3 解析 原式 1 1 2 2 1 1 1 sin ₁ 1 cos ₁ sin cos          _  _ 1 sin 1 sin 1 sin      _  _     1 cos 2 1 cos 1 cos       _  _     1 sin 2 1 cos 1 sin 1 cos           _{ } _{ }       1 2 3 2.設cot 3 4   ，且 sin0，求 cos及 csc之值。 【隨堂講義-基本練習題-老師講解】 解答 cos 3 5    ，csc 5 4   解析 cot0，sin0 則 為第三象限角 而cot 3 3 4 4 x y     斜邊r

   

3 2 4 2 5 故cos 3 3 5 5    ，csc 1 1 5 4 sin 4 5     _  