1224 數列級數解答

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1224 數列級數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1，若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   



，則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             





 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1   1  i  a  bi 即 a   1，b   1 ∴ a  2b   3 （ ）2.設 p、q 為二相異正整數，且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q，aq  p，則 ap  q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1，公差 d ∵ ap  q ∴ a1  (p  1)d  q… ∵ aq  p ∴ a1  (q  1)d  p… 由   (p  q)d  q  p  d q p 1 p q      d   1 代回 a1  (p  1)(  1)  q  a1  p  q  1 因此 ap  q  a1  (p  q  1)d  (p  q  1)  (p  q  1)  (  1)  0 （ ）3.求 102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數共有幾個？ (A)190 (B)191 (C)192 (D)193 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 在 102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數有 107,117,127,137,…,2007 這些數字可以形成等差數列an，其中首項 a1  107，公差 d  10，第 n 項 an  2007 則 2007  107  (n  1)  10  n  191 故個位數字為 7 的正整數共有 191 個 （ ）4.已知等差數列：7, 2, 3 , 8, ，若首項為a ，公差為 d ，則₁ 3a14d？ (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 首項a₁7，公差d   2 7 5 則3a₁4d      3 7 4

 

5 1 （ ）5.下列各數列，何者不是等比數列？ (A) 3, 3,3, 3  (B) 5,25,125,625 (C) 2 2 2 2 2 ,4 ,8 ,16 (D)3 ,6 ,9 ,12 2 2 2 2 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 (A)公比為1 (B)公比為5 (C)公比為4 (D)後項與前項的比值並不一致 （ ）6.若 a、5、b、c、d、  3 成等差，則公差為 (A)  1 (B)  4 (C)  2 (D)2 【龍騰自命題.】

－ 2 － 解答 C 解析 公差 3 5 2 4      （ ）7.求 1 至 153 之間，所有 4 的倍數總和為 (A)798 (B)2964 (C)2980 (D)3012 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 所求  4  1  4  2 … 4  38  4(1  2  3 … 38)  2964 （ ）8.設一等比數列第 4 項為 2，第 7 項為1 4，則公比為 (A) 1 4 (B) 1 8 (C)1 (D) 1 2 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）9.若 1 n n i i S a  



，已知 Sn  n2  3n，則 a20  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 a20  S20  S19  202  3  20  192  3  19  42 （ ）10.在 5 與 320 之間加入 5 個正數，使之成為等比數列，則其公比為何？ (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 設公比為r，由題意知首項為 5，第 7 項為 320， 則₅_r7 1 ₃₂₀  _r6₆₄ 2 r    （負不合，∵ 均為正數） 故公比為 2 （ ）11.從 1 到 10 的自然數中，任取三個相異的數字，由小到大排列，最多能排出幾組不同的等比數列？ (A)3 組 (B)4 組 (C)6 組 (D)7 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 有 1、2、4；1、3、9；2、4、8；4、6、9 共四組 （ ）12.若 1  2  4  8 … 2n  1000，則 n 之最小整數值為 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 4 8 2 1000 2 1 n n  _          2n  1  1001  n  1 最小整數值為 10  n 最小整數值為 9 （ ）13.問 11 2 2k k



的和為 (A)508 (B)1020 (C)2044 (D)4092 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 11 2 10 2 3 11 12 2 2 (2 1) 2 2 2 2 2 4 4096 4 4092 2 1 k k            



（ ）14.設一等比數列之公比為 r，若其前 n 項和為 Sn，已知 S10  5，S20  15，則 S40  (A)75 (B)20 (C)30 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 10 10 ( 1) 5 1 a r S r     ， 20 20 ( 1) 15 1 a r S r    

－ 3 － ∴ 20 10 1 3 1 r r     r 10  1  3  r10  2 ∵ 5 1 a r  ∴ 40 4 40 ( 1) 5 (2 1) 75 1 a r S r        （ ）15.設一等差數列之第 5 項為 19，第 9 項為 35，則前 10 項之和為 (A)210 (B)310 (C)410 (D)510 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）16.問級數 5 1 (2 3) k k  



的和為 (A)15 (B)17 (C)13 (D)19 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 5 1 (2 3) ( 1) 1 3 5 7 15 k k         



（ ）17.若兩等差級數，前 n 項和之比為(3n  1)：(7n  1)，則兩數列第 7 項之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a7：b7  13a7：13b7  S13：S'13  [3(13)  1]：[7(13)  1]  4：9 （ ）18.在1 4和 4 81之間插入 3 個正數，使這 5 個數成等比數列，則此等比數列的公比為 (A) 2 3 (B) 3 4 (C) 3 2 (D) 4 3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 1 4 a  ， ₅ 4 81 a   4 1 4 814r  2 3 r  （負不合） （ ）19.在1 4和 4 81之間插入 3 個正數，使這 5 個數成等比數列，則插入的第三數為 (A) 1 6 (B) 1 9 (C) 2 16 (D) 2 27 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 1 1 4 a  ， ₅ 4 81 a   4 1 4 814r  2 3 r  （負不合） 插入的第三數為 3 3 4 1 1 2 2 ( ) 4 3 27 a a r    （ ）20.設 10 1 7 k k a  



， 10 1 13 k k b  



，則 10 1 (5 k 3 k 4) k a b    



(A)34 (B)39 (C)44 (D)49 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）21.一等差數列第 3 項是  18，第 12 項是 9，此等差數列自第幾項開始為正數？ (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）22.1 到 300 之間 13 的倍數有幾個？ (A)23 (B)24 (C)25 (D)26 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設有 n 個 13 的倍數 an  a1  (n  1)d  299  13  (n  1)  13  n  23 （ ）23.一等差數列第 4 項是 51，第 9 項是 31，則此數列第幾項是  53？ (A)26 (B)29 (C)30 (D)33 【龍騰自命題.】 解答 C

－ 4 － （ ）24.一等差數列第 4 項是 51，第 9 項是 31，則此數列自第幾項開始為負數？ (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）25.設a、 b 、c三數成等比數列，且滿足a b c  9及 2 2 2 189 a b c  ，則等比中項 b (A) 6 (B) 2 (C)1 2 (D) 6 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 〈法一〉 ∵ a、b、c成等比數列 ∴ 2 b ac 2 2 2 ₁₈₉ a b c   _a2_c2₁₈₉_b2 9 a b c    a c  9 b 



a c

 

2 9 b



2  2 2 2 2 81 18 a  acc   b b 



a2c2



2 ac81 18b b  2 



2



189 b 2b2 81 18b b  2  18b 108  b 6 〈法二〉 設等比數列a、b、c的公比為r 則bar， 2 car 9 a b c    2 9 aarar  



2



1 9 a  r r  2 2 2 189 a b c   ₂

 

2

 

₂ 2 189 a  ar  ar   a2a r2 2a r2 4189  2



2 4



1 189 a r r  ：









2 2 4 2 1 ₁₈₉ 9 1 a r r a r r      











2 2 2 2 1 1 21 1 a r r r r a r r        





2 1 21 a  r r   2 21 aarar   ：2ar 12  ar 6 ∵ bar ∴ b 6