關於最少點擊次數的簡單解題
方妙如
基 隆 市 立 東 光 國 民 小 學壹、前言
去 年 筆 者 在 尋 找 科 展 比 賽 題 材 中 意 外 發 現 中 華 民 國 第 52 屆 中小 學 科 學 展覽 國 中 組 數 學 科 作 品 「 萬 數 歸 一 --圖 形 上 點 邊 數 字 和 為 定 值 之 研 究 」(以 下 簡 稱 《 歸 一 》 )是 鳳 山 國 中(以 下 稱 鳳 中)以 臺 北 市 立建 國 高 級 中學 第 90 期 通訊 解 題 9004 的 題目 作 為發 想註 一 。 鳳 中 學 生 在 此 科 展 作 品 中 以 每 個 邊 每 個 角 均 設 未 知 數 ， 並 利 用 解 聯 立 方 程 式 的 方 式 回 答 問 題 ， 在 最 後 的 結 論 中 ， 鳳 中 學 生 提 到 對 於 奇 數 多 邊 形 和 偶 數 多 邊 形 皆 有 解 ， 但 對 偶 數 多 邊 形 尋 求 最 少 點 擊 次 數 仍 無 法 說 明 。 筆 者 覺 得 這 個 題 目 非 常 有 趣 ， 希 望 尋 求 一 個 更 簡 單 且 直 觀 的 解 題 方 式，因 此 根 據 第52 屆「 萬 數歸 一 」p13(五)之 推 論 9 的 完 整 结 果， 提 出 除 了 設 未 知 數 解 方 程 式 之 外 的 另 類 思 考 。 本 文 分 成 五 節，自 第 三 節 開 始，先 說 明 如 何 利 用 基 本 型 並 配 合 加 法 結 合 律 和 交 換 律 ， 來 得 到 存 在 性。第 四 節 分 三 項 討 論：(一)存 在 性(二)唯 一 性 和(三)最 少 點擊 次 數。每 一 項 又 分 為a.奇 數 邊 形 b.偶 數 邊形 。 討 論 時， 奇 數 邊 形以 五 邊 形 、偶 數 邊 形 以六 邊 形 示 範， 盡 量 不 失 其 一 般 性 。貳、建中
90 期通訊解題原題
程 式 設 計 師 想 設 計 一 款 益 智 遊 戲，規 則 如 下:電 腦 在 正 n 邊 形 的每 個 頂 點 上隨 機 放 一 個 介 於 0~10 的數 字 ， 然 後玩 家 可 任 意用 滑 鼠 點 選正 n 邊 形 的邊 ， 當 他 每點 選 正 n 邊形 的 邊 一 次 時，點 選 的 邊 其 兩 端 點 數 字 都 加1，直 到每 個 頂 點 的數 字 均 相 等就 可 以 過 關(可 不 只 一 次 點 選 同 一 邊 ， 遊 戲 開 始 後 ， 頂 點 數 字 可 以 超 過10)。 鳳 中 的 科 展 作 品 頂 點 上 的 數 字 不 限 ， 探 討 玩 家 可 用 滑 鼠 任 意 點 擊 各 邊 並 討 論 兩 個 問 題 ： 1. 是 否經 過 點 擊 後， 每 個 頂 點的 數 字 均 達到 相 等 。 2. 如 何求 出 最 少 的點 擊 數 。 鳳 中 對 於 奇 數 多 邊 形 和 偶 數 多 邊 形 分 別 回 答 了 第 一 個 問 題 ， 至 於 第 二 個 問 題 ， 原 作 者 表 示 奇 數 多 邊 形 的 情 形 已 有 結 果，但 偶 數 多 邊 形 的 情 形 仍 無 法 說 明(引 原作 品 P29 結 論 與 展 望 說 明 六)，我 們 將 在 本文 的 第 四 節回 答 最 少 點擊 次 數 的 問題 。參、以化繁為簡為基礎
原 作 者 是 以 設 定 未 知 數 做 為 各 邊 點 擊 次 數 ， 再 利 用 解 方 程 式 得 到 結 論 。 本 篇 想 從 基 本 的 幾 何 圖 形 出 發 ， 使 用 加 法 的 結 合 律 和 交 換 律 來 處 理 這 個 問 題 ， 我 們 認 為 這 樣 的 看 法 比 較 容 易 了 解 ， 並 貼 近 問 題 的 本 質 。 先 以 一 個 三 邊 形 為 例 ， 三 邊 形 三 頂 點 各 有 一 數 字 ， 稱 為 三 數 三 邊 形(如 圖 一 )。 如 果 有 兩 個 頂 點 是 O， 稱 為 一 數 三 邊 形 (如 圖 二 )。 利 用 加 法 結 合 律 ， 三 數 三 邊 形 可 以 分 成 三 個 一 數 三 邊 形 。 當 我 們 點 擊 或 或 邊 一 次 時 ， 相 當 於 在 此 邊 的 兩 頂 點 各 加 1。 換 句 話 說 ， 當 我 們 點 擊 兩 次 ， 如 下 圖 : 當 我 們 點 擊 四 次 時 4 4 0 4 0 4→
2 2 0 2 0 2→
1 1 0 1 1 點 擊 0 點 擊 點 擊 0 1 1 3 0 0 4 0 0 0 2 2 4 0 3＝
＋
＋
(圖 二 ) (圖 一 )當 我 們 點 擊 三 次 時 綜 上 所 述 ： 從 加 法 交 換 律 的 觀 點 就 是 : 由 此 可 以 使 點 擊 後 每 個 頂 點 的 數 字 為 三 個 頂 點 原 來 數 字 之 和 。 點 二 次 點 四 次 點 三 次 9 9 9 4+2+3 2+4+3 3+4+2 4 2 3
→
＝
9 9 9＝
3 3 3 4 4 4 2 2 2＋
＋
＝
1 0 1 1 1 1＋
2×＋
4×＋
3× 0 0 1 3 0 0 0 0 2 0＋
＋
4 0 3 3 0 0 3 3→
如 果 將 各 邊 點 擊 次 數 中 最 小 者 自 各 邊 點 擊 次 數 扣 去 ， 則 得 下 圖 : 由 上 法 ， 可 以 盡 量 減 少 點 擊 次 數(見 四 ，(三)，a)。
肆、問題與討論：以下試將本文問題 分成三個部分討論之，即：
(一 ) 是 否 存 在 能 使 各 頂 點 數 字 均 相 等 的 點 擊 方 法 ? (二 ) 在 頂 點 數 字 已 經 相 同 情 形 下 ， 達 到 此 一 數 字 的 點 擊 方 法 是 否 為 唯 一 ? (三 ) 最 小 頂 點 數 字 ， 即 最 少 點 擊 次 數 為 何 ? 每 個 問 題 皆 以 奇 數 邊 形 與 偶 數 邊 形 分 開 討 論 。一、 存在性
(a) 奇 數 邊 形 ： 以 五 邊 形 為 例 利 用 加 法 結 合 律 ， 五 數 五 邊 形 可 以 分 成 五 個 一 數 五 邊 形 。 依 前 所 述 ， 欲 使 每 個 頂 點 數 相 等 的 結 果 必 是 點 擊 後 的 頂 點 數 字 為 所 有 頂 點 數 字 之 和，因 此 在 一 數 五 邊 形 中，我 們 需 在 ， 邊 同 時 點 擊 次，使 五 個 頂 點 都 會 有 ， 如 下 所 示 ： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0＝
＋
＋
＋
＋
點 零 次 點 二 次 點 一 次 5 5 5 4+0+1 2+2+1 3+0+2 4 2 3→
＝
可 依 此 類 推 到 其 他 頂 點 點 次 點 次 0 0 0 0
→
點 次 點 次 0 0 0 0→
點 次 點 次 0 0 0 0→
點 次 點 次 0 0 0 0→
點 次 點 次 0 0 0 0→
因 此 ， 對 邊 而 言 ， 需 點 擊 加 次 ， 其 他 各 邊 類 推 ： 點 擊 完 成 後 ， 就 可 以 讓 每 個 頂 點 數 字 均 為 ＋ ＋ ＋ ＋ ， 由 此 可 確 定:雖 以 五 邊 形 考 量 ， 並 不 失 其 一 般 性 ， 讓 奇 數 邊 形 每 個 頂 點 數 相 同 的 方 法 是 存 在 的 。 奇 數 邊 形 的 點 擊 方 式 如 上 所 示，我 們 再 介 紹 在《 歸 一 》文 中，P13，推 論 9，利 用 解 方 程 式 所 得 的 演 算 法(algorithm) 《 歸 一 》1. 當 n 為奇 數， 令 = +…+ ，i=1、 2、 …、 n。 若 足 碼 超 過 n，則 取 除 以 n 之 後 的 餘 數。 在 五 邊 形 的 情 形 中，這 個 演 算 法 的 內 容 是 說: = ， = ，可 以 看 出 此 與 我 們 利 用 加 法 交 換 律 、 結 合 律 得 到 的 結 果 一 致 。 進 一 步 我 們 將 七 邊 形 的 結 果 圖 示 如 下 (證 明 略 )： 事 實 上 ， 因 為 要 求 點 擊 各 邊 後 ， 每 個 頂 點 數 字 是 + + +…+ ， 所 以 在 決 定 後 ， 其 他 邊 的 點 擊 數 … 也 都 會依 序 決定 。 = + = + = + = + = + = + = + = = = = =
(b) 偶 數 邊 形 : 偶 數 邊 形 的 頂 點 可 以 分 成 兩 類 ， 以 任 一 點 為 第 一 點 ， 順 時 鐘 編 號 ， 則 依 序 第 1，3， 5…點 稱為 奇 點。第 2，4，6…點 稱 為 偶 點。當我 們 點擊 一 邊 時，相 鄰偶 點 的數 字 和 奇 點 的 數 字 各 增 加 1。 因 此若 偶 點 的 數字 和 不 等 於奇 點 的 數 字和 時 ， 則 無論 怎 樣 點 擊 ， 都 無 法 使 各 頂 點 的 數 字 變 成 相 等 。 因 此 ， 此 後 假 設 在 偶 數 邊 形 奇 頂 點 的 數 字 和 需 與 偶 頂 點 的 數 字 和 相 等 ， 即 + + +… = + + +… 接 下 來 要 討 論 《 歸 一 》 一 文P13 推 論 九， 對 偶 數 邊圖 形 的 點 擊數 。 推 論 九 2.所 給 出 的 演 算 法 如 下 (當 偶 數 圖 形 奇 數 頂 點 的 數 字 和 等 於 偶 數 頂 點 的 數 字 和 時)： 《 歸 一 》2. 當 n 為偶 數， 令 = +…+ ，i=1、 2、 …、 n。 若 足 碼 超 過 n，則 取 除 以 n-1 之 後 的 餘數 ， 其 中 。 先 以 四 邊 形 為 例 討 論，四 個 頂 點 若 滿 足 奇 頂 點 和 等 於 偶 頂 點 和，即 = ， 則 透 過 對 奇 數 邊 形 的 了 解 ， 由 三 邊 形 延 伸 出 四 邊 形 ， 如 下 圖: 根 據 四、(一 )奇 數邊 形 存 在 性的 討 論，我 們 可以 在 這個 三 邊 形 得 到 相 應 三 邊 的 點 擊 數 ：
將 和 自 然 地 令 成 = = ， 則 = + = + ， 所 以 就 滿 足 了 頂 點 數 都 達 到 一 致 的 + + ， 而這 就 是 推 論九 ，2 關 於 n＝4 的 內 涵。 再 以 六 邊 形 為 例:先 對 下 面 這 個 五 邊 形 記 下 點 擊 數 ， 並 且 令 = = + ， 則 = = ， 符 合 頂 點 數 均 到 達 。 而 這 就 是 推 論 九 、2，n 等 於 6 的 內 涵(請參 考 下 面 四、(二) 唯 一性 的 討 論)。
二、 唯一性
(a) 奇 數 邊 形 ： 以 五 邊 形 為 例 頂 點 數 字 ， ， ， ， 點擊次數 ， ， ， ， 若 點 擊 ， ， ， ， 可以 將 頂 點數 字 均 變 成”A” 即 ＋ ＋ A， ＋ ＋ A， ＋ ＋ A ＋ ＋ A， ＋ ＋ A 得 到 A 之 後 ， ， ， ， ， 的 解是 唯 一 的 ，才 能 得 到 同樣 的 A 原 因 ： 因 為 如 果 減 1， 就 要 加 1， 就 要 減 1， 就 要 加 1， 就 要 減 1 則 ＋ －1 ＋ －1 A (矛盾)(b) 偶 數 邊 形 ： 當 我 們 確 定 偶 數 邊 形 奇 頂 點 的 數 字 和 等 於 偶 頂 點 的 數 字 和 時 ， 可 以 求 出 每 邊 點 擊 次 數 ， 使 頂 點 數 字 均 相 等 。 以 六 邊 形 為 例: 1. 如 果偶 頂 點 的 和=奇 頂 點 的和 ， 則 可 點擊 使 各 頂 點數 字 均 變 成 A(見 四 、(一)，b)。 2. 顯 然 1， 1， 1， 1， 1， 1，是另一組亦可得到 A 之解，因 此 通 常 不 是 唯 一 解(此 點 性 質與 奇 數 邊 形不 同)。 3. 如 果 頂 點 數字 均 為 A，並且 奇 數 邊 中有 一 邊 點 擊數 =0，偶 數邊 中 也 有 一邊 點 擊 數 =0， 則 得 到A 的 點 擊 次 數 為唯 一 解 。 因為 若 令 某 一點 擊 數 =0 的 邊 為 ， 不 能 降 1， 因 為 等 於 0， 1為負數(矛盾)，同理，若 等於 0，則 也不能降 1，這就說明了 此 種 情 形 下 解 的 唯 一 性 。
三、最少點擊次數
(a) 奇 數 邊 形 ： 以 五 邊 形 為 例 在(一 )存 在性 中，我 們已 經 確 定 有一 個 方 法 可以 讓 每 個 頂點 數 字 均 為 ＋ ＋ ＋ ＋ 在(二 )唯 一性 中 ， 固 定 A， 我 們 也確 定 達 到 每個 頂 點 數 字為 A 的 點 擊次 數 是 唯 一 可 能 ， 即 ＋ ＋ A， ＋ ＋ A， ＋ ＋ A ＋ ＋ A， ＋ ＋ A A 確 定 時， ， ， ， ， 唯 一 ，而 有 下 式 ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋2( ＋ ＋ ＋ ＋ 5A 若 有 另 一 種 點 擊 方 式 ， 而 使 頂 點 數 字 均 為 A’， 則 有 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋2( ′＋ ′＋ ′＋ ′＋ ′ 5A’兩 式 相 減 得 2[( ＋ ＋ ＋ ＋ -( ′＋ ′＋ ′＋ ′＋ ′ 5(A- ) 所 以(A- )一定 是 2 的 倍 數 。 注 意 到 ， 達 到 最 少 點 擊 次 數 相 當 於 得 到 最 小 頂 點 數 字 A。 假 設 是 邊 上 點 擊 次 數 之 最 小 值 ， 我 們 將 各 邊 都 減 去 ， 頂 點 數 字 由 原 來 的 A 變成 A－2 頂 點 數 字 由 原 來 的 A 變 成 A－2 則 A－2 必是 最 小 頂點 數 字 ， 理由 如 下 :
若 有 另 一 種 點 擊 方 式，使 頂 點 數 字 均 為A’， A’ < A－2 ， ’， ’， ’， ’， ’是 相 關 點 擊 次 數 ， 則 必 可 在 每 邊 各 再 點 擊 相 同 次 數 使 頂 點 數 字 變 成 A－ 2 。 因 為 若 在 ′ …. ′ 各加 1，則頂點數字變成 A’+2，但因為已知(A－2 )－ 是 2 的 倍 數，因 此可 以 透 過 同時 增 加 ′ …. ′而達到頂點數字 A－2 。但 A－2 的點 擊 次 數 中 有 一 邊 為 0， 由 唯 一 性 ， A－2 不 可 能 藉 同 時 增 加 ′ …. ′而得到。由 此 可 知 A－2 是最小頂點數字。 任 一 次 點 擊 完 成 後 ， 可 以 選 擇 、 、 、 、 中 的 最 小 值(假 設 此 處 的 最 小 值 為 )，將 各 邊 點擊 次 數 均 扣掉 ，變 成 - =0， - ， - ， - ， - 。這 就 是 奇 數 邊 形 的 最 小 點 擊 次 數 。 (b) 偶 數 邊 形 在 假 設 偶 數 邊 形 中，偶 頂 點 和 奇 頂 點 數 字 和 相 等 的 情 形 下，得 到 了 存 在 性(四、(一)) 以 六 邊 形 為 例 ， 如 下 圖 ， 已 知 + + = + + ′ ′ ′ A’ A’ A’ A’ A’ ′ ′ － － 0 A－2 A－ 2 A－ 2 A－2 A－ 2 － － －
假 設 在 各 邊 點 擊 ， ， ， ， ， 後 ， 各 頂 點 的 數 字 均 變 成 A 現 假 設 是 奇 邊 中 的 最 小 值， ， ，我 們 可 將 奇 邊 數 上 的 均 降 ， 而 得 此 時 ， 頂 點 數 字 從 A 降 至 A 。 不 妨 再 設 是 偶 邊 數 ， ， 中 之 最 小 值 ， 則 可 將 偶 邊 數 上 的 均 降 而 得 頂 點 數 字 A A A A A =0 A A A A A A A A
上 圖 在 奇 邊 及 偶 邊 中 均 各 有 一 為 0，根 據(四，(二)，b，3 偶 數 邊形 唯 一 性 的討 論)， 可 知 上 圖 達 到 頂 點 數 字A 的 點 擊 數 唯 一 。 接 下 來 ， 證 明 A 是 最 小 可 能 之 頂 點 數 字 ， 亦 即 相 關 的 點 擊 次 數 為 最 少 。 上 圖 為 點 擊 次 數 ′… ′所得頂點數字 A’，並設 A’< A ，則 可 將 奇 邊 之 ’， ’， ’同 時 增 加 點 擊 次 數 (A A’)次而將上圖變成 ′′ ′ A ′ ′′ A ′ ′′ A A A A ′ ′ A’ ′ ’ A’ ′ ′ A’ A’ A’ A’ A A A A =0 0 A A (圖 三 )
但 ′′， ′′， ′′ 均不為 0，此與圖(三)頂點數為 A 之 點 擊 數 之 唯 一 性 違 背 。
