中學生通訊解題第五十二期題目參考解答與評註

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中學生通訊解題第五十二期題目參考解答與評註

臺北市立建國高級中學數學科

若 x 是實數，定義[x]表示小於或等於 x 的最大整數，試求方程式 2x2_−5[x]+1=0 的解。參考解答： [法 1] 1. 令α = x−[x]，則 0 ≤ α <1 代入原式得 2x2_{−5(x−α)+1 = 0} ⇒ 2x2_{−5x+1 = −5α} 因為 0 ≤ α <1，故得−5 < 2x2−5x+1=−5α ≤ 0 ⇒ 2x2_{−5x+6 > 0 且 2x}2_{−5x+1 ≤ 0} (1) 2x2_{−5x+6 = 2(x−}5 4) 2₊ 23 8

≥

23 8 >0 對於所有實數 x 恆成立。 (2) 2x2_{−5x+1 ≤ 0} ⇒ 0<5 17 4 − ≤ x ≤5 17 4 + < 3 ∴ [x] = 0 或 1 或 2 2. (1) 若[x]=0，代回原式得 2x2₋₀₊₁₌₀ ⇒x 無解 (2) 若[x]=1，代回原式得 2x2_{−5+1 = 0} ⇒ x =

2

(3) 若[x] = 2，代回原式得 2x2_{−10+1 = 0} ⇒ x =

2

3

故 x=

2

或 3 2 2 。 [法 2] 1. 2x2_{−5[x]+1 = 0 ⇒ [x] =}

5

1

2 _x

2

₊

≥

5

1

>0，又[x]為整數且 x

≥

[x]，故 x

≥

[x]

≥

1 2. 利用[x]為整數，直接分段討論 (1) 當 1≤ x <2 時 ⇒ [x] = 1，代回原式得 x =

2

(2) 當 2≤ x <3 時 ⇒ [x] = 2，代回原式得x =3 2 2 (3) 當 3≤ x 時 ⇒ 2x2_−5[x]+1 = 2

x

⋅

x

−5[x]+1

≥

2(3 x⋅ )−5[x]+1 = 6x−5[x]+1

≥

1>0 故此時 2x2_{−5[x]+1=0 無解} 因此由以上討論可知 x = 2或 3 2 2 。 [法 3] 2x2 −5[x]+1= 0 的解即為 y = 2x2 與y = 5[x]−1 作圖交點的 x 座標。作圖可得交點的 x 座標在 0~1 及 1~2 之間 ⇒ [x] = 1 或 2 代回原式即可得 x = 2或 3 2 2 。問題編號 5201

(2)

解題重點：解題時可由下列三方向下手： (1) 利用 0 ≤ x−[x]<1(或[x] ≤ x < [x]+1)的 範圍，求出x 的範圍。 [法 1] (2) 利用[x]為整數，分段討論 x 的解。[法 2] (3) 利用作圖求交點的 x 座標。[法 3]練習本題，可增加同學們對高斯符號[x]的熟悉度。解題評註： 1. 本題參與徵答同學的作答方式大部分用[法 1]。 2. 有二位同學利用[x]為整數，分段討論 x 的解，清楚明瞭[法 2]。 3. 有二位同學利用作圖求交點，解法與眾不同[法 3]。有一植物成長的高度只受肥料的酸鹼性、日照長短、溫度高低等影響，且這三類因素都互相獨立不影響。有人做了四組成長高度實驗，並表列如下：今天為了使得植物的栽培在十天後得到最高的高度，應該如何選擇肥料的酸鹼、日照的長短、溫度的高低，才能達到最佳的條件？（假設這三種條件是各自獨立的，且可以使用加法計算各條件所影響的高度）又此時最高的高度應為幾公分？參考解答：假設肥料鹼性與酸性分別可以使植物成長 A1 公分，與 A2 公分；日照時間長與短分別可以使植物成長B1 公分，與 B2 公分；溫度高與低分別可以使植物成長 C1 公分，與C2 公分。由表格可以得到： A1+B2+C2=25…(1) A1+B1+C1=23…(2) A2+B2+C1=9…(3) A2+B1+C2=27…(4) (1)+(2)-(3)-(4)：A1-A2=6

⇒

選擇肥料鹼性為佳！ (1)+(3)-(2)-(4)：B2-B1=-8…(5)

⇒

選擇日照時間長為佳！ (1)+(4)-(2)-(3)：C2-C1=10

⇒

選擇溫度低為佳！為了達到最佳生長高度，因此要選擇肥料鹼性、日照時間長、溫度低。成長高度組別實驗組合內容十天後成長高度(cm) Ａ鹼性、短時間、低温 25 Ｂ鹼性、長時間、高温 23 Ｃ酸性、短時間、高温 9 Ｄ酸性、長時間、低温 27 問題編號 5202

(3)

=A1+B1+C2 =A1+(B2+8)+C2 （由 (5)） =A1+B2+C2+8 =25+8 （由(1)） =33（公分）解題評註：本題屬代數的應用問題，其實只要仔細分析題目，便可列出簡單的數學式子，進而設法解決。由於題目容易，難得吸引相當多人徵答，激起越來越多同學挑戰的興致，也歡迎這些同學能繼續挑戰更難的題目！有五人的年齡分別為 A、B、 C、D、 E，已知 A<B<C<D<E，且任意兩人年齡和計有下列九種不同歲數：31 歲、32 歲、36 歲、37 歲、 41 歲、42 歲、47 歲、48 歲、 52 歲。試問 A、B、C、D、E 五位年齡分別為何？參考解答：設 A<B<C<D<E，將各種組合列出如下： A+B、A+C、A+D、A+E、B+C、B+D、B+E、C+D、 C+E、 D+E 共十種組合。由於任意兩人年齡和有 9 種，可見有一組年齡重複，因此假設此組年齡為 x。將這十種組合加起來： 4×(A+B+C+D+E) =31+32+36+37+41+42+47+48+52+ x =366 + x 因此 366 4 x A B C D E+ + + + = + 由於366 除以 4 餘 2，可見 x 除以 4 也必須餘 2 又九種年齡組合中只有一組 42 歲除以 4 餘 2，因此 x=42。 366 102 4 x A B C D E+ + + + = + = 又 A+B=31 且 D+E=52 A+B+D+E=83 C=(A+B+C+D+E)-(A+B+D+E)=102-83=19 又 A+C=32 且 C+E=48 A=13、E=29、B=18、D=23 因此 A、B、C、D、E 的年齡分別為 13 歲、 18 歲、19 歲、23 歲、29 歲解題評註：本題在測驗每個人的觀察能力，從題目中尋找出隱藏的線索。關鍵在於所有任兩人的年齡和應該有 10 種組合，但題目卻給 9 種，可見有 1 種重複。再來就是要觀察出 A+B 就是最小年齡 31 且 D+E 是最大年齡 52。有的人更從數據中推測出 D-C=4 的條件。條件越多，越容易拼湊出真相。問題編號 5203

(4)

如圖

AB

切圓於

A

點，

p

AE EC

=

p

且

30 ABC

∠

=

D_{，求}

_∠

_ADC

₌

_？ B C A E D 參考解答 I： (1) 設 O 為圓心作 EC 的中垂線，交 EC 於 H 且交圓於 M 連 MD、AO 因為 OA 垂直 AB 且 OH 垂直 BH，所以 ABHO 為圓內接四邊形因此 180 180 30 150 AOH ABH ∠ = D− ∠ = D− D = D 150 75 2 2 AOM ADM ∠ ∠ = = = D D (2) 因為

p p

EM =MC且

p p

AE=EC 所以

q p

AM MC: =3 :1 因此 / 3 150 25 2 2 6 MOC AOM MDC ∠ ∠ ∠ = = = = D D (3) 由(1)與(2)可知 75 25 100 ADC ADM MDC ∠ = ∠ + ∠ = D+ D= D M H B C O A E D 參考解答 Ⅱ ： (1) 連接 AC AE, (2) 假設 ECA∠ =xD 因為

p p

AE =EC且 AB 切圓於 A點（即∠BAE 為

p

AE的弦切角）

所以∠ECA= ∠EAC= ∠BAE= xD

(3) 在 ABCΔ 中，

180

ABC BAC BCA

∠ + ∠ + ∠ = D 即30 (2 )+ x + =x 180 ⇒ =x 50 (4) 因為 AECD 為圓內接四邊形所以∠ADC= ∠AEB=2xD=100D 解題評註：本題屬幾何的圓內接四邊形的應用題，只要善用輔助線，以及熟用圓內接四邊形、圓周角、圓心角的基本性質，便可以自創出各式各樣的解法。有一位同學獨自想到了三種解題方法，實在難得。這次徵答人數踴躍，可以看出大家對幾何性質的熟練，普遍均能得高分，只可惜有些同學的表示法不佳或不詳，尚須多加練習數學的表達能力，相信未來一定能有更好的表現。問題編號 5204

(5)

能否將正整數1~25 分別填入右邊表中的25 個方格，使得各行之和與各列之和恰好出現10 個連續整數。參考解答：不行。假設可以做得到，則計算各行及各列的和時，每個方格中的數字均被計算兩次，則各行各列之和為(1 + 2 + 3 + … + 25)×2 = 25×26，但是方程式 x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 9) = 25×26 之解為 x = 60.5，所以不可能發生。問題編號 5203

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