常用派工法則在排程穩健性衡量表現之研究

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常用派工法則在排程穩健性衡量表現之研究

許天淳徐盛偉

工業管理系

摘要

一個排程最終要付諸工廠實行，倘若在工廠不能照原所排定之結果完成，再好的排程，也是功虧一簣，因此排程是否具有穩健性，能吸收工廠之干擾，是工廠能否圓滿完成排程之關鍵，本文採用自由寬裕為排程穩健度衡量，以排程最常用的派工法則中的 Random、FCFS、LPT 和 SPT 產生排程作實驗，觀察它們在排程目標衡量

∑

all Ci、

∑

all Cm和排程穩健度相互關係之表現，本文提出幾個重要結論：(1)沒有一個可以兼顧這些排程目標衡量和排程穩健度之派工法則，而且對排程目標表現為優之排程並不能保證容易執行成功，派工法則僅考慮排程目標之認知需有所調整；(2)機器閒置間隔多的排程未必是排程穩健度較佳之排程，因此排程重點在於增加其自由寬裕非機器閒置間隔；以及(3)發展最合用排程發展之必要性。同時本文提出發展綜合性排程衡量是排程研究之另一重要方向。 關鍵詞: 排程、穩健性排程、排程目標衡量、派工法 則

壹、前言

排程最常用的派工法則有 FCFS、SPT、EDD、 MS、Random 以及 LPT 等等，這些法則在不同排程目標衡量上表現各異，例如 SPT 法則因能減少工件等候時間，在總工件完工時間

∑

all Ci或平均流程時間F排程衡量表現較優，LPT 法則因先排時間長的作業，再排時間短的，因此排程較密，有減少各機器閒置時間 之效，在最大完工時間 Cmax 或總機器完工時間

∑

all Cm 有較佳表現，EDD 法則因考慮完工期限，因此在最大 延遲時間 Tmax 上表現為佳 (Blackstone et al. 1982, Haupt 1989, Fogarty et al. 1991, Morton and Pentico 1993)。

然而，排程最終要付諸工廠實行，因此即使表現較優之排程，最終在工廠不能照原所排定之結果完成，也是功虧一簣。很多文獻(Parunak 1991, Roundyet al. 1991, Solberg 1989, Leon et al. 1994) 指出排程是否

具有穩健度，對排程是否圓滿執行完成具有相當之關聯性，所謂較穩健性之排程是指它較能吸收工廠之干擾，而保有原有排程目標。因此排程之穩健性衡量 (Robustness measure)是排程重要議題之一，許多學者 (Graves 1981, Solberg 1989, Parunak 1991, Pinedo and Chao 1999)甚至認為發展穩健性排程方法是排程研究未來發展趨勢，然而卻鮮少有文獻提出使排程具有高穩健度之作法，而發展穩健性排程方法最大障礙是缺少排程穩健性衡量(Pinedo and Chao 1999)。

Goldratt (1990) 提出保護排程的量度(measure)--相鄰兩作業間的間隔時間(time gap)。這間隔時間有二種，一種是位於同一工件製程上相鄰兩作業間的間隔時間，一種是在機器加工次序上相鄰兩作業間的閒置

(2)

時間(idle time)，他分別稱之為保護時間(security time) 和安全時間(safety time)。此間隔時間和閒置時間與排程穩健性關係密切，但Goldratt的討論僅止於此。 Leon et al. (1994) 用網路表達法表達一個排程， 網路的節點代表排程之作業，箭頭起始端為前作業， 箭頭箭尖指向其直接後續作業，因此定義作業i的寬 裕，以數學式子表示為：si=L(o,*)-(L(o,i)+di+L(i,*))， 其中L(o,*)為排程總製造時間、L(o,i)為排程開始至作 業i最早開始時間、L(i,*)為作業i最晚結束時間至排程 結束時間，而di則為作業i的加工時間。這寬裕的定義 相當於PERT/CPM所定義之總寬裕，此寬裕與排程穩健性關係密切，但因作業最早和最晚結束時間無從直接得知，這表達式對排程穩健性的求算沒有任何幫助。排程穩健度一直未見有學者提出合適的表示方法，直至Hsu (2006)提出以自由寬裕作為穩健度衡量，其表達為 (

∑

all i,j,m

FF )/N，其中FFi,j,m 為排程作業Oi,j,m

之自由寬裕，N為排程所有作業數目，所謂排程作業自由寬裕係指此排程作業可以延遲完工最大寬裕時間，在此時間下作業因故延遲，仍不致於影響此作業兩個直接後續作業最早開工時間。在排程上每一作業最多有兩個直接後續作業：在製程之下一製程作業和在機器之下一個加工作業，此兩個直接後續作業若開工時間未受影響，則不會有其它作業受影響，對整個排程或對排程衡量準則而言則絲毫無損，因此若一個排程擁有愈多自由寬裕，則表示此排程愈能吸收排程在執行時的干擾，因此擁有愈多之穩健度，而最重要的，Hsu(2006)所提穩健度衡量是可以被計算出來的。排程穩健度之提出乃引起吾人重新檢討過去學者所發展排程方法之興趣，若針對某排程衡量所發展排程方法，即使能得最佳解，若穩健度不佳，不易實現，仍不具意義。因此本文乃使用排程最常用的派工法則中的 Random、FCFS、LPT 和 SPT 產生排程作實驗，觀察它們在排程目標衡量

∑

all Ci、

∑

all

Cm

和排程穩健度相互關係之表現，探討其與所對應穩健度之關係。

貳、變數符號

為方便計，吾人將本文中使用到的排程相關變數符號整理如下： N: 工件數目 M: 機器數目 ri: 工件 i 可以安排排程之開始時間 Oi,j,m: 工件 i 第 j 個作業，此作業在機器 m 加工 pi,j,m: 作業 Oi,j,m之加工時間 Ci: 工件 i 之完工時間 Cm: 機器 m 之完工時間

Cmax: 排程總完工時間； Cmax = max { Ci | 1≦i≦N} 或 max { Cm | 1≦m≦M} Oi’,j’,m: 作業 Oi,j,m 因排程結果在機器 m 之直接後續作業 Oi,j+1,m’: 作業 Oi,j,m 在工件 i 製程上之直接後續作業 Si,j,m: 作業 Oi,j,m開始時間 Ei,j,m: 作業 Oi,j,m完工時間

GMi,j,m: Ei,j,m and Si’,j’,m之間隔時間 (或 Si’,j’,m - Ei,j,m)

GJi,j,m: Ei,j,m and Si,j+1,m’ 之間隔時間 (或 Si,j+1,m’ - Ei,j,m)

FFi,j,m: 作業 Oi,j,m 之自由寬裕

參、穩健度衡量

本文所採用穩健度衡量，係根據 Hsu(2006)所提出的方法，自由寬裕係排程唯一可以吸收干擾之要素，若排程自由寬裕愈大，則可吸收愈大之干擾，意為此排程具有愈大之穩健度。直覺上，吾人以為機器閒置間隙(gaps)(亦即兩相 鄰作業之時間間隔；Ei,j,m 和 Si’,j’,m之間隔時間或 Si’,j’,m

- Ei,j,m)愈多，則可吸收愈多之干擾，事實不然，如圖

一所示，機器閒置間隙(或兩相鄰作業之時間間隔)為

GMi,j,m, 但是作業 Oi,j,m卻只有 GJi,j,m之寬裕量可以延 遲完工，因此，此排程在此有 GMi,j,m - GJi,j,m之時間間 隙損失。在此處作業 Oi,j,m之自由寬裕(即 FFi,j,m)為

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時間 G Mi , j , m Oi , j , m Oi ’ , j ’ , m Oi , j + 1 , m ’ G Ji , j , m m m ’ 圖一機器閒置間隙(gaps)損失示意圖(Hsu 2006) 一個排程中各機器完工時間(即 Cm)，係由有兩個部分所組成：作業加工時間以及機器閒置間隙時間，可以下列關係式表示：

∑

all m

C

=

∑

all m j i

GM

, , +

∑

all m j i

P

, , ---(1) 在式中

∑

all m j i

P

, , 是固定值，所以機器閒置間隙

∑

all m j i

GM

, , 愈多，則

∑

all m

C

將愈大，當吾人採用排程目標衡量為

∑

all m

C

時，即目標值愈佳，則機器閒置間隙

∑

all m j i

GM

, , 愈小，因此排程之機器閒置間隙與此排程目標之間是相互抵觸的，但它卻可應用來吸收干擾 之功能，然而它並非全然可用，因為 GJi,j,m使它減少吸收干擾之能力。因此，吾人若要排出排程目標和穩健度兩者兼顧之排程，則排程方法應減少損失機器閒置間隙，也就是一排程作業排入排程後發現其後有機器閒置間隙發生(即無等候作業待排)，則其製程上之直接後續作 業，應降低其優先順序，使其較遲排入排程，增加 GJi,j,m 時間以減少穩健度之損失，亦即排程中要隨時保持 GMi,j,m≤ GJi,j,m。吾人定義排程穩健度效率(robustness efficiency) 指標如下： eff =

∑

all i,j,m FF /

∑

all m j i

GM

, , ---(2) 若此指標 eff 為 1 時，表示所有機器閒置間隙均等於自由寬裕，沒有機器閒置間隙之損失，此為機器閒置間隙轉成穩健度最有效率之排程；反之，若此指標 eff 為 0，表示所有機器閒置間隙都沒有成為自由寬裕(製程上之直接後續作業，其開工時間緊跟前作業完工時間之後)，所有機器閒置間隙均沒有任何價值，徒然損失，此為穩健度效率最差之排程。排程目標 Min Cm 之意義為提高機器之使用率，此目標有助於滾動式排程策略(rolling scheduling)之應用，然此排程目標與機器閒置間隙大小相抵觸，而機器閒置間隙係與排程穩健度有關，而此兩部分都是必要的，因此如何當中取得折衝協調，唯有從提高排程穩健度效率指標著手。

肆、排程實驗

吾人使用亂數產生 30 個排程題目，一個排程題目包含機器總數、工件總數、各工件之製程作業、以及各工件製程作業之加工時間。各數據設定範圍如下：機器總數為 3 至 5，工件總數為 3 至 5，各工件製程作業數為機器總數，各工件製程作業之加工時間為 5 至 30。以第二十一題為例，其排程題目如下表：表一 No. 21 排程題目 M=3，N=3，作業數：9 工件製程作業加工時間總和 Job1 M1(13)-M2(7)-M3(6) 26 Job2 M2(13)-M3(10)-M1(13) 36 Job3 M3(7)-M2(16)-M1(10) 33 95 註：M1、M2 和 M3 為機器，括弧內數字為加工時間。

吾人再以 Lekin 軟體(Lekin Scheduling System)執行這些排程題目，每一題目分別採用四種派工法則： Random、FCFS、LPT 和 SPT 等，因此每一題目共產生四個排程，全部題目總共產生 120 個排程。圖二和圖三分別為第二十一題產生四個排程中的二個。

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圖三 No. 21 排程題目使用 FCFS 法則產生之排程吾人再分別從排程中，收集各工作之完工時間 Ci:、各機器之完工時間 Cm、以及各作業開始時間 Si,j,m 和結束時間 Ei,j,m，吾人據此計算一個排程之

∑

all Ci 、

∑

all m C 、

∑

all m j i GM, , 和

∑

all i,j,m FF ，表二為第二十一題計算結果。表二 No. 21 排程之計算結果派工法則

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i

GM

, ,

∑

all i,j,m

FF

RANDOM 111 111 16 6 FCFS 124 124 29 16 LPT 124 124 29 16 SPT 111 111 16 6 所有 120 個排程之計算結果整理如附錄一。最後，吾人從 120 排程計算結果，再整理計算各派工法則之

∑

all

Ci

、

∑

all m

C

、

∑

all m j i

GM

, , 和

∑

all i,j,m

FF

之平均值，如表三所示。表三所有 120 個排程計算結果之平均值派工法則

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i GM, ,

∑

all i,j,m FF

eff

RANDOM 229.40 230.63 78.30 24.97 0.36 FCFS 230.87 228.57 75.30 22.73 0.35 LPT 242.10 238.67 82.57 26.23 0.39 SPT 223.07 257.63 101.53 25.90 0.28 果然如文獻所述，SPT 派工法則有最好的

∑

all i C 排程 目標值，然而它卻是付出

_∑

all m C 排程目標之代價(它在四個派工法則中此目標表現最差)，此種排程因

∑

all m C 最大之故，其機器閒置間隙(101.53)也是四個值中最大，原本機器閒置間隙大是好的，它可以增加自由寬裕，提高排程穩健度，然而，不幸地它的平均排程穩健度效率卻只有 0.28，在所有派工法則中表現最後，以致於它的平均穩健度(

_∑

all i,j,m FF =25.90)表現平平(僅次於 LPT)。 LPT 法則產生所有派工法則中最高穩健度 (

_∑

all i,j,m FF =26.23)之排程，且它的平均排程穩健度效率在其它派工法則中表現最優。然而同樣地，它卻在

∑

all Ci排程目標上付出代價(四個法則中最差)。 FCFS 得到最佳

∑

all m C 排程目標值，所以它是最緊密之排程，但相對地，擁有機器閒置間隔為最少 (

∑

all m j i GM, , =75.30)，然而其排程穩健度效率中庸，以致於自由寬裕仍然在四個法則敬陪末座 (

_∑

all i,j,m FF =22.73)，亦即擁有最差排程穩健度之排程。整體而言，這四個法則之效率都不高(均在 0.4 以下)，其主要原因是它們都非為排程穩健度設計的派工法則。在 120 個排程中其效率大於 0.5 只有 31 個排程，雖以 LPT 法則占其中 10 個為最多，但 Random 和 FCFS 仍與之相近，各有 8 個，如表四所示。同樣地，在 120 個排程中其效率大於 0.33 也只有 58 個排程(不到一半)，而仍以 LPT 法則占其中 17 個為最多，而 FCFS 仍與之相近，如表五所示。表四效率大於 0.5 之排程數派工法則 eff>0.5 排程數 RANDOM 8 FCFS 8

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LPT 10 SPT 5 Total 31 表五效率大於 0.33 之排程數派工法則 eff>0.33 排程數 RANDOM 14 FCFS 16 LPT 17 SPT 11 Total 58 因此，透過這個實驗，吾人得到下列結論：一. 機器閒置間隔多的排程未必是擁有較佳穩健度之排程。例如 SPT 產生 101.53 平均機器閒置間隔，大於 LPT 之 82.57 甚多，但平均自由寬裕總和卻只有 25.90 少於 LPT 之 26.23，因此一個好的排程，是可以以閒置間隔代價得到較多的穩健度；反之，排得較緊密的排程，也未必是排程穩健度差的排程。此結論給我們的啟示是，目前無機器閒置間隔多則必擁有較佳穩健度之排程方法，因此值得我們發展一個排程目標與排程穩健度兼顧的排程方法。二. 這四個常用派工法則均不能兼顧總工件完工時間和總機器完工時間兩個排程目標以及排程穩健度。例如 SPT 法則，傳統之認知為它在總工件完工時間

∑

all Ci 或平均流程時間(F)排程衡量表現較優，殊不知它卻在總機器完工時間

∑

all m C 排程衡量表現較劣，且排程穩健度效率不佳；例如 LPT 法則，傳統之認知 為它在最大完工時間 Cmax 或總機器完工時間

∑

all Ci 有較佳表現，也有比其它派工法則表現為優的平均排程穩健度效率，殊不知它卻在

_∑

all Ci排程目標表現為劣。同時，這四個派工法則之排程穩健度效率都不高，此亦是傳統之認知所缺乏的資訊之一。三. 吾人應著重最合用排程，非最佳排程。所謂最佳排程是指在特定排程目標下，此排程具有最佳之排程目標衡量值。然而最佳排程並不一定合用，主要原因之一是它的排程穩健度並不一定高，因此排出最好排程之觀念應修正為排出最合用之排程，也因此綜合性排程衡量之發展是排程研究之另一重要方向。

伍、結論

本研究已針對常用四個派工法則，透過 Lekin 排程軟體產生排程作實驗，觀察其在兩個常用排程目標和排程穩健性衡量之表現，研究結果有下列幾個重要結論：(1) 機器閒置間隔多的排程未必是較佳的排程穩健度之排程； (2) 這四個常用派工法則均不能兼顧總工件完工時間和總機器完工時間兩個排程目標以及排程穩健度，因此派工法則在傳統之認知需要有所調整；以及(3)吾人應著重在發展最合用的排程而非最佳排程。因此發展一個與排程目標和排程穩健度相容並蓄的排程方法有其必要性，倘若在過去所有排程研究成果中，再加入排程穩健度之考量，重新修正排程方法，這將是一個全新的且龐大的研究市場。同時發展綜合性排程衡量也是排程研究之另一重要發展方向。

參考文獻

1. Blackstone, J. H., Phillips, D. T. and Hogg, G. L., 1982, A state-of-the-art survey of dispatching rules for manufacturing job shop operations. International

Journal of Production Research, 20, 27-45.

2. Fogarty, D. W., Blackstone, J. H. and Hoffmann, T. R., 1991, Production and Inventory Management

(South-Western).

3. Goldratt, E.M., 1990, The Haystack Syndrome (New York: North River Press).

4. Graves, S.C., 1981, A review of production scheduling.

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5. Haupt, R., 1989, A survey of priority rule-based scheduling. OR Spektrum, 11, 3-16.

6. Hsu, T. C., 2006, New expression of scheduling performance measures. International Journal of Production Research, forthcoming.

7. Lekin Scheduling System, 1998, developed by Stern School of Business, NYU; Department of IEOR, Columbia University.

8. Leon, V. J., Wu, S. D. and Storer, R. H., 1994, Robustness measures and robust scheduling for job shops. IIE Transactions, 26, 32-43.

9. Morton, T. E. and Pentico, D. W., 1993, Heuristic

scheduling systems with application systems and project management (John Wiley & Sons).

10.Parunak, H.V.D., 1991, Characterizing the manufacturing scheduling problem. Journal of

Manufacturing System, 10, 241-259.

11. Pinedo, M. and Chao, X., 1999, Operations

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12. Roundy, R. O., Maxwell, W. L., Herer, Y. T., Tayur, S. R. and Getzler, A. W., 1991, A price-directed approach to real-time scheduling of production operations. IIE Transactions, 23(2), 149-160.

13. Solberg, J.J., 1989, Production planning and scheduling in CIM. Information Processing, Vol. 89, 919-925.

Scheduling Robustness Measure for Simple Dispatching Rules

Tien-Chun Hsu and Shen-Wei Hsu

Department of Industrial Management

Abstract

A schedule finally has to be put into practice in shop floor. If the shop floor can not complete all the jobs to meet the objective of the schedule, the effort of scheduling comes to nothing. A robust schedule which can absorb the shop floor disturbance is a key factor of the success for practicing it. A robustness measure which is based on free-float in a schedule is considered in this paper. We use four widely used dispatching rules -- Random、FCFS、LPT and SPT to generate schedules and observe their relative performances for

∑

all

Ci 、

∑

all

Cm and the robustness measure. We

conclude: (1) there is no dispatching rule which perform best for the above scheduling objectives and also for the schedule robustness. A schedule which has good performance of a specific scheduling objective does not guarantee that it is robust for practicing. (2) The schedule which has many machine gaps in a schedule is not equal to the robust schedule. Thus, the focus of scheduling is increasing free floats not machine gaps. (3) It is mandatory to develop a suitable schedule instead of an optimal schedule. At the same time, development of comprehensive scheduling measure is another direction for future research.

(7)

附錄一：排程實驗數據整理 題號機器驄工件數作業數派工法則

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i

GM

, ,

∑

all i,j,m

FF

RANDOM 258 267 89 62 FCFS 258 267 89 62 LPT 258 255 77 42 1 3 3 9 SPT 239 287 109 65 RANDOM 192 159 28 20 FCFS 206 159 28 20 LPT 250 200 69 35 2 3 4 12 SPT 192 159 28 20 RANDOM 223 160 12 12 FCFS 229 166 18 18 LPT 237 174 26 26 3 3 5 15 SPT 240 220 72 19 RANDOM 214 331 154 11 FCFS 214 331 154 11 LPT 284 407 230 4 4 5 3 15 SPT 207 348 171 43 RANDOM 166 212 70 17 FCFS 166 212 70 17 LPT 166 212 70 17 5 4 3 12 SPT 185 334 192 38 RANDOM 263 253 109 36 FCFS 263 253 109 36 LPT 267 260 106 22 6 4 4 16 SPT 225 236 82 10 RANDOM 236 194 107 39 FCFS 286 279 89 31 LPT 337 300 110 57 7 5 5 25 SPT 328 357 167 40 RANDOM 250 244 95 34 FCFS 269 216 67 29 LPT 283 215 66 19 8 4 5 20 SPT 227 207 58 7

(8)

附錄一：排程實驗數據整理(續) 題號機器驄工件數作業數派工法則

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i

GM

, ,

∑

all i,j,m

FF

(9)

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i

GM

, ,

∑

all i,j,m

FF

(10)

∑

all i

C

∑

all m

C

∑

all m j i

GM

, ,

∑

all i,j,m

FF

RANDOM 184 201 73 16 FCFS 163 186 58 17 LPT 163 186 58 16 25 4 3 12 SPT 178 211 83 13 RANDOM 203 165 24 5 FCFS 203 165 24 5 LPT 209 168 27 11 26 3 4 12 SPT 196 208 67 37 RANDOM 267 274 96 26 FCFS 244 258 80 42 LPT 284 284 106 50 27 4 4 16 SPT 234 296 118 47 RANDOM 544 662 319 79 FCFS 552 695 352 70 LPT 591 727 384 48 28 5 4 20 SPT 512 691 348 22 RANDOM 284 329 131 45 FCFS 284 329 131 45 LPT 366 433 235 75 29 4 4 16 SPT 283 332 134 12 RANDOM 444 345 65 50 FCFS 433 345 65 40 LPT 453 345 65 50 30 4 5 20 SPT 444 508 228 123

常用派工法則在排程穩健性衡量表現之研究