數學 C ( Ⅱ ) 第二章 2-1 二元一次聯立方程式

2-1

二元一次聯立

方程式

2 1 求下列各行列式的值： (1) 12 13 4 3 (2) 20 15 4 3 − (3) 12 7 24 18 。 (1) 12 13 12 3 13 4 16 4 3 = × − × = − 。 (2) 20 15 20 3 15 ( 4) 60 ( 60) 120 4 3 = × − × − = − − = − 。 (3) 12 7 12 18 7 24 48 24 18 = × − × = 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式

求下列各行列式的值： (1) 22 16 5 4 (2) sin cos cos sin θ θ θ − θ (3) 19 38 7 15 。 (1) 22 16 22 4 16 5 88 80 8 5 4 = × − × = − = 。

(2) sin cos sin ( sin ) cos cos cos sin

θ θ

θ θ θ θ

θ − θ = × − − ×

2 2 2 2

sin θ cos θ (sin θ cos θ) 1

= − − = − + = − 。

(3) 19 38 19 15 38 7 285 266 19 7 15 = × − × = − = 。

2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 2

4

解方程式

1

4

3

2

x

x

+

= 。

1

2

3(

1)

4

3

2

x

x

x

x

+

=

−

+ =

⇒ − − =

x

3

4

所以

x

= − 。

7

解方程式

1

2

1 2

4

x

x

x

x

+

= −

−

−

。

1

2

1 2

4

(2

4) (

1) (

1)

2

x

x

x

x

x

x

x

x

+

= −

−

−

⇒ ×

− − + × − = −

2

x

4

x

(

x

1)

2

x

4

x

3

0

⇒

−

−

− = − ⇒

−

+ =

(

x

3)(

x

1)

0

⇒

−

− =

1

3

x

⇒ = 或 。

6

2-1.2 二階行列式的運算規則

8 5 求下列各行列式的值：(1) 135 150 120 135 (2) 247 120 337 165 − − 。 (1) . 135 150 9 10 9 10 15 15 15 120 135 = × 120 135 = × × 8 9 15 15 (81 80) 225 = × × − = 。 (2) 247 120 247 ( 2) 120 120 337 165 337 ( 2) ( 165) 165 + − × = − − − + − × − − 7 120 7 165 = − − 1 8 7 15 1 11 = × × − − =105 [ 11 ( 8)]× − − − = −315。 ×(−2)倍 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式

求下列各行列式的值：(1) 45 36 28 21 (2) 59 12 107 24 − − 。 (1) 45 36 9 5 4 28 21 = × 28 21 5 4 9 7 9 7 (15 16) 63 4 3 = × × = × × − = − 。 (2) 59 12 ( 12) 59 1 107 24 107 2 − = − × − ( 12) (118 107) 132 = − × − = − 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 6

10 7 若 a b 3 c d = ，試求下列各行列式的值： (1) 6 2 3 b a d c (2) 5 3 5 3 a b b c d d + + (3) 4 3 2 4 3 2 a b a b c d c d − + − + 。 (1) 6 2 2 3 2 3 2 3 ( ) 3 3 b a b a b a a b d c = × d c = × × d c = × × − c d 2 3 ( 3) 18 = × × − = − 。 (2) 5 3 5 3 5 0 5 3 15 5 3 5 3 a b b a b b b a b c d d c d d d c d + = + = × + = × = + 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式

(3) 4 3 2 (4 3 ) 3(2 ) 2 4 3 2 (4 3 ) 3(2 ) 2 a b a b a b a b a b c d c d c d c d c d − + − + + + = − + − + + + 10 2 2 10 10 2 2 a a b a a b c c d c c d + + = = × + + ( 2 ) (2 ) 10 ( 2 ) (2 ) 10 10 3 a a a b c c c d a b c d − + + = × − + + = × = × × 3 倍 × (−2)倍 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式

12 若 a b 3 c d = ，試求下列各行列式的值： (1) 6 2 15 5 b a d c (2) 500 2011 500 2011 a b b c d d − − (3) 5 3 5 3 a b a b c d c d − + − + 。 (1) 6 2 2 5 3 15 5 3 b a b a d c = × × d c 2 5 3 b a d c = × × × 2 5 3 ( a b ) c d = × × × − 2 5 3 ( 3) 90 = × × × − = − 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 8

(2) 500 2011 500 2011 500 2011 500 2011 a b b a b b b c d d c d d d − − = + − − 500 a b 2011 b b c d d d = × − × 500 3 1500 = × = 。 (3) 5 3 8 3 8 3 5 3 8 3 3 a b a b a a b a a b c d c d c c d c c d − + + + = = × − + + + 8 a b 8 3 24 c d = × = × = 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式

14

2-1.3 二階行列式與克拉瑪公式

利用克拉瑪公式解二元一次聯立方程組

17

11

5

11

17

4

x

y

x

y

+

=

⎧

⎨ + =

⎩

。

16 利用克拉瑪公式解二元一次聯立方程組 12 15 2 15 12 5 x y x y + = − ⎧ ⎨ _{+ =} ⎩ 。 2 2 12 15 12 15 144 225 81 15 12 Δ = = − = − = − ， 2 15 24 75 99 5 12 x − Δ = = − − = − ， 12 2 60 ( 30) 90 15 5 y − Δ = = − − = ， 所以 99 11 81 9 x x = Δ = − = Δ − ， 90 10 81 9 y y = Δ = = − Δ − 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 10

18 若 a 為實數，且聯立方程組 2 4 3 ( 1) 2 ax y a x a y a + = + ⎧ ⎨ + + = + ⎩ 無解，求 a 的值。 因為聯立方程組無解 所以 Δ= ，且0 Δ 或_x Δ 至少一個不為 0_y 2 2 0 0 6 0 3 2 3 1 a a a a a Δ= ⇒ = ⇒ + − = ⇒ =− + 或 。 (1) 若 3 1 2 0 1 2 x a=− ⇒Δ = = − − ， 3 1 0 3 1 y − Δ = = − 不合； (2) 若 2 6 2 10 4 3 x a= ⇒Δ = = 。 綜合(1)(2)，得知 a= 。 2 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 11

若a 為實數，且聯立方程組 ( 1) 2 3 4 a x y a x ay a − + = ⎧ ⎨ + = + ⎩ 有無限多解， 求 a 的值。 因為 ( 1) 2 3 4 a x y a x ay a − + = ⎧ ⎨ + = + ⎩ 有無限多解，所以 Δ=Δ =Δ =x y 0 2 1 2 0 0 ( 1) 2 0 2 0 2 1 1 a a a a a a a − Δ= ⇒ = ⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ = 或− 若 1 3 2 3 0 3 1 x a=− ⇒Δ = − =− ≠ − ，不合 若 a= ⇒Δ =2 6 2 = ，0 Δ = 1 6 = ，所以 20 a= 。 2-1 二階行列式的計算與克拉瑪公式 12