100指考數甲-非選

(1)

100

100 100 學年度指定科目考試

學年度指定科目考試

學年度指定科目考試數學甲非選擇題

學年度指定科目考試

數學甲非選擇題

數學甲非選擇題考生作答情形分析

數學甲非選擇題

考生作答情形分析

第一處朱惠文每年指考成績單寄發後，總有些考生認為自己的數學甲非選擇題，答案明明正確，為何無法得到該題的滿分，甚至 1 分未得？本文就此一疑問，說明本年度數學甲非選擇題僅得到部分題分或是 1 分未得的可能情形，以及數學科非選擇題給分的大原則，希望能藉此廓清部分考生的疑惑。以下各題將從兩方面進行分析，（一）是正確的解題步驟，（二）是考生解題的錯誤概念或解法。至於各題的參考解法可詳見二、參考解法示例。一一一一、、、、正確解題步驟及錯誤解法說明正確解題步驟及錯誤解法說明正確解題步驟及錯誤解法說明正確解題步驟及錯誤解法說明第一題第一題第一題第一題題目題目題目題目：：：：已知實係數三次多項式函數 y = f x ( ) 的最高次項係數為 12，其圖形與水平線 y = 25交於相異的三點 (0, 25), (1, 25) 及 (2, 25)。 (1) 試求曲線 y = f x ( ) 圖形上的反曲點坐標。（ 6 分） (2) 試求定積分 2 0 f x dx( )

∫

之值。（ 6 分）分析分析分析分析：：：：第第第第 (1)(1)(1)(1) 小題小題小題小題（（（（一一一一））））正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟本題評量多項式函數微分與積分的概念與應用，試題分為兩小題，題幹提供一實係數三次多項式的首項係數，及其圖形與一水平線的交點坐標。第 (1)小題為求此圖形的反曲點坐標，第 (2)小題則求定積分 2 0 f x dx( )

∫

的值。第 (1)小題多數人採用的解法有兩種：一是找出多項式，另一個是利用多項式圖形的性質。採第一種解法者，需先根據題意列出多項式，例如 f x( ) 12 (= x x−1)(x−2) 25+ ，或設 3 2 ( ) 12 f x = x +bx +cx+d，由試題所給條件推得 f x 。再由反曲點與二階導函數的關( ) 係，即 f′′( )x =12(6x−6)，與 f′′( )x =0，得反曲點坐標為(1, 25)。第二種解法則將題意所求的多項式圖形 y= f x( )視為 y=12 (x x−1)(x−2)的圖形上移 2 5 單位，所以兩者的 反曲點之 x 坐標相同，且 y=12 (x x−1)(x−2)的圖形對稱於點(1, 0)，故反曲點坐標為 (1, 25)。

(2)

（（（（二二二二））））錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法以下依據上述的解題概念，分析此小題得部分分數或未得分的幾種情形。 (A1) 列錯多項式方程式：例如誤以為首項係數為 1；或解聯立方程組錯誤；或誤解題意為 y=12 (x x−1)(x−2)的圖形下移 2 5 單位，而誤為 ( ) 12 ( 1)( 2) 25 f x = x x− x− − 。 (A2) 理由不夠充分：例如只說 y=12 (x x−1)(x−2)反曲點的 x 坐標為 1，並未提及所 求圖形與 y=12 (x x−1)(x−2)圖形的關係，也未提及所求圖形對稱於點 (1, 25)。或誤以為極值發生在 3 2 x = 與 1 2 x = 處，而據以說反曲點的 x 坐標為兩者的平 均值。 (A3) 完整寫出作答過程，但計算錯誤：例如寫出正確的 f x( )，但微分過程錯誤，如 f′′( )x =72x+72，或寫出正確的 f′′( )x ，但求解 0 ( ) f′′ x = 時，得x = −1，等等。以上這些情形，有些雖寫出了正確的反曲點坐標 (1, 25)，但解題概念錯誤或未提正確理由；或解題概念正確，但計算錯誤，以至於只能得到部分分數，甚或無法得分。第第第第 (2)(2)(2)(2) 小題小題小題小題（（（（一一一一））））正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟根據第 (1 ) 小題，得出 3 2 ( ) 12 36 24 25 f x = x − x + x+ 。故 2 2 ₃ ₂ ₄ ₃ ₂ 2 0 0 f x dx( ) = 0(12x −36x +24x+25) dx=3x −12x +12x +25x =50

∫

或因為 y= f x( )的圖形對稱於點 (1, 25)，所以 2 0 f x dx =( ) 25 2× =50

∫

。（（（（二二二二））））錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法以下依據上述的解題概念，分析此小題得部分分數或未得分的幾種情形。 (B1 ) 反導函數算錯或圖形概念錯誤：例如能寫出正確的 f x( )，但反導函數寫成 2 4 3 2 0 3x −12x +12x +25 ；或誤以為求 2 0[12 (x x−1)(x−2)]dx

∫

等等；或誤認為三次多項式函數圖形對稱於反曲點(1, 25)，而得到錯誤的 2 1 0 f x dx( ) =2 0 f x dx( )

∫

。 (B2 ) 說明理由不夠充分：例如直接寫 2 0 f x dx =( ) 50

∫

，未說明任何理由。 (B3 ) 完整寫出作答過程，但計算錯誤：例如反導函數正確，但計算錯誤，如 2 ₄ ₃ ₂ 2 0 0 f x dx( ) =3x −12x +12x +25x =96

∫

。

(3)

本題出自高三選修數學( II)的範圍，而且解題概念各版本均提及，例如三次函數圖形的性質、二階導函數的概念、多項式函數的積分等。對考生而言，應不難正確作答。不過數學科非選擇題主要評量用數學式清楚表達解題過程的能力，因此列式、推理過程是否正確、邏輯判斷是否合理，均為評定分數的重要依據，並非僅看答案而已。第第第第二二二二題題題題題目題目題目題目：：：：( 1 ) 試求所有滿足 _log( 3 ₁₂ 2 ₄₁ _{20) 1} x − x + x− ≥ 的 x 值之範圍。（6 分） ( 2 ) 試證：當 3 2 2 π θ π ≤ ≤ 時， cos 1 sin 3 θ ≥3+ θ。（6 分）分析分析分析分析：：：：第第第第 (1)(1)(1)(1) 小題小題小題小題（（（（一一一一））））正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟本題評量指數與對數單元，試題分為二小題，第(1 )小題根據題幹所給算式，求解 x 值之範圍。解題可分為以下三個步驟： (1 ) 根據對數定義，可得 x3−12x2+41x−20>0且x3−12x2+41x−20 10≥ 。由於第二式成立時，第一式必成立，故僅需求 3 2 12 41 20 10 x − x + x− ≥ 之解。 (2 ) 移項分解因式得(x−1)(x−5)(x−6)≥0 (3 ) 推得 x 值之範圍為 x ≥6或1≤x≤5。（（（（二二二二））））錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法以下依據上述的解題概念，分析此小題得部分分數或未得分的幾種情形。 (C1 ) 不清楚對數定義：例如誤以為1=log 0；或 3 2 12 41 20 10 x − x + x− ≤ ；或 3 2 12 41 20 10 x − x + x− = 。另一錯誤為以為只要求解 x3−12x2+41x−20>0。 (C2 ) 移項因式分解錯誤：例如誤為 3 2 12 41 10 0 x − x + x− ≥ 或 (x+1)(x+5)(x+6)≥0等等。 (C3 ) 範圍判斷錯誤：例如誤以為 x 值之範圍為 x ≤1或 6≥x≥5；或 x ≥6或1≥x≥5；或 x >6或1<x<5等等。 (C4 ) 完整寫出作答過程，但計算錯誤：例如因式分解正確，但範圍寫成 x ≥ −1或 6 x 5 − ≤ ≤ − 等等。以上這幾種情形，有些不清楚基本數學概念，例如；對數的性質；有些寫出完整的作答過程，可是計算錯誤，例如移項錯誤，以至於僅能得到部分分數或無法得分。

(4)

第第第第 (2)(2)(2)(2) 小題小題小題小題（（（（一一一一））））正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟正確解題步驟本小題為一證明題，過程所引用的條件與算式，其前後關係需說明清楚，且邏輯判斷需正確，方能拿到分數，此題可從不同的角度(解法)證明，其過程大致可分為三個步驟： (1 ) 利用指數的性質，推得₃cosθ ₃1 sin+ θ ≥ 等價於 cosθ≥ +1 sinθ。 (2 ) 確定所要採用的方法，例如和角公式、半角公式、三角形兩邊長的和大於第三邊、正弦與餘弦函數圖形、平方關係等。 (3 ) 根據第(2 )步驟所採用的解法，連結題意所給角度的限制，正確寫出所應用的條件，完整說明論證過程。（（（（二二二二））））錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法錯誤概念或解法以下依據上述的解題概念，分析此小題得部分分數或未得分的幾種情形。 (D 1) 所採用的解法不正確：例如欲採用和角公式作答，但公式錯誤，如誤寫 cos sin 2 cos ( )

4 π θ− θ = θ − ；或採半角公式，但誤以為 2 2 cos 2 cos 1 2 θ θ = − 等等。 (D 2) 所引用的條件不足以證明：例如採和角解法，但未說明角度範圍，如寫出

cos sin 2 cos ( ) 4 π θ − θ = θ + ，直接得證 cosθ −sinθ ≥1，並未說明因 7 9 4 4 4 π π ≤θ+ ≤ π，故 2 cos ( ) 1 4 π θ+ ≥ ；或只畫出正、餘弦函數圖形，並不足以證明原題成立，需再說明正、餘弦函數在 3 2 π ，2π 的值相同，且當 3 2 2 π θ π ≤ ≤

時， cosθ 圖形凹向下，1 sin+ θ 圖形凹向上，才能得到cosθ ≥ +1 sinθ 的結論。以上這幾種情形，有的不清楚或記錯公式，例如半角公式、和角公式等；有些未檢驗條件的充分性與一致性，例如只寫cosθ ≥0，並不能得到2 sin (1 sin )θ + θ ≤0

的結論，需再說明sinθ ≤0才能得證。數學甲與數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。選擇題與選填題，只要答案正確，即可得到全部分數。但非選擇題主要評量考生是否能夠清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，或過程不合理，則無法得到分數。本文說明正確的解題概念與步驟，以及得部分分數與無法得分的可能情形，期能有助於老師教學或學生平常練習。

(5)

二二二二、、、、參考參考參考參考解法示例解法示例解法示例解法示例數學科試題的解法不只一種，故以下提供多數考生可能採用的解法，未列的解法，只要推論或解題過程正確，仍可得分。第一題第一題第一題第一題 (1 ) 【法一】由函數 y = f x ( ) 的最高次項係數為 12，且 f(0)= f(1)= f(2)=25，可推得 3 2 12 1 2 25 12 36 24 25 ( ) ( ) ( ) f x = x x − x − + = x − x + x + 。或設 3 2 ( ) 12 f x = x +bx +cx+d，由 f(0)= f(1)= f(2)=25得 25 12 25 96 4 2 25 d b c d b c d =   + + + =   ₊ ₊ ₊ ₌  解得b = −36、c =24、 d =25。故 2 ( ) 12(3 6 2) f x′ = x − x+ ， f′′( )x =12(6x−6) 令 f′′( )x =0，得函數 y = f x( )圖形上的反曲點坐標為_{(1, 25)} 【法二】因為 y= f x( )的圖形為將 y=12 (x x−1)(x−2)的圖形上移 2 5 單位，所以兩者的反曲點之 x 坐標相同，而 y=12 (x x−1)(x−2)的圖形對稱於點 (1, 0)。故 y= f x( )圖形的反曲點坐標為(1, 25) (2 ) 【法一】 2 2 ₃ ₂ 0 f x dx( ) = 012(x −3x +2 ) 25 x + dx

∫

4 3 2 2 3 12 12 25 0 x x x x = − + + 4 3 2 3 2 12 2 12 2 25 2 50 = × − × + × + × = 【法二】因為

(

1, 0 是

)

g x( ) 12 (= x x−1)(x−2)的反曲點，以及 y=g x( )的圖形對稱於反曲點，故 2 1 2 1 1 1 0 0 g x dx( ) = 0g x dx( ) + g x dx( ) = 0g x dx( ) − g x dx( ) =0

∫

。

(6)

因此 2 2 2 2 2 0 0 f x dx( ) = 0( ( )g x +25)dx= 0 g x dx( ) + 025dx=0+25x =50

∫

。所以 2 0 f x dx =( ) 25 2× =50

∫

第二題第二題第二題第二題 (1 ) 由題意得 3 2 log(x −12x +41x−20)≥1 3 2 12 41 20 10 x x x ⇔ − + − ≥ 且x3−12x2+41x−20>0 3 2 12 41 30 0 x x x ⇔ − + − ≥ (x 1)(x 5)(x 6) 0 ⇔ − − − ≥ 因此，滿足_log( 3 ₁₂ 2 ₄₁ _{20) 1} x − x + x− ≥ 的 x 範圍為 1≤ ≤x 5或 x ≥6 (2 ) 因為 cos 1 sin 3 θ ≥3+ θ等價於 cosθ≥ +1 sinθ，故僅需證明當 3 2 2 π θ π ≤ ≤ 時，cosθ≥ +1 sinθ。【法一】

cosθ −sinθ 2 cos( ) 4 π θ = + 因 7 9 4 4 4 π π ≤θ + ≤ π，所以 2 cos( ) 4 π θ+ ≥1

得 cosθ−sinθ≥1 cos 1 sin

cosθ 1 sinθ 3 θ 3+ θ

⇔ ≥ + ⇔ ≥ ，得證

【法二】

sinθ −cosθ 2 sin( ) 4 π θ = − 因 5 7 4 4 4 π π ≤θ− ≤ π，所以 2 sin( ) 1 4 π θ− ≤ −

得 sinθ−cosθ≤ −1 cos 1 sin

cosθ 1 sinθ 3 θ 3+ θ

⇔ ≥ + ⇔ ≥ ，得證

【法三】

2

(cosθ−sin )θ = −1 2 cos sinθ θ

當 3 2

2π ≤θ ≤ π，sinθ ≤0，cosθ ≥0，推得 −2 sin cosθ θ ≥0 1 2 cos sin− θ θ ≥1 2 (cosθ sin )θ 1 ⇔ − ≥ cos 1 sin cosθ 1 sinθ 3 θ 3+ θ ≥ + ⇔ ≥ ，得證

(7)

【法四】

2 2 2

cos θ −(1 sin )+ θ = −2 sin θ−2 sinθ = −2 sin (1 sin )θ + θ

當 3 2 2π ≤θ ≤ π， cosθ ≥0，sinθ ≤0 推得−2 sin (1 sin )θ + θ ≥0 2 2 cos θ (1 sin )θ ⇔ ≥ + cos 1 sin cosθ 1 sinθ 3 θ 3+ θ ≥ + ⇔ ≥ ，得證【法五】當 3 2 2π ≤θ ≤ π，sinθ ≤0，故 2 sinθ 1 cos θ − = − 2 2 2

sin θ −(1 cos )− θ = −2 cos θ+2 cosθ = −2 cos (cosθ θ −1)

因為cosθ ≥0，所以 −2 cos (cosθ θ−1)≥ 0

cos 1 sin sinθ 1 cosθ 3 θ 3+ θ − ≥ − ⇔ ≥ ，得證【法六】 3 3 2 2 4 2 π π θ θ π π

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ，所以 sin cos (or sin cos 0)

2 2 2 2 θ θ θ θ ≤ − + ≤ 因為sin 0 2 θ ≥ ，所以 2

1 cos 2 sin 2 sin cos sin

2 2 2 θ θ θ θ θ − = ≤ − = − 。 cos 1 sin 1 cosθ sinθ 3 θ 3+ θ − ≤ − ⇔ ≥ ，得證。【法七】當 3 2

2π ≤θ ≤ π，sinθ ≤0，故 cosθ ≤ −1 sinθ

因cos cosθ θ =(1 sin )(1 sin )− θ + θ 且cosθ ≥0

所以cosθ ≥sinθ + 1 【法八】 cos , 1 sinθ + θ 在 3 , 2 2 π π的值相同，且當 3 2 2π ≤θ ≤ π ，cosθ 圖形凹向下， 1 sin+ θ 圖形凹向上，所以 cosθ ≥ +1 sinθ 。

cos 1 sin cosθ 1 sinθ 3 θ 3+ θ ≥ + ⇔ ≥ ，得證。【法九】設(cos , sin )θ θ 為單位圓上一點(如右圖)，且 3 2 2π ≤θ ≤ π 。根據三角形兩邊差小於第三邊，推得 cosθ ≥ −1 sinθ 因cosθ ≥0，sinθ ≤0，所以cosθ ≥ +1 sinθ

cos 1 sin

3 θ ≥3+ θ ，得證。 _{(cos , sin )}_θ _θ

x y

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100 學 年 度 指 定 科 目 考 試

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學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 非 選 擇 題

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數 學 甲 非 選 擇 題 考 生 作 答 情 形 分 析

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考 生 作 答 情 形 分 析

考 生 作 答 情 形 分 析

考 生 作 答 情 形 分 析

∫

∫

∫

∫

∫

∫

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∫

∫

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∫

(

)

∫

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