93指考數學甲

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九十三學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。修

正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選擇

題答案卷」，請在規定之欄位作答，並於題號欄標明題號。

作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（ 一 ）

選 擇 題 ： 只 用

1 ， 2 ， 3 ， 4 等 四 個 格 子 ， 而 不 需 要 用 到

 ，  ， 以 及

5，6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9，而正確的答案為 7，亦即選項

(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

10 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題

的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 （ 佔

7 6 分 ）

一 、 單 選 題 （

6 % ）

說明：第1題，選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6分，答錯或劃記

多於一個選項者倒扣2分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦

不扣分。

1. 設方程式 _x5 _1_{的 五 個 根 為} 4 3 2 1, , , , 1    ， 則(31)(32)(33)(34) = （1）81 （2）162 （3）121 （4）242

二 、 多 選 題 （

3 2 % ）

說明：第

2至5題，每題各有4個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在答

案卡之「解答欄」。每題

8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2分；每答錯一

個選項，倒扣

2分，完全答對得8分。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項

以外之區域劃記，一律倒扣

2分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

2. 根 據 對 數 表 ，log2的 近 似 值 是 0.3010 ，log3的 近 似 值 是 0. 4771 。 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？ （1）₁₀9 _910_。 （2）₁₀12 _1210_。 （3）₁₀11 _1110_。 （4）方程式₁₀x _{ x}10_{有 一 負 根 。}

3. 正 四 面 體 的 四 個 頂 點 落 在 以 原 點O(0,0,0)為 球 心 、 半 徑 為 1 的球面上，已知一頂點

P

的 坐 標 為(0, 0, 1) ，另一頂點Q的 坐 標 為

(

a

,

b

,

c

)

。下 列 選 項 有 哪 些 必 定 是 正 確 的 ？ （ 1） OP與 OQ的 夾 角 為120 。 （ 2）_a2_b2_c2_。 （3）ab0。 （4）c0。 4. 設a0， 令 A(a)表 示

x

軸、

y

軸、直 線

x



a

與 函 數 y2sinx的 圖 形 所 圍 成 的 面 積 。 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？ （1） A(a2) A(a)恆 成 立 。 （2） A(2)2A()。 （3） A(4)2A(2)。 （4） A(3)A(2) A(2) A()。 5. 已 知 整 係 數 多 項 式 f( x)滿 足 f(2) f(4) f(6)0， 而 且 除 了

x



2, 4, 6 之外， ) ( x f 的 函 數 值 恆 正 。 下 列 選 項 有 哪 些 必 定 是 正 確 的 ？ （1） f( x)的 次 數 至 少 為6。 （2） f( x)的 次 數 為 奇 數 。 （3） f(1)為 奇 數 。 （4） f(4)0。

三 、 題 組 （

2 2 % ）

說明：第 6至8 題為一完整之題組，請詳細閱讀後回答問題。第6題為單選題，第7、8兩題為

多選題。其選項、作答、計分方式，與前面單選題和多選題之規定相同。

使 用 圓 球 和 球 袋 作 機 率 實 驗 。 球 只 有 黑 白 兩 色 ， 袋 中 裝 有 兩 顆 球 ， 因 此 只 有 三 種 可 能 情 況 ： 把 雙 白 球 稱 為 狀 態1，一白球一黑球稱為狀態 2，雙黑球稱為狀態 3。對這袋球做如 下 操 作 ： 自 袋 中 隨 機 移 走 一 球 後 ， 再 隨 機 移 入 一 顆 白 球 或 黑 球 （ 移 入 白 球 或 黑 球 的 機 率 相 等 ） 。 每 次 操 作 可 能 會 改 變 袋 中 球 的 狀 態 。 6. （ 單 選 題 ，6 分）如 果現在袋子內的球是一白一黑（即狀態 2），請問 經過一次操作 後 ， 袋 中 會 變 成 兩 顆 黑 球 （ 狀 態 3）的機率是多少？ （1） 4 1 （2） 3 1 （3） 2 1 （4） 3 2 把 從 狀 態 j經 過 一 次 操 作 後 會 變 成 狀 態

i

的 機 率 記 為 pij（ 例 如 上 題 的 機 率 就 是 p32） ， 由 此 構 成 一3 矩陣3

P

。 7. （ 多 選 題 ，8 分）針對矩陣

P

， 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ？ （ 1）矩陣

P

滿 足 pij  pji。 （2）

P

是 轉 移 矩 陣 （ 即 每 行 之 和 皆 為 1）。 （3）

P

的 行 列 式 值 為 正 。 （4） p11  p33。 把 矩 陣

P

連 續 自 乘k 次後的矩陣記為

_P

k_{。 已 知 矩 陣}

_P

k_{中(i, j)位 置 的 值 ， 等 於 從 狀 態}

j_{經 過 k 次操作後，變成狀態}

_i

_{的 機 率 。} 8. （ 多 選 題 ，8 分）針對多次操作，下列選項有哪些是正確的？ （1） 從一白一黑（狀態 2）開始，經過 k 次操作後，變成雙白（狀態 1）的機率 與 變 成 雙 黑 （ 狀 態 3）的機率相等。 （2） 從雙白（狀態 1）開始，經過k 次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率， 比 變 成 雙 黑 （ 狀 態3）的機率大。 （3） 從雙白（狀態 1）開始，經過k 次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率，會 隨 著 次 數 k 的增加而遞減。 （4） 不論從哪種狀態 開始，經過 k 次操作後，變成 任何一種狀態的機率，會隨 著 k 趨近於無窮大而趨近於1 3。

四 、 選 填 題

( 1 6 % )

說明：

A、B兩題為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（9 -13）中標示答案。每一題完全

答對得

8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 若坐標 平面上滿足2_x2_axy2_y2 _1_{的 點(x, y)， 都 滿 足 x}2 _{ y}2 _{1， 則}

a

_{的 最 小 可} 能 值 為 。 B. 將

tan

x



x

的 所 有 正 實 根 由 小 到 大 排 列 ， 得 一 無 窮 數 列 x x₁, , , ,_{2 } x_{n  ，則}





  

(

)

lim

_{n 1 n} n

x

x

（ 四 捨 五 入 到 小 數 第 二 位 ） 。 以 下 部 分 作 答 於 答 案 卷

-第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔

2 4 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、

二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將酌予扣分。每題配分標於題末。

一、

若 有 使下述方程組不只有一組解， 求sin



cos



的值。

（12 分）

(1 cos )

0

(1 sin )

0

x

y

x

y













 

 





二 、 設k 為一常數。已知一拋物線通過點(2,0)，且 焦點 為(1,2)， 準線 為kx y10， 求 此拋 物線 頂點 的坐 標。 （12 分）