93指考數學甲

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大學入學考試中心

九十三學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間:80 分鐘

作答方式:第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答,選擇題答錯均倒扣。修

正時應以橡皮擦拭,請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選擇

題答案卷」,請在規定之欄位作答,並於題號欄標明題號。

作答示例:請仔細閱讀下面的例子。

( 一 )

選 擇 題 : 只 用

1 , 2 , 3 , 4 等 四 個 格 子 , 而 不 需 要 用 到

 ,  , 以 及

5,6,7,8,9,0 等格子。

例:若第

1 題為單選題,選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9,而正確的答案為 7,亦即選項

(3)時,考生要在答案卡第 1 列的 劃記(注意不是 7),如:

例:若第

10 題為多選題,正確選項為(1)與(3)時,考生要在答案卡的第 10 列

的 與 劃記,如:

(二)選填題的題號是

A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考生必須依各題

的格式填答,且每一個列號只能在一個格子劃記。

例:若第 C 題的答案格式是 ,而答案是

50 7 

時,則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記,如:

3 1 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

(2)
(3)

第 壹 部 分 ( 佔

7 6 分 )

一 、 單 選 題 (

6 % )

說明:第1題,選出一個最適當的選項,劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6分,答錯或劃記

多於一個選項者倒扣2分,倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者,不給分亦

不扣分。

1. 設方程式 x5 1的 五 個 根 為 4 3 2 1, , , , 1    , 則(31)(32)(33)(34) = (1)81 (2)162 (3)121 (4)242

二 、 多 選 題 (

3 2 % )

說明:第

2至5題,每題各有4個選項,其中至少有一個是正確的。選出正確選項,劃記在答

案卡之「解答欄」。每題

8分,各選項獨立計分,每答對一個選項,可得2分;每答錯一

個選項,倒扣

2分,完全答對得8分。整題未作答者,不給分亦不扣分。若在備答選項

以外之區域劃記,一律倒扣

2分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

2. 根 據 對 數 表 ,log2的 近 似 值 是 0.3010 ,log3的 近 似 值 是 0. 4771 。 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ? (1)109 910 (2)1012 1210 (3)1011 1110 (4)方程式10x x10有 一 負 根 。

(4)

3. 正 四 面 體 的 四 個 頂 點 落 在 以 原 點O(0,0,0)為 球 心 、 半 徑 為 1 的球面上,已知一頂點

P

的 坐 標 為(0, 0, 1) ,另一頂點Q的 坐 標 為

(

a

,

b

,

c

)

。下 列 選 項 有 哪 些 必 定 是 正 確 的 ? ( 1) OP與 OQ的 夾 角 為120 。 ( 2)a2b2c2 (3)ab0。 (4)c0。 4. 設a0, 令 A(a)表 示

x

軸、

y

軸、直 線

x

a

與 函 數 y2sinx的 圖 形 所 圍 成 的 面 積 。 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ? (1) A(a2) A(a)恆 成 立 。 (2) A(2)2A()。 (3) A(4)2A(2)。 (4) A(3)A(2) A(2) A()。 5. 已 知 整 係 數 多 項 式 f( x)滿 足 f(2) f(4) f(6)0, 而 且 除 了

x

2, 4, 6 之外, ) ( x f 的 函 數 值 恆 正 。 下 列 選 項 有 哪 些 必 定 是 正 確 的 ? (1) f( x)的 次 數 至 少 為6。 (2) f( x)的 次 數 為 奇 數 。 (3) f(1)為 奇 數 。 (4) f(4)0。

三 、 題 組 (

2 2 % )

(5)

說明:第 6至8 題為一完整之題組,請詳細閱讀後回答問題。第6題為單選題,第7、8兩題為

多選題。其選項、作答、計分方式,與前面單選題和多選題之規定相同。

使 用 圓 球 和 球 袋 作 機 率 實 驗 。 球 只 有 黑 白 兩 色 , 袋 中 裝 有 兩 顆 球 , 因 此 只 有 三 種 可 能 情 況 : 把 雙 白 球 稱 為 狀 態1,一白球一黑球稱為狀態 2,雙黑球稱為狀態 3。對這袋球做如 下 操 作 : 自 袋 中 隨 機 移 走 一 球 後 , 再 隨 機 移 入 一 顆 白 球 或 黑 球 ( 移 入 白 球 或 黑 球 的 機 率 相 等 ) 。 每 次 操 作 可 能 會 改 變 袋 中 球 的 狀 態 。 6. ( 單 選 題 ,6 分)如 果現在袋子內的球是一白一黑(即狀態 2),請問 經過一次操作 後 , 袋 中 會 變 成 兩 顆 黑 球 ( 狀 態 3)的機率是多少? (1) 4 1 (2) 3 1 (3) 2 1 (4) 3 2 把 從 狀 態 j經 過 一 次 操 作 後 會 變 成 狀 態

i

的 機 率 記 為 pij( 例 如 上 題 的 機 率 就 是 p32) , 由 此 構 成 一3 矩陣3

P

。 7. ( 多 選 題 ,8 分)針對矩陣

P

, 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的 ? ( 1)矩陣

P

滿 足 pijpji。 (2)

P

是 轉 移 矩 陣 ( 即 每 行 之 和 皆 為 1)。 (3)

P

的 行 列 式 值 為 正 。 (4) p11  p33。 把 矩 陣

P

連 續 自 乘k 次後的矩陣記為

P

k。 已 知 矩 陣

P

k(i, j)位 置 的 值 , 等 於 從 狀 態

(6)

j經 過 k 次操作後,變成狀態

i

的 機 率 。 8. ( 多 選 題 ,8 分)針對多次操作,下列選項有哪些是正確的? (1) 從一白一黑(狀態 2)開始,經過 k 次操作後,變成雙白(狀態 1)的機率 與 變 成 雙 黑 ( 狀 態 3)的機率相等。 (2) 從雙白(狀態 1)開始,經過k 次操作後,回到雙白(狀態 1)的機率, 比 變 成 雙 黑 ( 狀 態3)的機率大。 (3) 從雙白(狀態 1)開始,經過k 次操作後,回到雙白(狀態 1)的機率,會 隨 著 次 數 k 的增加而遞減。 (4) 不論從哪種狀態 開始,經過 k 次操作後,變成 任何一種狀態的機率,會隨 著 k 趨近於無窮大而趨近於1 3。

四 、 選 填 題

( 1 6 % )

說明:

A、B兩題為選填題,請在答案卡的「解答欄」之列號(9 -13)中標示答案。每一題完全

答對得

8分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A. 若坐標 平面上滿足2x2axy2y2 1的 點(x, y), 都 滿 足 x2  y2 1, 則

a

的 最 小 可 能 值 為 。 B. 將

tan

x

x

的 所 有 正 實 根 由 小 到 大 排 列 , 得 一 無 窮 數 列 x x1, , , ,2 xn  ,則

  

(

)

lim

n 1 n n

x

x

( 四 捨 五 入 到 小 數 第 二 位 ) 。 以 下 部 分 作 答 於 答 案 卷

(7)

-第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 佔

2 4 分 )

說明:本大題共有二題計算證明題,答案務必寫在答案卷上,並於題號欄標明題號(一、

二),同時必須寫出演算過程或理由,否則將酌予扣分。每題配分標於題末。

一、

若 有 使下述方程組不只有一組解, 求sin

cos

的值。

(12 分)

(1 cos )

0

(1 sin )

0

x

y

x

y

 

 

二 、 設k 為一常數。已知一拋物線通過點(2,0),且 焦點 為(1,2), 準線 為kx y10, 求 此拋 物線 頂點 的坐 標。 (12 分)

數據

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參考文獻

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