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5-4-2不等式-絕對不等式

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Academic year: 2021

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(1)5-4-2 不等式-絕對不等式 【定義】 絕對不等式: 當不等式對於任意 x ∈ R 都成立時,稱絕對不等式。 【公式】 絕對值不等式: | x | + | y |≥| x + y | ,且當 xy ≥ 0 時,等號成立。 證明: (1) (| x | + | y |) 2 − (| x + y |) 2 = ( x 2 + y 2 + 2 | xy |) − ( x 2 + y 2 + 2 xy ) = 2(| xy | − xy ) ≥ 0 (2)當 | xy | −xy = 0 時,等號成立。 算幾不等式(兩個正數): a+b 設 a, b > 0 ,則 ≥ ab ,且當 a = b 時,等號成立。 2 證明: a+b a− b 2 − ab = ( ) ≥0 2 2 a− b 2 (2)當 ( ) = 0 時等號成立,即當 a = b 時,等號成立。 2 算幾不等式的幾何意義:. (1). ab a. b. 【公式】 算幾不等式(四個正數): a+b+c+d 4 設 a, b, c, d > 0 ,則 ≥ abcd , 4 且當 a = b = c = d 時,等號成立。 證明: a+b c+d + a+b+c+d 2 2 ≥ ab + cd ≥ = (1) 4 2 2 a+b c+d + 2 = ab + cd (2)當 2 2 2 ab + cd = ab cd 時等號成立, 且 2 當 a = b 、 c = d 且 ab = cd 時等號成立 即 a = b = c = d 時,等號成立。. 1. ab cd ≥ 4 abcd.

(2) 【推廣】 依數學歸納法可以證得: 若 n = 2 k , k ∈ N 時,設 a1 , a2 ,", an > 0 , a + a + " + an n 則 1 2 ≥ a1a2 " an , n 且當 a1 = a2 = " = an 時,等號成立。 證明: (1)當 m = 1 時, 設 a1 , a 2 > 0 , a + a2 ≥ a1 a 2 , 則 1 2 故原式成立, 且當 a1 = a 2 時,等號成立。 (2)設 m = k 時,原式成立 即 n = 2 k 時, 設 a1 , a2 ,", an > 0 , a + a + " + an n ≥ a1a2 " an , 則 1 2 n 且當 a1 = a2 = " = an 時,等號成立。 則當 m = k + 1 時, n = 2 k +1 ,設 a1 , a2 ,", an > 0 則 a1 + a2 + " + an n a + a + " + an = 1 2 k +1 2 a1 + a2 +"+ a. =. ≥ ≥. 2k. 2k. +. a. 2 k +1. +a. 2k + 2 k. +"+ a. 2 k +1. 2. 2 2k. a1a2"a. 2k. 2k. a. a. 2 k +1 2 k + 2. "a. 2 k +1. 2 2k. a1a 2 " a 2k. 2k. a 2k +1a 2k + 2 " a 2k +1. = 2k +1 a1a2 " a2k a2k +1a2k + 2 " a2k +1 且當 a1 = a2 = " = an 時,等號成立。 故由數學歸納法得知 若 n = 2 k , k ∈ N 時,設 a1 , a2 ,", an > 0 , a + a + " + an n ≥ a1a2 " an , 則 1 2 n 且當 a1 = a2 = " = an 時,等號成立。. 2.

(3) 【公式】 算幾不等式(一般情形): 若 n = 2 k + m, k , m ∈ N , m < 2 k 時, 設 a1 , a 2 , a3 ," , a n > 0 , a + a 2 + a3 + " + a n n ≥ a1a2 a3 " an 則 1 n 且當 a1 = a 2 = a3 = " = a n 時,等號成立。 證明: a + a 2 + a3 + " + a n (1)設 d = 1 n 由 k +1. 2 − n個 .   (a1 + a2 + a3 + " + an ) + d + d + " + d ≥ 2k +1 a1a2 a3 " an d" d. 2 k +1 k +1 2 − n個 k +1 (a1 + a2 + a3 + " + an ) + (2 k +1 − n)d 2k +1 ≥ a1a2 a3 " an d 2 −n k +1 2 k +1 k +1 nd + (2 − n)d 2k +1 ⇒ ≥ a1 a 2 a3 " a n d 2 − n k +1 2. ⇒. k +1. ⇒ d ≥ 2 a1 a 2 a3 " a n d 2 ⇒ d2. k +1. ≥ a1 a 2 a3 " a n d 2. k +1. −n. k +1. −n. ⇒ d n ≥ a1 a 2 a3 " a n ⇒ d ≥ n a1 a 2 a3 " a n a1 + a 2 + a3 + " + a n n ≥ a1 a 2 a3 " a n n (1)當 a1 = a 2 = a3 = " = a n = d 時,等號成立 ⇒. 即當 a1 = a 2 = a3 = " = a n 時,等號成立。 【性質】 算幾不等式常運用於都正數的情形,且題目含有相加以及相乘的題目。 【問題】 n +1 n ) ≥ n! 。 試證明: ( 2. 3.

(4) 【公式】 科西不等式: 設 a1 , a 2 , a3 ," , a n , b1 , b2 , b3 ," , bn ∈ R \ 則 (a1 + a 2 + " + a n )(b1 + b2 + " + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 且當 (a1 = kb1 , a 2 = kb2 ," , a n = kbn 時,等號成立。 證明: (方法一) (1)設 a = (a1 , a 2 , a3 ," , a n ), b = (b1 , b2 , b3 ," , bn ) 若 a ⋅ b =| a || b | cos θ ,其中 θ 為 a, b 夾角. ⇔| cos θ |=|. a ⋅b. |≤ 1. | a || b | ⇔| a || b |≥| a ⋅ b | ⇔| a | 2 | b | 2 ≥| a ⋅ b | 2 (2)當 | cos θ |= 1 時,等號成立 ⇔ cos θ = ±1 ⇔ θ = 0, π ⇔ a, b 同向或反向. ⇔ a = tb (方法二) (1)設 f ( x) = (a1 x − b1 ) 2 + (a2 x − b2 ) 2 + " + (an x − bn ) 2 又 f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R 則 f ( x) = (a1 + a 2 + " + a n ) x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ) x + (b1 + b2 + " + bn ) ≥ 0, ∀x ∈ R 2. 2. 2. 2. 2. 2. 故判別式 (a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ) 2 − 4(a1 + a 2 + " + a n )(b1 + b2 + " + bn ) ≤ 0 2. 2. 2. 2. 2. 得 (a1 + a 2 + " + a n )(b1 + b2 + " + bn ) ≥ (a1b1 + a 2 b2 + " + a n bn ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. (2)當 f ( x) = (a1 x − b1 ) 2 + (a2 x − b2 ) 2 + " + (an x − bn ) 2 = 0 時. ⇒ (a1 x − b1 ) 2 = (a 2 x − b2 ) 2 = " = (a n x − bn ) 2 = 0 ⇒ a1 x − b1 = a2 x − b2 = " = an x − bn = 0 ⇒ a1 x − b1 = a2 x − b2 = " = an x − bn = 0 即當 (a1 = kb1 , a 2 = kb2 ," , a n = kbn 時,等號成立。 【性質】 科西不等式常運用於有一次式且有二次式的題目。. 4. 2.

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