第2章(式的運算)

第

2

章

對不定元賦予種種的實際意義，或定義其運算方法。將數與不定元經過加、減、 乘的運算所形成的式子，如：2x2－3x ＋ 8，x2－xy ＋ y2－z，…稱為多項式。 在代數中，我們必須先熟習多項式的運算，才能利用它來解決更複雜的問 題。在十七、十八世紀，數學家尤拉（Euler）、白努利（Bernoulli）、萊布尼 茲（Leibniz）等一直努力研究的課題之一，即是在處理多項式是否可以分解為一 次或二次因式的乘積，以提供如何求得方程式的解。本章將對多項式的運算及性 質加以探討。

小考箱

（ ）

2-1

多 項 式 的 四 則 運 算

2-1.1

多項式的基本概念

在多項式的例子中，像2 x2－3 x＋ 8，x4－ 3_{2 x}2＋1 都只含有一個不定元x， 叫做單元多項式；而 x2－x y＋ y2－z， 3 x ＋ 5 y ＋ 2 z，x3＋ x y 都含有兩個或 兩個以上的不定元，叫做多元多項式。我們在此將只討論單元多項式。

設 n 為正整數或 0，且 a_n、a_{n － 1}、…、a₂、a₁、a₀ 為實數，則形如

多項式

f x ＝ a_nxn＋a_{n － 1}xn － 1＋…＋a₂x2＋a₁x＋ a₀ 的式子，稱為不定元 x 的多項式。其中 a_i 稱為 f x 的 i 次項係數，a₀ 叫做常 數項。當 a_n≠0 時，稱 a_n 為 f x 的領導係數，而 n 叫做 f x 的次數，以符 號deg f x ＝ n 來表示，並且稱 f x 為 n 次多項式。 例：f x ＝3 x4－2 x3＋ 3 x － 5 為 4 次多項式；常數項為－ 5；而 3、－ 2、 3 分別為 4 次項、3 次項及 1 次項的係數；又領導係數為 3，deg f x ＝4。 不定元 x 的多項式，x 不得在分母、根號內或絕對值中出現。 例如：x 2_－1 2 x ＋ 3、x3＋2 x2－3 x＋ 7、3 x2－4 x ＋ 5 均不為 x 的多項式。  f x ＝2 x3－3 x2＋4 x－1_{＋6 為 x 的一個多項式。} 一個只有常數項的多項式稱為常數多項式。常數項不為零的常數多項式稱 為零次多項式，例如：5 是 x 的零次多項式；常數項為零的常數多項式稱為零

解 解 零多項式與零次多項式均為常數多項式。 設 f x ＝ a ＋ 2 b x4＋ a ＋ 4 x3＋ b ＋ 3 x2＋5 x＋ 6，若 deg f x ＝ 2， 試求 a、b 的值及 f x 的領導係數。 因為 deg f x ＝ 2 f x 的 4 次項及 3 次項係數均為 0 即 a ＋ 2 b ＝ 0 且 a ＋ 4 ＝ 0 a ＝－ 4，b ＝ 2 此時 f x ＝ b ＋ 3 x2＋5 x＋ 6 ＝5 x2＋5 x ＋ 6 所以 a ＝－ 4，b ＝ 2，f x 的領導係數為 5。 設 f x ＝ 2a － b ＋ 3 x4＋ b － 2 x3＋ 4a ＋ 5 x2＋ bx ＋ 3，若 deg f x ＝ 2，試求 a、b 的值及 f x 的領導係數。 已知 f x ＝ a － 2 x3＋ b ＋ 3 x2＋ c － 4 x ＋ d ＋ 5 為零多項式， 試求 a、b、c、d 的值。 由零多項式的定義得知： a － 2 ＝ 0，b ＋ 3 ＝ 0，c － 4 ＝ 0，d ＋ 5 ＝ 0 故得 a ＝ 2，b ＝－ 3，c ＝ 4，d ＝－ 5。 設 f x ＝ a ＋ 1 x3＋ b － 2 x2＋ c ＋ 3 x ＋ 5 為常數多項式，試求 a、 b、c 的值。 為了多項式運算方便起見，通常我們都將多項式中的每一項，按照 x 的次 數，由大而小或由小而大加以排列。由大而小的排列方式稱為降冪排列；由小 而大的排列方式稱為升冪排列。一般而言，本書大部分的多項式均按降冪排列。

例

題

例

題

解 解 試將 f x ＝6 x2＋9 － 7 x3－3 x ＋ x4 依升冪及降冪重新排列。 升冪排列為 f x ＝9 － 3 x ＋ 6 x2－7 x3＋ x4 降冪排列為 f x ＝x4－7 x3＋6 x2－3 x ＋ 9 試將 f x ＝5 x4－8 ＋ 4 x5_{＋ x}2_{－2 x}3 _{依升冪及降冪重新排列。} 對於任意兩個實係數多項式 f x ＝ a_nxn ＋a_{n － 1}xn － 1 ＋…＋a₁x＋ a₀（a_n≠0）， g x ＝ b_mxm＋b_{m － 1}xm － 1＋…＋b₁x＋ b₀（b_m≠0），

當 n ＝ m（即 deg f x ＝ deg g x ），且 a_n＝b_n，a_{n － 1}＝b_{n － 1}，…，a₁＝b₁， a₀＝b₀ 時，我們稱此二多項式相等，記作 f x ＝g x 。 當二多項式相等時，除了二多項式的次數必須相等外，二多項式中次 數相同的對應項之係數也必須相等。 設 f x ＝ a － 2 x3＋2x2－5x ＋ 6，g x ＝5x3＋ b － 1 x2＋ c － 3 x ＋ d， 若 f x ＝g x ，試求 a、b、c、d 的值。 因為 f x ＝g x 即 a － 2 x3＋2x2－5x＋6＝5x3＋ b － 1 x2＋ c － 3 x＋ d 由多項式相等的定義知：a － 2 ＝ 5，2 ＝ b － 1，－ 5 ＝ c － 3，6 ＝ d 故得 a ＝ 7，b ＝ 3，c ＝－ 2，d ＝ 6。 設 f x ＝ax4＋6x3＋5x2＋ d x ＋ e ＋ 2 ，g x ＝b x3＋ c － 1 x2＋3x － 7， 若 f x ＝g x ，試求 a、b、c、d、e 的值。

例

題

例

題

解 將多項式 f x 中，指定一個實數 為不定元 x 的值，則所得的結果，稱 為多項式 f x 在 x ＝ 的值，以 f 來表示。 《註》 、 均為希臘字母， 唸作「alpha」， 唸作「beta」。字母 亦將在 本書中出現。 例：若 f x ＝x3－2 x ＋ 3，則多項式 f x 在 x＝ 2 的值為 f 2 ＝23－2 × 2 ＋ 3 ＝7 2-1.2

多項式的加法和減法

多項式的不定元在運算上具有與數一樣的性質，因此 a_ixi 與 b_ixi 的和就 規定為 a_i＋ b_i xi，要求兩個多項式的和，只要將同次項的係數相加即可。我 們可以依此規則定義多項式的加法： 設 f x ＝ a_nxn＋a_{n － 1}xn － 1 ＋…＋a₁x＋ a₀， g x ＝ b_mxm＋b_{m － 1}xm － 1＋…＋b₁x＋ b₀， 當 n  m 時： f x ＋g x ＝ a_nxn＋a_{n － 1}xn － 1＋…＋a_{m ＋ 1}xm ＋ 1＋ a_m＋ b_m xm＋… ＋ a₁＋b₁ x＋ a₀＋ b₀ 。 當 n ＜ m 時： f x ＋g x ＝ b_mxm＋b_{m － 1}xm － 1＋…＋b_{n ＋ 1}xn ＋ 1＋ a_n＋ b_n xn＋… ＋ a₁＋b₁ x＋ a₀＋ b₀ 。 設 f x ＝2 x3－3 x2_{＋ x ＋ 2，g x ＝3 x}4_{－ x}3_{＋5 x}2_{－ x ＋ 6，試求} f x ＋g x 。 f x ＋g x ＝ 2 x3－3 x2＋ x ＋ 2 ＋ 3 x4－ x3＋5 x2－ x ＋ 6 ＝3 x4＋ 2 － 1 x3＋ －3 ＋ 5 x2＋ 1 － 1 x＋ 2 ＋ 6 ＝3 x4＋ x3＋2 x2＋8

例

題

解 設 f x ＝3 x4－ x3＋6 x ＋ 7，g x ＝－ 4 x4＋5 x3－2 x2＋ x － 3， 試求 f x ＋g x 。 在例題5 的計算，若將不定元 x 略去，而僅列出其係數，同次項係數上、 下對齊，則可直式演算如下（稱為分離係數法）： 2 － 3 ＋ 1 ＋ 2 ＋）3 － 1 ＋ 5 － 1 ＋ 6 3 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 0 ＋ 8 …… 被加式 2 x3－3 x2＋ x ＋ 2 …… 加式 3 x4－ x3＋5 x2－ x ＋ 6 …… 和 3 x4_{＋ x}3_{＋2 x}2_＋8 利用分離係數法求多項式的和時，先將欲相加的兩個多項式都按降冪排 列，遇缺項以「0」補之。 將多項式 g x 的各項係數，經過變號後所得的多項式，記作 － g x 。 例：g x ＝2 x2－3 x ＋ 4，則 － g x ＝－ 2 x2＋3 x － 4。 因此，我們可以將多項式的減法定義為 f x －g x ＝f x ＋[－ g x ] 即 f x 與 g x 的差，等於 f x 與 － g x 的和。 設 f x ＝2 x3＋3 x2_{－4 x ＋ 5，g x ＝x}4_{－3 x}3_{＋2 x}2_{＋ x － 3，試求} f x －g x 。 f x －g x ＝ 2 x3＋3 x2－4 x ＋ 5 － x4－3 x3＋2 x2＋ x － 3 ＝ 2 x3＋3 x2－4 x ＋ 5 ＋ － x4＋3 x3－2 x2－ x ＋ 3 ＝－ x4＋ 2 ＋ 3 x3_{＋ 3 － 2 x}2_{＋ －4 － 1 x ＋ 5 ＋ 3} ＝－ x4＋5 x3＋ x2－5 x ＋ 8

例

題

小考箱

（ ） 設 f x ＝5 x4＋3 x2－6 x ＋ 3，g x ＝2 x － 7 x2＋5 － x4＋4 x3，試求 f x －g x 。 兩多項式相減，只要將兩多項式同次項的係數相減，即得兩多項式的差。 例題6 我們也可用直式演算如下（分離係數法）： 2 ＋ 3 － 4 ＋ 5 －）1 － 3 ＋ 2 ＋ 1 － 3 －1 ＋ 5 ＋ 1 － 5 ＋ 8 …… 被減式 2 x3＋3 x2－4 x ＋ 5 …… 減式 x4－3 x3＋2 x2＋ x － 3 …… 差 － x4＋5 x3_{＋ x}2_{－5 x ＋ 8} 2-1.3

多項式的乘法

設 f x ＝ a_nxn ＋a_{n － 1}xn － 1 ＋…＋a₂x2＋a₁x＋ a₀， g x ＝ b_mxm＋b_{m － 1}xm － 1＋…＋b₂x2＋b₁x＋ b₀， 則 f x 與 g x 的乘積以 f x × g x 表示，定義為 f x × g x ＝ a_nb_mxn ＋ m＋ a_{n － 1}b_m＋ a_nb_{m － 1} xn ＋ m － 1＋… ＋ a₀b₂＋ a₁b₁＋ a₂b₀ x2＋ a₀b₁＋ a₁b₀ x＋a₀b₀。 上式中 f x 稱為被乘式，而 g x 稱為乘式。 若 f x 、g x 均不為零多項式，則 deg [ f x × g x ＝ deg f x ＋ deg g x 。

若 f x 、g x 有一為零多項式，則 f x × g x ＝ 0。

f x × g x 的 k 次項係數為 a_kb₀＋a_{k － 1}b₁＋…＋a₁b_{k － 1}＋a₀b_k。

 2x3＋3x2－x ＋ 6 × 3x2＋5x － 3 的乘積中，x3 項的係數 為 6。

解 在求多項式的乘積時，實際運算上可利用乘法對加法的分配律，展開後， 再將同次項合併相加即得。 設 f x ＝2 x2＋3 x － 5，g x ＝3 x ＋ 4，試求 f x × g x 。 f x × g x ＝ 2 x2＋3 x － 5 × 3 x ＋ 4 ＝ 2 x2＋3 x － 5 × 3 x ＋ 2 x2＋3 x － 5 × 4 ＝2 x2×3 x ＋ 3 x × 3 x －5 × 3 x ＋ 2 x2×4 ＋ 3 x × 4 －5 × 4 ＝6 x3＋9 x2－15 x ＋ 8 x2＋12 x － 20 ＝6 x3_{＋ 9 ＋ 8 x}2_{＋ －15 ＋ 12 x － 20} ＝6 x3＋17 x2－3 x － 20 設 f x ＝2 x － 3，g x ＝x2＋5 x － 7，試求 f x × g x 。 在上例的演算，若用直式來寫，比較簡便： －5 4 9 x2_{－15 x} …… f x ×） 8 x2＋12 x － 20 3 x － 20 3 x 2 x2＋ ＋ 6 x3_＋ ＋ 6 x3＋17 x2－ 3 x …… g x …… 2 x2＋3 x － 5 × 3 x …… 2 x2＋3 x － 5 × 4 …… f x × g x 在多項式相乘的直式演算，也可利用分離係數法。

例

題

用分離係數法求多項式乘積的演算步驟： 將欲相乘的兩個多項式都按降冪排列，遇缺項以「0」補之。 依次列出其係數，開始演算，其過程與直式演算完全相同。 把乘得的結果逐項附以 x 的次方，其最高項的次數等於原來兩多 項式的次數和。 現在我們將例題7 以分離係數法演算如下： 5 3 ＋ ×） 3 － 20 9 － 15 8 ＋ 12 － 20 …… 2 ＋ 3 － 5 × 3 …… 2 ＋ 3 － 5 × 4 3 － 6 ＋ 6 ＋ 17 － 2 ＋ 4 因為原來兩多項式的次數和為 3，所以將所得結果逐項附上 x3、x2、x 得 f x × g x ＝6 x3＋17 x2－3 x － 20。 2-1.4

多項式的除法

給予二多項式 f x 、g x ，設 g x ≠ 0。我們把 f x 除以 g x （或稱 g x 除 f x ）用「f x g x 」來表示，其中 f x 稱為被除式，g x 稱為除式。現 在我們仿照數的除法，將多項式6 x3＋17 x2－3 x － 15 除以 3 x ＋ 4 逐項演算如下： 3 x ＋ 4 _{6 x}3_{＋17 x}2_{－3 x － 15} 8 x2 6 x3_＋ 9 x2－3 x － 15 －） 2 x2 ………6 x3 3 x ＝2 x2 2 x2_{× 3 x ＋ 4 ＝6 x}3_{＋8 x}2 ……… 3 x ＋ 4 _{6 x}3_{＋17 x}2_{－ 3 x － 15} 8 x2 6 x3＋ 9 x2_{－ 3 x － 15} 3 x ………9 x2 3 x ＝3 x 3 x× 3 x ＋ 4 ＝9 x2_{＋12 x} ……… 9 x2_{＋12 x} －） －15 x － 15 2 x2＋

3 x ＋ 4 _{6 x}3_{＋17 x}2_{－ 3 x － 15} 8 x2 6 x3＋ 9 x2－ 3 x － 15 －15 x 3 x ＝－5 ……… －5 × 3 x ＋ 4 ＝－15 x － 20 …… 9 x2_{＋12 x} －15 x － 15 －15 x － 20 －） 5 5 2 x2_{＋ 3 x －} 演算到此，因為 5 的次數比除式 3x ＋ 4 的次數低，所以就不用再繼續算下 去，5叫做 6x3＋17x2－3x － 15 除以 3x ＋ 4 的餘式，2 x2＋3 x － 5 叫做它的商式。 即 6 x3_{＋17 x}2_{－3 x － 15 3 x ＋ 4 ＝2 x}2_{＋3 x － 5……餘 5，} 或 6 x3＋17 x2－3 x － 15＝ 3 x ＋ 4 × 2 x2＋3 x － 5 ＋ 5。 上面的演算過程可以寫為 3 x ＋ 4 6 x3_{＋17 x}2_{－ 3 x － 15} 8 x2 6 x3_＋ 9 x2－ 3 x 9 x2＋12 x －15 x － 15 －15 x － 20 5 5 2 x2＋ 3 x － 若將 x 的次方省略不寫，則可得分離係數法的演算式如下： 3 ＋ 4 6 ＋ 17 － 3 － 15 8 6 ＋ 9 － 3 －15 － 15 －15 － 20 5 2 ＋ 3 － 9 ＋ 12

解 試求 x2－x ＋ 2 除 2 x4＋3 x3＋12 x － 3 的商式及餘式。 利用分離係數法（注意缺項補「0」） 1 － 1 ＋ 2 2 ＋ 3 ＋ 0 ＋ 12 － 3 2 － 2 ＋ 4 5 － 4 ＋ 12 1 ＋ 2 － 3 1 － 1 ＋ 2 3 － 5 2 ＋ 5 ＋ 1 5 － 5 ＋ 10 所求商式為2 x2＋5 x ＋ 1，餘式為 3 x － 5。 試求 6 x4－5 x3＋8 x2＋2 x － 4 2 x2－x ＋ 1 的商式及餘式。 設 f x 、g x 都不是零多項式： 當 deg f x  deg g x 時： 仿照例題8 的算法計算 f x g x ， 我們可以求得一商式 q x 及一餘式 r x ，即 f x ＝ g x × q x ＋ r x 。

其中 r x ＝ 0 或 deg r x ＜ deg g x ，且 deg q x ＝ deg f x － deg g x 。

例

解

當 deg f x ＜ deg g x 時：

f x g x 的商式 q x ＝ 0，餘式 r x ＝f x ，此時

f x ＝g x × q x ＋r x 仍舊成立，且 deg r x ＝ deg f x ＜ deg g x 。

f x ＝ 0 的時候，取q x ＝r x ＝ 0。因此，只要 g x 不是零多項式，則恆 可求得 q x 及 r x ，滿足 f x ＝g x × q x ＋r x 。 其中 r x ＝ 0 或 deg r x ＜ deg g x ，而且 q x 及 r x 都是唯一的，這就是多 項式的除法定理。

多項式除法定理

設 f x 、g x 為二多項式，且 g x 不為零多項式，則恰存在二多項 式 q x 及 r x 滿足 f x ＝g x × q x ＋r x ， 其中 r x ＝ 0 或 deg r x ＜ deg g x 。 已知多項式 f x 除以 x2－5 x＋ 6，得餘式 2 x ＋ 3，試求 f 3 的值。 設 f x 除以 x2－5 x ＋ 6 的商式為 q x 由多項式除法定理知： f x ＝ x2－5 x ＋ 6 × q x ＋ 2 x ＋ 3 則 f 3 ＝ 32－5 × 3 ＋ 6 × q 3 ＋ 2 × 3 ＋ 3 ＝0 × q 3 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 9 故得 f 3 的值為 9。 若多項式 f x 除以 x2＋x － 2 的餘式為 2 x ＋ 7，試求 f － 2 的值。

例

題

2-1.5

綜合除法

兩個多項式相除，若除式為一次多項式，且領導係數是 1 時，還有一種較 簡便的演算方式，那就是綜合除法。 先觀察 2x3－5x2－4 除以 x － 3 的長除法，利用分離係數演算如下： 1 － 3 2 － 5 ＋ 0 － 4 2 － 6 2 ＋ 1 ＋ 3 ……商式 1 ＋ 0 1 － 3 3 － 4 3 － 9 5 ……餘式 將上式過程中，與商式各項係數對應相同的數字省略，得 1 － 3 2 － 5 ＋ 0 － 4 －6 2 ＋ 1 ＋ 3 ＋0 －3 －4 －9 5 再將上式中，與被除式各項係數對應相同的數字省略，得 1－3 2 － 5 ＋ 0 － 4 －6 2 ＋ 1 ＋ 3 －3 －9 5 …… －3 × 2 ＝－ 6 …… －3 × 1 ＝－ 3 …… －3 × 3 ＝－ 9 除式 x 項係數 1 在運算中沒作用，省略

解 最後將數字 －3、－ 9 提升，得 －3 2 － 5 ＋ 0 － 4 －6 － 3 － 9 2 ＋ 1 ＋ 3 5 …… …… 將上面式減去式，把 －3 移至右上角，得 商式 2 － 5 ＋ 0 － 4 － －6 － 3 － 9 2 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 －3 餘式 在上式中第一列為被除式各項的係數，第三列為商式及餘式的各項係數，而第 二列的數字 － 6、－ 3、－ 9 就是除式的常數項分別乘以商式的各項係數 2、 1、3 所得。 若將除式的常數項變號，則上面演算式中的減法就變成加法。 商式 2 － 5 ＋ 0 － 4 ＋ ＋6 ＋ 3 ＋ 9 2 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 3 ……餘式 ×3 ×3 ×3 上面求商式及餘式的演算方法，就是所謂的綜合除法。 利用綜合除法，求 x － 2 除 x4＋ x3－2 x2＋5 的商式及餘式。 將被除式按降冪排列，取其係數，缺項補 0 1 ＋ 1 － 2 ＋ 0 ＋ 5 ＋2 ＋ 6 ＋ 8 ＋ 16 1 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 8 2 21 5 ＋ 16 ＝ 21 0 ＋ 8 ＝ 8 －2 ＋ 6 ＝ 4 1 ＋ 2 ＝ 3 故所得商式為 x3＋3 x2＋4 x ＋ 8，餘式為 21。

例

題

利用綜合除法，求 x ＋ 1 除 3 x4－2 x3＋4 x ＋ 3 的商式及餘式。 演算綜合除法時，被除式按降冪排列，取其係數，遇缺項則以 「0」補之。 除式 x － b，將 b 置於右上角位置，若除式為 x ＋ b，則可改寫 成 x － － b ，而將－ b 置於右上角位置。 書寫時，上下排列要對齊；運算時，上下數字相加。 如果除式為一次式，但領導係數不是 1 時，還是可以用綜合除法來演算。 例如：要求 2 x3－7 x2＋3 x 5 ÷ 2 x － 1 ，可假設所得商式為 q x ，餘式為 r x ，則 2 x3－7 x2＋3 x － 5 ＝ 2x － 1 ×q x ＋ r x ＝

(

x － 1₂

)

×[2q x ] ＋ r x 由上式可知：先利用綜合除法計算 2 x3－7 x2＋3 x － 5 ÷

(

x －1₂

)

，所得的商 式除以 2 就是 q x ，而所得的餘式就是所求餘式 r x 。 2 － 7 ＋ 3 － 5 ＋1 － 3 ＋ 0 2 1 2 －5 2 － 6 ＋ 0 1 － 3 ＋ 0 所以商式 q x ＝ 1_{2 2 x}2－6 x ＝ x2_{－3 x，餘式 r x ＝－ 5。} 以 ax － b（a ≠ 0）除多項式 f x ，其商式相當於以 x － b a 除 f x 所 得的商式再除以 a；餘式等於 x － b a 除 f x 的餘式。

小考箱

（ ） 解  已知多項式 f x 除以 x －1₃ 的商式為 3x2－6x ＋ 6，餘式為 －12，則 f x 3x － 1 的商式為 x2－2x ＋ 2，餘式為 － 4。 利用綜合除法，求 3 x － 2 除 12 x3－8 x2－21 x ＋ 6 的商式及餘式。 3x － 2 ＝3

(

x －2₃

)

12 － 8 － 21 ＋ 6 ＋8 ＋ 0 － 14 3 12 ＋ 0 － 21－ 8 2 3 4 ＋ 0 － 7 故得商式為 4 x2－7，餘式為－ 8。 利用綜合除法，求下列各題的商式及餘式： 2 x3_{－ x}2_{－7 x ＋ 15 ÷ 2 x － 3} 3x3－8 x2＋3 x ＋ 5 ÷ 3 x ＋ 1

例

題

習題

_2-1

 設 f x ＝ a － 2 x3＋ b ＋ 2 c x2＋ c － 1 x ＋ d ＋ 3 為零多項式，試 求 a、b、c、d 的值。  指出下列各多項式的次數，並依升冪及降冪分別重新排列： －2 x2－3 x＋ 4 x3－5 ＋ 6 x4 3 x3－2 x ＋ 7 x5－_{4 ＋ 32 x}2  求下列各題的 f x ＋ g x 及 f x － g x ： f x ＝ 2 x4－ x3－3 x ＋ 2，g x ＝－ x4＋3 x3＋2 x2－3 f x ＝ 5 x3＋2 x2－4，g x ＝ 3x4＋4 x2－ x ＋ 2  試用分離係數法求下列各式的積： 2 x3＋ x － 4 × x2＋3 x ＋ 5 x2＋ x － 2 × 3 x2＋5  試 求 2 x5_{＋3 x}4_{－2 x}3_{＋5 x}2_{－6 × － x}4_{＋4 x}3_{－ x}2_{＋2 x ＋ 3 乘 開} 後，x6 及 x4 項的係數。  試用分離係數法求下列各題的商式及餘式： 2 x ＋ 1 除 4 x3＋2 x2－6 x － 3 x2＋2 x ＋ 3 除 2 x4－4 x3＋3 x2＋2  已知3 x2_{＋2 x － 1 除多項式 f x ，得商式 x}2_{＋3，餘式 x － 2，試求 f x 。}  利用綜合除法，求下列各題的商式及餘式： x4－3 x2＋ x ＋ 2 ÷ x － 2 4 x4－2 x3－ x ＋ 3 ÷ 2 x ＋ 1

解

2-2

餘 式 與 因 式 定 理

2-2.1

餘式定理

利用綜合除法，求多項式 f x ＝ ax2＋ bx ＋ c 除以 x － 的餘式，可以演 算如下： a ＋ a a ＋ a 2＋ b ＋ c b ＋ c a ＋ b a 2＋ b ＋ 我們發覺所得餘式 a 2＋ b ＋ c，恰好等於多項式 f x 在 x ＝ 的值，即 f ＝ a 2＋ b ＋ c。現在把這樣的結果推廣到一般的多項式 f x 。

餘式定理

多項式 f x 除以 x －a，餘式為 f a 。 【說明】設 f x 除以 x － a 所得商式為 q x ，餘式為 r，則 f x ＝ x － a ×q x ＋ r（r 為常數多項式）。 以 x ＝ a 代入上式，得 f a ＝ a a × q a ＋ r ＝ r 即餘式 r ＝ f a 。 同理，可推得多項式 f x 除以 ax － b（a ≠ 0）的餘式為 f

(

b a

)

。 試求 f x ＝ x10－2 x3_{＋5 被 x －1 除的餘式。} 由餘式定理得知 所求餘式為 f 1 ＝110_{－2 ×1}3_{＋5 ＝ 4}

例

題

解

小考箱

（ ） 解 試求 2 x3－3 x2＋ x － 5 ÷ x － 2 的餘式。 試求 2 x3_{＋3 x}2_{＋ x ＋ 4} 5_{÷ x ＋ 2 的餘式。} 令 f x ＝ 2 x3＋3 x2＋ x ＋ 4 5 視 x ＋ 2 為 x － － 2 則由餘式定理得知 所求餘式為 f －2 ＝[2 －2 3＋3 －2 2＋ －2 ＋4]5 ＝ －2 5＝－32。 試求 x99－2 x60＋3 x45－4 x ＋ 3 ÷ x ＋ 1 的餘式。  多項式 f x 除以 3x ＋ 2 的餘式為 f

(

_{－ 23}

)

。 設 f x ＝ x5－9 x4_{＋10 x}3_{－18 x}2_{＋20 x － 72，試求 f 8 的值。} 若直接以 x ＝ 8 代入 f x 求 f 8 ，則數字較大，計算不易。 但因餘式定理告訴我們 f 8 就是 f x 除以 x － 8 的餘式 1 － 9 ＋ 10 － 18 ＋ 20 － 72 ＋8 － 8 ＋ 16 － 16 ＋ 32 1 － 1 ＋ 2 － 2 ＋ 4 8 －40 利用綜合除法求此餘式 得其值為 －40 即 f 8 ＝－ 40。

例

題

例

題

解 設 f x 為一多項式，則 f a 就是多項式 f x 除以 x － a 的餘 式。 設 f x ＝ 123 x4＋469 x3_{＋269 x}2_{－83 x ＋ 130，試求 f － 3 的值。} 多項式 f x ，以 x － 2 除的餘式為 5，以 x ＋ 1 除的餘式為 － 7，試求 多項式 f x 除以 x － 2 x ＋ 1 的餘式。 設 f x 除以 x － 2 x ＋ 1 所得商式為 q x ，餘式 r x ＝ ax ＋ b 則 f x ＝ x － 2 x ＋ 1 × q x ＋ ax ＋ b 由餘式定理及已知條件知： f 2 ＝ 5 即 2 － 2 2 ＋ 1 × q 2 ＋ a × 2 ＋ b ＝ 5 整理得 2 a ＋ b ＝ 5…… 又 f － 1 ＝－ 7 即 －1 － 2 － 1 ＋ 1 × q － 1 ＋ a × － 1 ＋ b ＝－ 7 整理得 － a ＋ b ＝－ 7…… 由 － 得 3 a ＝ 12，即 a ＝ 4 以 a ＝ 4 代入 得 b ＝－ 3 故所求餘式為 4 x － 3。

例

題

多 項 式 f x ，以 x ＋ 2、x － 1 除 之，餘 式 分 別 為 － 1 及 5，試 求 x － 1 x ＋ 2 除 f x 的餘式。 2-2.2

因式定理

設 f x 、g x 為二多項式，且 g x ≠ 0，則由多項式的除法定理知： 恰有二多項式 q x 及 r x 使下式成立： f x ＝ g x × q x ＋ r x ， 其中 r x ＝ 0 或 r x ＜ g x 。 當 r x ＝ 0 時，即 f x ＝ g x × q x ，我們稱 g x 為 f x 的因式，或稱 f x 為 g x 的倍式。 例：x2－5 x ＋ 6＝ x － 2 x － 3 ，所 以 x － 2、x － 3 都 是 x2－5 x ＋ 6 的 因 式。 例：x3－4 x＝ x x ＋ 2 x － 2 ，則 x、x ＋ 2、x － 2、x x ＋ 2 、x x － 2 及 x ＋ 2 x － 2 都是 x3－4 x 的因式。 由餘式定理知：多項式 f x 除以 x － a 的餘式為 f a ，所以當 f a ＝ 0 時，f x 就可以被 x － a 整除，即 x － a 是 f x 的因式。反之，當 x － a 是 f x 的因式時，則 f x 可以表示為 f x ＝ x － a ×q x 所以 f x 除以 x － a 的餘式 f a ＝ 0。

小考箱

（ ） 解 綜合上述的討論，我們可以得到結論如下：

因式定理

x －a 是多項式 f x 的因式 f a ＝0。 將因式定理中的 x － a 改換成一般的一次多項式 ax － b，則因 f x 除以 ax － b 的餘式為 f

(

b a

)

，所以因式定理可以推廣為

公

式

設 a ≠ 0，ax － b 是多項式 f x 的因式 f

(

b a

)

＝0。  設 f x 為 x 的多項式，若 f

(

3₂

)

＝ 0，則 f x 必有 2x ＋ 3 的因式。 試判別下列各式何者為 f x ＝ x4－2 x2－3 x － 2 的因式？ x － 1 x ＋ 1 x － 2 x ＋ 2 f x ＝ x4－2 x2－3 x － 2，則 f 1 ＝ 14－2×12－3×1 － 2 ＝－ 6 ≠ 0 f －1 ＝ －1 4－2 － 1 2－3 － 1 － 2 ＝0 f 2 ＝24－2×22－3 × 2 － 2 ＝0 f － 2 ＝ － 2 4－2 － 2 2－3 － 2 － 2 ＝ 12 ≠ 0 由因式定理知：x＋1、x －2 均為 f x 的因式。

例

題

解 解 試判別下列各式何者為 f x ＝ 2 x4＋5 x3＋3 x2＋ x － 2 的因式？ x ＋ 1 x － 1 x ＋ 2 2 x － 1 已知 x － 3 為 f x ＝ x3＋ kx2＋11 x ＋ k 的因式，試求 k 值。 因為 x － 3 為 f x 的因式 f 3 ＝ 0 即 33＋ k×32＋11×3 ＋ k ＝ 0 27 ＋ 9 k ＋ 33 ＋ k ＝ 0 10 k ＝－ 60 故得 k ＝－ 6。 若 x ＋ 2 為 f x ＝ x3－ ax2－10 x － 4 的因式，試求 a 值。 若 x2－2 x － 3 為 f x ＝ ax3－8 x2－5 x ＋ b 的因式，試求 a、b 的值。 因為 x2_{－ 2 x － 3＝ x － 3 x ＋ 1} 即 x － 3、x ＋ 1 均為 f x 的因式 因此：f 3 ＝ 0，f － 1 ＝ 0 以上兩式可表為聯立方程式 a×33－8×32－5×3 ＋ b ＝ 0 a× － 1 3－8× － 1 2－5× － 1 ＋ b ＝ 0

例

題

例

題

整理得 27 a ＋ b ＝ 87…… － a ＋ b ＝ 3 …… 由 － 得 28 a ＝ 84，即 a ＝ 3 a ＝ 3 代入 得 b ＝ 6 所以 a ＝ 3，b ＝ 6。 設 a ≠ b，若 x － a x － b 為多項式 f x 的因式，則 f a ＝ f b ＝ 0。 若 x2－ x － 2 為多項式 f x ＝ x4－4 x3＋2 x2＋ px ＋ q 的因式，試求 p、q 的值。 當 多 項 式 f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋ a₀ 的 各 項 係 數 a_n、 a_{n － 1}、…、a₁、a₀ 均為整數時，我們稱 f x 為整係數多項式。 現在讓我們來探討一下，是否有較簡便的方法可以驗知：一整係數多項式 f x 有沒有整係數的一次因式？觀察下面的事實： 設 f x 為兩多項式 g x ＝ 5 x ＋ 2 與 h x ＝ 3 x2－ x ＋ 7 的乘積，即 f x ＝ g x ×h x ＝ 5x ＋2 3x2－ x ＋7 ＝15x3＋ x2＋33 x ＋14 從上面的式子可以發現 f x 的最高次項係數 15 是 g x 與 h x 的最高次 項係數 5 和 3 的乘積；又 f x 的常數項 14 是 g x 與 h x 的常數項 2 和 7 的乘積。換句話說，一次式 5 x ＋ 2 為 f x 的因式，它的領導係數 5 就是 f x 的領導係數 15 的因數，它的常數項 2 就是 f x 的常數項 14 的因數。

小考箱

（ ） 解 我們將這事實推廣應用到一般的整係數 n 次多項式，可以得到下面的定理。

整係數一次因式檢驗法

設 f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋ a₀ 是一個整係數 n 次多項 式，若整係數一次式 ax － b 為 f x 的因式，且 a、b 互質，則 a 為 a_n 的因數且 b 為 a₀ 的因數。  設多項式 f x ＝ 10x3＋mx2＋nx ＋ 3（其中 m、n 為整數）， 則 5x － 2 不可能是 f x 的因式。 設 －2 x ＋ 3 為多項式 f x 的因式，則因 f x ＝ － 2 x ＋ 3 ×q x ＝－ 2 x － 3 ×q x 故得 2 x － 3 亦為 f x 的因式。 因此我們求 f x 的一次因式 ax － b 時，通常假設 a 為正數。 在驗證一個一次式 ax － b 是否為 f x 的因式時，除了可以利用因式定理 外，亦可以用綜合除法來試除。 試求 f x ＝ 3 x3－17 x2＋9 x ＋ 5 的整係數一次因式。 設 ax － b 為 f x 的整係數一次因式，且 a、b 互質 則由整係數多項式一次因式檢驗法得知： a 為 3 的因數且 b 為 5 的因數 即 a ＝ 1、3，b ＝ 1、 5 因此，ax － b 的可能組合為 x ＋ 1，x － 1，x ＋ 5，x － 5，3 x ＋ 1，3 x － 1，3 x ＋ 5，3 x － 5

例

題

因為 f 1 ＝ 3 － 17 ＋ 9 ＋ 5 ＝ 0 3 － 17 ＋ 9 ＋ 5 ＋ 3 － 14 － 5 3 － 14 － 5 1 0 所以 f x 有一次因式 x － 1 運用綜合除法可得： f x ＝ x － 1 3 x2－14 x － 5 再運用十字交乘法，得 3 x2－14 x － 5＝ x － 5 3 x ＋ 1 即 f x ＝ x － 1 x － 5 3 x ＋ 1 所以 f x 的整係數一次因式有 x － 1、x － 5 及 3 x ＋ 1。 試求 f x ＝ 6 x3－ x2－4 x － 1 的整係數一次因式。 2-2.3

最高公因式與最低公倍式

在國中時，我們學過利用提公因式法、十字交乘、乘法公式做因式分解， 而國中所學過的乘法公式有平方差公式、和的平方公式、差的平方公式。

乘法公式

平方差公式：a2－ b2＝ a ＋ b a － b 和的平方公式：a2＋2ab ＋ b2＝ a＋b 2 差的平方公式：a2－2ab ＋ b2_{＝ a－b} 2

解 現在，我們進一步推廣利用立方和公式、立方差公式、和的立方公式、差 的立方公式來解決因式分解的問題。利用多項式的乘法運算： a ＋ b a2－ ab ＋ b2 ＝ a a2－ ab ＋ b2 ＋ b a2－ ab ＋ b2 ＝ a3－ a2b＋ ab2＋ a2b － ab2＋ b3＝ a3＋ b3， a － b a2＋ ab ＋ b2 ＝ a a2＋ ab ＋ b2 － b a2＋ ab ＋ b2 ＝ a3＋ a2b＋ ab2－ a2b－ ab2－ b3＝ a3－ b3。 故可得

乘法公式

立方和公式：a3＋b3＝ a＋b a2－ab ＋ b2 立方差公式：a3－b3＝ a－b a2＋ab ＋ b2 因式分解下列各式： 27 x3＋8 x6－64 27 x3＋8 ＝ 3 x 3＋23＝ 3 x ＋ 2 [ 3 x 2－ 3 x ×2 ＋ 22] a3 _{＋ b}3 _{a ＋ b a}2 _{－ ab ＋ b}2 ＝ 3 x ＋ 2 9 x2－6 x ＋ 4 x6－64 ＝ x3 2－82＝ x3＋8 x3－8 a2 _{－ b}2 _{a ＋ b a － b} ＝ x3＋23 x3－23 a3＋ b3 a3－ b3 ＝ x ＋ 2 x2－2 x ＋ 4 x － 2 x2＋2 x ＋ 4 a ＋ b a2_{－ ab ＋b}2 _{a － b a}2_{＋ ab ＋b}2 ＝ x ＋ 2 x － 2 x2－2 x ＋ 4 x2＋2 x ＋ 4

例

題

因式分解下列各式： 8 x3＋125 a ＋ b 3－1 《提示》 a ＋ b 3－1＝ a ＋ b 3－13 ＝ a ＋ b － 1 a ＋ b 2＋ a ＋ b ×1 ＋ 12] 又由 a ＋ b 3＝ a ＋ b a ＋ b 2 ＝ a ＋ b a2＋2ab ＋ b2 ＝ a a2＋2ab ＋ b2 ＋ b a2＋2ab ＋ b2 ＝ a3＋2a2 b ＋ab2＋ a2b＋ 2 ab2＋ b3 ＝ a3＋3 a2b＋ 3 ab2＋b3。 a － b 3＝ a － b a － b 2 ＝ a － b a2－2ab ＋ b2 ＝ a a2－2 ab ＋ b2 － b a2－2ab ＋ b2 ＝ a3－2a2 b＋ ab2－ a2b＋ 2ab2－ b3 ＝ a3－3 a2b＋ 3 ab2－ b3。 故可得

乘法公式

和的立方公式：a3＋3a2b＋3 ab2＋b3＝ a＋b 3 差的立方公式：a3－3 a2b＋3 ab2－b3＝ a－b 3

解 因式分解：8 x3＋12 x2＋6 x ＋ 1 8 x3＋12 x2＋6 x ＋ 1 ＝ 2x 3＋3× 2 x 2×1 ＋ 3× 2 x ×12＋13 a3 ＋ 3a2b ＋ 3ab2 ＋ b3 ＝ 2 x ＋ 1 3 a ＋ b 3 因式分解：x3－6 x2＋12 x － 8 兩個多項式 f x 與 g x 的共同因式，稱為 f x 與 g x 的公因式。公因 式中次數最高的叫做 f x 與 g x 的最高公因式，簡稱 。同樣地，f x 與 g x 的共同倍式，稱為 f x 與 g x 的公倍式，公倍式中次數最低的叫做 f x 與 g x 的最低公倍式，簡稱 。如果 f x 與 g x 除了常數因式外，沒有 其他的公因式，就稱 f x 與 g x 互質。 設多項式 f x ＝ x － 1 x ＋ 2 x － 4 ， g x ＝ x － 1 x ＋ 2 x2＋ x ＋ 1 ， 則 x － 1、x ＋ 2、 x － 1 x ＋ 2 均 為 f x 與 g x 的 公 因 式。又 x － 4 與 x2＋ x ＋ 1 互質，所以多項式 d x ＝ x － 1 x ＋ 2 為 f x 與 g x 的一個最 高公因式。多項式 m x ＝ x － 1 x ＋ 2 x － 4 x2＋ x ＋ 1 是 f x 與 g x 的 一個最低公倍式。 在求多項式的最高公因式或最低公倍式時，通常不考慮其常數因式。

例

題

解 解 試求多項式 f x ＝ 2 x ＋ 1 2 x － 3 4 x2＋ x － 1 與 g x ＝ x ＋ 1 3 x － 3 x ＋ 4 的最高公因式與最低公倍式。 因為 x2＋ x － 1 與 x ＋ 1、x － 3、x ＋ 4 互質，所以 最高公因式為 d x ＝ x ＋ 1 2 x － 3 最低公倍式為 m x ＝ x ＋ 1 3 x － 3 4 x ＋ 4 x2＋ x － 1 。 試求多項式 f x ＝ x － 2 3 x ＋ 3 3 x － 4 2 與 g x ＝ 3 x － 1 2 x － 2 4 x ＋ 3 2 的最高公因式與最低公倍式。 試求多項式 f x ＝ x2＋2 x － 3 與 g x ＝ 3 x3－2 x2－7 x ＋ 6 的最高公 因式與最低公倍式。 利用十字交乘分解法可將 f x 表為 f x ＝ x － 1 x ＋ 3 又 g 1 ＝ 0，g － 3 ≠ 0 故知 g x 有 x － 1 的因式，但沒有 x ＋ 3 的因式 所以 f x 與 g x 的最高公因式為 d x ＝ x － 1 3 － 2 － 7 ＋ 6 ＋3 ＋ 1 － 6 3 ＋ 1 － 6 1 0 再用綜合除法，得 g x ＝ x － 1 3 x2＋ x － 6 所以 f x 與 g x 的最低公倍式為 m x ＝ x － 1 x ＋ 3 3 x2＋ x － 6 。 試求多項式 f x ＝ x3－1 與 g x ＝ x3＋2 x2－ x － 2 的最高公因式與 最低公倍式。

例

題

例

題

習題

_2-2

 試求下列各題的餘式： x ＋ 1 除 f x ＝ 2 x4－7 x3－8 x2＋3 x － 6 3 x － 1 除 f x ＝ 27 x3_{＋18 x}2_{－6 x ＋ 5}  以 x ＋ 1 除 f x ＝ ax6＋ x － 1 及 g x ＝ 2 x3－3 ax － 4，所 得 餘 式 相 同，試求 a 值。  f x ＝ 15 x4－71 x3＋42 x2－10 x ＋ 4，試求 f 5 的值。 f x ＝ 3 x5－2 x4_{＋6 x}2_{＋5 x ＋ 4，試求 f}

(

2 3

)

的值。  多項式 f x 以 x － 1 除的餘式為 7，以 x ＋ 2 除的餘式為 － 5，試求 f x 除以 x － 1 x ＋ 2 的餘式。  已知 x ＋ 3 為 f x ＝ kx3＋ x2－5 kx ＋ 27 的因式，試求 k 值。  多項式 f x ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ 4 可被 x ＋ 1 整除，又以 x ＋ 2 除之餘 6，試求 a、b 的值。  試求下列各題的整係數一次因式： f x ＝ x3－6 x2＋11 x － 6 f x ＝ 2 x3－5 x2－4 x ＋ 3  試求多項式 f x ＝ x4－16 與 g x ＝ x3－ x2＋4 x － 4 的最高公因式與 最低公倍式。

2-3

分 式 與 根 式 的 運 算

2-3.1

分式的運算

在國中時，我們學過分數的運算，在此我們要探討分式的四則運算。首先 定義分式：

定

義

設 A、B 為二多項式且 B 不為零多項式，則形如 A B 的式子稱為 分式，其中 A 稱為此分式的分子，B 稱為分母。 多項式與分式合稱有理式。 分式依其分子、分母次數的大小，可分為： 真分式：分子的次數小於分母的次數。 例如： 3 x － 2，2 x －1 x2＋4。 假分式：分子的次數不小於分母的次數。 例如：x 4_{＋ x}2_＋1 x2＋ x ＋ 3，x ＋4 x － 3。 帶分式：多項式與真分式用「＋」或「－」號連結成的式子。 例如：x ＋ 3 x － 2，x 2_{＋3 － 2 x} x2＋1。 假分式經由多項式的除法運算，可化成一個多項式或帶分式。

現在，我們將兩個分式相等定義如下：

分式相等

設 A B、 CD 為兩個分式，若 AD ＝ BC，則稱此兩分式相等，記作 A B ＝ CD 例如： x － 1 x2－4 x ＋ 3＝ x ＋ 2 x2－ x － 6。 分式的性質與分數非常類似，在做四則運算時，常會利用到約分、擴分與 通分的手續，茲分別介紹說明如下： 約分：將一個分式的分子、分母同除以其公因式，稱為約分。當一個分 式的分子與分母互質時，這個分式稱為最簡分式。 例如：x 2_{－5 x ＋ 6} x3－8 ＝ x － 2 x － 3 x － 2 x2＋2 x ＋ 4 （分子、分母同除以 x － 2） ＝ x － 3 x2＋2 x ＋ 4。 擴分：將一個分式的分子、分母同乘以一個非零的多項式，稱為擴分。 例如： x－1 x2＋2＝ x －1 x ＋ 1 x2＋2 x ＋ 1 ＝ x2－1 x3＋ x2＋2 x ＋ 2。 一個分式經過約分或擴分後，所得的分式與原來的分式相等。 通分：利用擴分，將幾個分式化成為分母相同的分式，這種手續稱為通 分。一般我們取各分式分母的最低公倍式，做為通分後的新分母。

解 例如： x ＋ 3 x － 1 x － 2 ， x ＋ 1 x － 2 x － 3 ， x ＋ 2 x － 1 x － 3 三個分式分母的 ＝ x － 1 x － 2 x － 3 ，故以此為通分後的 新分母。 x ＋ 3 x － 1 x － 2 ＝ x ＋ 3 x － 3 x － 1 x － 2 x － 3 ＝ x2－9 x － 1 x － 2 x － 3 。 x ＋ 1 x － 2 x － 3 ＝ x ＋ 1 x － 1 x － 2 x － 3 x － 1 ＝ x2－1 x － 1 x － 2 x － 3 。 x ＋ 2 x － 1 x － 3 ＝ x ＋ 2 x － 2 x － 1 x － 3 x － 2 ＝ x2－4 x － 1 x － 2 x － 3 。 現在我們將分式的四則運算定義如下：

分式的四則運算

設 A、B、C、D 為多項式，且 BD ≠ 0，則 A B  CB＝A  C B A B  CD＝AD  BC BD A B× CD＝ ACBD A B÷ CD＝ AB× DC＝ ADBC（其中 C ≠ 0） 在做分式的加、減運算時，通常先利用通分化成相同的分母，再將各分式 的分子相加、減即得。 試計算下列各式： 1 x ＋ 1＋ 2 x x2－1 x ＋ 4 x2－2 x－ 3 x2－3 x ＋ 2 1 x ＋ 1＋ 2 x x2－1＝ x － 1 x ＋ 1 x － 1 ＋ 2 x x ＋ 1 x － 1 ＝ x－1 ＋ 2 x x ＋ 1 x － 1 ＝3 x －1 x2－1

例

題

解 x ＋ 4 x2－2 x－ 3 x2－3 x ＋ 2 ＝ x＋4 x x － 2 － 3 x － 1 x － 2 ＝ x＋4 x － 1 － 3 x x x － 1 x － 2 ＝ x2－4 x x － 1 x － 2 ＝ x＋2 x － 2 x x － 1 x － 2 ＝ x ＋2 x x － 1 試計算下列各式： 2 x ＋ 2－ 1 2 x ＋ 1 _xx － 62_－9＋ x － 1 x2－2 x － 3 在做分式的乘法運算時，只要將各分式的分子相乘，各分式的分母相乘即 得。做分式的除法運算時，只要將除式的分式顛倒，再與被除式相乘即得。 試計算下列各式： x 2_{＋2 x} x2－49× x －7 x ＋ 2 x2－4 x2－2 x － 3÷ x －2 x ＋ 1 x2＋2 x x2－49× x －7 x ＋ 2＝ x2＋2 x x － 7 x2－49 x ＋ 2 ＝ x x ＋ 2 x － 7 x ＋ 7 x － 7 x ＋ 2 ＝ x x ＋ 7 x2－4 x2－2 x － 3÷ x － 2 x ＋ 1＝ x ＋2 x － 2 x ＋ 1 x － 3 × x ＋ 1 x － 2 ＝ x＋2 x － 2 x ＋ 1 x ＋ 1 x － 3 x － 2 ＝x ＋2 x － 3

例

題

解 試計算下列各式： x － 3 x2－ x － 2× x ＋ 1 x2－4 x ＋ 3 2 x － 1 x2－2 x ＋ 1÷ 4 x2_－1 x2－5 x ＋ 4 當一個真分式的分母能分解成幾個質因式的乘積時，我們可以將此真分式 化為數個以這些質因式為分母的真分式之和，而這幾個真分式就是原真分式的 部分分式，限於篇幅，我們不做進一步的探討，僅以例題3、例題 4 呈現如下。 設 a、b 為常數，若 _{3 x － 2 x ＋ 1}6 x － 14 ＝ a 3 x － 2＋x ＋ 1b ，試求 a、b 的值。 6 x － 14 3 x － 2 x ＋ 1 ＝3 x － 2a ＋x ＋ 1b 將上式右端通分後，兩端分母相同 故分子也必須為相等的多項式，即 6 x － 14 ＝ a x ＋ 1 ＋ b 3 x － 2 整理得 6 x － 14＝ a ＋ 3 b x ＋ a － 2 b 故得 a ＋ 3 b ＝ 6 ……… a － 2 b ＝－ 14…… 由 － 得 5 b ＝ 20 b ＝ 4 b ＝ 4 代入 得 a ＝－6 所以 a ＝－ 6，b ＝ 4。 設 a、b 為常數，若 2 x － 5 x － 1 x － 2 ＝ a x － 1＋ b x － 2，試求 a、b 的值。

例

題

解 設 a、b、c 為 常 數，若 5x － 4 x ＋ 1 x2－ x ＋ 1 ＝ a x ＋ 1＋ bx ＋ c x2－ x ＋ 1，試 求 a、b、c 的值。 5x － 4 x ＋ 1 x2－ x ＋ 1 ＝ a x ＋ 1＋ bx ＋ c x2－ x ＋ 1 將上式右端通分後，兩端分母相同 故分子也必須為相等的多項式，即 5x － 4 ＝ a x2－x ＋ 1 ＋( bx ＋ c x ＋ 1 x ＝－ 1 代入得 － 9 ＝ 3a，即 a ＝－ 3 比較等號兩邊 x2 項係數得 0 ＝ a ＋ b，即 b ＝ 3 比較等號兩邊常數項得 －4 ＝ a ＋ c，即 c ＝－ 1 所以 a ＝－ 3，b ＝ 3，c ＝－ 1。 設 a、b、c 為常數，若 3x － 7 x － 1 x2＋1 ＝ ax － 1＋bx ＋ c x2＋1，試求 a、b、 c 的值。 2-3.2

根式的運算

設 a 為實數，n 為大於 1 的正整數，則滿足 xn_{＝ a 的數 x 稱為} a 的 n 次 方根，二次方根又稱平方根，三次方根又稱立方根。 當 a ＞ 0 時，恰 有 一 正 數 x 滿 足 xn_{＝ a，以} n a 表 示 此 唯 一 的 正 數。當 a ＜ 0 時，若 n 為奇數，則恰有一負數 x 滿足 xn＝ a，同樣以 na 來表示此唯 一的負數；若 n 為偶數，則沒有任何實數 x 滿足 xn_{＝ a。當 a ＝ 0 時，0 是 0} 的唯一 n 次方根，可以寫成 n_{0＝ 0。}

例

題

小考箱

（ ） 例如： 25＝ 5，－ 25＝－ 5 都是 25 的平方根。 4_7，－4_{7 都是 7 的四次方根。} 3_{－27＝－ 3 是 － 27 的一個立方根。} 5_{3 是 3 的一個五次方根。} 設 n 為大於 1 的正奇數，a 為實數，則 a 有唯一的實數 n 次方 根 n a。 設 n 為正偶數，當 a ＞ 0 時，a 有兩個實數 n 次方根，即 n a 與 －n a；當 a ＜ 0 時，na 不存在，只當 a  0，na 才有意義。  －8 的立方根為 － 2，但 － 4 的平方根則無意義。 在符號 n a 中，n 稱為根號，其中 a 稱為被開方數，n 稱為根指數。一 般 而 言，帶 有 根 號 的 代 數 式 稱 為根 式。例 如：310，a b， x ＋ 1，4x， a ＋ b，x － 2 ＋3x2＋1，…等等都是根式。 在國中時，我們已經學過平方根的運算法則，現在我們把它推廣到 n 次方 根的運算法則。

根式的運算法則

設 a、b 為實數且 b ≠ 0，m、n 為大於 1 的正整數（當 n 為偶數時， 必須限制 a、b 為正數），則 n a＝mnam m n a＝mna n a×nb＝nab n a÷nb＝ n a n b＝ n a b

解 化簡下列各題： 3_{12 ×} 3_{－9 ÷} 3₄ 4_{75 × 6 ÷} 4₁₀₈ 3_{12 ×} 3_{－9 ÷} 3₄ ＝312 × － 9 ÷ 34＝3－108 ÷ 34 ＝ 3 －108 4 ＝3－27＝ 3 －3 3＝－3 4_{75 × 6 ÷} 4₁₀₈ ＝475 × 462_÷ 4_108＝ 4 75 × 62 108 ＝425＝ 452＝ 5 化簡下列各題： 3_{18 ÷} 3_{45 ×} 3₂₅ 4_{63 ÷ 7 ×} 4₂₈ 高職學生所使用到的根式運算以平方根、立方根的運算為主。接著，我們 要介紹說明最簡根式、同類根式以及根式的有理化因式。 最簡根式：若在根式 n A 中，A 的因式無法移到根號外，且根指數也無 法再化小，則稱此根式為最簡根式。 例如：32、3 4 x ＋ 1 3（其中 x － 1）、23 x2y、－ x xy（其中 xy  0） 都是最簡根式。 3 x4y5＝ 3 xy 3×xy2＝ xy 3 xy2、69＝ 6 32＝33， 所以 3 x4y5，69 都不是最簡根式。 同類根式：在一些最簡根式中，被開方數與根指數都相同的，稱為同類 根式。 例如：－4 2、3 2、 1₂ 2 為同類根式。 3 3 x2y、2y 3 x2y、－ x2 3x2y 為同類根式。

例

題

解 同類根式，才可以經由加、減運算合併。 例如：2 3＋ 5 3－ 4 3＝ 2 ＋ 5 － 4 3＝ 3 3， x3x＋ 2y3x－ 33x＝ x ＋ 2 y － 3 3x。 有理化因式：當兩個根式的乘積為有理式時，這兩個根式互稱為有理化 因式。 例如： 設 a、b 為正數，則 a＋ b a－ b ＝ a 2－ b 2＝ a － b（利用平方差公式） 所以 a＋ b 與 a－ b 互為有理化因式。 3 x－ 1 3x2＋3x＋ 1 ＝ 3x 3－13＝ x － 1（利用立方差公式） 所以 3x－ 1 與 3x2＋3x＋ 1 互為有理化因式。 試分別求出下列各根式的有理化因式： 2 3－ 2 a － b（其中 b  0） 33＋ 1 （利用平方差公式） 因為 2 3－ 2 2 3＋ 2 ＝ 2 3 2－ 2 2 ＝12 － 2 ＝ 10 所以 2 3－ 2 的有理化因式為 2 3＋ 2。 （利用平方差公式） 因為 a － b a ＋ b ＝ a2－ b 2＝ a2－ b 所以 a － b 的有理化因式為 a ＋ b。 （利用立方和公式） 因為 33＋ 1 39－33＋ 1 ＝ 33 3＋13 ＝3 ＋ 1 ＝ 4 所以 33＋ 1 的有理化因式為 39－33＋ 1。

例

題

解

試分別求出下列各根式的有理化因式：

a x－ b y（其中 x ＞ 0，y ＞ 0） 3a＋3b

化簡下列各式： 8＋ 344－68＋ 98 1 ＋ 2－ 3 1 － 2＋ 3 原式＝ 22×2＋ 3 2×2 22－2×3 23＋ 72×2 ＝2 2＋ 3 2－ 2＋ 7 2 ＝ 2 ＋ 3 － 1 ＋ 7 2 ＝11 2 原式＝[1 ＋ 2－ 3 ][1 － 2－ 3 ] ＝12－ 2－ 3 2 ＝1 －[ 2 2－2 2 3 ＋ 3 2] ＝1 － 2 ＋ 2 6－ 3 ＝－4 ＋ 2 6 化簡下列各式： 72＋ 75－ 50－ 108 4 － 7 2－8 4 － 7

例

題

解 在根式的運算中，將分母化成不帶根號的過程，稱為根式有理化（或稱 分母有理化），通常利用擴分，將分子、分母同乘以分母的有理化因式。 將下列各式的分母有理化： 5－ 2 5＋ 2 x － 4 x－ 2（其中 x  0 且 x ≠ 4） 5－ 2 5＋ 2＝ 5－ 2 5－ 2 5＋ 2 5－ 2 ＝ 5 2 －2× 5×2 ＋ 22 5 2－22 ＝9 － 4 5 x － 4 x－ 2＝ x － 4 x＋ 2 x－ 2 x＋ 2 ＝ x － 4 x＋ 2 x 2－22 ＝ x＋ 2 將下列各式的分母有理化： 6＋ 3 6－ 3 x ＋ 1 3 x ＋ 2＋ x（其中 x  0）

例

題

解 接著，我們要討論雙重根式的化簡。設 A、B 為正數且 B 為無理數，若 A  2 B＝ x y（其中 x ＞ y ＞ 0 且等號兩邊的同順序）， 將等號兩邊平方得 A  2 B＝ x  2 xy＋ y， 即 A ＝ x ＋ y 且 B ＝ xy。 因此，我們可得結論如下：

雙重根式之化簡

設 x ＞ y ＞ 0，則 x ＋ y  2 xy＝ x y。 化簡下列各式： 7 － 2 12 9 ＋ 4 5 7 － 2 12＝ 4 ＋ 3 － 2 4×3 ＝ 4－ 3＝ 2 － 3 9 ＋ 4 5＝ 9 ＋ 2 22×5 ＝ 5 ＋ 4 ＋ 2 5×4 ＝ 5＋ 4＝ 2 ＋ 5 化簡下列各式： 8 ＋ 2 15 14 － 6 5

例

題

習題

_2-3

 試計算下列各式： 4 x2－4 x＋ 4 x2＋4 x 1 2 x2_{－5 x ＋ 3}－ 1 2 x2_{－ x － 3}  試計算下列各式： 6 x ＋ 6 x2－4× x3－8 2 x2＋2 x 4 x ＋ 6 x2＋2 x － 3÷ 4 x2_－9 x2－3 x ＋ 2× 2 x2_{＋3 x － 9} x2－4  利用 a x x ＋ a ＝ 1x － 1 x ＋ a，化簡 1 x x ＋ 1 ＋ 2 x ＋ 1 x ＋ 3 ＋ 3 x ＋ 3 x ＋ 6 ＋ 4 x ＋ 6 x ＋ 10 。  試計算下列各式： 12＋ 48－ 27 13× 65× 15 3_{3－ 1} 3_9＋3_{3＋ 1 2－ 3 3 2＋ 1}  化簡下列各式： 4 x ＋ 7－ x ＋ 3（其中 x － 3） x － 9 x＋ 3（其中 x  0）  化簡下列各式： 7 － 40 13 ＋ 4 10  設 x ＝ 1 7－ 5，y ＝ 1 7＋ 5，試求下列各值： xy x ＋ y x2＋ y2《提示》x2＋ y2＝ x2＋2 xy ＋ y2 －2 xy ＝ x ＋ y 2－2 xy

2-1重點  多項式 f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋ a₀ 當 a_n≠0 時： f x ＝ n，領導係數為 a_n。  常數多項式 a₀： 零次多項式（a0 0） 零多項式（a₀＝0） ≠  多項式相等：給予多項式 f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋a₀（a_n≠0）， g x ＝ b_mxm＋ b_{m － 1}xm － 1＋…＋ b₁x ＋b₀（b_m≠0）。

當 n ＝ m 且 a_n＝ b_m，a_{n － 1}＝b_{m － 1}，…，a₁＝b₁，a₀＝b₀ 時， 我們稱 f x 與 g x 相等，記作 f x ＝ g x 。  降冪排列：f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋a₀ 升冪排列：f x ＝ a₀＋ a₁x ＋…＋ a_{n － 1}xn － 1＋a_nxn  多項式相加減，只要將同類項相加減即可。  f x － g x ＝ f x ＋ [ － g x ]。  a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋ a₀ × b_mxm＋ b_{m － 1}xm － 1＋…＋ b₁x ＋ b₀ ＝ a_nb_mxn ＋ m＋ a_{n － 1}b_m＋ a_nb_{m － 1} xn ＋ m － 1＋…＋ a₀b₁＋ a₁b₀ x＋ a₀b₀。  f x 、g x 均不為零多項式，則 [ f x ×g x ]＝ f x ＋ g x 。 若 f x 、g x 有一為零多項式，則 f x ×g x ＝ 0。 f x ×g x 的 k 次項係數為 a_kb₀＋ a_{k － 1}b₁＋…＋ a₁b_{k － 1}＋ a₀b_k。

 多項式除法定理： 設 f x 、g x 為二多項式，且 g x ≠ 0，則恰存在二多項式 q x 及 r x 滿足 f x ＝ g x ×q x ＋ r x ，其中 r x ＝ 0 或 r x ＜ g x 。  綜合除法演算方法： a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋a₀ ÷ x － b a_n ＋） c_{n － 1} c_{n － 2} c_{n － 3} … c₀ a_{n － 1} a_{n － 2} … a₁ a₀ b× c_{n － 1} b× c_{n － 2} … b× c₁ b× c₀ b r ……餘式 a_n 商式 q x 的各項係數 ＝ 2-2重點  餘式定理：多項式 f x 除以 x － a 的餘式為 f a 。  a ≠ 0，多項式 f x 除以 ax － b 的餘式為 f

(

b a

)

。  設 f x 、g x 、q x 均為多項式，且 g x ≠ 0，若 f x ＝ g x ×q x ， 則稱 g x 為 f x 的因式（或 f x 為 g x 的倍式）。  因式定理：設 a ≠ 0，ax － b 為多項式 f x 的因式 f

(

b a

)

＝0。  整係數一次因式檢驗法： 設 f x ＝ a_nxn＋ a_{n － 1}xn － 1＋…＋ a₁x ＋ a₀ 為一個整係數多項式，若 整係數一次式 ax － b 為 f x 的因式，且 a、b 互質，則 a 為 a_n 的因 數且 b 為 a₀ 的因數。

 因式分解常用公式： a2－ b2＝ a ＋ b a － b a2＋2 ab ＋ b2＝ a ＋ b 2 a2－2 ab ＋ b2＝ a － b 2 a3＋ b3＝ a ＋ b a2－ ab ＋ b2 a3－ b3＝ a － b a2＋ ab ＋ b2 a3＋3 a2b＋ 3 ab2＋ b3＝ a ＋ b 3 a3－3 a2b＋ 3 ab2－ b3＝ a － b 3  最高公因式與最低公倍式： 最高公因式： 幾個多項式的公因式中，次數最高的就叫做它們的最高公因式， 簡稱為這些多項式的 。 最低公倍式： 幾個多項式的公倍式中，次數最低的就叫做它們的最低公倍式， 簡稱為這些多項式的 。 《註》若兩個多項式 f x 與 g x 除了常數因式外，沒有其他的公因 式，則稱 f x 與 g x 互質。 2-3重點  設 A、B 為二多項式且 B 不為零多項式，凡形如 A B 的式子稱為分式， 其中 A 稱為此分式的分子，B 稱為分母。多項式與分式合稱有理式。 真分式：分子的次數小於分母的次數。 假分式：分子的次數不小於分母的次數。 帶分式：多項式與真分式用「＋」或「－」號連結成的式子。

 分式的四則運算： 設 A、B、C、D 為多項式，且 BD ≠ 0，則 A B CB ＝A  C B A B CD＝AD  BC BD A B× CD＝ ACBD A B÷ CD＝ AB× DC＝ ADBC（其中 C ≠ 0）  根式的運算法則： 設 a、b 為實數且 b ≠ 0，m、n 為大於 1 的正整數（當 n 為偶數時， 必須限制 a、b 為正數），則 n a＝mnam m n a＝mna n a×nb＝nab n a÷nb＝ n a n b＝ n a b  有理化因式： 當兩個根式的乘積為有理式時，這兩個根式互稱為有理化因式。 例：a ＋ b 與 a － b 互為有理化因式。 x＋ y 與 x－ y 互為有理化因式。  雙重根式之化簡： 設 A、B 為正數且 B 為無理數，若 A  2 B＝ x y（其中 x ＞ y ＞ 0） 則 x ＋ y ＝ A 且 xy ＝ B。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  設 f x ＝ 3 a － 2 b ＋ c x2＋ b － c x ＋ c ＋ 3 為 零 多 項 式，則 a 的 值為 －1 － 3 － 5 2。 【2-1】  已知 f x ＝ kx4＋5 x3－6 x2＋ kx － k，且 f 1 ＝ 2，則 f － 1 ＝ 10 － 12 13 － 14。 【2-1】 3 x2－ x ＋ 2 除 6 x4－8 x3＋6 x2－1 的餘式為 4 x ＋ 1 3 x － 2 4 x － 1 x ＋ 4。 【2-1】  2 x3＋4 x2－ x － 1 × x4－3 x2＋1 乘積中，各項係數總和為 － 6 －4 6 12。 【2-1】 《提示》多項式 f x 的各項係數總和為 f 1 ，故以 x ＝ 1 代入即得各項係 數總和。  x ＋ 6 除 x5＋8 x4＋11 x3－2 x2＋25 x ＋ 16 所得商式為 x4＋2 x3－ x2＋4 x ＋ 1 x4＋2 x3－4 x2＋ x ＋ 1 x4＋2 x3_{＋4 x}2_{－ x ＋ 1 x}4_{＋2 x}3_{＋ x}2_{－4 x ＋ 1。 【2-1】}  已知多項式 f x 除以 2 x2－3 x － 2 得餘式 － 4 x ＋ 11，則 f 2 的值 為 6 5 3 2。 【2-1】  設 2 x3－2 x ＋ k 除以 2 x2－2 x ＋ 1 得餘式為 r x ，若 r 1 ＝ 5，則 k 值為 7 5 3 － 1。 【2-1】 《提示》利用長除法，可得餘式 r x ＝－ x ＋ k － 1 。  x ＋ 1 除 f x ＝ 2 x75－4 x12＋3 x － 1 的餘式為 － 6 － 8 －9 － 10。 【2-2】  多項式 x2＋4 x ＋ m，以 x ＋ 2 除的餘式為 3，則 m ＝ 2 4 5 7。 【2-2】

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  若以 x － 2 除 f x ＝ 3 x2＋5 mx ＋ 4 以及除 g x ＝ mx4＋ x3－2 x 所得 餘式相同，則 m ＝ － 1 2 3 5。 【2-2】  設 f x ＝ x5－42 x3－51 x2＋74，則 f 7 的值為 － 20 － 24 －27 － 32。 【2-2】  已知 x ＋ 1 為 f x ＝ 3 x3＋ ax2＋1 的因式，則 a 的值為 2 － 2 1 － 1。 【2-2】  多項式 f x ＝ x3＋ ax ＋ b，以 x － 1 除之餘 2，以 x ＋ 1 除之餘 4，則 以 x ＋ 3 除 f x 的餘式為 －15 － 16 － 18 － 20。 【2-2】  設 m、n 為整數，下列何者不可能是 f x ＝ 6 x4＋ mx2＋ nx ＋ 10 的因 式？ 2 x － 5 3 x ＋ 1 6 x ＋ 5 3 x － 4。 【2-2】  設 x2＋2 x － 3 為 f x ＝ ax3－4 x2＋ bx ＋ 6 的因式，則 a ＋ b ＝ －2 3 4 5。 【2-2】  下列何者為 x3＋3 x2＋3 x ＋ 28 的因式？ x ＋ 7 x2＋ x ＋ 7 x2－ x ＋ 7 x2－3 x ＋ 7。 【2-2】 《提示》原式＝ x3＋3 x2＋3 x ＋ 1 ＋ 27 ＝ x ＋ 1 3＋33  已知 f x ＝ x3＋ px ＋ q 與 g x ＝ x3－5 x ＋ p 的最高公因式為 x ＋ 2， 則 p － q ＝ 6 2 － 4 － 6。 【2-2】  x3－8 與 x2－5 x ＋ 6 的 為 x － 2  x3－8 x － 3  x － 3 x2＋2 x ＋ 4  x － 3 x2－2 x ＋ 4 。 【2-2】

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）  化簡 x 3_{＋8 x} x2－ x － 2－ 8 x － 2＝  x2－2 x ＋ 4 x ＋ 1  x2－2 x ＋ 4 x2－ x － 2 x 2_{＋2 x ＋ 4} x ＋ 1  x2＋2 x ＋ 4 x2－ x － 2 。 【2-3】  化簡 x 2_{＋2 x ＋ 1} x － 3 × x2＋5 x － 6 x2－1 ÷ x3＋1 x2－5 x ＋ 6＝  x －1 x2＋1 x 2_{＋4 x － 12} x2－ x ＋ 1  x2－4 x ＋ 8 x2－ x ＋ 1  x2－4 x ＋ 8 x2＋ x ＋ 1。 【2-3】  設 x ＋1 x ＝2，則 x 2_{＋ 1} x2 的值為 2  12 4  1 4。【2-3】 《提示》x2＋ 1 x2 ＝

(

x 2_{＋2 × x × 1} x＋ 1_x2

)

－2 ＝

(

x ＋ 1 x

)

2 －2  化簡 12 1 ＋ 2 6－ 3 ＝  3  3 2  6 2。 【2-3】  化簡 6 3＋ 2＋ 3 2 3＋ 6－ 4 3 6＋ 2＝ 2 3＋ 2  3＋ 1 2 2－ 3 0。 【2-3】  化簡 19 ＋ 2 48＋ 28 － 10 3＝ 6 ＋ 3 8 － 2 3 9 6。 【2-3】  設 x ＝ 10－ 2₂ ，y ＝ 10＋ 2₂ ，則 x2＋ xy ＋ y2 的值為 9 8 6 4。 【2-3】 《提示》x2＋ xy ＋ y2＝ x2＋2 xy ＋ y2 －xy ＝ x ＋ y 2－xy