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平面向量

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Academic year: 2021

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(1)

平面向量

精選例題 平面向量的運算 例題1 在圓 O 的內接正六邊形 ABCDEF 中, 令 −⇀AB = −a ,−⇀BC = −⇀b ,−⇀AF = −c 如圖所示: 問 −⇀AC =?,−⇀AD =?,−⇀AE =? [Ans: −⇀AC = −⇀a + −⇀b ,−⇀AD = 2(−⇀a + −⇀c ),−⇀AE = 2−⇀b − −⇀a ] D E F A B C O 例題2 兩向量 −⇀AB,−⇀CD 之間的夾角為 120, 且長度分別為12,8 求 −⇀AB +−⇀CD 的長度 大小? [Ans: 4√7 ] 例題3 已知 −a 和 −⇀b 是兩個不平行的向量, 且 s(2−a +−⇀b ) + t(3−a − 2−⇀b ) = 7−a , 求實數 s, t 之值? Ans:s = 2, t = 1 例題4 如圖所示:D 在 △ABC 之 BC 邊上, 且 CD = 2BD, G 為 AC 之中點, 若將 −⇀ GD 向量寫為 −⇀GD = r−⇀AB + s−⇀AC , 其中 r 及 s 為實數, 則 r + s 之值等於? [Ans: 12 ]

A

B

D

C

G

B C D A M 例題5 上圖中 ABCD 為正四面體,M 為 CD 中點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A)線 CD 與平面 ABM 垂直 (B) 向量 −⇀AB 與向量 −⇀CD垂直 (C) AMB >

∠ADB (D) 平面 ACD 與平面 BCD 的二面角 (銳角) 大於 60◦ (E) AB = BM

[Ans:ABCD]

(2)

https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題6 平行四邊形 ABCD 中, −⇀AE = 3−⇀EC , F 為 BC 的中點, 設 −⇀AE = x−⇀AB + y−⇀AD ; −⇀EF = r−⇀AB + s−⇀AD , 求實數 x, y, r, s 的值? [Ans:(34, 3 4); (−14 ,−14 )] A B C D E F 例題7 利用斜坐標系統, 在 △ABC 中, AD : DB = 2 : 3, AE : EC = 3 : 5 設 BE 與 CD 相交於 P 點, 且 −⇀AP = x−⇀AB + y−⇀AC , 求 x, y 值? Ans:[x = 175 , y = 9 34] B C A D E P 例題8 在坐標平面上 △ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上, 且 AQ = 2QC , 已知 −⇀P A = (4, 3),−⇀P Q = (1, 5) 則 −⇀BC = ( , ) ? [Ans: (−1, 12)]

例題9 設 A(2, 1), B(−2, −1), C(4, 2) 為平面坐標上的三點, 求−⇀AB,−⇀BC =?且問 A、B、C 三點是否共線? [Ans:−⇀AB = (−4, −2),−⇀BC = (6, 3) ,yes] 例題10 坐標平面上, 點 P 是 A(6, −3), B(−4, 2) 兩點連線段上的點, 且 P A : P B = 2 : 3 , 求 P 點坐標? [Ans:P (2, −1)] 平面向量的內積 例題1 已知 △ABC 是邊長為10的正三角形, 求 −⇀AB ·−⇀AC 與 −⇀AB ·−⇀BC 的值? [Ans:50;-50]

例題2 如圖,ABCDEF 為一正六邊形。 那麼下列向量內積中何者最大?(A) −⇀AB·−⇀AB (B)

−⇀

AB·−⇀AC (C)−⇀AB·−⇀AD (D)−⇀AB·−⇀AE (E)−⇀AB·−⇀AF Ans: B

D E F A B C 例題3 將向量 −v = (7, 4) 分解成與 −a = (1, 2) 垂直及平行的兩分量和? Ans:−v = (3, 6) + (4, −2) x y O −⇀v −⇀a −⇀ b · 2 · ∼順伯的窩 ∼

(3)

https://sites.google.com/site/hysh4math · 例題4 已知 |−a | = 2, |−⇀b | = 3 且 −a 與 −⇀b 的夾角為 60求 (−a +−⇀b ) · (−a −−⇀b ) 之 值? 與 |3−⇀a − 2−⇀b | 之值? [Ans:-5,6] 例題5 設 ABCD 是一正四面體, 其每一面都是正三角形, 證明 −⇀AB 與 −⇀CD 互相垂直 例題6 已知平行四邊形兩鄰邊邊長分別為3,5有一對角線長為7, 求另一對角線長? [Ans: √19]

例題7 已知 ABCD 為平行四邊形, 試證: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) Ans: 利用 向量 例題8 設 a, b, x, y 都是實數且 a2 + b2 = 4, x2 + y2 = 9 , 求 ax + by 的最大值與最小 值? [Ans:6,-6] 例題9 已知 −a = (7, 4),−⇀b = (1, 2) , 求 −a 在 −⇀b 上的正射影及正射影長? [Ans: (3, 6), 3√5] 例題10 求兩直線 L1 : 3x + y − 3 = 0, L2 : 2x − y + 1 = 0 的交角? [Ans:45, 135] 平面上的直線 例題1 設 L 為通過 A(2, 1), B(−1, 3) 兩點的直線, 求 L 的參數式? Ans:n x = 2 − 3t y = 1 + 2t , t ∈ R 例題2 已知直線 L : 3x − 2y = 5 求直線 L 的參數式? [Ans:n x = 1 + 2ty = −1 + 3t , t ∈ R] 例題3 設直線 L1, L2, L3, L4 的參數式分別為 L1 : n x = 1 + 2t y = 4 − 3t , t ∈ R。 L2 : n x = 3 + 2t y = 1 − 3t , t ∈ R。 L3 : n x = 2 + 4t y = 8 − 6t , t ∈ R。 L4 : n x = 1 + 4t y = 4 − 6t , t ∈ R。 試比較這四條直線有何相關? [Ans:L1 = L2 = L4//L3] 例題4 在直線 L : x + 2y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4, 5), B(0, 4) 等距離? [Ans:P (3, 12)] 例題5 求兩直線 L1 : 3x + y − 3 = 0, L2 : 2x − y + 1 = 0 的交角? [Ans:45, 135] 例題6 求點 P (−2, −6) 到直線 L : 4x + 3y + 1 = 0 的最短距離, 此時直線上的點坐標 為何? [Ans:H(2, −3), d = 5] 例題7 在直線 L : x + 2y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4, 5), B(0, 4) 距離和 P A + P B 最短? [Ans: P (0, 2), lmin = 7 ] · 3 · ∼順伯的窩 ∼

(4)

https://sites.google.com/site/hysh4math · 面積與二階行列式 例題1 坐標平面上 △ABC 三頂點坐標 A(1, −2), B(−1, 5), C(4, 3) 求此三角形面積? [Ans:31/2] 例題2 利用克拉瑪公式解解方程組 n 3x + 11y = 15 4x + 15y = 7 。 [Ans:x = 148, y = −39] 例題3 計算行列式值 911 1808 1814 3599 。 [Ans:-1023] 例題4 若行列式 a b c d = 3, e b f d = 5 , 求 a + 3e 2b c + 3f 2d 的行列式值? [Ans:36] 例題5 設三角形三頂點坐標為 A(3, 1), B(2, 3), C(−3, −1) , 求此三角形面積? [Ans:7] 例題6 利用克拉瑪公式解聯立方程式: n 5x + 3y = −1 4x − 7y = −29 Ans:(−2, 3) 例題7 已知一二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 的函數圖形經過 (1, 1), (2, 12), (−1, −9) 三點, 求出此二次函數? [Ans:2x2 + 5x − 6] 例題8 就實數 k , 討論聯立方程組的解: n kx + 4y = k + 2 x + ky = k ? [Ans:k 6= 2, −2 恰一 解 ( k k+2, k+1 k+2);k = −2 無解;k = 2 無限多解 (2 − 2t, t), t ∈ R] · 4 · ∼順伯的窩 ∼

參考文獻

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