• 沒有找到結果。

微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(2/2)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(2/2)"

Copied!
9
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)行政院國家科學委員會專題研究計畫. 成果報告. 微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(2/2). 計畫類別: 個別型計畫 計畫編號: NSC93-2212-E-002-025執行期間: 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位: 國立臺灣大學應用力學研究所. 計畫主持人: 吳政忠 計畫參與人員: 黃自貴,孫嘉宏. 報告類型: 完整報告 報告附件: 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式: 本計畫可公開查詢. 中. 華. 民. 國 94 年 10 月 31 日.

(2) 行政院國家科學委員會專題研究計畫期末報告 微型週期性結構聲波頻溝理論分析與微機電實驗(2/2) 計畫編號: NSC 93-2212-E-002-025 執行期間:93年8月1日至94年7月31日 主持人:吳政忠 台灣大學應用力學研究所 計畫參與人員:黃自貴,孫嘉宏 一、中文摘要 經由兩種不同彈性材料組成之週期性 結構,在適當調整其材料常數及排列方式 後,通過之聲波有頻溝現象存在,此類結 構稱為聲子晶體(phononic crystals)。本計 畫旨在研究聲子晶體之頻溝現象,藉由建 立之電腦叢集針對彈性波之波導現象進行 討論,並延伸至彈性波於晶體結構內偏折 現象之分析,如一維通道、雙通道耦合等。 本計劃亦利用叢集電腦系統及平行化程式 進一步以有限差分法分析表面波之頻散關 係,並於具缺陷聲子晶體中之傳播行為進 行研究。實驗分析上,利用聲波耦合模態 設計一高頻表面聲波遲延器,做為測試聲 子晶體頻溝之激發與接收裝置。依據聲波 頻溝現象之分析,配合表面聲波濾波器之 設計,製作有限維度之聲子晶格(晶格尺吋 在數十微米等級),驗證並分析其頻譜響 應。 關鍵詞:聲子晶體、頻溝、電腦叢集、有 限差分法、表面聲波、聲波通道 Abstract The purpose of this research is to study the characteristics of acoustic band gaps in two-dimensional phononic crystals. The phononic crystal is a kind of periodic elastic material structure that there are some band gaps in which the elastic wave propagation of particular frequency is forbidden. In this project, personal computer clusters were employed and adjusted to meet the requirements of RAM and CPU time. A parallel computer program based on the finite-difference time-domain (FDTD). method was developed and discussed. The FDTD program was then used to calculate the propagating phenomena of BAW and SAW modes in two-dimensional phononic crystals. In the experimental part, high. frequency SAW device was fabricated and integrated to the phononic crystal to study the band-gap characteristics. Finally, the experimental results were compared with that of the numerical results, and the potential applications were also discussed. Keywords: Phononic crystals, Band gaps, Cluster, Finite-difference time-domain, SAW, Waveguides 二、計畫緣由與目的 近年來光子晶體(photonic crystals)之 研究逐年迅速增長[1]。所謂光子晶體,即 為週期性之介電質結構,因週期性結構之 緣故,導致電磁波通過晶體時由於反射波 對入射波造成干涉,發生所謂的頻溝現 象,阻擋在某些頻率振盪之電磁波通過。 由此頻溝現象,光子晶體可應用於光纖通 訊上,例如近來十分熱門之高密度分波多 工器(DWDM)濾波器,即為其應用之一。 而由光子(photon)與聲子(phonon)之類比 性,可推斷由彈性材料組成之週期性結 構,在適當調整其材料常數及排列方式 後,通過之聲波亦有頻溝現象存在,則將 此類結構稱為聲子晶體。 針對二維聲子晶體的研究直到1993年 才有所突破。首先是Kushwaha與Halevi [2] 於1993年所提出的理論,研究兩種相異之.

(3) 等向性彈性材料所架構的二維週期性結 構,但僅針對徹體波之振動提出波傳理 論。Tanaka與Tamura[3,4]於1998年選用立 方晶系的兩種材料(AlAs與GaAs)組合成 為二維聲子晶體,提出表面波的波傳理 論,說明在一般情況下,聲子晶體的表面 波頻帶分佈。近期,吳[5]分析含異向性材 料組合之二維聲子晶體,提出含異向性材 料之表面波與徹體波的波傳理論。 聲子晶體的頻溝現象,可應用於徹體 波濾波器或表面聲波濾波器,阻止特定角 度與頻率入射的聲子傳遞,藉以達成濾波 之效果,此為研究聲子晶體的主要動機。 本計畫旨在建構個人電腦叢集,以應付聲 子晶體龐大之記憶體與計算量需求。配合 電腦叢集之建立以提昇效率,進行微型週 期性結構表面聲波頻溝現象之研究。本計 畫亦建立一套適用於正交性材料的有限差 分方程式,並發展吸收型邊界程式碼配合 使用。此結合電腦叢集有限差分方程式並 延伸至彈性波於晶體結構內偏折現象之分 析,如一維通道、雙通道耦合等。 不論是理論分析或有限差分計算,聲 子晶體之頻溝現象計算需耗費相當大之記 憶體及龐大計算量方可獲得可信賴之正確 結果。對一維平面波配合週期邊界,以四 階近似之差分方程式的模擬,在Pentium 4 時脈為1.8GHz之個人電腦上執行初步估 計耗時約21.5小時。而這樣的計算能力並 不足以進行表面波的聲子晶體研究或是更 大規模平面波之聲子晶體應用計算。另一 方面,即便是現存的平面波理論展開法, 欲求得聲子晶體精準的級數解,如表面波 可存在之模態,在上述系統亦需花費約200 多小時以上(Matlab數值軟體),其計算量亦 相當可觀。 近來由於個人電腦之蓬勃發展,其計 算能力已直逼工作站等級電腦系統,且價 格反而日趨合理化,因此利用個人電腦建 立 叢 集 系 統 成 為 近 日 高 效 能 計 算 (HPC, high performance computing)之主要趨勢。 電腦叢集系統利用區域網路將多部電腦系 統串連,以單一系統的模式加以管理,同 時計算一個問題,實現複雜運算的平行處 理。因此電腦叢集系統相當於有多顆處理 器同時運算,所需計算時間可以倍數減. 少;同時可聯合所有記憶體,擴大計算能 力之規模。電腦叢集系統除了價格較便 宜,其計算能力也直逼大型系統之超級電 腦,同時可依據使用者之需求及能力,建 立規模適當之叢集節點數量,日後並可隨 時加以擴充。而電腦叢集系統的實現在硬 體及軟體上皆必須加以配合,硬體上需要 高速的中央處理器、記憶體及高速網路傳 輸交換設備;軟體上需配合作業系統,選 擇適當的界面傳輸協定、排程管理系統並 購置所需之函式庫。而更重要的關鍵在於 需對程式進行平行化。 本年度計劃除延續92年度計劃在理論 分析及微機電實驗之探討外,亦將利用 Madariaga[6]及Virieux[7]所提出以速度-應 力為變數的有限差分法,模擬彈性波在聲 子晶體結構內部的波傳行為,並觀察時間 域上彈性波入射的訊號,計算穿射係數與 頻率的關係,做為進一步研究聲子晶體及 發展其應用之重要工具。為解決龐大計算 量與記憶體之問題,本計劃建立一套十二 個節點之高速網路電腦叢集系統並發展平 行化有限差分程式,以利往後聲子晶體應 用之需。 三、研究方法與成果 (一) 個人電腦叢集之規劃與建構: 聲子晶體之平面波展開法理論計算及 有限差分數值計算均需耗費極大之記憶體 與計算時間,因此必須擴充計算能力及增 快運算速度,方可應付後續研究所需之龐 大記憶體與計算量需求,獲得可信賴之正 確結果。而應用平行運算技術同時在數個 中央處理器(CPU)上進行計算,將是解決 計算量需求的有效手段。傳統上欲實現平 行運算,在硬體設備上必須具備有多個中 央處理器大型工作站或超級電腦方可達 成。目前由於個人電腦蓬勃發展,其計算 能力已逼近工作站等級電腦系統且價格日 趨合理化,因此目前平行計算技術之發展 中 , 利 用 個 人 電 腦 建 立 叢 集 系 統 (PC Cluster)成為高效能計算之主要趨勢。 叢集電腦乃是透過網路設備,將個別 電腦之間的資料進行傳輸交換,如此便可 將計算之問題切割成數個部分,分配至各.

(4) 電腦上同時運算,縮短計算所需時間。另 外,透過叢集電腦將問題分割,也可以將 本來所需龐大記憶體無法在單一電腦上執 行之程式,分散到各個電腦上執行,擴大 所能研究問題之規模。因此叢集電腦可依 據使用者之需求及能力,建立規模適當之 叢集節點數量,日後並可隨時加以擴充。 本計畫兩年內已建構一個含十二節點之個 人電腦叢集系統,其每個節點主要配備 為:雙中央處理器,型號Intel Xeon時脈2.8 GHz;1 GByte記憶體;80 GByte硬碟,並 配置 Gigabit 網路卡以及網路交換器之高 速乙太網路,其架構及設備如圖1、圖2所 示。 架構叢集電腦系統除了硬體設備外, 最重要的實屬程式執行之作業環境,如此 方能依據此作業環境撰寫平行運算程式。 現行叢集電腦系統之執行環境主要有兩大 標 準 , 分 別 為 MPI (Message Passing Interface) 及 PVM (Parallel Virtual Machine) ,其中 MPI 標準具有可同時在 叢集電腦系統及複數 CPU 之大型電腦上 執行而無須重新改寫程式、受到較多廠商 支援及容易學習等優點。因此,本計畫中 之平行運算程式以 MPI 標準[8]作為平行 運算之語法,而所建置之叢集電腦系統作 業系統及程式執行環境亦均與之配合。各 個節點採用 Red Hat Linux 9.0 為作業系 統,而 MPI 之實做函式庫採用 MPICH 1.2.5 版。上述之作業環境與函式皆為自由 軟體(Freeware),且可有效發揮硬體設備之 效能,並提供平行化程式穩定之執行環境。 (二) 電腦分析程式之平行化與效率提昇: 如圖1之電腦叢集架構,將二維聲子晶 體表面波傳電腦分析程式(平面波展開法) 平行化。平行運算程式的撰寫上,則可引 入MPI函式之語法,將問題依據CPU數量 分割,分配至各個節點上同時計算。然而, 在平面波展開法的運算中,各個節點在每 個時步計算的結果都是獨立的,並無交換 邊界上之資料才能進行下一次的計算,因 此平面波展開法極適合用來平行化,而無 須等待其他節點運算之結果。這在程式平. 行化的結構分析上,避免資料在網路傳輸 的時間以提昇效率。 平行化程式之建立時已將程式改寫成 以C++及Fortran程式語言,與Matlab數值 軟體所撰寫之程式比較運算時間發現,其 處理速度已快十倍以上(單一CPU),若進 行平行計算乃依CPU個數增加而呈現快速 成長。 (三) 建構三維彈性有限差分數值程式: 對於具缺陷之聲子晶體頻溝結構之分 析,有限差分數值分析模式將可提供彈性 波波傳研究更高的彈性。有限差分法主要 由泰勒級數展開的觀念,將方程式中的微 分計算近似為離散的四則運算。根據動態 彈性力學理論,應力波於彈性體內的傳播 行為可根據運動方程式與組成律來加以描 述 (1) ρui = τ ij , j + ρf i (2) τ ij = C ijkl ε kl 其中 ρ 為質量密度,Cijkl 為材料常數,ui 為 位移,τ ij 及 ε kl 分別為應力及應變。程式撰 寫時,再依照中央差分方式展開成差分方 程式進行計算。若採用四階近似之中央差 分方式將彈性波動方程式之微分項展開, 則共可得到九條差分方程式。同時根據實 際問題的邊界條件則可定義自由邊界格點 的條件,或是對稱格點的邊界條件。如此 便可使用有限差分法數值程式,改變空間 中材料常數的配置,模擬聲子晶體的結 構,計算彈性波在聲子晶體結構內的波傳 行為。 由於聲子晶體中重複的週期結構,所 以欲計算彈性波在聲子晶體內的波傳行 為,必須運用對應的週期性邊界。Tanaka[4] 提出以布拉克定理(Bloch’s theorem)作為 週期性邊界條件的概念,利用分離變數的 方法改寫運動方程式及組成率(1)與(2)。而 謝等人[9]則進一步將布拉克定理直接應 用至方程式(1)與(2),其條件如下: (3) u i (x + a, t ) = e ik ⋅a u i (x + a, t ) (4) τ ij (x + a, t ) = e ik ⋅a (x + a, t ) 其中a為單位晶格的轉換向量,k為第一布 里路因區內的波傳向量。藉由在聲子晶體.

(5) 單位晶格的四周邊界的週期性邊界條件設 置,即可模擬無窮週期結構的波傳行為, 計算出在所指定的波傳向量k 下的特徵模 態。其方法是藉由初始條件的擾動,紀錄 該條件下的位移場,再透過傅立葉轉換的 計算,即可在頻譜上求得共振頻率,即為 其特徵模態。 而在平行運算程式的撰寫上,則可引 入MPI函式之語法,將問題依據CPU數量 分割,分配至各個節點上同時計算。但如 此各個節點則必須在每個時步計算完成 後,皆必須交換邊界上之資料後,才能進 行下一次的計算,其計算流程如圖3所示。 這在程式平行化的結構分析上,稱之為「完 全 併 發 平 行 化 」 (fully synchronous parallelism),屬於較為複雜的問題,同時 平行化之後的速度提升將會受限於利用網 路交換之最高速度。若以四節點,八個中 央處理器的例子而言,目前約可提升為六 倍的速度,其速度受到資料交換量之影響 與限制。 (四) 發展有限差分法吸收邊界條件: 由於數值模擬計算中計算機的記憶體 有限,若欲計算無窮域的問題,或是為了 避免邊界反射現象干擾真正波傳行為之觀 察分析,必須在邊界上加以處理,使外傳 波不會反射入內部,形成等同無窮域中的 效果。具有這樣效果的邊界條件被稱為吸 收 型 邊 界 條 件 (Absorbing Boundary Condition, ABC)。為了分析聲子晶體內部 彈性波多重的反射及散射行為,需有吸收 型邊界條件加以配合,並由此可以進行複 雜排列之聲子晶體結構特性研究。 有限差分法中吸收型邊界條件最廣為 所知的是Engquist[10,11]所提出彈性波的 內、外傳波分離法,這樣的概念也被 Mur[12]應用到電磁波的有限差分計算,稱 為Mur’s ABC。然而由於內外傳波分離法 只對於垂直入射邊界的波傳有較佳的吸收 效果。因此,Berenger[13]提出了完全匹配 層(Perfectly Matched Layer, PML)的觀念 應用在電磁波的計算上,得到良好的吸收 效果,而Chew與Liu[14]也將完全匹配層應 用到彈性波傳的吸收邊界條件。. 完全匹配層藉由延伸座標的定義,在 計算區域的邊界上定義一波阻相等但具有 衰減的延伸區,當波傳通過邊界進入吸收 區時將不會產生反射,並且將在吸收區內 隨波傳距離增加而衰減。因此,PML吸收 型邊界條件對於不同頻率、不同方向入射 的三維波傳皆有良好的吸收效果。Chew與 Liu[14]在文章中只表示出滿足PML條件 的微分方程組,本計畫中應用完全匹配層 條件撰寫的中央差分有限差分方程式,其 方程式之數量將由一般的九條擴增至二十 七條差分方程式,計算量略有增加。 應用完全匹配層吸收邊界的條件,理 論上可得到完美無反射的吸收效果,但由 於數值上離散的關係以及我們所定義的邊 界吸收層有限,一般而言,並不能在有限 的層數中完全吸收,但是已可有效抑制波 傳自邊界反射的情形。 (五) 聲子晶體聲波波導現象: 在聲子晶體結構中,安排連續的點缺 陷可以構成聲波波導,允許聲波在其中傳 遞。透過超晶格(supercell)的技術,並配合 週期邊界條件,便可針對在此波導內之聲 波模態加以計算。 首先,以鋼/環氧樹脂正方晶格結構之 二維聲子晶體為例說明聲子經晶體聲波波 導之分析。聲子晶體之晶格常數a為8 mm,鋼柱之半徑r為3 mm。經由頻散曲線 之分析,可得知此結構可以阻隔所有頻率 在86-197 kHz之間的聲波,為一完全頻溝 (total band gap)。進一步,可在此頻溝範圍 內設計聲子晶體之波導結構並進行分析。 聲子晶體波導結構之示意圖如圖4所示,波 導的寬度d為6mm,而用以進行計算的超 晶格結構為1a×8.5a。由於此結構在z方向 上為為無限延伸,因此聲波可被解離為共 平面模態與反平面模態。圖5(a)中顯示了 共平面模態之結果,包含了縱波(實線)及 橫波(虛線)之結果。結果可見到,縱波存 在的頻段為99-156及169-198 kHz,而橫波 存在於142-163及187-198 kHz。 由於波導結構在本來無缺陷結構中的 頻溝範圍出現了額外的聲波模態,被稱之 為缺陷模態(defect mode)。因此在此聲子.

(6) 晶體波導內可允許聲波存在並傳播。在圖 5(b)中則計算了縱波及橫波入射此波導結 構之穿射係數,可以得到與穿射係數相符 合的結果。值得注意的是,波導內的缺陷 模態並非包含整個完全頻溝所在的頻段, 在低於102 kHz及164-172 kHz之間皆不存 在任何模態,此為進一步應用波導所必須 注意分析的特性。 在本年度計畫中,並針對聲子晶體中 存在鄰近之平行波導效應進行分析,其耦 合效應使得單一波導內缺陷模態分裂為對 稱及反對稱形式之超模態(supermode),其 結果如圖6所示。並可據此利用單一頻率存 在 數 個 波 長 所 產 生 的 拍 頻 現 象 (beat phenomenon)設計出可依聲波頻率選擇波 傳路徑之聲波耦合器[15],作為以後設計 聲子晶體元件之基礎。 (六) 有限差分法在表面波波傳之分析: 在二維聲子晶體結構中,若有一表面 為自由邊界,則此結構中即可存在表面 波。表面波模態的計算,過去的研究中皆 使用平面波展開法來進行[5],而在本年度 計算中則進一步發展有限差分法來研究表 面波在聲子晶體內之傳遞。 圖7(a)表示具有一自由邊界的二維聲 子晶體結構,而在另一方向上則是無窮沿 伸。此一問題的幾何構造實際上為一三維 的問題,因此應用有限差分法進行分析 時,亦需設定一三維的區域來進行。圖7(b) 表示實際上用來分析聲子晶體內表面波模 態之單位晶格。在x及y方向的邊界上,如 同計算二維聲子晶體徹體波的設定一樣, 為滿足布拉克定理之週期性邊界。而在-z 方向上為自由邊界條件,在+z方向上為 PML吸收邊界,以處理無窮沿伸的假設。 若針對一晶格常數為10 µm,圓柱半 徑1.67 µm的鎢/矽聲子晶體進行分析,其 頻散關係的計算的結果如圖8所示。同時, 徹體波之頻散曲線亦同時被表示出來。可 見到在低頻的區段中,有不同於徹體波模 態之表面波分佈。以ΓX方向為例,在低於 徹體波橫波174 MHz之下便存在著表面波 模態。而在174-212 MHz間則為表面波之 頻 溝 , 並 且 虛 擬 表 面 波 出 現 在 212-236. MHz的區段。在徹體波為完全頻溝的頻段 253-294 MHz,表面波也出現完全頻溝, 但 其 頻 溝 的 上 下 限 則 分 別 為 295 與 236 MHz,較徹體波的範圍更大。本計畫執行 至此,已可有效的透過發展有限差分法來 分析表面波的模態,同時可更進一步鑑別 出表面波的模態,以及發展表面波聲波通 道等應用,可做為實現聲子晶體元件之重 要基礎。 (七) 微米級聲波頻溝現象之實驗驗證: 在微機電製程方面,本計畫完成高填 充率(0.608)之微米級二維聲子晶體結構之 製作,相關實驗驗證示意圖如圖9所示。此 聲子晶體結構以矽為基底,而週期排列之 圓洞以ICP進行蝕刻完成。圖10之頻率響 應乃採用表面波入射聲子晶體的角度為45 度,頻率選擇為100 MHz,為理論分析頻 溝位置之外。圖10可以發現不管有無聲子 晶體的結構,表面波之大部分能量都能穿 透聲子結構而具有很少的衰減。而圖11則 顯示IDT的中心頻率在理論分析頻溝位置 之內的頻率響應圖,所選用的角度為45 度,頻率選擇為140 MHz。由於頻率位於 頻溝處裡面,我們發現大部分的能量被聲 子晶體擋住,無法傳到另一邊的接收端 IDT。實驗的結果初步顯示在這一頻率範 圍確有表面波頻溝的現象產生。 實驗之結果。我們成功的觀察到當頻 率在預期頻溝內時,表面波無法通過二維 聲子晶體結構。當頻率響應不是在頻溝 內,因此其頻率響應維持一良好的形狀, 與沒有聲子晶體結構時相差不大。而當表 面波頻率在二維聲子晶體頻溝時之實驗結 果,我們發現在這兩個例子中,能穿透二 維聲子晶體的能量非常的小。 四、計畫成果自評 本計畫針對二維聲子晶體之徹體波及 表面波波導進行數值研究與分析。實驗部 分以微機電製程製作微米級二維聲子晶 體,佈上指叉電極產生高頻表面聲波,分 析測試聲子晶體之頻溝現象,並與數值分 析相互印證。本計畫的研究內容均依原先 訂定的進度順利完成,成果具學術與應用.

(7) 價值,除在多個研討會發表外,相關研究 之成果亦投稿於國外著名物理期刊 [5,9,15-17]。計畫成果除可利用有限差分法 在電腦叢集上分析表面波之頻散關係外, 並建立成熟的微機電製程程序,有助於作 為日後後續研製相關應用元件之依據。 五、參考文獻 [1] S. G. Johnson and J. D. Joannopoulos, “PHOTONIC CRYSTALS: The road from theory to practice,” Kluwer academic publishers, Boston (2003). [2] M. S. Kushwaha, P. Halevi, L. Dobrzynski, and B. Djafari-Rouhani, “Acoustic Band Structure of Periodic Elastic Composites,” Phys. Rev. Lett. 71(13), 2022-2025 (1993). [3] Y. Tanaka and S. Tamura, “Surface acoustic waves in two-dimensional periodic elastic structures,” Phys. Rev. B 58(12), 7958-7965 (1998). [4] Y. Tanaka, Y. Tomoyasu, and S. Tamura, “Band Structure of Acoustic Waves in Phononic Lattices: Two-Dimensional Composites with Large Acoustic Mismatch,” Phys. Rev. B 62(11), 7387-7392 (2000). [5] Wu, T.-T., Huang, Zi-Gui and Lin, S.-C. "Surface and bulk acoustic waves in two-dimensional phononic crystals consisting of materials with general anisotropy," Phys. Rev. B 69, 094301 (2004). [6] Madariaga, “Dynamics of an expanding circular fault,” Bull. Seism. Soc. Am. 66(3), 639-666 (1976). [7] Virieux, J. and Madariaga, “Dynamic faulting studied by a finite difference method,” Bull. Seism. Soc. Am. 72(2), 345-369 (1982). [8] 鄭守成, “MPI 平行計算程式設計” [9] P.-F. Hsieh, T.-T. Wu and J.-H. Sun, “Three-Dimensional Phononic Band Gap Calculations using FDTD Method and a PC Cluster System,” IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. Freq. Control, accepted, (2005). [10] B. Engquist, A. Majda, “Absorbing Boundary Conditions for the Numerical Simulation of Waves,” Mathematics of. Computation 31(139), 629-651 (1977). [11] R. Clayton, B. Engquist, “Absorbing Boundary Conditions for Acoustic and Elastic Wave Equations,” Bull. Seism. Soc. Am. 67(6), 1529-1540 (1977). [12] G. Mur, “Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time-Domain Electromagnetic-Field Equations,” IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 23(4), 377-382 (1981). [13] J. Berenger, “A Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves,” J. Computational Physics 144, 185-200 (1994). [14] W. C. Chew, Q. H. Liu, “Perfectly Matched Layers for Elastodynamics: A new Absorbing Boundary Condition,” J. Computational Acoustics 4(4), 341-359 (1996). [15] J.-H. Sun and T.-T. Wu, “Analyses of mode coupling in joined parallel phononic crystal waveguides,” Phys. Rev. B 71, 174303 (2005). [16] T.-T. Wu and Zi-Gui Huang, “Level repulsions of bulk acoustic waves in composite materials,” Phys. Rev. B 70, 214304 (2004). [17] Z. G. Huang and T.-T. Wu, “Temperature effects on bandgaps of surface and bulk acoustic waves in two-dimensional phononic crystals,” IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 52, 365 (2005)..

(8) 六、圖表. x y. a. z. d. Server Xeon 2.8G × 2 2GB RAM 80GB HDD GB Ethernet. 圖 4 聲子晶體波導結構示意圖 Giga Bit Swith. 220 210. Extended mode. 200. Node 1. Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet. Node 2. Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet. Node 3. Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet. Node 4. 190 180. Frequency(kHz). Xeon 2.8G*2 1GB RAM 80GB HDD GB Ethernet. 170. B. 160. 150 140 Defect modes. 130 120. 圖 1 個人電腦叢集系統架構圖. 110. A. 100 90 80. Extended mode. 70. (b). 0. 0.1 0.2 0.3. Γ. (a). 0.4 0.5 0.6. 0.7 0.8 0.9. 1. X. Wave Vector (kx*a/π). 圖 2 (a) 電腦叢集系統全貌;(b) 高速 交換式集線器與各節點連結現狀。. Transmission (dB). 0 -10. (b). -20 -30 -40 -50 80. t=n. cpu 0. cpu 1. cpu 2. cpu 3. velocity fields. velocity fields. velocity fields. velocity fields. 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200. Frequency (kHz). 圖5. (b) 缺陷模態之穿射係數關係. 220. (a). 210. Extended mode. 200. BC. BC. BC. BC. 190. velocity. t=n+1/2. stress fields. velocity. stress fields. velocity. stress fields. velocity. stress fields. Frequency (kHz). 180 170 160. 150 140 130. Anti-symmetric supermodes. 120. BC. BC. BC. BC. 110. 100. Symmetric supermodes. I II. 90. stress. stress. stress. stress. 80. Extended mode. 70. 0 Γ. : MPI exchange. 圖 3 平行化有限差分方程式計算流程圖. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Wave Vector (kx*a/π). 1 X. 圖 6 聲子晶體平行波導超模態之頻散.

(9) x. y. z. free BC. z. x. y. free BC -20. without phononic crystal with phononic crystal -30. h. -40. PBC Insertion Loss (dB). -50. -60. -70. PML -80. (a) 圖7. (b). -90. (a) 表面波所在之聲子晶體示意圖 (b) 表面波模態分析計算設定. -100 0.8. 0.85. 0.9. 0.95. 1. 1.05. 1.1. 1.15. Frequency (Hz). 圖 10. Dispersion of BAW and SAW, Cylinder:Tungsten / Base:Silicon, a:r=4:24, sq.. 1.2 8. x 10. 空氣/矽聲子晶體表面波頻率響應 圖(45 度,100MHz). -20. 600. 600. 550. 550. 500. 500. 450. 450. 400. 400. 350. 350. 300. 300. 250. 250. 200. 200. 150. 150. without phononic crystal with phononic crystal -30. -40. Insertion Loss (dB). Frequency (MHz). -50. -60. -70. -80. -90. BAW (P + SH) BAW (SV) SAW. 100 50 0. Γ. M X Reduced Wave Vector (ka/π). 100 50. Γ. 圖 8 鎢/矽聲子晶體內表面波及徹體波 之頻散關係. 圖 9 空氣/矽聲子晶體表面波各角度頻 溝實驗驗證示意圖. -100 1.2. 1.25. 1.3. 1.35. 1.4. 1.45. 1.5. 1.55. Frequency (Hz). 0. 圖 11 空氣/矽聲子晶體表面波頻率響應 圖(45 度,140MHz). 1.6 8. x 10.

(10)

參考文獻

相關文件

6 《中論·觀因緣品》,《佛藏要籍選刊》第 9 冊,上海古籍出版社 1994 年版,第 1

In the algorithm, the cell averages in the resulting slightly non-uniform grid is updated by employing a finite volume method based on a wave- propagation formulation, which is very

In this paper, we would like to characterize non-radiating volume and surface (faulting) sources for the elastic waves in anisotropic inhomogeneous media.. Each type of the source

Results for such increasing stability phenomena in the inverse source problems for the acoustic, electromagnetic, and elastic waves can be found in [ABF02, BLT10, BHKY18, BLZ20,

 The oxidation number of oxygen is usually -2 in both ionic and molecular compounds. The major exception is in compounds called peroxides, which contain the O 2 2- ion, giving

Teachers may consider the school’s aims and conditions or even the language environment to select the most appropriate approach according to students’ need and ability; or develop

Students are asked to collect information (including materials from books, pamphlet from Environmental Protection Department...etc.) of the possible effects of pollution on our

Then, it is easy to see that there are 9 problems for which the iterative numbers of the algorithm using ψ α,θ,p in the case of θ = 1 and p = 3 are less than the one of the