一阶常微分方程解的存在唯一性

第三章

一阶常微分方程解的存在唯一性

本章主要介绍和证明一阶微分方程解的Picard存在和唯一性定理，解的延拓，解对 初值的连续性和可微性等概念。

3.1

Picard存在唯一性定理

3.1.1

一阶显式微分方程

考虑一阶显式常微分方程的初值问题    dy dx = f (x, y) y|x=x0 = y0 (3.1) 其中f (x, y)为闭矩形区域 R : |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b 上的连续函数。 定义 3.1 如果存在常数L > 0，使得以下不等式 |f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1− y2| 对∀(x, y1), (x, y2) ∈ R都成立，则称函数f (x, y)在区域R内关于y满足Lipschitz条件，常 数L称为Lipschitz常数。 定理 3.1 (Picard存在唯一性定理) 若函数f (x, y)在区域R = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b]上连续，而且关于y满足Lipschitz条件，那么常微分方程初值问题(3.1)在区 间I = [x0− h, x0+ h]上存在唯一解，其中常数 h = min ½ a, b M ¾ , M = max (x,y)∈R|f (x, y)| 〖证明〗 证明过程分3步。 1

(1) 首先证明微分方程初值问题(3.1)等价于积分方程 y(x) = y0+ Z _x x0 f (t, y(t))dt (3.2) 即如果连续可微函数y(x)满足微分方程(3.1)，则它一定满足积分方程(3.2)；如果连 续函数y(x)满足积分方程(3.2)，则它一定连续可微，而且满足微分方程(3.1)。（一 般，一个函数作为微分方程的解被要求是连续可微的，而作为积分方程的解仅要 求连续。）具体证明如下： 如果y = ϕ(x)(x ∈ I)是方程(3.1)的解，就有 dϕ(x) dx = f (x, ϕ(x)) 上式两边从x0到x取定积分可得 ϕ(x) − ϕ(x0) = Z _x x0 f (t, ϕ(t))dt 把定解问题(3.1)的初始条件 ϕ(x0) = y0 代入上式可得 ϕ(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕ(t))dt 因此，y = ϕ(x)是积分方程(3.2)的定义在I上的连续解。 反之，如果y = ϕ(x)(x ∈ I)是(3.2)的连续解，则有 ϕ(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕ(t))dt, x ∈ I (3.3) 上式两端关于x求导可得 dϕ(x) dx = f (x, ϕ(x)) 同时，把x = x0代入(3.3)就得到 ϕ(x0) = y0 因此，y = ϕ(x), x ∈ I是初值问题(3.1)的解，且满足连续可微。 (2) 用Picard逐次逼近法证明解的存在性。具体方法为：构造积分方程(3.2)的一组近似 解，证明近似解的极限满足积分方程(3.2)，从而证明解的存在性。 任取一个R上的连续函数y = ϕ0(x)代入积分方程(3.2)右端，就得到 ϕ1(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕ0(t))dt

3.1 PICARD存在唯一性定理 3 显然，ϕ1(x)也是连续函数。如果ϕ1(x) = ϕ0(x)，那么ϕ0(x)就是积分方程(3.2)的 解。否则，继续将y = ϕ1(x)代入积分方程(3.2)右端得到 ϕ2(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕ1(t))dt 由于f (x, y)是闭矩形R上的连续函数，因此必须验证当|x−x0| ≤ h时，|ϕ1(x)−y0| ≤ b，否 则f (t, ϕ1(t))不 一 定 有 定 义，那 么 下 一 步 就 做 不 下 去 了。具 体 验 证 如 下： 当|x − x0| ≤ h时， |ϕ1(x) − y0| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 f (t, ϕ0(t))dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (t, ϕ0(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ M|x − x0| ≤ Mh ≤ b 因此，ϕ2(x)也是连续函数。如果ϕ2(x) = ϕ1(x)，那么ϕ1(x)就是积分方程(3.2)的 解。否则，继续这一步骤，一般可得到 ϕn(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕn−1(t))dt (3.4) 同样，利用数学归纳法我们可以验证当x ∈ I时，|ϕn(x) − y0| ≤ b(n > 1)。为此，假 设当n = k时成立 |ϕk(x) − y0| ≤ b, x ∈ I 那么，当n = k + 1时， ϕk+1(x) = y0+ Z _x x0 f (t, ϕk(t))dt, x ∈ I 于是，当x ∈ I时， |ϕk+1(x) − y0| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 f (t, ϕk(t))dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (t, ϕk(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ M|x − x0| ≤ Mh ≤ b 这样，就有了一个连续函数的序列 ϕ0(x), ϕ1(x), · · · , ϕn(x), · · · 称为Picard序列。在生成该函数序列的时候，如果有ϕn+1(x) = ϕn(x)，那么ϕn(x)就 是积分方程(3.2)的解；否则可以证明：ϕn(x)(n = 1, 2, · · ·)当x ∈ I时一致收敛到某 一连续函数ϕ(x)。具体证明如下： 由于ϕn(x) = ϕ0(x) + ³ ϕ1(x) − ϕ0(x) ´ + ³ ϕ2(x) − ϕ1(x) ´ + · · · + ³ ϕn(x) − ϕn−1(x) ´ ， 故只需证明无穷级数ϕ0(x) + ∞ P n=0 [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛即可。采用数学 归纳法来证明： 特别，取ϕ0(x) = y0，则 |ϕ1(x) − ϕ0(x)| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 f (t, ϕ0(t))dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (t, ϕ0(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ M|x − x0|

|ϕ2(x) − ϕ1(x)| ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (x, ϕ1(t)) − f (x, ϕ0(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ L ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |ϕ1(t) − ϕ0(t)|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ LM ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |t − x0|dt ¯ ¯ ¯ ¯= LM_2! |x − x0|2 一般，假定已证 |ϕn(x) − ϕn−1(x)| ≤ Ln−1_M n! |x − x0| n 便可推出 |ϕn+1(x) − ϕn(x)| ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (t, ϕn(t)) − f (t, ϕn−1(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ L ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |ϕn(t) − ϕn−1(t)|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ LnM n! ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |t − x0|ndt ¯ ¯ ¯ ¯= L n_M (n + 1)!|x − x0| n+1 特别，当|x − x0| ≤ h时， |ϕn+1(x) − ϕn(x)| ≤ Ln_M (n + 1)!h n+1 由 于 正 项 级 数P∞ n=0 Ln_M (n+1)!hn+1是 收 敛 的，从 而 函 数 项 级 数ϕ0(x) + ∞ P n=0 [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛。 假定 lim n→∞ϕn(x) = ϕ(x) 由于无穷级数ϕ0(x) + ∞ P n=0 [ϕn+1(x) − ϕn(x)]的每一项都在I上连续，所以ϕ(x)也 在I上连续。这样就证明了所构造的Picard逼近函数序列{ϕn(x)}一致收敛到连续 函数ϕ(x)。更进一步，还可以证明：ϕ(x)就是积分方程(3.2)定义在I上的连续解。 具体证明如下： 根据Lipschitz条件 |f (x, ϕn(x)) − f (x, ϕ(x))| ≤ L|ϕn(x) − ϕ(x)| 以及{ϕn(x)}在I上一致收敛于ϕ(x)可知{f (x, ϕn(x))}在I也一致收敛到f (x, ϕ(x))。 因此可以对(3.4)两边关于n取极限，得到 ϕ(x) = lim n→∞ϕn(x) = y0+ limn→∞ Z _x x0 f (t, ϕn−1(t))dt = y0+ Z _x x0 lim n→∞f (t, ϕn−1(t))dt = y0+ Z _x x0 f (t, ϕ(t))dt 这就证明了ϕ(x)的确是积极分方程(3.2)定义在I上的连续解。

3.1 PICARD存在唯一性定理 5 (3) 解的唯一性。 设ϕ(x)和ψ(x)都 是 微 分 方 程(3.1)在I上 的 解。 记M = maxf x∈I |ϕ(x) − ψ(x)|， 根 据Lipschitz条件，当x ∈ I时，有 |ϕ(x) − ψ(x)| ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |f (t, ϕ(t)) − f (t, ψ(t))|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ L ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 |ϕ(t) − ψ(t)|dt ¯ ¯ ¯ ¯ (3.5) ≤ ML|x − xf 0| (3.6) 把不等式(3.6)代入不等式(3.5)的右端，可得 |ϕ(x) − ψ(x)| ≤ M(L|x − xf 0|) 2 2! 如此反复递推可得 |ϕ(x) − ψ(x)| ≤ M(L|x − xf 0|) n n! , x ∈ I 在上式中令n → ∞即可得到ϕ(x) = ψ(x)。这就证明了唯一性。 ■ 注1 存在唯一性定理中参数h的几何意义。 注2 在实际使用中，Lipschitz条件较难检验，故常用f(x, y)在R上有对y的连续偏导数 来替代。

3.1.2

一阶隐式方程

分析: F (x, y, y0_{) = 0 (3.7)} 根据隐函数存在定理，只要F 在(x0, y0, y00)的某邻域内连续，且F (x0, y0, y00) = 0，而∂F∂y0 6= 0，则必可以把y0_{惟一地表示为x, y的函数} y0 _{= f (x, y) (3.8)} 而且，f (x, y)也在(x0, y0)的某一邻域内连续，且满足 y0₀ = f (x0, y0) 如果F 关于所有变元都有连续偏导数，那么f (x, y)对x, y也存在连续偏导数，并且 ∂f ∂y = − ∂F ∂y ∂F ∂y0 (3.9) 上式说明∂f ∂y在(x0, y0)的某一邻域内有界。根据定理3.1，方程(3.8)的满足初始条件y(x0) = y0的解存在且唯一。

定理 3.2 如果在点(x0, y0, y00)的某一个邻域中， ˚_{1 F (x, y, y}0_{)对所有变元(x, y, y}0_{)连续，且存在连续偏导数；} ˚_{2 F (x0, y0, y}0 0) = 0； ˚₃ ∂F (x0, y0, y00) ∂y0 6= 0 则方程(3.7)存在惟一解 y = y(x), |x − x0| ≤ h （h为足够小的正数） 满足初始条件 y(x0) = y0, y0(x0) = y00 (3.10)

3.2

不动点定理与解的存在性

本节将给出微分方程解的存在唯一性的抽象形式——不动点理论。 定义 3.2 设X为一个非空集合，如果∀x, y ∈ X，都∃ρ(x, y) ∈ R与其对应且满足以下三个 条件： (1) 非非非负负负性性性：：： ρ(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，ρ(x, y) ≡ 0； (2) 对对对称称称性性性：：： ρ(x, y) = ρ(y, x)； (3) 三三三角角角不不不等等等式式式：：： ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)，z ∈ X。 则称ρ为X上的距离，称X是以ρ为距离的距离空间。 定义 3.3 对于距离空间X中的点列{xn}，如果∀ε > 0，∃N > 0，使当m, n > N 时 ρ(xm, xn) < ε 则称{xn}为Cauchy点列或者基本点列。如果X中的任一基本点列必收敛于X中的某一点， 则称X为完备的距离空间。 定义 3.4 设X, Y都是距离空间，如果对于每一个x ∈ X，必有Y中唯一一点y与之对应， 则称这个对应关系是一个映射。常用记号T 来表示，即T x = y。 定义 3.5 如果∀x ∈ X以及某一给定的x0 ∈ X，映射T 满足以下条件：∀ε > 0，∃δ > 0，使 得当ρ(x, x0) < δ时，有ρ(T x, T x0) < ε，则称映射T 在x0处连续。如果映射T 在X中的每一 点都连续，就称T 在X上连续或者称T 是连续映射。

3.2 不动点定理与解的存在性 7 定义 3.6 设X是一个完备的距离空间，ρ是X上的距离，T 是由X到X自身的映射，并 且∀x, y ∈ X，成立 ρ(T x, T y) ≤ θρ(x, y) (3.11) 其中θ是满足0 ≤ θ < 1的定数。那么称T 为X上的压缩映射。 定理 3.3 (Banach压缩映像原理) 设X是一个完备的距离空间，T 是X上的一个压缩映 射。那么T 在X中存在唯一不动点，即存在唯一的˜x ∈ X，使得T ˜x = ˜x。 〖证明〗 在X中任取一点x0，并令 x1 = T x0, x2 = T x1, · · · , xn+1 = T xn, · · · 以下证明所得序列{xn}是X中的一个基本点列。事实上 ρ(x1, x2) = ρ(T x0, T x1) ≤ θρ(x0, x1) = θρ(x0, T x0); ρ(x2, x3) = ρ(T x1, T x2) ≤ θρ(x1, x2) ≤ θ2ρ(x0, T x0); · · · · 一般有 ρ(xn, xn+1) ≤ θnρ(x0, T x0), n = 1, 2, · · · 连续使用距离的三角不等式，可得对任意自然数p， ρ(xn, xn+p) ≤ ρ(xn, xn+1) + ρ(xn+1, xn+2) + · · · + ρ(xn+p−1, xn+p) ≤ (θn_{+ θ}n+1_{+ · · · + θ}n+p_)ρ(x 0, T x0) = θ n_{(1 − θ}p₎ 1 − θ ρ(x0, T x0) ≤ θn 1 − θρ(x0, T x0) 根据定理假定，0 ≤ θ < 1，故当n → ∞时，θn _{→ 0，这样点列{x} n}是基本点列。由于X是 完备的，因此{xn}在X中收敛于某一点˜x。再由不等式(3.11)可知，T 是X上的连续映射。 在xn+1 = T xn两端令n → ∞，有 ˜ x = T ˜x 这就说明˜x是T 的一个不动点。 再证明不动点的唯一性。设另有¯x ∈ X，使¯x = T ¯x，则 ρ(˜x, ¯x) = ρ(T ˜x, T ¯x) ≤ θρ(˜x, ¯x) 由于0 ≤ θ < 1，故ρ(˜x, ¯x) ≡ 0，即˜x ≡ ¯x。唯一性得证。■ 现在我们可以使用Banach压缩映像原理来证明定理3.1了。 不妨设f 的Lipschitz常数L > 0。∀θ ∈ [0, 1)，记 ˜h = min ½ a, b M, θ L ¾

用X表示区间[x0 − ˜h, x0 + ˜h]上全部连续函数组成的空间。由于常微分方程初值问 题(3.1)等价于以下积分方程(3.2) y(x) = y0+ Z _x x0 f (t, y(t))dt 因此，我们在X内定义映射 (T y)(x) = y0 + Z _x x0 f (t, y(t))dt 在X上引入距离 ρ(y1, y2) ≡ ky1− y2k=∆ max x∈[x0−˜h,x0+˜h] |y1(x) − y2(x)|, ∀y1, y2 ∈ X 那么， ρ(T y1, T y2) = max x∈[x0−˜h,x0+˜h] ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 f (t, y1(t)) − f (t, y2(t))dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ max x∈[x0−˜h,x0+˜h] ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x x0 L|y1(t) − y2(t)|dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ L˜h max x∈[x0−˜h,x0+˜h]|y1(t) − y2(t)| = L˜hρ(y1, y2) ≤ θρ(y1, y2) 因此T 是X上的压缩映射。根据定理3.3，存在唯一的连续函数y0(x)(x ∈ [x0− ˜h, x0+ ˜h])使 得 y0(x) = y0+ Z _x x0 f (t, y0(t))dt 即方程(3.1)在x ∈ [x0− ˜h, x0+ ˜h]上有唯一解。由于[x0− ˜h, x0+ ˜h] ⊂ I = [x0− h, x0+ h]， 因此以上证明的结果与定理3.1的结论尚有差距。我们可以根据常微分方程初值问 题(3.1)中的初始条件，利用下节的解的延拓的方法，将结论延拓到I上。

3.3

解的延拓

问题: 定理3.1给出的Cauchy问题的解的存在惟一性是局部的，其给出的解的存在区间很 小（|x − x0| ≤ h）。这会给实际使用带来很多麻烦。能否将解的存在区间扩大呢？一个很 自然的猜测是：f (x, y)的存在区域R越大，则解的存在区间也应该越大。这个猜测实际 是不对的。 【例1】 _   dy dx = x 2_{+ y}2 y(0) = 0

3.3 解的延拓 9 如果f (x, y) = x2_{+ y}2_{的存在区间取为R} 1 = n (x, y) ¯ ¯ ¯|x| ≤ 1, |y| ≤ 1o，即a1 = 1, b1 = 1。 那么对应的M1 = max (x,y)∈R1 f (x, y) = 2，h1 = min ³ a1,_M1b1 ´ = 1 2。而如果f (x, y)的存在区间 取为R2 = n (x, y) ¯ ¯ ¯|x| ≤ 2, |y| ≤ 2 o ，即a2 = 2, b2 = 2。那么对应的M2 = max (x,y)∈R2 f (x, y) = 2，h2 = min ³ a2,_M2b2 ´ = 1 4。显然，区域R2大于R1，但是解的存在区间反而由|x| ≤ h1 = 1 2缩小到|x| ≤ h2 = 14。 定义 3.7 对方程(3.1)，设y = ϕ(x)是方程定义在(α1, β1)内的一个解。若存在方程的另 一个定义在(α₂, β2)的解y = ψ(x)，满足 (1) (α2, β2) ⊃ (α1, β1)，但(α1, β1) 6= (α2, β2)； (2) ψ(x) ≡ ϕ(x)，当x ∈ (α1, β1)

则称y = ϕ(x)为可延拓解，并称y = ψ(x)是解y = ϕ(x)的一个延拓。

若不存在满足上述条件的解y = ψ(x)，则称解y = ϕ(x), x ∈ (α1, β1)为方程的一个饱 和解，存在区间(α₁, β1)为饱和区间或最大存在区间。 定义 3.8 对于方程(3.1)，假设f (x, y)在开区域G内连续。如果对G内每一点，都存在以 该点为中心的完全属于G的闭区域S。而且在S中，方程右端f (x, y)关于y满足Lipschitz条 件。我们就称f (x, y)满足局部Lipschitz条件。用更为简洁的数学式子来表示： ∀(x1, y1) ∈ G, ∃a1 > 0, b1 > 0, s.t. S = n (x, y) ¯ ¯ ¯|x − x1| ≤ a1, |y − y1| ≤ b1 o ⊂ G 且存在常数L（与x1, y1, a1, b1有关），对∀(x, y0), (x, y00) ∈ S，有 |f (x, y0) − f (x, y00)| ≤ L|y0− y00| 延拓方法: 根据定理3.1，如果方程(3.1)的右端项f (x, y)在其存在区域G内关于y满足局部Lipschitz条 件，则∃h1 > 0，使得方程(3.1)在[x0 − h1, x0 + h1]上存在惟一解ϕ1(x)。然后，我们再 以³x0 + h1, ϕ1(x0 + h1) ´ 为新的初值，这样根据定理3.1，存在另一个h2 > 0，使得方 程(3.1)在[x0 + h1− h2, x0+ h1+ h2]上存在惟一解ϕ2(x)。这样解的存在区间就被向右延 拓了。 同样以³x0− h1, ϕ1(x0− h1) ´ 为新的初值，就可以使解向左延拓。反复进行这样的 延拓就可以得到更大的解的存在区间。 定理 3.4 (解的延拓定理) 如果方程(3.1)的右端项f (x, y)在有界区域G内连续，并且关于 变元y满足局部Lipschitz条件。又设P0(x0, y0)为G内的任意一点，y = ϕ(x)为经过P0（满 足方程(3.1)初始条件）的一条积分曲线。那么y = ϕ(x)的最大存在区间是一个开区 间(α, β)，且积分曲线将在区域G内向左右两个方向延伸到边界（换言之，对于任何有界 闭区域Ω(P0 ∈ Ω ⊂ G)，积分曲线将延伸到Ω之外）。

注1 由有限覆盖定理易得：如果G是有界闭区域，则f(x, y)在G上满足局部Lipschitz条 件等价于它在G上满足整体Lipschitz条件。但当G是开区域时，G上的局部Lipschitz条件 则弱于G上的整体Lipschitz条件。对于任意区域G，如果f(x, y)在G上对y有连续偏导数， 则f对y满足局部Lipschitz条件。 注2 解最大存在区间(α, β)，以右端β为例，必然发生下列情形之一： (1) β = +∞； (2) β < +∞，当x → β − 0时，ϕ(x)无界； (3) β < +∞，当x → β − 0时，点(x, ϕ(x))与G的边界∂G的距离趋于0。 类似也可以讨论左端点α的情形。 【例2】 讨论方程dy dx = y 2_{过点(1, 1)以及点(3, −1)的积分曲线的存在区间。} 〖解〗 f (x, y) = y2_，∂f ∂y = 2y在xoy平面内连续，且满足延拓定理和解的存在惟一性定 理的条件。利用分离变量法解得 y = 1 c − x, y = 0 过点(1, 1)的积分曲线为：y = 1 2−x。当x = 2时无意义，因此该积分曲线的最大存在 区间为(−∞, 2); 过点(3, −1)的积分曲线为：y = 1 2−x。同样当x = 2时无意义，但此时该积分曲线的 最大存在区间为(2, +∞)。 尽管f (x, y)在全平面上满足延拓定理条件，但积分曲线不一定充满(−∞, +∞)。另 外平凡解y = 0的最大存在区间为(−∞, +∞)。■

3.4

解对初值与参数的连续性与可微性

研究的意义: 在实际问题中，初值或参数多是通过测量或者实验得到的，因此不可避免地会有误 差。如果初值或参数的一些微小的变化引起了解的剧烈变化，那么，所求得的解就没有 什么实际意义了。

3.4.1

Gronwall不等式

定理 3.5 (Gronwall不等式) 设α ∈ R，u(x), ϕ(x)和λ(x)是区间[x0, X]上的三个连续函 数，λ(x) ≥ 0且成立以下不等式 u(x) ≤ α + Z _x x0 [λ(t)u(t) + ϕ(t)]dt, (x0 ≤ x ≤ X) (3.12) 则 u(x) ≤ αe Rx x0λ(t)dt+ Z _x x0 eRtxλ(τ )dτϕ(t)dt, (x 0 ≤ x ≤ X) (3.13)

3.4 解对初值与参数的连续性与可微性 11 〖证明〗 记 v(x) = α + Z _x x0 [λ(t)u(t) + ϕ(t)]dt 则 u(x) ≤ v(x) (3.14) 且 dv dx = λ(x)u(x) + ϕ(x) 将(3.12)两边同乘以e−Rx0x λ(t)dt并利用(3.12)，可得 d dx n v(x)e− Rx x0λ(t)dt o = [v0(x) − v(x)λ(x)]e− Rx x0λ(t)dt = ½ λ(x) · u(x) − α − Z _x x0 ³ λ(t)u(t) + ϕ(t) ´ dt ¸ + ϕ(x) ¾ e− R_x x0λ(t)dt ≤ ϕ(x)e− Rx x0λ(t)dt 将以上不等式关于x从x0到x积分，特别注意v(x0) = α，即得 v(x)e− Rx x0λ(t)dt− α ≤ Z _x x0 ϕ(t)e− Rt x0λ(τ )dτdt 最后用eRx0x λ(t)dt乘上式两端，可得 v(x) ≤ αe R_x x0λ(t)dt+ Z _x x0 ϕ(t)eRtxλ(τ )dτdt 利用上式及(3.14)即得(3.13)。■ 现假设两个给定方程 dy dx = f1(x, y), y(x0) = ξ0 (3.15) 和 dy dx = f2(x, y), y(x0) = η0 (3.16) 其中f1, f2 ∈ C[a, b] × (−∞, ∞)，且分别满足对y的Lipschitz条件。又设对x的任一区 间[c, d] ⊂ (a, b)，存在连续函数δ(x)，使不等式 |f1(x, y) − f2(x, y)| ≤ δ(x), x ∈ [c, d] (3.17)

对 一 切y成 立。再 设y = ξ(x)是 方 程(3.16)的 经 过 点(x0, ξ0)的 解 曲 线；y = η(x)是 方

程(3.17)的经过点(x0, η0)的解曲线，其中a < x0< b。当x ∈ (x0, b)时，以下利用Gronwall不 等式(3.13)导出|ξ(x) − η(x)|的估计式。 根据(3.2)，ξ(x)和η(x)分别满足积分方程 ξ(x) = ξ0+ Z _x x0 f1(t, ξ(t))dt (3.18)

和 η(x) = η0+ Z _x x0 f2(t, η(t))dt (3.19) 把(3.18)减去(3.19)并加减同一项R_x0x f2(t, ξ(t))dt整理可得 ξ(x)−η(x) = ξ0−η0+ Z _x x0 h f1 ³ t, ξ(t)´− f2 ³ t, ξ(t)´idt+ Z _x x0 h f2 ³ t, ξ(t)´− f2 ³ t, η(t)´idt 上式两边取绝对值，并应用(3.17)与Lipschitz条件可得 |ξ(x) − η(x)| ≤ |ξ0− η0| + Z _x x0 δ(t)dt + L Z _x x0 |ξ(t) − η(t)|dt 现取u(x) = |ξ(x) − η(x)|，α = |ξ0− η0|，λ(x) = L以及ϕ(x) = δ(x)，根据Gronwall不等 式(3.13)可得 |ξ(x) − η(x)| ≤ |ξ0 − η0|eL(x−x0)+ Z _x x0 eL(x−t)_{δ(t)dt (3.20)} 特别，如果f1(x, y) ≡ f2(x, y)，则δ(x) ≡ 0，此时ξ(x)与η(x)是同一个微分方程的满足不 同初始条件的两个特解，由(3.20)可得 |ξ(x) − η(x)| ≤ |ξ0− η0|eL(x−x0) (3.21) 如果f1 6≡ f2，但是ξ0 = η0，则y = ξ(x)和y = η(x)分别表示两个不同方程(3.15)和(3.16)经 过同一点的解曲线，同样由(3.20)可得 |ξ(x) − η(x)| ≤ Z _x x0 eL(x−t)_{δ(t)dt (3.22)}

3.4.2

解对初值和参数的连续性

根据以上结论，现在可以给出解对初值的连续性定理及其证明。 定理 3.6 (解对初值的连续性定理) 设方程 dy dx = f (x, y) (3.23)

的 右 端f (x, y)在 区 域D中 连 续，并 且 满 足Lipschitz条 件。y = ξ(x)是 方 程(3.23)的 经 过(x0, ξ0)的解，定义于区间[x0, X]（X < b）。则∀ε > 0，∃δ > 0，当|η0−ξ0| < δ时，(3.23)的

经过点(x0, η0)的解曲线y = η(x)也在[x0, X]上有定义，并且

|η(x) − ξ(x)| ≤ ε, x0 ≤ x ≤ X (3.24)

〖证明〗 由于f (x, y)在D中连续，且满足Lipschitz条件，因此根据定理(3.1)，满足 初 始 条 件y|_x=x0 = ξ0的 解y = ξ(x)存 在 唯 一。记 积 分 曲 线y = ξ(x)为l，则l : y =

3.4 解对初值与参数的连续性与可微性 13 开圆C ⊂ D，使在其内的函数f (x, y)关于y满足Lipschitz条件。根据有限覆盖定理，可 以找到有限个具有这种性质的开圆，记为Ci(i = 1, 2, · · · , N )，并且他们的全体可以覆

盖整个积分曲线段l。设εi为Ci的半径，并记相应的Lipschitz常数为Li(i = 1, 2, · · · , N )。

记ε0 = min

1≤i≤N{εi}，L = max1≤i≤N{Li}。令Ω =

n S i=1 Ci，那么l ⊂ Ω ⊂ D，且Ω的边界∂Ω到l的距 离0 < ρ ≤ ε0。 现取¯ε = min{ε, ρ}，δ = ¯ε/2 · e−L(X−x0)_{。易证：∀x ∈ [x} 0, X]，经过点(x0, η0)的方 程(3.23)的积分曲线˜l : y = η(x), x ∈ [x0, X]必包含在Ω内部。这是因为∀x ∈ [x0, X]，根 据(3.21) |η(x) − ξ(x)| ≤ |η0− ξ0|eL(X−x0) < δeL(X−x0) = ¯ ε 2 < ρ 因此积分曲线˜l上的点(x, η(x))一定在Ω内部。这也就证明了∀x ∈ [x0, X]，|η(x) − ξ(x)| < ¯ ε 2 < ε。■ 利用相似的证明方法并结合(3.22)可以证明以下的解关于方程右端函数的连续性定 理（证明过程从略，见习题）。 定理 3.7 (解关于方程右端函数的连续性定理) 设y = ξ(x), x ∈ [x0, X], X < b是方程 (3.23)的经过(x0, ξ0)的解。则∀ε > 0，∃δ(x) ≥ 0，δ(x) ∈ C[x0, X]，对任何方程 dy dx = g(x, y) (3.25) 只要g(x, y)在区域D中连续，满足局部Lipschitz条件以及以下不等式 |f (x, y) − g(x, y)| ≤ δ(x), x0 ≤ x ≤ X, −∞ < y < ∞ 那么(3.25)的经过(x0, ξ0)的积分曲线y = η(x)也必在[x0, X]上有定义，并且在[x0, X]上满 足不等式(3.24)。 对于方程右端含有参数λ的微分方程 dy dx = f (x, y; λ) (3.26) 记 Dλ = {(x, y, λ)|(x, y) ∈ D, α < λ < β} (3.27) 设f (x, y; λ)在Dλ内连续，且关于y满足局部Lipschitz条件，其Lipschitz常数L与参数λ无 关。 定理 3.8 (解对参数的连续性定理) 设f (x, y; λ)在(3.27)中定义的区域Dλ内连续，并且 在Dλ内关于y一致地满足局部Lipschitz条件。(x0, ξ0, λ0) ∈ Dλ，y = ξ(x)是方程(3.26)经 过点(x0, ξ0)，参数λ取为λ0时的积分曲线，其中x ∈ [x0, X], X < b。则∀ε > 0，∃δ > 0， 当|λ1− λ0| < δ时，方程 dy dx = f (x, y; λ1) (3.28) 的经过点(x0, ξ0)的积分曲线y = η(x)也在[x0, X]上有定义，并且满足不等式(3.24)。

3.4.3

解对初值和参数的连续可微性

进一步，我们可以讨论解对初值和参数的连续可微性。一般，对于微分方程定解问 题 _   dy dx = f (x, y; λ) y|x=x0 = y0 (3.29) 中的初值(x0, y0)和参数λ，我们总认为是固定的。但本节讨论的问题是假如(x0, y0, λ)变 动，则相应的初值问题(3.29)的解随之如何进行变动。也就是说，初值问题的解不仅 仅依赖于自变量x，同时也依赖于初值(x0, y0)和参数λ。因此我们可以考虑将初值问 题(3.29)的解看作是四个变元的函数，记为 y = y(x, x0, y0, λ) 以下给出解对初值和参数的可微性定理。 定理 3.9 (解对初值和参数的可微性定理) 设方程(3.29)中的f (x, y, λ)当(x, y) ∈ D，λ ∈ (α, β) = I是连续函数，且关于x, y, λ有连续偏导数。则方程(3.29)的解y(x, x0, y0, λ)有关 于x0，y0和λ的连续偏导数。 〖证明〗 由于f 关于y在D内有连续偏导数，故f 在D内关于y满足局部Lipschitz条件。 因此在定理的条件下，解对初值和参数的连续性定理成立，即y(x, x0, y0, λ)在其存在范 围内关于x, x0, y0, λ是连续的。由y = y(x, x0, y0, λ)是方程(3.29)的解以及f 的连续性，立

即可以推得∂y_∂x的连续性。以下证明对于函数y = y(x, x0, y0, λ)在D × I内任一点的偏导

数_∂x0∂y，_∂y0∂y以及_∂λ∂y存在且连续。 首先证明∂y

∂x0存在且连续。

假设由初值(x0, y0)和(x0 + ∆x0, y0)（|∆x0| ≤ δ，δ为足够小的正数）所确定的方

程(3.29)的解分别为y = y(x, x0, y0, λ)def= ξ和y = y(x, x0+ ∆x0, y0, λ)def= η。由(3.2)可知

ξ ≡ y0+ Z _x x0 f (t, ξ, λ)dt, η ≡ y0+ Z _x x0+∆x0 f (t, η, λ)dt 于是 η − ξ ≡ Z _x x0+∆x0 f (t, η, λ)dt − Z _x x0 f (t, ξ, λ)dt = Z _x x0 ∂f ³ t, ξ + θ(η − ξ), λ ´ ∂y (η − ξ)dt − Z _x0+∆x0 x0 f (t, η, λ)dt 其中θ ∈ (0, 1)。注意到∂f_∂y以及ξ, η的连续性，我们有 ∂f ³ t, ξ + θ(η − ξ), λ ´ ∂y = ∂f (t, ξ, λ) ∂y + α1

3.4 解对初值与参数的连续性与可微性 15 这里α1满足：当∆x0 → 0时，α1 → 0，且当∆x0 = 0时，α1 = 0。类似地，有 − 1 ∆x0 Z _x0+∆x0 x0 f (t, η, λ)dt = −f (x0, y0, λ) − α2 这里α2与α1具有相同的性质，因此对∆x0 6= 0有 η − ξ ∆x0 ≡ [−f (x0, y0, λ) + α2] + Z _x x0 · ∂f (t, ξ, λ) ∂y + α1 ¸ η − ξ ∆x0 令u = η−ξ ∆x0，则u是初值问题    du dx = · ∂f (x, ξ, λ) ∂y + α1 ¸ u u(x0) = −f (x0, y0, λ) + α2 def= u0 (3.30) 的解。当∆x0 = 0时，上述初值问题仍然有解（∆x0看作参数）。根据前面的解对初值和 参数的连续性定理可知，u是x, x0, u0, ∆x0的连续函数。从而有 lim ∆x0→0 η − ξ ∆x0 ≡ ∂ξ ∂x0 而 ∂ξ ∂x0是初值问题 _   du dx = ∂f (x, ξ, λ) ∂y u u(x0) = −f (x0, y0, λ) 的解，易求得 ∂ξ ∂x0 = −f (x0, y0, λ)e Rx x0 ∂f (t,ξ,λ) ∂y dt 显然这是x, x0, y0, λ的连续函数。 其次,同样可证_∂y0∂y存在且连续。

设由初值(x0, y0 + ∆y0)（|∆y0| ≤ δ）所确定的方程(3.29)的解为y = y(x, x0, y0 +

∆y0, λ)def= ζ。采用类似的方法可以推出 v = ζ − ξ ∆y0 是初值问题        dv dx = · ∂f (x, ξ, λ) ∂y + α3 ¸ v v(x0) = ζ − ξ ∆y0 ¯ ¯ ¯ ¯ x=x0

= y(x0, x0, y0+ ∆y0, λ) − y(x0, x0, y0, λ) ∆y0 = (y0 + ∆y0) − y0 ∆y0 = 1 (3.31) 的解。解得 v = e R_x x0 h ∂f (t,ξ,λ) ∂y + α3 i dt

其中α3具有性质：当∆y0 → 0时，α3 → 0且∆y0 = 0时，α3 = 0。从而有 ∂ξ ∂y0 = lim ∆y0→0 ζ − ξ ∆y0 = e R_x x0 ∂f (t,ξ,λ) ∂y dt 显然它也是x, x0, y0, λ的连续函数。 至于_∂λ∂y的存在及连续性，其证明方法是类似的，留给读者作为练习，这里就不再给 出了。■

3.5

常微分方程的特征值问题

研究意义: 很多实际问题，最后归结成常微分方程定解问题时其求解区域是有界区域，也就是 所谓的常微分方程边值问题。一般来说，边值问题的解不一定存在；即使存在也不一定 唯一。本节着重讨论在数学物理中有着重要应用的Sturm-Liouville边值问题。

3.5.1

Sturm-Liouville问题

在求解数学物理的许多问题时，常常会碰到求解如下形式的常微分方程的特征值问 题（称为Sturm-Liouville问题）        d dx µ k(x)dy dx ¶ − q(x)y(x) + λρ(x)y(x) = 0, (a < x < b) (3.32) µ −α1 dy dx+ β1y ¶¯_¯ ¯ ¯ x=a = 0, µ α2 dy dx + β2y ¶¯_¯ ¯ ¯ x=b = 0 (3.33) 其中λ为特征值，对应的非零解为特征函数。(3.32)中的k(x)、q(x)和ρ(x)为x在(a, b)中 充分光滑的函数，而且当x ∈ (a, b)时，k(x) > 0, ρ(x) > 0, q(x) ≥ 0。若x = a为k(x)的 一 阶 零 点，则 要 求 特 征 函 数y(x)在x = a近旁有界；若x = b为k(x)的一阶零点，则 要求y(x)在x = b近旁有界。这里的ρ(x)称为权函数。(3.33)中规定常数αj ≥ 0, βj ≥ 0, αj + βj > 0 (j = 1, 2)。 (3.33)中包含了很大一类边界条件的特征值问题。例如，若α1 = 0，则在x = a处为 第一类边界条件；若β1 = 0，则在x = a处为第二类边界条件；若α1 6= 0、α2 6= 0，则 在x = a处为第三类边界条件。对于x = b处的边界条件也有类似的讨论。 (3.32)包 含 了 很 大 一 类 常 微 分 方 程 的 特 征 值 问 题。例 如，当k(x) = x, q(x) = ν2 x, ρ(x) = x (0 < x < l)时，(3.32)就化为ν阶Bessel方程 d dx µ xdy dx ¶ − ν2 xy + λxy = 0 又如，当k(x) = 1 1−x2, q(x) ≡ 0, ρ(x) ≡ 1 (−1 < x < 1)时，(3.32)就化为Legendre方程 d dx · (1 − x2₎dy dx ¸ + λy = 0

3.5 常微分方程的特征值问题 17 再如，当k(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0, ρ(x) ≡ 1时，(3.32)就化为我们多次碰到的常微分方程 y00_{(x) + λy(x) = 0} 当然，问题(3.33)没有把周期边界条件包括进去。对于周期边界条件问题，也有类似的讨 论，本书就不讨论了。

3.5.2

Sturm-Liouville问题解的性质

性质 3.1 特征值λ ≥ 0。特别的，当β1 + β2 > 0（即两端不同时为第二类边值问题）时， 问题(3.32)、(3.33)的所有特征值λ > 0。 〖证明〗 设λ为特征值，对应的特征函数为y(x)。把(3.32)两边乘上y(x)以后，再在[a, b]上 积分，得 λ Z _b a ρ(x)[y(x)]2_{dx = −} Z _b a y(x) d dx · k(x)dy dx ¸ dx + Z _b a q(x)[y(x)]2_dx

= k(a)y(a)y0_{(a) − k(b)y(b)y}0_{(b) +}

Z _b

a

©

k(x)[y0_(x)]2_{+ q(x)[y(x)]}2ª_dx

(3.34) 对(3.33)中左端边界条件α1y0(a) = β1y(a)两边同乘以y0(a)得

α1[y0(a)]2 = β1y0(a)y(a) (3.35)

对α1y0(a) = β1y(a)两边同乘以y(a)得

β1[y(a)]2 = α1y0(a)y(a) (3.36)

(3.35)与(3.36)相加以后可得

y0_{(a)y(a) =} α1[y0(a)]2+ β1[y(a)]2

α1+ β1 (3.37) 同样，对(3.33)中右端边界条件−α2y0(b) = β2y(b)两边同乘以y(b)得 −α2y0(b)y(b) = β2[y(b)]2 (3.38) 对−α2y0(b) = β2y(b)两边同乘以y0(b)得 −β2y0(b)y(b) = α2[y0(b)]2 (3.39) (3.38)与(3.39)相加以后可得 −y0(b)y(b) = α2[y 0_(b)]2_{+ β} 2[y(b)]2 α2+ β2 (3.40)

把(3.37)和(3.40)代入(3.34)可得 λ = k(a){α1[y0_(a)]2_+β 1[y(a)]2} α1+β1 + k(b){α2[y0_(b)]2_+β 2[y(b)]2} α2+β2 + R_b a n k(x)[y0_(x)]2_{+ q(x)[y(x)]}2o_dx R_b aρ(x)[y(x)]2dx ≥ 0 (3.41) 再讨论一下在什么条件下，上式分子为零。首先的一个必要条件是y0_{(x) ≡ 0，即y(x) ≡} A为常数（因为y(x)为非零解，故必须有A 6= 0）。否则，若y0_{(x) 6≡ 0，则因为当x ∈} (a, b)时，k(x) > 0，必有 Z _b a k(x)[y0_(x)]2_{dx > 0} 其 次， 必 须q(x) ≡ 0。否 则， 因 为q(x) ≥ 0， 若q(x) 6≡ 0， 必 有 在(a, b)的 某 小 区 间[a1, b1]中，q(x) > 0，因此必有 Z _b a q(x)[y(x)]2dx = A2 Z _b a q(x)dx ≥ A2 Z _b1 a1 q(x)dx > 0

最后，因为y(x) ≡ A，(3.41)分子中的y0_{(a) = 0, y}0_{(b) = 0, y(a) = A, y(b) = A。要使分子}

为零，必须有β1 = β2 = 0，即(3.33)中，两端都是第二类边界条件。因此，只有当(3.32)中 的q(x) ≡ 0，并且(3.33)中两端都是第二类边界条件时，零特征值对应的特征函数为非零 常数。■ 性质 3.2 有可列无穷多个非负特征值λ1, λ2, · · ·满足 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ · · · , lim n→∞λn = +∞ 性 质 的 证 明 参 看[丁 同 仁、李 承 治，《常 微 分 方 程 教 程（第 二 版）》，高 等 教 育 出 版 社，2004]。 性质 3.3 对应于不同特征值的特征函数在[a, b]中是带权正交的。 〖证明〗 设λ 6= µ是两个不相等的特征值，对应的特征函数分别是y(x)和z(x)，则有 λρ(x)y(x) = − d dx[k(x)y 0_{(x)] + q(x)y(x) (3.42)} µρ(x)z(x) = − d dx[k(x)z 0_{(x)] + q(x)z(x) (3.43)} (3.42)和(3.43)分别乘以z(x)和y(x)后，两式相减可得 (λ − µ) Z _b a ρ(x)y(x)z(x)dx = Z _b a ½ y(x) d dx[k(x)z 0_{(x)] − z(x)} d dx[k(x)y 0_(x)] ¾ dx = k(b)[y(b)z0_{(b) − y}0_{(b)z(b)] − k(a)[y(a)z}0_{(a) − y}0_(a)z(a)]

3.5 常微分方程的特征值问题 19 另外，由(3.33)在x = a处的边界条件可得 ( α1y0(a) − β1y(a) = 0 α1z0(a) − β1z(a) = 0 (3.45) (3.45)可以看成关于(α1, β1)的一个线性代数方程组。因为α1和β1不同时为零，其系数行 列式必须为零，即

y(a)z0_{(a) − y}0_{(a)z(a) = 0 (3.46)}

同样，由(3.33)在x = b处的边界条件可得 ( α2y0(b) + β2y(b) = 0 α2z0(b) + β2z(b) = 0 (3.47) 因为α2和β2不同时为零，故必须有 y(b)z0(b) − y0(b)z(b) = 0 (3.48) 把(3.46)和(3.48)代入(3.44)可得特征函数带权ρ(x)的正交性， Z _b a ρ(x)y(x)z(x)dx = 0 (3.49) ■ 性质 3.4 对于同一特征值，对应的特征函数最多只有有限个。若某特征值对应的线性 无关特征函数不止一个，利用正交化方法，可使这些特征函数互相带权ρ(x)正交。由于 对应不同特征值的特征函数是带权ρ(x)正交的，这样便得到了[a, b]上完备的带权ρ(x)的 正交特征函数系{yn(x), n = 1, 2, · · ·}，使对[a, b]上任一平方可积函数f (x)，都可以按此 特征函数系进行Fourier展开， f (x) = ∞ X n=1 cnyn(x) (3.50) 其中 cn= 1 σn Z _b a f (x)yn(x)ρ(x)dx, n = 1, 2, · · · (3.51) (3.51)中的σn为 σn = Z _b a ρ(x)[yn(x)]2dx, n = 1, 2, · · · (3.52) (3.50)中的收敛是在L2_{[a, b]的范数意义之下：} lim n→∞   Z _b a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯f (x) − n X k=1 ckyk(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx   1 2 = 0 (3.53) 当f (x)在[a, b]中充分光滑且满足(3.33)中的边界条件时，(3.50)可以是一致收敛的。