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2-多項式

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Academic year: 2021

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(1)

2 - 多項式函數

【83】若函數 f (x)  ax2 bx  c 的圖形如下圖,則下列各數哪些為負數?(A) a (B) b (C) c (D) b2 4ac (E) a  b  c 【解答】(C)(E) 【詳解】 (A) f (x) ax2 bx c,拋物線開口向上 ∴ a > 0 (B)頂點在第 3 象限 ∴  a b 2 < 0 ∴ b > 0 (C)拋物線交 y 軸於 x 軸下方 ∴ c  0 (D)拋物線交 x 軸於兩點 ∴ b2 4ac > 0 (E)令 x 1 ∴ f (1)  a (1)2 b (1)  c a b c < 0 ∴ 應選(C)(E) 【84-1】已知二多項式 P(x)  1  2x  3x2  …  10x9 11x10

  10 0 ) 1 ( i i x i 與 Q (x)  1  3 x2  5 x4  …  9 x8  11 x10

  5 0 2 ) 1 2 ( i i x i ,則 P (x)和 Q (x)的乘積中, x9 的係數為 。 【解答】110 【詳解】 P(x) Q(x)  (1  2x 3x2 …  10x9 11x10)(1  3x2 5x4 7x4 9x8 11x10) 比較 x9的係數,得 2 9  4  7  6  5  8  3  10  1  110 【84-2】設 m 為實數,若二次函數 y  mx2 10 x  m  6 的圖形在直線 y  2 的上方,則 m 的 範圍為何?(A) m > 0 (B) m >  2  29 (C) 0 < m <  2  29 (D)  2  29 < m <  2  29 (E) m >  2  29 或 m <  2  29 【解答】(B) 【詳解】 ∵ 對於任意實數 x 恆有 mx2 10x m 6 > 2 mx2 10x (m 4) > 0,x R 故         0 ) 4 ( 4 10 0 2 m m D m …… …… ,由得 m 2 4 m  25 > 0  m >  2  29 或 m <  2  29 。但 m > 0 ∴ m >  2  29

(2)

【85】設 f (x)為實係數三次多項式,且 f (i)  0(i  1),則函數 y  f (x)的圖形與 x 軸有 幾個交點?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E)因 f (x)的不同而異 【解答】(B) 【詳解】 利用複根定理:實係多項式方程式有一根 a bi,則必有一根 a bi (其中 a,b 為實數) f (x)為三次多項式,f (i)  0  f ( i)  0 f (x)  0 之第三個根必為實根,也是唯一的實根 ∴ y f (x)之圖形與 x 軸有一個交點 【86-1】設 f (x)  x5 6x4  4x3  25x2  30x  20,則 f ( 7)  【解答】6 【詳解】 1  6  4  25  30  20  7  7  7  21  28  14 1 1  3  4  2  6 ∴ f ( 7)  6 【86-2】有一邊長為 3 的正六邊形紙板,今在每一個角各剪掉一個小三角形,使其成為正十二 邊形之紙板,則此正十二邊形之一邊長為(A) 1 (B) 2 3 (C) 3 (D) 3 3 3 3  (E) 6 3 9 【解答】(E) 【詳解】 小三角形腰長 x,則正十二邊形邊長為 3 2x ∴ (3  2x) 2 x2 x2 2.x.x.cos 120  x2 12x  9  0  x  6  3 3 ∴ 正十二邊形邊長  3  2 ( 6  3 3)  6 3 9 【86-3】設 f (x)     3 1 2 ) ( n n x     10 8 2 ) ( n n x ,若 f (x)在 x  a 處有最小值,則(A) a 為整數 (B) a  5.1 (C) a  5.9 (D) | a  4 |  0.5 (E) | a  6 |  0.5 【解答】(B)(C) 【詳解】 f (x) (x  1)2 (x  2 )2 (x  3)2 (x  8)2 (x  9)2 (x  10)2  6x2 66x + 259 6 (x  5.5)2397

(3)

【86-4】設 f (x)為二次函數,且不等式 f (x)  0 之解為  2  x  4,則 f ( 2 x )  0 之解為 (A) 1  x  2 (B) x   1 或 x  2 (C) x   2 或 x  4 (D)  4  x  8 (E) x   4 或 x  8 【解答】(B) 【詳解】 令 f (x) ax2 bx c,a  0  (x 2) (x  4)  0 x2 2x  8  0   x2 2x + 8  0∴ 1  a 2 b 8 c 且 a  0  b  2a,c  8a ∴ f (2x) 0,即 4ax2 4ax 8a  0 x2 x  2 > 0  x  1 或 x  2 【87-1】設 1 i 為 x2 ax  3  i  0 的一根,則 a 的值為何?(A)  3 (B)  2 (C) 1  i (D) 2 (E) 3 【解答】(A) 【詳解】 1  i 為 x2 ax  3  i  0 的一根, 則(1  i)2 a (1 i)  3  i 0(把 x 用 1 i 代入) a i i    1 ) 3 3 ( 3 【87-2】設 f (x) 為一多項式。若 (x  1) f (x) 除以 x2 x  1 的餘式為 5x  3,則 f (x) 除以 x2 x  1 的餘式為 。 【解答】2 x  5 【詳解】 設 f (x)被 x2 x 1 除之餘式為 ax b,由除法原理知 f (x) (x2 x 1) Q (x) ax b (x 1) f (x) (x + 1) (x2 x 1) Q (x) (ax b) (x 1)  (x + 1) (x2 x 1) Q (x) a (x2 x 1) b x (b a) (x2 x 1) [(x + 1) Q (x) a ] b x (b a) 此式表 (x 1) f (x) 除以 x2 x 1 的餘式為 5x  3 ∴ b x (b a) 5x 3 ∴ b 5,a 2 則所求之餘式為 2x  5 【87-3】設 a 與 b 均為實數,且二次函數 f (x)  a (x 1)2  b 滿足 f (4) > 0,f (5) < 0。試問下 列何者為真?(A) f (0) > 0 (B) f (1) > 0 (C) f ( 2) > 0 (D) f ( 3) > 0 (E) f ( 4) > 0 【解答】(A)(B)(C) 【詳解】 f (x) a (x 1)2 b 表示頂點為 (1,b)之拋物線, 對稱軸為 x  1 又 f (4) > 0,f (5) < 0,可知其略圖如上 則 f (0) f (2) > 0,f (1)  f (3) > 0,f ( 2)  f (4) > 0 f ( 3)  f (5) < 0,f ( 4)  f (6) < 0

(4)

【88】三次方程式 x3 x2 2x 1  0 在下列哪些連續整數之間有根? (A)  2 與 1 之間 (B) 1 與 0 之間 (C) 0 與 1 之間 (D) 1 與 2 之間 (E)2 與 3 之間 【解答】(A)(B)(D) 【詳解】 f (x) x3 x2 2x 1 f (x)x 2 1 0 1 2 1 1 1 1 7 ∵ f ( 2) f (1)  0,f (1) f (0) < 0,f (1) f (2) < 0 ∴ f (x)  0 在  2 與 1 之間,1 與 0 之間,1 與 2 之間各有一個實根

【89】設三次方程式 x3  17x2 32x  30  0 有兩複數根 a  i,1  bi,其中 a,b 是不為 0 的 實數。試求它的實根。答: 。 【解答】15 【詳解】 實係數方程式如果有虛根,則必有共軛虛根,即三次方程式只可能有兩個虛根 ∴ a i 與 1 bi 為共軛虛根 ∴ a 1,b 1 因而可得一個二次方程式 x2 2x  2  0 ∴ x3 17x2 32x  30  (x2 2x 2)( x  15)  0 ∴ 實根為 15 【90-1】設多項式 f (x)除以 x2  5x  4,餘式為 x  2;除以 x2  5x  6,餘式為 3x  4。則多 項式 f (x)除以 x2  4x  3,餘式為 。 【解答】5x  2 【詳解】 f (x) (x 1)(x 4)q1x x 2,f (x) (x 2)(x 3)q2(x) 3x  4 設 f (x) (x 1)(x 3)q3(x) ax b           13 3 ) 3 ( 3 ) 1 ( b a f b a f a 5,b  2 ∴ 所求餘式為 5x  2 【90-2】設 a,b,c 為實數。若二次函數 f (x)  ax2  bx  c 的圖形通過(0, 1)且與 x 軸相切, 則下列選項何者為真?(A) a  0 (B) b  0 (C) c   1 (D) b2  4ac  0 (E) a  b  c  0 【解答】(A)(C)(E) 【詳解】 (1) y ax2 bx c 通過(0, 1) ∴ c  1 (2) 又因與 x 軸相切 ∴ 令 y  0  ax2 bx  1  0  b2 4a  0 ∵ a  0   4a b2 0  a  0 ∴ 拋物線開口向下 ∴ f (1) a b c  0 ∴ (A)(C)(E)成立

(5)

【91-1】試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述下圖較恰當?【(2)(3)不須作答】 (1) (x  2)2  2 (2) 2sin(x)  2 (3) 2cos(x) (4)  0.5(x  2)2  4 (5) 3  2x 【解答】(4) 【詳解】 (1) y (x  2)2 2 (2) y 2sin(x)  2 (3) y 2cos(x) (4) y  0.5(x  2)2 4 (5) y  3  2x

【91-2】若實數 a,b,c 滿足 abc  0,ab  bc  ca  0,a  b  c  0,a  b  c,則下列選項 何者為真?(1) a  0 (2) b  0 (3) c  0 (4) | a |  | b | (5) a2  c2 【解答】(1)(4)(5) 【詳解】 abc  0  a,b,c 為三正數或一正數二負數 (i) a 0,b 0,c  0  ab 0,bc 0,ca  0 ab bc ca  0 不合 (ii) a b c a 0,b 0,c 0。由 a b c  0  a | b | | c |          2 2 c a c a b a 故選(1)(4)(5) 【92-1】若 f (x)  x3  2x2  x  5,則多項式 g(x)  f ( f (x))除以(x  2)所得的餘式為(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11 【解答】(5) 【詳解】 f (2)  23 2.22 2  5  3 g(x) f ( f (x))除以(x  2)之餘式為 g(2) f (f (2)) f (3)  33 2.32 3  5  1

(6)

【92-2】設 k 為一整數。若方程式 kx2  7x  1  0 有兩個相異實根,且兩根的乘積介於 71 5 與 71 6 之間,則 k  。 【解答】12 【詳解】 設 kx2 7x  1  0 之兩相異實根為, 則. k 1 且 72 4k  0 k  4 49 …… 又 71 5 k 1 71 6 6 71 k  5 71 …… 由且 kZ k  12 【93】設 f (x)為三次實係數多項式,且知複數 1  i 為 f (x)  0 之一解。試問下列哪些敘述是 正確的?(1) f (1  i)  0 (2) f (2  i)  0 (3)沒有實數 x 滿足 f (x)  x (4)沒有實數 x 滿足 f (x3)  0 (5)若 f (0)  0 且 f (2)  0,則 f (4)  0 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 由虛根成雙定理可知:1  i 亦為 f (x)  0 之一根 [ x  (1  i) ] [ x  (1  i) ] x2 2x 2 為 f (x)之一因式, 設 f (x) (ax b)(x2 2x  2) (1) f (1 i)  0 成立(實係數虛根成雙) (2) f (2 i) 0(f (x)  0 除 1  i 外,無其他虛根) (3)令 F(x) f (x) x 0,deg(F(x)) 3 ∴ F(x)  0 有三個根,由虛根成雙定理可知: 虛根必成對出現,故三根中必至少有一實根 (4) f (x3)  (ax3 b)(x6 2x3 2)  0,deg(f (x3))  9。同上,f (x3)  0 的九根中至少有一 實根 (5)因 f (0) f (2)  0,由勘根定理可知在 0 與 2 間有一實根 又已知有二虛根 1  i,故不可能再有其他實根 ∴ f (4)與 f (2)同號 f (4)  0 故選(1)(2)(5) 【94】若多項式 2 2 x  x 能整除x5x4 x3 px22x q ,則 p?,q? 【解答】p3 ,q8 【詳解】 5 4 3 2 2 xx  x pxx q (x2 x 2)(x3   x 4) p 3 ,q8

(7)

【95】學生練習計算三次多項式 f(x) 除以一次多項式 g(x)的餘式已知 f(x)的三次項係數 為 3﹐一次項係數為 2.甲生在計算時把 f(x)的三次項係數錯看成 2(其它係數沒看錯)﹐ 乙生在計算時把 f(x)的一次項係數錯看成2(其它係數沒看錯).而甲生和乙生算出 來的餘式剛好一樣.試問 g(x)可能等於以下哪些一次式﹖(1)x (2)x1 (3)x2 (4) 1 x (5)x2﹒ 【解答】(1)(3)(5) 【詳解】 設 3 2 ( ) 3 2 , ( ) , f xxaxx b g x  x k 甲﹕ 3 2 ( ) 2 2 , f xxaxx b 乙﹕ 3 2 ( ) 3 2 , f xxaxx b 由餘式定理知 3 2 3 2 2kak 2k b 3kak 2kb  3 4 0 kk   k k( 2)(k2)0  k 0, 2, 2, ∴ ( )g x 可能為x x, 2,x2. 【96-1】設 ,其中 a, b 為非零實數,則 f (5)  f (5)之值為 (1) 30 (2) 0 (3) 2 2 (4) 30 (5) 無法確定 (與 a, b 有關) 【解答】(4) 【詳解】 ∵ f (x) = ax6 bx4+3x 2 ∴ f (5)=a56b54+35 2,f (5)=a56b5435 2 故 f (5) f (5)=30 【96-2】設f (x)為一實係數三次多項式且其最高次項係數為 1,已知 f (1)=1, f (2)=2, f (5)=5, 則f (x)=0 在下列哪些區間必定有實根?(1) (, 0)(2) (0, 1) (3) (1, 2) (4) (2, 5) (5) (5, ) 【解答】(2)(4) 【詳解】 設 f (x)=x3 +ax2+bx+c

f (1)=1+ a+b+c=1,f (2)=8+4a+2b+c=2,f (5)=125+25a+5b+c=5 a+b+c=0,4a+2b+c= 6,25a+5b+c= 120 得 3a+b= 6,()4 得 6a+b=30 解得 a= 8,b=18;代入得 c= 10, 故 f (x)=x38x2+18x10,因 k 0 1 2 3 4 5 f(k) 10 1 2 1 2 5  f (x)=0 在 0 與 1、2 與 3、4 與 5 間各有 1 實根

(8)

【96-3】設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t) = t2 +10t +11,其中 1 t 10,則這段 時間內該地區的最大溫差為 (1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36 【解答】(4) 【詳解】 f (t)= t2 +10t +11=36(t5)2 因 1 t 10,故當 t=5 時有最大值 36;當 t=10 時有最小值 11 該地區的最大溫差為 3611=25 【乙 98】某製造玩具工廠﹐每次接到訂單都需開模 5 萬元﹐製造每一千個玩具材料費需 2 萬元﹐由此 建立生產的基本成本函數 ( )f x 5 2x﹐其中 x 以千個為單位﹒依過去經驗﹐接到訂單數量 與報價總值有如下關係: 數量(千個) 報價總值(萬元) 5 37.5 10 70 15 97.5 以此資料建立一個二次函數的報價總值函數 ( )g x ﹐以及獲利函數 ( )h xg x( ) f x( ) (1) 若接到訂單為 20 千個﹐試問交貨時﹐每千個玩具的基本成本平均是多少萬元?﹙2 分﹚ (2) 試求報價總值函數 ( )g x ﹒﹙7 分﹚ (3) 根據h x( )﹐試問訂單數量是多少時﹐獲利總值最高?﹙5 分﹚ 【解答】(1)2.25 萬元(2) ( ) 1 2 8 10 g x   xx(3)30 千個 【詳解】 (1)∵ (20)f   5 2 2045﹙萬元﹚﹐∴所求 45 2.25 20   ﹙萬元﹚﹒ (2)令g x( )ax2bxc﹐則 25 5 37.5 100 10 70 225 15 97.5 a b c a b c a b c              1 10 a  ﹐b8﹐c0﹐∴ ( ) 1 2 8 10 g x   xx﹒ (3) ( ) ( 1 2 8 ) (5 2 ) 1 2 6 5 1 ( 30)2 85 10 10 10 h x   xx   x   xx   x  ﹐ ∴訂單數量是 30 千個時﹐獲利總值最高﹒ 【99】設f (x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式:f (x)最高次項的係數為 1,且 3 − 2i,i,5 皆為方程式 f (x) = 0 的解(其中 2 1 i   )。則f (x)之常數項為________。 【解答】-65 【詳解】∵ f x( )(x i x i x )(  )[  (3 2 )][i x (3 2 )](i x5) (x21)(x26x13)(x5)

(9)

【100-1】多項式 2 2 3 4(x   1) (x 1) (x  3) (x 1) 等於下列哪一個選項?(1)x x( 1)2 (2) 2 2 (x x1) (3)x x( 1)(x1) (4)2(x1) (2 x1) (5)2 (x x1)(x1) 【解答】5 【詳解】 2 3 2 3 2 3 2 (4x 4 ) (xxx 5x 3) (x 3x 3x 1) 2x 2x2 (x x  1) 2 (x x1)(x1))。 【100- 2】設f x( )x x( 1)(x1),請問下列哪些選項是正確的?(1) ( 1 ) 0 2 f (2)f x( )2 整數解 (3) 2 ( ) 1 f xx有實數解 (4) f x( )x有不等於零的有理數解 (5)若 f a( )2,則 f( a) 2 【解答】(3) 【詳解】 (1)╳, ( 1 ) 1 ( 1 1)( 1 1) 0 2 2 2 2 f     。 (2)╳,x x( 1)(x  1) 2 x3  x 2 0,若有整數根必是 1, 1, 2, 2,但代入均不合  f x( ) 沒有整數根。 2 (3) ○,x x( 1)(x 1) x21三次實係數方程式必有實數解。 (4) ╳,x x( 1)(x  1) x x32x 0 x x( 2   2) 0 x 0或x  2。 (5) ╳,f a( ) 2 a a( 1)(a 1) 2,f(        a) a( a 1)( a 1) a a( 1)(a  1) 2。 【101-1】設 4 3 2 ( ) 5 f xxxxa x為實係數多項式,且知b f i( ) 0(其中i2  1)。請問下 列哪些選項是多項式方程式 f x( ) 0的根? ( 1) i (2) 0 ( 3) 1 (4) 5 (5) 5 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 ∵ f x

 

為實係數多項式﹐∴ 虛根成對 i﹑i皆為f x

 

的根 又xix2   i2 1  x2 1 0﹐即 f x

 

有因式x21 1 5 1 0 1 1 5 1 1 0 1 5 0 5 0 5 5 a b a a b       ∴ a 5 0﹐a 5﹐b0 f

 

x

2x1



2x 5

 

x  2x

1  x x5 的根為0 i﹑i﹑0﹑5

(10)

【101- 2】設A(1,1),B(3,5),C(5,3),D(0, 7) ,E(2, 3) 及F(8, 6) 為坐標平面上的六個點。若直線 L分別與三角形 ABC 及三角形DEF各恰有一個交點,則L的斜率之最小可能值為? 【解答】-3 【詳解】 ∵ 直線L分別與△ABC﹑△DEF各恰有一交點 ∴ 由圖形可看出直線L只能是二個三角形頂點的連線﹐ 不可能切割三角形﹐所以斜率最小為 9 3 3 CF m     ﹒ 【102-1】設a b c。已知實係數多項式函數y= f x( )的圖形為一開口向上的拋物線,且與x軸 交於( ,0)a 、( ,0)b 兩點;實係數多項式函數y= g x( )的圖形亦為一開口向上的拋物線, 且跟x軸相交於( ,0)b 、( ,0)c 兩點。請選出yf x( )g x( )的圖形可能的選項。 (1)水平直線 (2)和x軸僅交於一點的直線 (3)和x軸無交點的拋物線 (4)和x軸僅交於一點的拋物線 (5)和x軸交於兩點的拋物線 【解答】(4)(5) 【詳解】 令 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) f x k x a x b g x k x b x c       ﹐其中k10﹐k2 0﹐ 則 f x( )g x( )k x a x b1(  )(  ) k x b x c2(  )(  )  (x b k x a)[ (1  ) k x c2(  )] (x b )[(k1k x2) (k a k c1  2 )] 1 2 1 2 1 2 (k k )(x b x)( k a k c) k k       ﹐ 當 1 2 1 2 k a k c b k k    時﹐僅交於一點( , 0)b ﹐當 1 2 1 2 k a k c b k k    時﹐則交於二點( , 0)b 及 1 2 1 2 (k a k c, 0) k k   ﹐ 故選(4)(5)﹒ 【102-2】設a b, 為實數且(abi)(2 6 ) i  80,其中i2 1。則( , )a b( , )。 【解答】 【詳解】 (a bi )(2 6 ) i   80 (2a6 ) (6ba2 )b i 80 2 6 80 6 2 0 a b a b          a 4﹐b12﹒ x y O A(1,1) B(3,5) C(5,3) F(8, 6) D(0, 7) E(2, 3)

參考文獻

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