解
解
解方
方
方程
程
程
式
式
式的
的
的故
故
故
事
事
事
王王王金金金龍龍龍 台 台 台大大大數數數學學學系系系 2012 年年年 5 月月月 3 日日日於於建於建建國國國中中中學學學求求求解解解(一一一元元元)一一一次次次方方方程程程式式式 ax=b. 解 解 解法法法: x= b a. Q: 這這這是是是什什什麼麼麼意意意思思思? 例例例如如如 a=7,如如如何何何做做做出出出 b/7? Q: 數數數與與與量量量有何有有何何差差差異異異? a b = c d ⇐⇒ d = bc a.
求求求解解解二二二次次次方方方程程程式式式 (巴巴巴比比比倫倫倫 2000 BC, 印印印度度度,中中中國國國) ax2+bx+c =0. 解 解 解法法法: x2+b ax = − c a, X2=x+ b 2a 2 = b 2−4ac 4a2 , x = −b± √ b2−4ac 2a . Q: 這這這是是是什什什麼麼麼意意意思思思? 例例例如如如 X2 =7, X2=d,如如如何何何做做做出出出 X?
求求求解解解三三三次次次方方方程程程式式式 (義義義大大大利利利 Tartaglia, Cardano 1545) x3+ax2+bx+c =0. 配 配 配三三三次次次方方方: 令令令 X=x+a 3, 整 整 整理理理得得得到到到 X3+pX+q =0. 其 其 其中中中 p =b−1 3a 2 , q=c−1 3ab+272a 3 . Q:如如如何何何進進進一步一一步步消消消去去去 pX 項項項?
設設設 X =u+v 帶帶帶入入入. 整整整理理理得得得到到到 u3+v3+q+ (3uv+p)(u+v) =0. 可 可 可選選選擇擇擇 v = −p/3u, 即即即 X =u−p/3u,得得得到到到 (u3)2+q(u3) −p 3 3 =0. 這 這 這是是是 u3的的的二二二次次次方方方程程程, 因因因此此此 u3 = −q 2± r q 2 2 +p 3 3 . Q: 這這這是是是什什什麼麼麼意意意思思思? 例例例如如如 u3 =2, u3 =d,如如如何何何做做做出出出 u? 當 當 當 27q2+4p3 <0 時時時該該該如如如何何何處處處理理理?
求求求解解解四四四次次次方方方程程程式式式 (Ferrari, Cardano 的的的學學學生生生) x4+ax2+bx+c =0. 解 解 解法法法: 動動動態態態配配配方方法方法法 , 引引引入入入參參參數數數 t, x2+a 2+t 2 −2tx2−bx−c−a 2+t 2 . 進 進 進而而而要要要求求求剩剩剩餘餘餘項項項為為為 2 次次次完完完全全全平平平方方方式式式, 即即即 b2+8tc+a 2+t 2 =0. 這 這 這是是是 t 的的的 3 次次次方方程方程程, 因因因此此此可可可用用用 2 次次次與與與 3 次次次方方根方根根解解解出出出 t ∈ R.
固固固定定定一一一解解解 t, 則則則方方方程程程式式式可可可轉轉轉化化化成成成 x2+ a 2 +t 2 =2tx− b 4t 2 , 即 即 即兩兩兩個個個 2 次次次方方方程程程式式式: x2+ a 2 +t= ± √ 2tx− b 4t . 因因因此此此, 4 次次次方方方程程程式式式的的的根根根可可由可由由其其其係係係數數數 a, b, c 重重重複複複使使使用用用開開開 2 次 次 次與與與 3 次次次方方方根根根解解解出出出. Q:如如如果果果 c >0,則則則 t<0. 因因因此此此以以以上上上 2 次次次方方方程程程式式的式的的係係係數數數為為為 複 複 複數數數. 繼繼繼續續續以以以根根公根公公式式式求求求解解解時時時, 複複複數數數的的的 2 次次次方方方根根根是是是什什什麼麼麼意意意思思思?
複複複數數數的的的 2 次次次方方方根根根還還還是是是複複複數數數: (u+vi)2 =a+bi等等等價價價於於於 u2−v2=a, 2uv=b. u4−au2−b 2 4 =0 =⇒ u 2= a± √ a2+b2 2 . 不 不 不失失失一一一般般般性性性可可可假假設假設設 b>0,則則則解解解得得得 u= ± s a+√a2+b2 2 , v= ± s −a+√a2+b2 2 . 因 因 因此此此 4 次次次方方方程程程的的解的解解均均均可可可表表表為為為 s A+B r C+D3 q E+F√G 的 的 的組組組合合合. 其其其中中中 A, B, C, D, E, F, G∈ Q(a, b, c). 即即即 根根根式式式解解解 .
基基基本本本問問問題題題: 複複複數數數如如如何何何開開開 n 次次次方方方根根根? √n
d=? 根
根根據據據約約約定定定 , i ≡√−1為為為方方方程程程式式式 x2 = −1 的的的一一一個個個假假假想想想解解解.
C :=R+iR 為為為 Euler (尤尤尤拉拉, 1707-1783) 的拉 的的複複複數數數平平平面面面. z=x+yi=r(cos θ+i sin θ) =: r eiθ. 複
複
複數數數乘乘乘法法法的的幾的幾幾何何何意意意義義義: z1z2
=r1(cos α+i sin α) ×r2(cos β+i sin β)
=r1r2(cos α cos β−sin α sin β+i(cos α sin β+sin α cos β))
=r1r2(cos(α+β) +i sin(α+β))
對對對所所所有有有 n∈ N,
zn =rn(cos nθ+i sin nθ) =rneinθ.
zn =1 ⇐⇒ θ =k2π n , k=0,· · · , n−1. 記 記 記 ζ =e2πi/n 為為為 primitive n 次次次方方方根根根, zn =d =ρ eiα ⇐⇒ z= √n ρ eiα/nζk, 0≤k≤n−1. 因 因 因此此此, n 次次次方方方程程程式式式 xn−d =0恰恰恰有有有 n 個個個複複複數數數解解解. Q: 還還還是是是老老老問問問題題題, 如如如何何做何做做出出出 √n ρ以以以及及及 cosα n +i sin α n?
複複複數數數部部部份份份: n 等等等分分分角角角問問問題題題.
a+bi =cos nθ+i sin nθ = (cos θ+i sin θ)n
例例例如如如 n =3,
a=cos 3θ =cos3θ−3 cos θ sin2θ =4 cos3θ−3 cos θ.
這 這 這是是是一一一個個個特特特別別的別的的 3 次次次方方方程程程式式式 x3−3 4x− a 4 =0. 由 由 由於於於(3 8)2− (12a )3 >0,問問問題題題化化化約約約為為為正正正數數數開開開 2 次次次及及及 3 次次次方方方根根根. 對對對於於於一一一般般的般的的 θ 與與與 n, 必必必須須須使使使用用用 弧弧弧長長長拉拉直拉直直 的的的辦辦辦法法法.
實實實數數數 (長長長度度度)開開開 n 次次次方方方根根根: xn = ρ. 若 若 若有有有 2 次次次曲曲曲線線線 (圓圓圓, 橢橢橢圓圓圓, 拋拋拋物物物線線線,雙雙雙曲曲曲線線線) 的的製的製製圖圖圖器器器,則則則 x3=ρ ⇐⇒ x2 =ρy, xy=1. 對 對 對於於於 3 次次次方方方程程程式 x式式 3+ax2+bx+c=0 的的的實實實數數解數解解, 亦亦亦可可可用用用 −cy =x2+ax+b, xy=1. 對 對 對於於於 4 次次次方方方程程程 x4+ax2+bx+c =0,則則則用用用 x2+a+by+cy2 =0, xy=1. 這 這 這是是是橢橢橢圓圓圓 (或或或雙雙雙曲曲曲線線線) 與與與雙雙雙曲曲曲線線線 xy =1 的的的交交交集集集. 習 習習題題題 : 設設設計計計 2 次次次曲曲曲線線線 (甚甚甚至至至高高高次次次曲曲曲線線) 的線 的的製製製圖圖圖器器器.
在在在古古古希希希臘臘臘, 數數數的的的觀觀觀念念念依依依賴賴賴於於幾於幾幾何何何建建建構構構的的的可可可能能能性性性. 基基基本本本方方方 法 法 法是是是對對對於於於給給給定的定定的的幾幾幾何何何圖圖圖像像像, 使使使用用用圓圓圓規規規與與與直直直尺尺尺, 建建建構構構新新新圖圖圖像像像. Elements (原原原本本本) 是是是 Euclid (歐歐歐幾幾里幾里里得得得, 300 BC.) 集集集大大大 成 成 成的的的創創創作作作, 開開開創創與創與與奠奠奠定定定數數數學學學公公公理理理與與與證證證明明明的的的基基基本本本架架架構構構. 他他他遺遺遺留留留下下下幾幾幾何何何 (尺尺規尺規規) 作作作圖圖圖三三三大大大難難難題題題: 1. 三三三等等等分分分角角角問問問題題題: 4x3−3x−a=0, a=cos α. 2. 倍倍倍立立立方方方問問問題題題: x3 =2. 3. 圓圓圓化化化方方方問問問題題題: x2 =π.
記記記尺尺尺規規規作作作圖圖圖之之之 數數數體體體 (fields) 序序序列列列為為為 F1⊂F2 ⊂ · · ·,其其其 中 中 中 x =a+b√w∈Fk 有 a, b, w有有 ∈ Fk−1, 但但但 √ w6∈ Fk−1. 若若若倍倍倍立立立方方方問問問題題題可可可以以以尺尺尺規規規作作作圖圖圖達達達成成, 則成 則則有有有 x3 =2, x∈F k, x6∈Fk−1,其其其中中中 F1 =Q, k ≥2 (因因因為為為 x 6∈Q). 由由由 0=x3−2= (a3+3ab2w−2) + (3a2b+b3w)√w ⇐⇒ a3+3ab2w−2=0, 3a2b+b3w=0. 因因因此此此, y=a−b√w 也 也 也是是是一一一個個個解解解. 但但 y但 6=x,顯顯顯然然然矛矛矛盾盾盾. 習 習習題題題 : 應應應用用用此此此論論論證證證於於於三三三等等等分分分角角角, 及及及 Q 的的的實實 n 次實 次次方方方根根根問問問題題題.
十十十八八八世世世紀紀紀末末末, 方方方程程程式式式理理理論論論的的的最最最根根根本本問本問問題題題有有有二二二: A. 複複複數數數係係係數數數的的的 n 次次次 (n ≥1)多多多項項項式式式方方方程程程式式式 f(x) =xn+an−1xn−1+ · · · +a1x+a0 =0 是是是否否否一一一定定定有有有複複複數數數根根根 ? B. 若若若是是是, 這這這 n個解個個解解是是是否否否可可以可以以表表表示示示成成成一一一個個個由由由係係係數數數 a0,· · · , an−1通通通過過過有有有理理理運運運算算算以以以及及及根根根式式式 + − × / √k 在在在有有有限限限步步步驟驟驟所所所組組組成成成的的的 公公公式式式 所所所得得得到到到? 亦亦亦即即即, f(x) =0 是是是 否否否一一一定定定有有有 根根根式式式解解解 ?
Gauss (高高高斯斯斯) 在在在其其其 1799 年年年的的的博博博士士士論論論文文文證證證明明明了了了A, 即即即所所所 謂 謂 謂的的的 代代代數數數基基基本本定本定定理理理 . 但但但所所所有有有的的證的證證明明明都都都要要要用用用到到到分分分析析析或或或拓拓拓樸樸樸: 證證證明明明: 若若若對對對於於於所所所有有有的的的 z ∈C, f(z) 6=0,則則則|f(z)|有有有最最最小小小 值 值 值 m >0 (Why?). 假假假定定定|f(a)| =m,對對對 z−a展展展開開開 f(z) =f(a) +ck(z−a)k+ck+1(z−a)k+1+ · · · +cn(z−a)n, 其 其 其中中中 ck 6=0. 令令令 hk = −f(a)/ck. 則則則對對對於於於很很很小小小的的的正正正數數數 t >0, f(a+th) = f(a) +ckhktk+O(tk+1) =f(a)(1−tk) +O(tk+1). 因 因 因此此此|f(a+th)| < |f(a)|,得得得到到到矛矛矛盾盾盾.
Gauss決決決定定定一一一生生投生投投入入入數數數學學學研研研究究起究起起因因因於於於他在他他在在 19 歲歲歲時時時 (1796) 找找找到到到了了了 正正正 n 邊邊邊形形形 能能能夠夠夠以以以尺尺規尺規規作作作圖圖圖的的的充充分充分分必必必要要要條條條件件件: n=2mp1· · ·pk, p=22 s +1. 當 當 當 s =0, 1, 2, 3, 4, Fermat 質質質數數數為為為 p=3, 5, 17, 257, 65537. 但但但 225+1=641×6700417. 對對對於於於正正正 17 邊邊邊形形形, 高高高斯斯斯算算算出出出 (算算算學學學講講講話話話) 16 cos2π 17 = −1+ √ 17+ q 34−2√17 +2 r 17+3√17− q 34−2√17−2 q 34+2√17. 臨 臨 臨終終終前前前, Gauss 要要要求求求將將將正正正 17 邊邊邊形形形刻刻刻在在在他他他的的的墓墓墓碑碑碑上上上.
關關關於於於 B: 根根根式式式解解解的的的可可可能能能與與與否否, 是否 是是由由由法法法國國國天天天才才才數數數學學學家家家
Galois (伽伽伽羅羅羅瓦瓦瓦 1811-1832) 所所完所完完全全全解解解決決決.
I 14 歲歲歲: 讀讀讀 Legendre (勒勒勒襄襄襄得得得) 的的的幾幾幾何何何原原原本本本.
I 15 歲歲歲: 讀讀讀 Lagrange分分分析析析與與與方方方程程程式式式的的的研研研究究究論論論文文文. I 16 歲歲歲: 考考考 Ecole Polytechnique 沒沒沒上上上, 進進進 Ecole
Normale. I 17 歲歲歲: 發發發表表表論論論文文文. 其其其方方方程程程式式式理理理論論論未未未被被被 Cauchy 接接接受受受. I 18 歲歲歲: 父父父親親親自自自殺殺殺. 再再再考考考 Ecole Polytechnique 未未未果果果. I 19 歲歲歲: 再再再次次次投投投稿稿稿於於於 Fourier (傅傅傅立立立葉葉葉) 未未未果果果. 當當當年年年法法法國國國科科科學學學院院院大大大獎獎獎最最最後後後授授授與與與了了了 Abel 與與與 Jacobi. I 20 歲歲歲: 死死死於於於一一一場場場政政政治治與治與與愛愛愛情情情因因素因素素的的的決決決鬥鬥鬥. 1830, 19 歲歲歲的的的 Galois 發發發明明明 群群群 (group) 的的的觀觀觀念念念與與與理理理論論論.
排 排 排列列列群群群 (對對對稱稱稱群群群) Sn : 給給給定集定定集集合合合 S = {1,· · · , n},一一一個個個 排 排 排列列列 σ : S→S 是是是一一一個個個 1-1 (且且 onto) 函且 函函數數數. 乘乘乘法法法規規規則則則 σ, τ ∈ Sn, στ :=σ◦τ. 反 反 反元元元素素素 σ−1即即即反反反函函函數數數. 排排排列列列由由由 交交交換換換 生生生成成成, 均均有均有有 循循循環環環分分分解解解 . 一一一般般般而而而言言言 στ 6=τσ. 例例例如如如: (123)(12) = (13), (12)(123) = (23). 例 例 例: 循循循環環環群群群 (cyclic group) Ck = {1, ζ,· · · , ζk−1}. 例 例 例: 最最最簡簡簡單單單的的的非非非交交交換換群換群群是是是項項項鏈鏈鏈群群群 (dihedral group) D2k. 例 例 例: 物物物理理理基基基本本粒本粒粒子子子之之之分分分類類類依依依賴賴賴其其其對對對稱稱稱 李李李群群群 (Lie group).
考考考慮慮慮 f(x) ∈Q[x](或或或一一一般般的般的的 F[x], F為為某為某某一一一數數數體體體): f(x) =xn+s1xn−1+ · · · +sn−1x+sn = (x−x1) · · · (x−xn), 其 其 其中中中 xi ∈C. 令令令數數數體體 K體 =Q(x1,· · · , xn). Galois 考考考慮慮慮 K上上上 與與與四四四則則則運運運算相算算相相容容容的的的所所所有有有可可可能能能對對對稱稱稱 (field automorohism), σ: K→K. 由由由於於於Q→Q 不不不會會會被被被變變變動動動 (Why?), σf(x) =f(σx). 因因因此此此 σ對對對應應應到到到根根根{x1,· · · , xn}的的一的一一個個個排排排列列列. 即即即 σ ∈Sn. 稱稱稱子子子群群群 G=Gal(K/Q) ⊂Sn 為 為 為方方方程程程式式式 f(x) = 0 的的的 Galois 群群群.
開開開根根根號號號與與與 Galois 群群群之之之間間間具具具有有有精精精確確確對對對應應應: 定 定 定理理理 : 如如如果果果數數數體 F 包體體 包包含含含 ζk,則則則 (1)開開開根根根號號號 xk−a=0 的的群的群群 G 都都都是是是循循循環環環群群群. (2)若若 G若 =Cp,其中其其中中 p 為為為質質質數數數,則則則逆逆逆命命命題題題也也也成成成立立立. 一 一 一般般般情情情形形形下下下, Galois 發發發現現現 群群群體體體 (groups/fields) 關關關鍵鍵鍵對對對應應應 : Q⊂F1⊂F2 ⊂ · · · ⊂FN =K, G⊃G1⊃G2 ⊃ · · · ⊃GN =1. 我 我 我們們們希希希望望望每每每一一一次次次的的的數數數體體體擴擴擴張 F張張 k+1 =Fk(nk√dk). 這這這等等等價價價於於於 要 要 要求求求每每每一一一階階階段段段的的的 Galois 群群 G群 k :=Gal(K/Fk)滿滿滿足足足 Gk BGk+1, Gk/Gk+1 ∼=cyclic group.
其其其中中中 G ⊃H 能能能夠夠夠進進進行行行商商商群群群 G/H 的的的操操操作作作: GBH ⇐⇒ G=[giH, giHgjH =gigjH. 即 即 即 g−1Hg=H,∀g∈G. 例例例如如如 S n BAn(偶偶偶排排排列列列 ), D2k BCk. I 不不不變變變量量量觀觀觀點點點: n 次次次方方方程程程式式式有有有無無無窮窮窮多多多種種種, I 但但但是是是 G ⊂Sn只只只有有有有有有限限限個個個可可可能能能. I 因因因此此此 Galois 群群群是是是多項多多項項式式式方方方程程程的的的 invariants . S2 B2 1 S3 B2 A3 B3 1 S4 B2 A4 B3 K4B2C2 B2 1 K4 = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}為為為 Klein 的的的 4 元元元群群群.
當當當 n≥5 時時時,|Sn| =n!, Sn的的結的結結構構構急急急劇劇劇變變變複複複雜雜雜. 引 引 引理理理 : S5 BA5,|A5| =60為為為第第第一一一個個個 非非非交交交換換換單單單群群群 (simple group).事事事實實實上上上 An, n≥5 都都都是是是單單單群群群. 證證證明明明的的的想想想法法法: 如如如果果果(123) ∈An,則則則(ijk) ∈ An: (ijk) = g(123)g−1, g=1 2 3 4 5 i j k l m (可可可能能能需需需要要要 l, m 使使使 g 是是是偶偶偶排排排列列列). 而而而 An 可可可由由由所所所有有有(ijk)生生生成成成. 定 定
定理理理 (Abel 1824, Ruffini 1799, Galois 1830): 一一一般般般的的的 n 次次次方方方程程程式式式, n≥5, 沒沒沒有有有根根式根式式解解解. 它它它們們的們的的 Galois 群群群 G=Sn.
Well, the story does not end like that ...
近 近近代代代發發發展展展 I . 進進進入入入微微微積積積分分分的的的世世世界界界: 開開開根根根號號號可可可表表表示示示成成成 n √ a =e1nlog a =exp h1 n Z a 1 dx x i . 或 或 或是是是在在在 n 等等等分分分角角角的的的問問問題題題裡裡裡: 若若若 a=sin θ,則則則 sin θ n =sin sin−1a n =sin h1 n Z a 0 dx √ 1−x2 i . 因 因 因此此此, 不不不妨妨妨考考考慮慮慮更更更一般一一般般的的的 Riemann (黎黎黎曼曼曼 1850) theta 函函函數數數, 以 以 以及及及橢橢橢圓圓圓積積積分/週分分 週週期期期積積積分分分 (elliptic/periods integrals) ϑ~n hZ Γj xidx pF(x) i . 這 這 這將將將進進進入入入 Abel-Jacobi 理理理論論論,代數代代數數幾幾幾何何何學學學的的的開開開始始始.
Kronecker 1858 (n =5), Hermite 1861 (n=5),
Klein 1879, 1884, 1899 (n ≥5, 特特特殊殊殊情情情形形形).
定定定理理理 1 (Jordan, Thomae 1870, Umemura 1984)
給給給定定定多多多項項項式式式 f(x) ∈ C[x]. 若 若 若 n 為為為奇奇奇數數數,令令令 F(x) :=x(x−1)f(x), 若 若 若 n 為為為偶偶偶數數數,令令令 F(x) :=x(x−1)(x−2)f(x). 則則則 f ϑ41,0;0,0ϑ41,1;0,0+ϑ0,0;0,04 ϑ40,1;0,0− 1 2 ϑ40,0;1,0ϑ40,1;1,0 ϑ41,0;0,0ϑ41,1;0,0 ! =0. ϑ∗ =ϑ∗(Ω)是是是由由由超超超橢橢橢圓圓圓曲曲曲線線 y線 2=F(x)的的的週週週期期期積積積分分分矩矩矩陣陣陣
近 近近代代代發發發展展展 II . 利利利用用用 symbolic computation 具具具體體體實實實現現現 Galois 理理理論論論. 例例例如如, 用如 用用 4 次次次代代代換換換, 5 次次方次方方程程程式式式可可以可以以化化化簡簡簡成成成 f(x) =x5+ax+b=0. 考 考 考慮慮慮 Lagrange–Galois 預預預解解解式式式 (resolvent):
f∗(x) =x6+8ax5+40a2x4+160a3x3+400a4x2
+ (512a5−3125b4)x+ (256a6−9375ab4).
定定定理理理 2 (Dummit 1991, Hagedorn 2000)
若若若 f(x) ∈ Q[x],則則則 f(x) =0 有有有根根根式式式解解解充充分充分分必必必要要要於於於 f∗(x) =0 有有有有有有理理理根根根. 6 次次次方方程方程程式式式亦亦亦有有類有類類似似似方方方法法法.
近 近近代代代發發發展展展 III . 多多多變變變數數數聯聯聯立立立方方方程程程與與與數數數值值值方方方法法法. Newton’s method (牛牛牛頓頓頓法法法, 1671): xn+1 =N(xn) :=xn− f (xn) f0(x n). 方 方 方程程程 f(a) = 0充充充分分分必必必要要要於於於 N(a) =a . 若若若 f(x)是是是多多多項項項式式式, 則則則 任 任 任何何何一一一個個個根根 (可根 可可為為為複複複數數數根根根, 重重重根根根) 都都都會會迅會迅迅速速速收收收斂斂斂. 對對對於於於多多多變變變數數數~x∈ Cn,~y=F(~x) ∈Cn,亦亦亦有有有 ~xn+1 =N(~xn) := ~xn−F0(~xn)−1F(~xn). 其 其 其中中中 F0(~x n)是是是 Jacobi微微微分分分矩矩矩陣陣陣. 牛牛牛頓頓頓動動動態態態系系系統統統 N仍仍仍是是是現現現 代 代 代主主主要要要的的的數數數值值解值解解根根根方方方法法法, 但但但其其收其收收斂斂斂性性性尚尚尚未未未被被被完完完全全全理理理解解解.
多多多變變變數數數計計計算算算宜宜宜借借借助助助於於於電電電腦腦, 但腦 但但很很很容容容易易易超超超越越越電電電腦腦腦的的的極極極限限限! 例 例 例如如如: x3+y3=1, x5+y5=1. MATHEMATICA 或或或 MAPLE 都都都可可可以以以在在 0.1 秒在 秒秒之之之內內內算算算 出 出 出所所所有有有的的的 6 組組組非非非 0,−1 解解解. (x, y)均均均形形形如如如 (−0.791887+0.755487√−1,−0.0470208+0.998894√−1). 但 但 但是是是對對對 3 個個個變變變數數數的的情的情情形形形 (假假假設設設 x, y, z 6=0,−1) x3+y3+z3 =1, x5+y5+z5=1, x7+y7+z7 =1, 電 電 電腦腦腦永永永遠遠遠跑跑跑不停不不停停, 或或或回回回答有答答有有 ∞ 多多多解解解. 事事事實實上實上上解解解恰恰恰有有有 18 組組組. 這這這些些些研研研究究究深深深植植植於於於現現現代代代數數數學的學學的的核核核心心心— 代代代數數幾數幾幾何何何與與與數數數論論論 .
