Beam, beam, beam——无衍射光束的产生与调控

Tao Li (

李涛)

taoli@nju.edu.cn

National Laboratory of Microstructures,

College of Engineering and Applied Sciences,

Nanjing University, China



Helmholtz Equation



Gaussian beam



Bessel beam



Airy beam



Mathieu and Weber beam



Plasmonic counterpart



电磁波波动方程



代入时谐电磁场



可得 赫姆霍兹方程：

2

2

2

2

1

0

B

B

c

t



 





2

2

2

2

1

0

E

E

c

t











( , )

( ) exp(

)

( , )

( ) exp(

)

E x t

E x

i t

B x t

B x

i t













2

2

0

u

k u

 



最简单的解是：

 

0

ik x

E x



E e



平面电磁波

平面波传播波形不改变，但它只是wave，不是beam

考虑波束能量分布具有轴对称性，中间场强最大，

靠近边缘强度迅速衰减。在横截面上具有这种分

布性质的最简单函数就是

高斯函数

：

亥姆霍兹方程的波束解

x

y

w

e





参数w表示光束的宽度

波束宽度通常还是z的函数

波幅通常也是z的函数，我们以u(x,y,z)代表电磁

场任意直角分量，它可以具有如下形式

( )(

)

( , , )

( )

f z

x

y

ikz

u x y z



g z e





e

式中 表示以来不z的主要因子，剩下的因子中

还有对z的缓变函数g(z)和f(z)，

因子 是限制波束的空间宽度的因子。

因子g(z)主要表示波的振幅，同时也含有传播因

子中与纯平面因子

偏离的部分。令

( )(

)

( , , )

x y z

g z e

( )

f z

x

y



_





( )(

)

( , , )

( )

f z x

y

ikz

u x y z



g z e





e

ikz

e

( )(

)

f z

x

y

e





ikz

e

它满足z的缓变振幅近似。因此它对z的展开式中

的高次项可以忽略。

( , , )

( , , )

ikz

u x y z





x y z e

2

2

2

2

2

2

2

(

2

2

ik

k

)

k

0

x

y

z

z









_

_



_



_



_



_

_

_









根据亥姆霍兹方程

将

代入

得到：

2

2

0

u

k u

 



忽略对z求导的高次项得到

2

2

2

2

2

ik

0

x

y

z

























傍轴波动方程

2

2

2

(

x



y

)[2

gf



ikgf

'] [2



fg



ikg

']



0

2

2

' (1)

2

' (2)

f

ikf

fg

ikg











将



的 试探解形式代入

上式要对任意x,y都成立，必须两括号内都为零

上式（1）的解形式为

1

( )

2

f z

i

A

z

k





对比（1）（2）式，可以看出g(z)=f(z)



常数

将f(z)变换，得到

0

( )

2

1

u

g z

i

z

kA





2

2

2

1

2

( )

(

)

4

(1

)

i

f z

A

z

z

k

A

k A







令

2

0

A



w

2

2

2

2

0

2

2

2

0

4

2

( )

(1

z

)

[1 (

z

) ]

w z

A

w

k A

kw









则：

那么高斯函数变为

同样g(z) 可以写为

2

2

0

1

2

( )

(1

)

( )

iz

f z

w z

kw





2

2

( )(

)

2

2

0

2

exp

(1

)

( )

f z

x

y

x

y

iz

e

w z

kw





_



_



_











0

0

0

2

2

0

( )

2

1 (

)

i

i

u

w

g z

e

u

e

w

z

kw















2

2

arctan(

z

)





其中

最终得到光束场强函数

其中

0

0

( , , )

x

y

i

w

w

u x y z

u

e

e

w





 



2

2

2

2

0

(

)

2

1 (

)

2

k x

y

kz

kw

z

z





 



















2

2

2

0

₂

0

2

( )

[1 (

z

) ]

w z

w

kw





高斯光束的传播特性

波束宽度由w(z)代表，在z=0处波束具有最小宽

度，称为

光束腰部——束腰

。

0

0

( , , )

x

y

i

w

w

u x y z

u

e

e

w





_{ }



相因子

振幅

限制波束宽度

2

2

2

x

y

w

e





0

0

w

u

w

z轴上的振幅，u

0

是束腰位置的振幅。

2

2

2

0

₂

0

2

( )

[1 (

z

) ]

w z

w

kw





光束波阵面是等相位面，由相位



=

常数确定。

当z=0时，



=0

，说明z=0平面是一个波阵面，即光束腰

部波阵面不z轴垂直。

2

2

0

(

)

2

1 (

)

2

k x

y

kz

kw

z

z





 



















当远离束腰部位

小量展开

得到：

2

0

z



kw

2

2

2

x

y

z

z







常数

1

2

2

2

2

2

2

2

(1

)

1

2

x

y

x

y

z

z







 

2

2

2

(

)

r



x



y



z



常数

波阵面为

_一球面

所以等相位面方程可写为:

即

再由

1

2

2

2

2

2

2

2

(1

)

1

2

x

y

x

y

z

z







 

2

2

2

z



x



y

1

2

2

2

2

(1

x

y

)

z

z







常数

2

2

2

(

)

r



x



y



z



常数

因此，在远处波阵面变为以束腰中心为球心的

一个球面。

总的波阵面就是从腰部的平面逐渐

过渡到远处的球面形状。

波束发散角由tan



=w/z

确定，所以

另外，在远处

对应一给定波长的电磁波，当w

₀

愈小时，发散角愈

大。因此，要求良好的聚焦效果，发散角必须足够

大；如果要求良好定向，则光束宽度不能太小。

2

0

z



kw

2

2

0

₂

₂

0

0

2

2

( )

[1 (

z

) ]

z

w z

w

kw

kw







2

0

2

tan

kw





0

(1)

k

_

w

O

 





光束在传播中有发散，明显的衍射效应

2

2

Helmhotz Equation

 

u

k u



0

在柱坐标下变为

2

2

2

2

2

2

1

1

1

(

)

0

u

u

u

u

k u

r r r r

r



z





_



_



_

_









2

2

2

2

2

2

1

1

1

[

(

v

)

v

]

d Z

Z

k v

v

r r r r

r



dz











 







( , , )

( , ) ( ),

u r



z



v r



Z z

令

代入方程：

r



继续作分离变量，分离 和 ：



作分离变量，引入常数 ，得到：

2

2

2

2

2

2

1

1

1

(

)

(

)

0

0

v

v

k

v

r r r r

r

d Z

Z

dz































( , )

( ) ( ),

v r





R r





接着令

代入得到：

2

2

2

2

1

1

[

(

)

(

) ]

r

d

dR

d

r

k

R

R r dr

dr



d









 



最终得到三个分离变量微分方程：

2

2

2

2

2

2

1

(

)

(

)

0

0

0

d

dR

r

k

R

r dr

dr

r

d

d

d Z

Z

dz













 





  





cos(

)

exp(

)

( )

sin(

)

exp(

)

m

m

im

m

im

















_{ }

_





或



cos(

)

exp(

)

( )

sin(

)

exp(

)

z

z

z

z

k z

ik z

Z

z

k z

ik z







 



_



或



2

2

2

2

2

2

,

_z

r

z

m

k

k

k

k

k



















这里

。

令

。此时方程（1）变为

2

2

2

1

(

)

(

_r

)

0

d

dR

m

r

k

R

r dr

dr





r



Bessel 方程

因此我们得到径向函数的通解

由边界R(0)有限值，得到D=0。

所以最终的径向解就是Bessel函数

J

_m

(kr)

形式，

而旋转切向则为振荡解，振荡波矢

m

决定J的阶数！

( )

J (

_m

_r

)

N (

_m

_r

)

R r



C

k r



D

k r

零阶Bessel beam

（m=0）

http://www.isibrno.cz/omitec/index.php?action=bessintr.html

Standing Gaussian beam

Standing Bessel beam

Optical conveyor



回到Cartesian傍轴波动方程



如果考虑场在y方向均匀，即无波动，则方程变

为二维傍轴方程，如下



对照薛定谔方程

2

2

2

2

2

ik

0

x

y

z









_



_



_







2

2

2

ik

0

x

z







_



_





2

2

2

2

m

x

i

t

















形式一致！

是方程的一支解。

方程：

)

Ai(

0

''

x

y

xy

y

Airy



























0

3

3

cos

1

)

Ai(

x

t

xt

dt





















































0

3

3

3

sin

3

exp

1

)

Bi(

x

t

xt

t

xt

dt



还有一支

通解：

y



C

₁

Ai(

x

)



C

₂

Bi(

x

)

-16

-12

-8

-4

0

4

Ai(x)

Bi(x)

y

x

0

)

(

)

(

2

2





xAi

x

dx

x

Ai

d

Airy方程：

对其做变量变换





x

3

/

2

,

w

(



)



Ai

(

x

)

/

x

得到：

)

(

4

1

)

0

3

1

(

1

2

2

2

2









w

d

dw

d

w

d









虚宗量贝塞尔方程

















































































(

)

(

0

)

3

2

J

)

(

3

2

J

3

)

0

(

3

2

K

3

1

)

Ai(

x

x

x

x

x

x

x

x

，

，



_{贝塞尔函数的马甲}

根据Ai(x)求薛定谔方程：

2

2

2

ik

0

x

z







_



_



































k

xz

a

i

k

z

a

i

k

z

a

ax

z

x

2

12

exp

4

Ai

)

,

(

3

3

3

6

2

2

4



得到无衍射严格解：

通过一系列步骤，我们

Airy beam

丌衍射，丌发散，

自弯曲，自加速，

自修复

Airy function

如何根据Ai(x)求薛定谔方程：

2

₂

2

ik

0

x

z







_



_





































































































z

f

ik

x

f

f

x

f

x

f

z

f

ik

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x

z

z

x

f

f

f

f

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

)

(

Ai'

)

Ai(

)

Ai(

)

(

'

Ai'

,

)

exp(

)

Ai(

前面的系数，可得：

和

最后对比

方程，并利用：

的具体形式，代入波动

、

然后求出

的函数。

是

和

，其中

不失一般性令







结果。

的表达式即可得到最后

代入

和

将

，

，

条件，最后可解得：

分离变量，并考虑初值

组，然后

的函数。代入上述方程

仅是

其中

，

这要求

考虑无衍射形式的解，



.

2

12

)

,

(

4

)

,

(

4

)

(

)

(

f

f

k

xz

a

i

k

z

a

i

z

x

f

k

z

a

ax

z

x

f

z

k

a

z

f

z

f

z

f

ax

f

















































k

xz

a

i

k

z

a

i

k

z

a

ax

z

x

ax

x

2

12

exp

4

Ai

)

,

(

)

Ai(

)

0

,

(

3

3

3

6

2

2

4





初值条件下得到非衍射

严格解：

丌衍射，丌发散，

有限能量

实验

Cubic phase mask

附加相位调制

高斯光束

Fourier Transformation

2

3

( )

k

exp(

ak

) exp(

ik

/ 3)







 

_

_

2

sin

3

4

cos

x

k













 





 

_



_

 







?

Paraxial approximation: tan



sin



Q3：是否存在 nonparaxial nondiffracting

beam?

Nonparaxial = nondiffracting

?

数学上：Airy 函数解是Helmhotz方程傍轴近似下

的严格解。

实验上：当caustic beam角度变大后，beam明显偏

离原来的profile。

Q3：是否存在 nonparaxial nondiffracting

beam?

•

回到最原始波动方程

•

考虑场在y方向均匀，则变为二维Helmhotz方程

•

分离变量令

则径向函数满足

2

2

2

2

2

2

2

1

0

x

y

z

c

t

































2

2

2

2

2

1

0

x

z

c

t









_



_



_







( ) exp(

)

U r

i

i t





 



2

2

2

1

(

r

U

)

(

k

)

U

0

r r

r

r







_

_

_





标准的Bessel方程



如此得到径向丌衍射解

注意：



表示方位角向



的行波波数，在求Bessel光束时候我们用零

阶函数，令m(对应这里



)=0

，但是波沿着z轴传播k



0

。

现在设定了y向无波动（对应前面的k

=0

），从而



0

，得到高阶

Bessel

解，

也就得到一个沿着



向传播的

丌衍射弯曲波

。

( )

(

)

(

) exp(

)

U r

J

kr

J

kr

i

i t







 







这里

=100（高阶贝塞尔函

数）

这时beam弯曲接近90度，

大大突破了paraxial的限制！

角向贝塞尔波束

A-bessel beam



刚才的结果是在柱坐标下完成，其实可以迚一步推广到椭

圆坐标、抛物坐标等任意曲线坐标系下：

椭圆坐标系

sinh sin

cosh cos

x

h

z

h













 



[0, )

[0, 2 )

|

|

h

a

b

















对应于“径向”

对应于“方位角”

2

2

2

2

( )

(

2 cosh 2 ) ( )

0

( )

(

2 cosh 2 ) ( )

0

d R

q

R

d

d

q

d



_

_

_





_

_

_



















( , )

_m

( , )(

_m

( ; )

_m

( ; ))

M



q



R



q ce



q



ise



q

径向Mathieu函数

角向Mathieu函数

Mathieu beam

Weber beam

( )

J (

)

N (

)

R r



C

k r



D

k r

1

(

)

(

)

0

0

0

d

dR

r

k

R

r dr

dr

r

d Z

Z

dz

d

d













 









  

Cylindrical coordinate

( , )

_m

( , )(

_m

( ; )

_m

( ; ))

M



q



R



q ce



q



ise



q

Elliptical coordinate

Parabolic coordinate

Bessel beam

_{Cosine beam}

Angular Bessel beam

Mathieu beam

2

2

0

u

k u

 



Airy beam

Paraxial

condition

z

E

d

~ 100 nm

d

~ 10 nm

针对SPP的TM场的方程

很容易也可得到Airy函数的解

Coupling a well generated

Airy beam to SPP

Using well designed nano-grating

to couple Airy plasmon

Generating Airy plasmon totally

on planar dimension.

Non-spreading beam

Parabolic trajectory

Self-healing property

Bessel beam是柱坐标下平面波的叠加

而SPP仅仅存在金属表面2D体系，丌

可能适用柱坐标！

等效过程

exp(ik

y)+exp(-ik

y)=

cos(k

y)

SPP

_X

Z

“lossless” SPP beam

How about nonparaxial SPP?

Caustic方法获得任意曲线传播

PRL 112, 023903 (2014)

Mathieu & Weber SPP



z

x

( )

z

( )

x

k r







 

1

( ,

0)

exp[ ( ( )

)]

E

x z

i

z

k r

r









 

( ,

0)

( ) exp[

( )]

E

x z





A x



i



x

beam

source

N=5

N=10

N=20

N=50

Caustic beam design

Stray field

Holographic design

Cosine-Gauss Plasmon Airy Plasmon

Bessel beam

_{Airy Beam}

Arbitrary SPP

Review the history of beam engeering

Nondiffractin

g beams

Bessel

beam

beam

Airy

Nonparaxial

beam

Mathieu &

Webber

Winding

beam

Free space

1987

2007

2011

2012

2016

SPP

2012

2011

2014

2014

2016

Abritary Beam

Mathieu Beam

Mathieu SPP

winding Beam

Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao

Phys. Rev. Lett. 58, 1499 (1987)

Phys. Rev. Lett. 99, 213901 (2007)

Phys. Rev. Lett. 107, 116802 (2011)

Phys. Rev. Lett. 107, 126804 (2011)

Phys. Rev. Lett. 106, 213903 (2011)

Phys. Rev. Lett. 106, 213902 (2011)

Phys. Rev. Lett. 108, 113903 (2012)

Phys. Rev. Lett. 108, 163901 (2012)

Phys. Rev. Lett. 109, 093904 (2012)

Phys. Rev. Lett. 109, 193901 (2012)

Phys. Rev. Lett. 109, 203902 (2012)

Phys. Rev. Lett. 109, 203903 (2012)

Phys. Rev. Lett. 110, 046807 (2013)

Phys. Rev. Lett.

112, 023903 (2014)

Phys. Rev. Lett.

113, 123902 (2014)

Am. J. Phys. 47, 264 (1979)

Opt. Lett. 34, 2634 (2009)

Opt. Lett. 34, 3430 (2009)

Opt. Express 18, 8440 (2010)

Opt. Lett. 35, 2082 (2010)

Opt. Lett. 36, 1164 (2010)

Opt. Lett. 36, 3191 (2011)

Opt. Express 19, 16455 (2011)

Opt. Lett. 37, 2820 (2012)

Opt. Lett. 37, 3402 (2012)

Opt. Lett. 37, 5091 (2012)

Opt. Lett. 38, 1733 (2013)

… … … …

Thank you for your attention!

http://dsl.nju.edu.cn/litao/