1-1-4數與坐標系-複數與複數平面

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(1)1-1-4 數與坐標系-複數與複數平面【起源】為了使多項式方程式都有解，例如：使 x 2 + 1 = 0 有解，即希望 x = ± − 1 有意義，我們定義了虛數單位，也就是定義 i = − 1 ，且滿足 i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1 ，進而造出了複數系。【定義】虛數單位：規定 i = − 1 為虛數單位。若 a > 0, a ∈ R ，則 − a = ai 。形如 a + bi , a, b ∈ R 的數稱為複數(complex number)，若 b = 0 ，稱實數；若 b ≠ 0 ，稱虛數；若 a = 0, b ≠ 0 ，稱純虛數。實部與虛部：複數 z = a + bi , a, b ∈ R ，其中 a 稱為實部(real part)，以 Re(z ) ， b 稱為虛部(imaginary part)，以 Im(z ) 表示。複數系： C = {a + bi | a, b ∈ R} 稱複數系。複數的相等：設 a, b, c, d 為實數， a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d 。【性質】數系間的關係： ⎧ ⎧ ⎧ ⎧正整數Z + = N(自然數 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪整數Z ⎨零{0} ⎪ ⎪實數R ⎪有理數Q ⎨ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩負整數Z 複數C ⎨ ⎪ ⎪分數F(有限小數, 循環小數 ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪無理數Q' (不循環的無限小數 ) ⎩ ⎪ ⎪⎩虛數【問題】複數是否可以比較大小?(不可) 討論：若 i > 0 ，則 i 2 > 0 ⇒ −1 > 0 →← 。若 i = 0 ，則 i 2 = 0 ⇒ −1 = 0 →← 。若 i < 0 ，則 i 2 > 0 ⇒ −1 > 0 →← 。故 i 不能與 0 比大小，也就是 a + bi , a, b ∈ R 也不能與 0 比大小。【性質】複數的四則運算：設 a, b, c, d 為實數，則 1. ( a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i 。 2. ( a + bi ) − (c + di ) = ( a − c ) + (b − d )i 。 3. ( a + bi ) × (c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc )i 。 a + bi ac + bd bc − ad 4. = + i。 c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2.

(2) 【定義】共軛(conjugate)複數：設 z = a + bi , a, b ∈ R ，則 z = a − bi ，稱為 z = a + bi 的共軛複數。複數平面(高斯平面)：以 x 軸為實數軸， y 軸為虛數軸，並將 z = a + bi , a, b ∈ R 以 P ( a, b) 表示。複數的絕對值：設 z = a + bi , a, b ∈ R ，則 | z |= a 2 + b 2 。兩點的距離：以 | z1 − z 2 | 表示複數平面上兩點的距離。【性質】複數的絕對值的性質：若 z1 , z 2 , z 3 ∈ C ，則 1. | z1 z 2 |=| z1 || z 2 | 。 z |z | 2. | 1 |= 1 , ( z 2 ≠ 0) 。 z2 | z2 | 3. | z | n =| z n |, (n ∈ N ) 。 4. | z | 2 = z z 。 5. | z1 + z 2 |≤ | z1 | + | z 2 | 。等號成立 ⇔ ∃s, t ∈ R, s 2 + t 2 ≠ 0, ∋ sz1 = tz 2 。【問題】試標出 α , α ,−α ,−α 在複數平面上的位置? 【性質】共軛複數的性質：若 α , β ∈ C ，則 1. α ∈ R ⇔ α = α 。 2. α + α ∈ R 。 3. α α =| α | 2 ≥ 0 。 4. α + β = α + β 。 5. α × β = α × β 。【性質】一元二次方程式的解： 2 設 a > 0, a, b, c ∈ R ，二次方程式 ax + bx + c = 0. − b ± b 2 − 4ac 1. 若 b − 4ac > 0 時，則兩根為相異實根； 2a −b ； 2. 若 b 2 − 4ac = 0 時，則兩根為相等實根 2a − b ± − (b 2 − 4ac)i 3. 若 b 2 − 4ac < 0 時，則兩根為共軛虛根。 2a 二次方程式根與係數關係：若二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 的兩根為 α , β ，則 2.

(3) b ⎧ ⎪⎪α + β = − a 1. ⎨ 。(根與係數關係) c ⎪α × β = ⎪⎩ a 2 2. ax + bx + c = a( x − α )( x − β ) 。(因式分解) 3. aα 2 + bα + c = 0, aβ 2 + bβ + c = 0 。(可用於降次) 有理根存在之條件：二次方程式 a ≠ 0, a, b, c ∈ Z , ax 2 + bx + c = 0 有「有理根」之充要條件為 b 2 − 4ac 為完全平方數。共軛虛根存在之條件：二次方程式 a ≠ 0, a, b, c ∈ R, ax 2 + bx + c = 0 有一虛根 p + qi , p, q ∈ R ，則必存在另一虛根 p − qi 。【方法】複係數方程式有實根：設實根後將之代入原方程式，利用實部與虛部皆為 0 求之。注意不要直接就說共軛虛根成對出現。 b 註：若方程式 a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0 有一根 2 + 3i ，則另一根為 − − ( 2 + 3i ) ，而 a 非 ( 2 − 3i ) 。【問題】 1.. a × b = ab ？. a ？ b b 3. ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a, b, c ∈ R 有一根 p + qi ，則必有另一根 p − qi ？【性質】令 ω 為 x n = 1 之一虛根 1. ω n − 1 = 0 ⇒ (ω − 1)(ω n −1 + ω n − 2 + L + ω + 1) = 0 又 (ω − 1) ≠ 0 則 ω n −1 + ω n − 2 + L + ω + 1 = 0 且 ⇒| ω | n =| ω n |= 1 ⇒| ω |= 1 (因 x n = 1 只有唯一正實根) 即 ω n = 1 ， ω n −1 + ω n − 2 + L + ω + 1 = 0 ， | ω |= 1 2. 1n = 1 ωn =1 (ω 2 ) n = (ω n ) 2 = 1 … (ω n −1 ) n = (ω n ) n −1 = 1 故 x n − 1 = ( x − 1)( x n −1 + x n − 2 + L + x + 1) = ( x − 1)( x − ω )( x − ω 2 ) L ( x − ω n −1 ) 3. 特別當 ω 為 x 3 = 1 之一虛根則 ω 3 = 1 ， ω 2 + ω + 1 = 0 ， | ω |= 1. 2.. a. =.

(4) x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) = ( x − 1)( x − ω )( x − ω 2 ) 【方法】複數開根號：若 z 2 = a + bi, a, b ∈ R ，則 z 的兩個平方根為 ± a + bi 通常設 z = x + yi, x, y ∈ R 然後兩邊平方，比較係數後求得。.

(5)