1-2-3數與坐標系-平面坐標系

全文

(1)2-3 數與坐標系-平面坐標系【定義】坐標系：在平面上，畫出兩條互相垂直的直線，一條水平（左右延伸），一條鉛直（上下延伸）；交點是原點，水平線是軸，向右為正，向左為負；鉛直線是軸，向上為正，向下為負；再取定一單位長後，使軸、軸成為兩條數線，於是就建立了一個直角坐標系(選取適當的座標系，將幾何的問題用代數的方法來處理)。象限：軸與軸（通稱為坐標軸）將平面分割成四個區域，每個區域是一個象限，所以有四個象限，我們由右上方開始，依逆時鐘方向，分別稱為第一、第二、第三、第四象限，並以羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。坐標：一個點 P ，若過 P 的鉛直線與軸交於 a ，過 P 的水平線與軸交於 b ，則點 P 的坐標就是 (a, b) 。每一個實數對，都有一個點以它為坐標，換言之，坐標平面上的所有點與所有實數對，形成一對一的對應關係。兩點間的距離：設 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ，則 P1 P2 = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 。【性質】一維分點公式：設 A( x1 ), B ( x 2 ) 為數線上相異兩點，若 P(x) 為線段 AB 上一點，且滿足 nx + mx2 AP : PB = m : n ，則 x = 1 。 m+n 二維分點公式：設 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 為相異兩點，若 P( x, y ) 為線段 AB 上一點，且滿足 nx + mx2 ny1 + my 2 AP : PB = m : n ，則 ( x, y ) = ( 1 , )。 m+n m+n 【定義】直線的斜率：設 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 為直線上相異兩點，當 x1 ≠ x 2 時， ∆y 鉛直位移 y 2 − y1 = = = tan θ ( θ 為斜角)， m= ∆x 水平位移 x 2 − x1 稱為直線 P1 P2 的斜率；當 x1 = x 2 時，直線 P1 P2 為鉛垂線，沒有斜率。【性質】斜率有以下的性質： 1. 當斜率 m = 0 時，表示是水平線 2. m > 0 時，表示由左而右是上升的 3. m < 0 時，表示由左而右是下降的， 4. m 的絕對值愈大，表示愈陡。 5. 直線上的一點在線上往右移動 1 單位時，會上升(當 m > 0 )或下降(當 m < 0 ) | m | 單位。 6. 由斜率的定義可知鉛直線沒有斜率。【性質】 12.

(2) 直線的平行與垂直：設直線 L1 , L2 的斜率為 m1 , m2 ， 1. 若 L1 // L2 ，則 m1 = m2 。 2. 若 L1 ⊥ L2 ，則 m1 × m2 = −1 。 (pf)如圖，令 Q(a, b), M (a + 1, y1 ) ∈ L1 , N (a + 1, y 2 ) ∈ L2 ∴ m1 = y1 − b, m2 = y 2 − b ⇒ m1 − m2 = y1 − y 2 ∴ L1 ⊥ L2 ⇔ ∠MQN = 90° 2. 2. 2. ⇔ MN = QM + QN ⇔ ( y1 − y 2 ) 2 = 12 + ( y1 − b) 2 + 12 + ( y 2 − b) 2 ⇔ (m1 − m2 ) 2 = 2 + m1 + m2 ⇔ m1 m2 = −1 【問題】 1. 直線上任取相異兩點所決定的斜率會不同嗎？ 2. 過一點的直線有幾條？ 3. 斜率為某一定值的直線有幾條？ 4. 過一點且斜率為某一定值的直線有幾條？ 5. 如何描述一條直線？【定義】點斜式：過點 ( x0 , y 0 ) ，斜率為 m 之直線方程式為 ( y − y 0 ) = m( x − x0 ) 。斜截式：斜率為 m ， y 截距為 b 之直線方程式為 y = mx + b 。兩點式： y −y 過相異兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 之直線方程式為 y − y 2 = ( 1 2 ) × ( x − x 2 ) 。(向 x1 − x 2 量之概念) 截距式： x y x 截距為 a ， y 截距為 b 之直線方程式為 + = 1 ，其中 ab ≠ 0 。 a b 一般式： ax + by + c = 0 稱為直線方程式的一般式，其中 a 2 + b 2 ≠ 0 。參數式： −a 過點 ( x0 , y 0 ) ，斜率為 m = 之直線方程式中， v = (b,− a ) 稱直線的方向向量， b ⎧ x = x 0 + bt n = (a, b) 稱直線的法向量，且 ⎨ 稱為直線的參數式。 ⎩ y = y 0 − at 2. 2. 註：不論各種形式，基本上都是由直線上一點與直線的斜率所決定的。【問題】 y − y0 1. 試問表示法 ( y − y 0 ) = m( x − x0 ) 與 = m 是否有差別？ x − x0 2. 求過點 P ( x0 , y 0 ) 且與直線 ax + by + c = 0 平行的直線方程式？ 3. 求過點 P ( x0 , y 0 ) 且與直線 ax + by + c = 0 垂直的直線方程式？ 4. 兩條直線 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 的解的個數與此兩直線的交點數 13.

(3) 之間有何關係？幾何關係為何？係數關係為何？ 5. 點 P ( x0 , y 0 ) 對於直線 L : ax + by = c 的對稱點如何求？ 6. 三點共線時，此三點坐標之間有何關係？ 7. 三線共點時，此三線係數之間有何關係？【定義】三角形的心：設 ∆ABC 的三頂點坐標為 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) ，則 ∆ABC 的 x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 1. 重心：三中線交點，為 G ( 1 , )。 3 3 2. 外心：三中垂線交點，到三頂點等距離。 3. 內心：三內角平分線交點，到三邊等距離， ax + bx 2 + cx3 ay1 + by 2 + cy3 為 I( 1 , )。 a+b+c a+b+c 4. 垂心：三邊的高交點。尤拉(Euler)線： ∆ABC 的垂心 H 、重心 G 、外心 O 三點共線，並稱為尤拉線。【性質】直線系：給定兩條直線 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 ，交點為 P ( x0 , y 0 ) ，則過 P ( x0 , y 0 ) 點的任意直線可以表示成為 m(a1 x + b1 y − c1 ) + n(a 2 x + b2 y − c 2 ) = 0 的形式。. 14.

(4)