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5-1-2機率與統計(II)-二項分配

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Academic year: 2021

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(1)選修數學(I)1-2 機率與統計(II)-二項分配 【定義】 1. 白努利(Bernoulli)試驗: 每次試驗的結果只有成功與失敗兩種,此試驗稱為白努力試驗。 若變數 X 符合白努利分配,以符號 X ~ Ber ( p ) 表示。 2. 二項分配(Binomial distribution): 重複 n 次試驗,每次試驗的結果只考慮成功與失敗兩種情況,稱 n 次試驗中 成功次數的機率分配為二項分配。二項分配中,若變數 X 表示 n 次中成功的 次數,則我們以 P ( X = k ) 表示恰成功 k 次的機率。 一般而言,在 n 次獨立試驗中,若每次成功的機率為 p ,失敗的機率為 1 − p , 則 n 次中恰成功 k 次的機率為 P ( X = k ) = Ckn p k (1 − p ) n − k , k = 0,1,2,L, n 。 若變數 X 符合二項分配,以符號 X ~ B (n, p ) 表示 3. 期望值(expectation): 設變數 X 有 n 個不同的值 x1 , x2 , L , xn ,若 P( X = xi ) = pi , i = 1,2,L, n ,且 p1 + p2 + L + pn = 1 , 則 變 數 X 的 數 學 期 望 值 為 E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn 。 註: 變 數 X 的 數 學 期 望 值 E ( X ) 是 變 數 值 x1 , x2 , L , xn 以 它 們 對 應 的 機 率 p1 , p2 ,L, pn 為權數的加權平均數。.

(2) 【性質】 1. 二項分配的數學期望值: 在 n 次獨立的試驗中,設每次試驗成功的機率為 p ,則此試驗成功次數 X 的 數學期望值為 E ( X ) = np 。 證明: n. n. n. k =0. k =0. k =1. E ( X ) = ∑ kP( x = k ) = ∑ kCkn p k (1 − p ) n − k = n∑ Ckn−−11 p k (1 − p ) n − k n −1. = np ∑ Cin −1 p i (1 − p )( n −1) − i = np[ p + (1 − p )]n −1 = np 。 i =0. 2.. 二項分配的變異數: 在 n 次獨立的試驗中,設每次試驗成功的機率為 p ,則此試驗成功次數 X 的 變異數為 Var ( X ) = E (( X − E ( X ))2 ) = np (1 − p ) 。 證明: n. n. k =0. k =0 n −1. 由 E ( X 2 ) = ∑ k 2 P( x = k ) = ∑ k 2Ckn p k (1 − p) n − k n. = ∑ nkCkn−−11 p k (1 − p ) n − k = n∑ (i + 1)Cin −1 p i +1 (1 − p ) n −1− i i =0. k =1. n −1. n −1. i =0. i =0. = np ∑ iCin −1 p i (1 − p ) n −1− i + np ∑ Cin −1 p i (1 − p ) n −1− i = np × ( n − 1) p + np × 1 = n(n − 1) p 2 + np 。. 3.. 得 Var ( X ) = E (( X − E ( X )) 2 ) = E ( X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ))2 ) = E ( X 2 ) − 2( E ( X ))2 + ( E ( X ))2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np (1 − p ) 。 成功比例的數學期望值與標準差: 在 n 次獨立的試驗中,設每次試驗成功的機率為 p ,則此試驗成功比例 X 的 E( X ) np X 數 學 期 望 值 為 E( ) = =p ,成功比例的標準差為 = n n n p(1 − p) X Var ( ) = 。 n n.

(3) 【另法】 1. 期望值與標準差的性質: 若 n 個相同分配且兩兩互相獨立(i.i.d.)的隨機變數 X 1 , X 2 ,L, X n 及 n 個實數 a1 , a2 ,L, an ,則 E (a1 X 1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1E ( X 1 ) + a2 E ( X 2 ) + L + an E ( X n ) , Var (a1 X 1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1 Var ( X 1 ) + a2 Var ( X 2 ) + L + an Var ( X n ) 。 註: 2. 2. 2. n. Var ( X ) =. ∑(x − x) k =1. i. 2. = E (( X − E ( X ))2 ) = E ( X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X )) 2 ). n = E ( X ) − 2 E ( X ) E ( X ) + ( E ( X ))2 = E ( X 2 ) − ( E ( X ))2 。 2. 白努利分配的期望值與變異數: 設變數 X i ~ Ber ( p), i = 1,2,L, n , 則 E ( X i ) = 1× p + 0 × (1 − p ) = p , 2. E ( X i ) = 12 × p + 02 × (1 − p) = p , 2. 3.. 4.. 故 Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = p 2 − p = p (1 − p ) 。 二項分配的期望值與變異數: 在 n 次 獨 立 的 試 驗 X i ~ Ber ( p), i = 1,2,L, n 中 , 此 試 驗 成 功 次 數 X = X 1 + X 2 + L + X n ,則 X ~ B ( n, p ) , 故 E ( X ) = E ( X 1 + X 2 + L + X n ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + L + E ( X n ) = np , 且 Var ( X ) = Var ( X 1 + X 2 + L + X n ) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 ) + L + Var ( X n ) = np (1 − p ) 。 成功比例的數學期望值與變異數: X 在 n 次獨立的試驗中,設每次試驗成功的機率為 p ,此試驗成功比例 , n X np 1 則 E( ) = E( X ) = = p, n n n X np (1 − p ) p (1 − p ) 。 且 Var ( ) = = n n2 n.

(4) 【性質】 1. 二項分布的近似分布: 對於二項分布中的成功機率 p 是多少,我們不一定知道,當我們抽出一個樣 本數大小為 n 的隨機樣本,隨機變數 X 代表成功的次數,若其中有 x 個是成 x 功的,那麼樣本中的成功比例 pˆ = 應該與 p 差不多,故可以用 pˆ 估計 p 。 n 但是到底這個估計有多好呢?因為 p 值未知,我們無法知道確實差距,現在 抽很多個樣本大小為 n 的隨機樣本,則這些 pˆ 值的平均數為 p ,標準差為. p (1 − p ) ,當 n 夠大時, pˆ 有近似常態分布。 n 2. 二項分布的信賴區間: p(1 − p) 公式,處理一次抽樣(即一次試驗)時,抽出 n 件 n pˆ (1 − pˆ ) 產品中不良品的比例為 pˆ 時,我們以 為抽樣標準差可推算以 pˆ 為 n 中心,產品中不良品的機率 p 的信賴區間,在 (1 − α ) × 100% 的信心水準下, 利用標準常態分配表就可推算出 p 的 (1 − α ) × 100% 的信賴區間。 【例題】 1. 擲一個出現正面機率 p (未知)的硬幣 n = 50 次, 23 其中正面出現次數為 23 次,也就是正面出現的比率為 pˆ = = 0.46 , 50 p(1 − p) 。 則 pˆ 會近似常態分布,樣本平均的期望值為 p ,標準差為 σ p = n 2. 此時由於標準差 σ p 未知, 利用抽樣的標準差. 所以以估計值 pˆ 的標準差 S pˆ =. pˆ (1 − pˆ ) = 0.07 來代替 n. 3.. (當 n 夠大時,誤差會很小)。 得 P (| pˆ − p |≤ 2 S pˆ ) = 0.95 (表成 P ( p − 2 S pˆ ≤ pˆ ≤ p + 2 S pˆ ) = 0.95 ),. 4.. 解釋為估計值 pˆ 落在平均數 p 左右各兩個標準差內的機率為 0.95 。 轉換成 P (| p − pˆ |≤ 2 S pˆ ) = 0.95 (表成 P ( pˆ − 2 S pˆ ≤ p ≤ pˆ + 2 S pˆ ) = 0.95 ), 解釋為我們有 95% 的信心, 區間 [ pˆ − 2 S pˆ , pˆ + 2 S pˆ ] 會包含未知參數 p 。. 5.. 也就是對一回抽樣, 我們有 95% 的信心,區間 [ pˆ − 2 S pˆ , pˆ + 2 S pˆ ] 會包含母體參數 p 。 也就是 p 的信心水準為 95% 的信賴區間 [ pˆ − 2 S pˆ , pˆ + 2 S pˆ ] (即 [0.46 − 2 × 0.07,0.46 + 2 × 0.07 ] )。.

(5) 【理論】 常見分布: 1. 白努利分布(Bernoulli distribution): (1) 一隨機變數 X 若滿足 P ( X = 1) = p , P ( X = 0) = 1 − p ,其中 0 ≤ p ≤ 1 , 稱 X 為具有參數 p 之伯努力分佈。可表成 X ~ Ber ( p ) 。. ⎧1 − p, x = 0 ⎪ (2) p.d . f . 為 f ( x) = ⎨ p, x = 1 。 ⎪0, other ⎩. ∑ f ( X = x) =. f ( X = 0) + f ( X = 1) = (1 − p ) + p = 1 。. x. (3) 由 E ( X ) = 1 × p + 0 × (1 − p ) = p 。 及 E ( X 2 ) = 12 × p + 0 2 × (1 − p) = p 。 得 Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = [12 × p + 02 × (1 − p)] − p 2 = p (1 − p ) 。 (4) 使用時機:只有所謂成功與失敗兩種情形的試驗;或者只有兩種情形的 試驗。 2. 二項分布(binomial distribution): (1) 觀測 n 個獨立的伯努力試驗,每次成功之機率設為 p 。隨機變數 X 表成 功之總次數,稱 X 為具有參數 n 及 p 之二項分佈,其中 n 為一正整數, 0 ≤ p ≤ 1 。可表成 X ~ B ( n, p ) 。 (2) p.d . f . 為 f ( x ) = C xn p x (1 − p ) n − x , x = 0,1,L, n 。 n. ∑ x =1. n. f ( X = x) = ∑ C xn p x (1 − p ) n − x = ( p + 1 − p) n = 1 。 x =1. n. n. x =0. x =0. n. (3) 由 E ( X ) = ∑ xf ( x) = ∑ xC xn p x (1 − p ) n − x = ∑ nC xn−−11 p x (1 − p ) n − x x =1. n −1. n −1. t =0. t =0. = ∑ nCtn−1 p t +1 (1 − p ) n −( t +1) = np ∑ Ctn −1 p t (1 − p ) n −t −1 = np 。 n. n. x =0. x =1. 及 E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x) = ∑ nxC xn−−11 p x (1 − p ) n− x n −1. = n∑ (t + 1)Ctn −1 p t +1 (1 − p) n −t −1 t =0 n −1. n −1. = np ∑ tCtn−1 p t (1 − p ) n−t −1 + np ∑ Ctn −1 p t (1 − p ) n−t −1 t =0. t =0. = n(n − 1) p + np 。 得 Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np (1 − p ) 。 使用時機:連續伯努力實驗中成功的總次數,例如自袋中取球後放回,觀察其取 到白球之總次數;或者獨立投擲銅板,出現正面的總次數;或者投擲骰子 n 次, 點數 1 出現的次數。 2.

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