3-1-1向量-有向線段與向量

第三冊 1-1 向量-有向線段與向量

【定義】 1. 有向線段： 線段的兩個端點為A 或 B 時，此線段表為AB 或 BA。 如果在線段上用箭頭標示方向就稱為有向線段。 如圖，A 是始點， B 是終點，用

v

AB表示此有向線段。 註：線段有兩端點，有向線段有始點與終點。 B A uv B A 2. 向量(vector)： 具有大小與方向的量稱為向量，以有向線段表示向量， 以有向線段的長度表示向量的大小，以有向線段的方向指出向量的方向。 如果有向線段

v

AB表示向量uv ，以uv =

v

AB記之，|uv =| |

v

AB |表向量長度。 註：不在意始點與終點。 3. 向量長度： 向量

v

AB之長度以符號|uv =| |

v

AB |表示。 D C B A av B A _bv B A D C uv B A 4. 向量的相等： 向量

v

AB與向量 C

v

D相等⇔ A

v

B , C

v

D的長度相等且方向相同。 註：以 A

v

B = 一 D C

v

表示。 5. 零向量： 當始點與終點為同 點之向量為零向量。 即當A= 時，B

v

AB表示零向量，記為

v

AA =0v v = v= 。 零向量的長度為零，方向可以為任意方向。 6. 逆(反)向量： 大小相等，方向相反的向量互為逆向量。 即向量a

v

AB，b B

v

A，稱bv為av 的逆向量，記為bv=−av。 同樣的，a 稱為v b 的逆向量，記為v av −= bv。 7. 表示法： (1) 兩相異點可以決定一個線段，但兩相異點可以決定兩個有向線段。 (2) 兩個不同的有向線段只要大小相同、方向相同，就可表示同一個向量。 (3) 每個向量有確定的大小與方向，但可能畫在不同位置。 (4) 在討論向量時，若始點與終點不是討論的重點時，也可以用符號 等表示。 w v u c b av,v,v,v,v,v (5) 給定一個向量 ，則過任一點uv A 都可作一個向量

v

AB與 同向 等長 記為 uv 並 ， B A

v

=uv。同樣地，可用另一個向量 C

v

D來代表uv ，只要 A

v

B與

v

代表同一個向量，即兩者的大小相等，方向相同。 D C 【定義】 1. 正三角形的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 2. 正四邊形的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 3. 正立方體的任兩不同頂點中，可以組成幾個不同的向量？ 4. 若ABCDEF 為正六邊形，則A,B,C,D,E,F可以決定幾個不同的向量？ 第三冊 第一章 向量 — P1

【定義】 1. 向量的加法： (1) 三角形法： 設兩向量_av_{= A}

v

_B ,_bv_{= B}

v

_C， 則向量 _A

v

_C就是_{a 與 b}v v的和，即av +bv = A

v

C， 並規定a b a ( b) A B b av +v C bv v v v v_{− = + −}

v

。 av 註：當 av = A 的終點為B bv= B

v

C的始點時用此法。 (2) 平行四邊形法： 由三角形法，如果_av = _O

v

_A,bv_{= O}

v

_B， 則 av+ bv= O +

v v

A O =B O

v

A + A

v

C = CO

v

， 其中 平行四邊形。 註： a 的終點不為 OACB

v

為 v = AO b O

v

B B C A O bv b av +v av v = v 的始點時用此法， 先將兩向量的始點移至同一位置。 。由三角形法，如果av = O

v

A, 2. 向量的減法： 規定a b a ( b) B A O C av bv B O bv=

v

= v v v_{− = + − ，} 則av−bv=av+( b−v) O

v

A + B

v

O= CB

v

+ AC

v

= B

v

A ， 其中OACB為平行四邊形。 av −bv 3. 向量的 解：分

v

A O B (1) O

v

A + A

v

B = O

v

B。 (2) A

v

B = O

v

B − OA。 註：(O為任一點)。 4. 向量的係數積： 若α是一實數， 是一向量，則av αav表示一向量， 它的長度是|α|乘以a 的長度(即長度|v αav|=|α||av|)， 而方向由α的正、負而定。 (1) 當α >0時αav與 同向。 av (2) 當α <0時αav與 反向。 av (3) 當α =0時αav =0v。 【性質】 1. 向量加法的基本性質： 對任意向量av,bv,cv，則 (1) 交換律：av+bv=bv+av。 c b a c b a (2) 結合律： (v+ v)+v= v+(v+v)。 (3) av+v0=0v+av=av。 (4) av+(−av)=(−av)+av =0v。 2. 向量係數積的基本性質： 若av,bv為向量，α,β為實數，則 (1) α(av+ )bv =αav+αbv。 (2) (α+ )β av=αav+βav。 (3) α(βav)=(αβ)av。 第三冊 第一章 向量 — P2

【定義】 1. 向量的平行： 存在實數 ⇔ b av//v r 使bv=rav或存在實數 使t av = 。 tbv 若不平行，則記為av//bv。 註：零向量與任意向量視為平行。 2. 兩向量夾角： 任意兩非零向量 ，當它們的始點是同一點時， 與b 就有一個夾角 b av,v av v θ ，規定0°≤θ ≤180°。 3. 向量的垂直： 若兩向量av, 的夾角為直角時，我們稱此兩向量垂直，記為bv 。 註：零向量與任何向量視為垂直。 b av ⊥v 4. 向量的內積： 設θ 為av,bv的夾角(0°≤θ ≤180°)，則規定av 與bv的內積av⋅bv=|av||bv|cosθ 。 註： (1) av ×bv表示向量的外積。兩向量之間沒有乘法，也沒有除法。 (2) 零向量與任何向量之內積為零。 (3) 內積"⋅"念成 dot，符號不可省略，且向量內積是實數而非向量。 (4) 為實數， 為非負數。 為無意義符號，但 b av ⋅v |av ⋅bv| 2 av 2 | | av 表長度平方。 (5) 內積之物理意義： 物體在定力 的作用下，且在力fv fv的方向有位移sv ， 則該力對物體所作的功W =| fv||sv|； 但當力的方向與位移的方向夾角θ 時， 所作的功W =| fv||sv|cosθ。 (6) 當向量av 與b 中有零向量時， 與b 的夾角可視為 與 之間的任一角 v av v 0° 180° θ ， 而|av|,|bv|中至少有一個為0， 所以 恆為 ， 規定 θ cos | || |av bv 0 0 = ⋅b av v 。 5. 投影量(分量)： 與b 的夾角為 av v θ 時，則| bv|cosθ 稱為bv在av 方向上的投影量。當θ < 90°時， 投影量為正數；當θ = 90°時，投影量為0；當θ > 90°時，投影量為負數。 註： (1) 兩向量的內積正負隨著兩向量的夾角而變化，若兩向量的夾角為θ 時， (a) θ 為銳角時，b 在v av 方向上的投影量| bv|cosθ 為正。 (b) θ 為直角時，b 在v av 方向上的投影量| bv|cosθ 為零。 (c) θ 為鈍角時，b 在v av 方向上的投影量| bv|cosθ 為負。 (2) av⋅bv=|av||bv|cosθ =|av|(|bv|cosθ) 即向量av 與b 的內積等於( bv v在av 方向上的投影量)乘以( 的長度)。 av 第三冊 第一章 向量 — P3

【性質】 1. 內積的基本性質： 對任意向量av,bv,cv與實數α，有下列性質： (1) (αav)⋅bv =av⋅(αbv)=α(av⋅bv)。 (2) av⋅bv=bv⋅av。 (3) av⋅(bv+cv)=av⋅bv+av⋅cv。 (4) av⋅av=|av|2≥0，且av⋅av=0⇔av=0v。 (5) 。 證明： 因 ， 故 0 = ⋅ ⇔ ⊥b a b av v v v θ cos | || |a b b av⋅v= v v 0 = ⋅ b av v ⇔|av||bv|cosθ =0 ⇔cosθ =0 ⇔θ =90° ⇔av ⊥bv。 註：av⋅(bv⋅cv)≠(av⋅bv)⋅cv。 2. 兩向量av,bv垂直若且為若av⋅bv=0，即av⊥bv⇔av⋅bv=0。 3. 設av//bv，且x,y∈R，試證：若xav+ byv=0v，則x= y=0。 【公式】 1. 展開式： (1) 2 2 2 | | 2 | | | |av+bv = av + av⋅bv+ bv 。 證明： 2 | |av +bv ) ( ) (av+bv ⋅ av+bv = b b b a a av⋅v+ v⋅v+ v⋅v = 2 2 2 | | 2 | |av + av⋅bv+ bv = (2) (| | | | ) 4 1 _{2 2} b a b a b av⋅v = v+v − v−v 。 (3) |av+bv+cv|2=|av|2 +|bv|2 +|cv|2 +2(av⋅bv+bv⋅cv+cv⋅av)。 證明： 2 | |av+bv+cv ) ( ) (av+bv+cv ⋅ av+bv+cv = ) ( 2 a b b c c a c c b b a av⋅v+v⋅v+v⋅v+ v⋅v+v⋅v+v⋅v = 2. 面積公式： (1) ∆ABC的面積為 2 2 2 ) ( | | | | 2 1 C A B A C A B A

v

v

v

v

− ⋅ 。 (2) 以av,bv為相鄰兩邊的三角形的面積為 | |2| |2 ( )2 2 1 b a b av v − v⋅v 。 (3) 以av,bv為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為 |av|2|bv|2 −(av⋅bv)2 。 3. 不等式： (1) 柯西不等式：|av⋅bv|≤|av||bv|。 (2) 三角不等式：|av|−|bv|≤|av±bv|≤|av|+|bv|。 第三冊 第一章 向量 — P4