不同數學學習障礙類型國小學童在數學等號學習之研究

全文

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(2) 國立臺灣師範大學特殊教育學系碩士論文. 不同數學學習障礙類型國小學童在數學等號學習之研究 The Research of Different Mathematics Disorder Children in Elementary School on Equal Sign. 指導教授：洪儷瑜教授研究生：陳紀恩撰. 中華民國一○一年七月.

(3) 致. 謝. 完成論文，最要感謝的是我的指導教授，洪儷瑜老師。除了用盡極大的心力、體力和時間指導學位論文外，老師的言教和身教，更是永遠的模範。感受最深的莫過於一句話「持續不斷的前進，即便僅是一小步，就是進步」。未來無論是學術領域或是教學現場，我將秉持此信念。也感謝吳昭容教授、謝闓如教授，鉅細靡遺地協助我把論文修正更趨完整。進入博愛樓，它給予了我真正接觸做學問的機會，是衝擊也是開闊，回首過去在職的兩年和留職停薪的一年，無論是質是量，著實給予我強大支持力量的碩班同伴，佳真、崑志、思慧、蟬蔓、明媛、漢岳、家齊，以及博班學長姐，文宏學長和秀芬學姐。最後，感謝我深愛的家人們，支持我的各種決定。. I.

(4) 摘. 要. 本研究之目的為探討國小六年級不同類型的數學學習障礙學童等號的概念，探討與學習等號符號有關的核心能力主要是數學能力或是閱讀能力，還是兩者皆是。藉由自編等號概念評量蒐集每一位學童在等號概念的解釋，以及「典型等式」、「反向等式」、「反身性」、「雙側等式」等四大題型的表現。研究對象取自於洪儷瑜(2011)研究，以該研究測驗標準區分為四組，分別為數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組 (MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)，共計三十四位國小六年級學童。最後，以獨立樣本單因子變異數分析比較四組學童表現的差異。研究結果如下：一、小六學童等號概念以運算觀點為主。二、小六學童等號概念的表現，以「典型等式」最佳、「反身性」最差、「反向等式」和「雙側」較不成熟。三、等號學習與閱讀能力有關。依據研究結果，本研究進一步提出未來研究上的建議。. 關鍵字：等號、數學學習障礙. I.

(5) Abstract The purpose of this study is to investigate how reading comprehension and mathematical ability influence different mathematics disorder on equal sign. Participants were 34 six-graders in elementary school. Children were divided into 4 groups: children with mathematics disorder (MD), children with disorder in both mathematics and reading (MD&RD), children with reading disorder (RD), children with normal achievement in both mathematics and reading (NA). The primary dependent variables for this investigation were the identity of equal sign, and four forms of following, “operation＝answer”, “answer＝operation”, “answer＝answer”, and “operation＝operation”. Finally, the data was analyzed by one-way ANOVA. This article proposed three conclusions. First, the children of six-graders in elementary school tend to think the equal sign is an operator signal, “do something signal”. Second, the children of six-graders in elementary school can perform well on the form “operation＝answer”, but “answer＝answer”. And the form “answer＝operation”, and “operation＝operation” is immature. Finally, learning the equal sign is related to reading comprehension.. Keywords: equal sign, mathematics disorder.. II.

(6) 目錄第一章. 緒論. 第一節研究動機與目的………………………………………………..1 第二節研究問題與研究假設…………………………………………7 第三節名詞解釋………………………………………………………9 第二章文獻探討第一節數學學習障礙…………………………………………………11 第二節等號概念的意義………………………………………………23 第三章研究方法第一節研究對象……………………………………………………...59 第二節研究設計.......………………………………………………65 第三節研究工具……………………………………………………67 第四節研究步驟.......………………………………………………79 第五節資料處理與分析...…………………………………………85 第四章研究結果第一節四組在解釋等號意義之差異………………………………... 87 第二節四組在典型等式之差異……………………………………..95 第三節四組在反向典型等式之差異……………………………… 103 第四節四組在反身性等式之差異…………………………………. 117 第五節四組在雙側等式之差異………………………………… 131 第五章結果討論第一節小六學童等號概念…………………………………………155 第二節不同等號概念之發展………………………………………. 161 第三節等號學習的組間差異………………………………………. 165 第六章結論與建議 III.

(7) 第一節結論…………………………………………………………..173 第二節研究限制……………………………………………………175 第三節建議………………………………………………………….177 參考文獻. ……………………………………………………….……….180. 附錄一. 等號概念解釋研究一覽表……………………………………..187. 附錄二. 算式填充題研究一覽表…………………………….………….189. 附錄三. 數學等式研究一覽表…………………………….…………….194. 附錄四. 等號概念評量題本…………………………….……………….197. 附錄五. 等號概念評量紀錄紙…………………………….…………….206. 附錄六. 等號概念評量施測指導語……………………….…………….218. IV.

(8) 表次表 2-2-1. 92 課綱國小各階段代數能力指標對應年級之分年細目….... 53. 表 3-1-1. 研究對象分類方式及各組人數…………………..…………… 60. 表 3-1-2. 四組受試者在年齡、及四項分組測驗的描述統計資料……… 62. 表 3-3-1. 算式填充題題型出處…………………..……………………… 71. 表 3-3-2. 數學等式題型出處…………………..………………………… 72. 表 3-3-3. 提示量層次…………………..………………………………… 73. 表 3-3-4. 等號概念評量向度題目出處表…………………..…………… 76. 表 3-4-1. 七種反應類型………………………………………………….. 83. 表 4-1-1. 文獻上等號概念解釋分類一覽表…………………………….. 88. 表 4-1-2. 四組受試者的原始反應與分類結果一覽表………………….. 88. 表 4-1-3. 四組在等號概念解釋的次數百分比統計表..………………… 92. 表 4-2-1. 四組在「典型等式」通過率的平均數與標準差…………….. 95. 表 4-2-2. 四組在「典型等式」通過率的變異數分析摘要表………..… 96. 表 4-2-3. 四組在算式填充題「典型等式」的平均數與標準差………….. 97. 表 4-2-4. 四組在算式填充題「典型等式」的變異數分析摘要表……..… 98. 表 4-2-5. 四組在算式填充題「典型等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計表…………………………………………………. 99. 表 4-2-6. 四組在數學等式中「典型等式」的平均數與標準差………… 100. 表 4-3-1. 四組在「反向等式」通過率的平均數與標準差…………….. 103. 表 4-3-2. 四組在「反向等式」通過率的變異數分析摘要表…………. 104. 表 4-3-3. 四組在算式填充題「反向等式」的平均數與標準差……….. 105. 表 4-3-4. 四組在算式填充題「反向等式」的變異數分析摘要表……….106. 表 4-3-5. 四組在算式填充題「反向等式」的反應類型………………… 107. 表 4-3-6. 四組在算式填充題「反向等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計表……………………………………………108. 表 4-3-7. 四組在數學等式中「反向等式」的平均數與標準差………… 112 V.

(9) 表 4-3-8. 四組在數學等式「反向等式」的變異數分析摘要表………… 113. 表 4-3-9. 四組在數學等式「反向等式」的反應類型…………………… 113. 表 4-3-10 四組在數學等式「反向等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計………………………………………………114 表 4-4-1. 四組在「反身性等式」通過率的平均數與標準差…………… 117. 表 4-4-2. 四組在「反身性等式」通過率的變異數分析摘要…………… 118. 表 4-4-3. 四組在算式填充題中「反身性等式」的平均數與標準差…… 119. 表 4-4-4. 四組在算式填充題「反身性等式」的變異數分析摘要……… 121. 表 4-4-5. 四組在算式填充題「反身性等式」的反應類型……………… 121. 表 4-4-6. 四組在算式填充題「反身性等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計表………………………………………………121. 表 4-4-7. 四組在數學等式中「反身性等式」的平均數與標準差……… 123. 表 4-4-8. 四組在數學等式「反身性等式」的變異數分析摘要表……… 124. 表 4-4-9. 四組在數學等式「反身性等式」的反應類型………………… 125. 表 4-4-10 四組在數學等式「反身性等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計表…………………………………………………126 表 4-5-1. 四組在「雙側等式」通過率的平均數與標準差……………… 131. 表 4-5-2. 四組在「雙側等式」通過率的變異數分析摘要表…………… 132. 表 4-5-3. 四組在算式填充題中「雙側等式」的平均數與標準差……… 133. 表 4-5-4. 四組在算式填充題「雙側等式」的變異數分析摘要表……… 134. 表 4-5-5. 四組在算式填充題「雙側等式」的反應類型………………… 135. 表 4-5-6. 四組在算式填充題「雙側等式」協助量及訪談前後改變之次數百分比統計表…………………………………………………136. 表 4-5-7. 四組在數學等式中「雙側等式」的平均數與標準差………… 143. 表 4-5-8. 四組在數學等式「雙側等式」的變異數分析摘要表………… 144. 表 4-5-9. 四組在數學等式「雙側等式」的反應類型…………………… 146. 表 4-5-10 四組在數學等式「雙側等式」協助量及訪談前後改變之次數百 VI.

(10) 分比統計表……………………………………………….…...147 表 5-3-1. 四大題型組間差異比較結果一覽表……………….…………168. 表 5-3-2. 兩組受試者的反應類型分布………………………………….170. VII.

(11) 圖次圖2-2-1. Sfard數學概念發展理論………………………………………...50. 圖3-2-1. 研究架構………………………………………............................65. 圖4-1-1. 四組在等號概念解釋的次數百分比分布圖................................92. 圖4-3-1. 四組在算式填充題「反向等式」反應正確次數百分比..............107. 圖4-3-2. 四組在數學等式「反向等式」反應正確次數百分比..................114. 圖4-4-1. 四組在算式填充題「反身性等式」反應正確次數百分比..........120. 圖4-4-2. 四組數學等式「反身性等式」反應正確次數百分比..................125. 圖4-5-1. 四組在算式填充題「雙側等式」反應正確次數百分比..............137. 圖4-5-2. 四組在數學等式「雙側等式」反應正確次數百分比..................148. 圖5-3-1. 四組在算式填充題四大題型反應正確次數百分比..................166. 圖5-3-2. 四組在數學算式四大題型反應正確次數百分比......................166. 圖5-3-3. 兩組在算式填充題四大題型反應正確次數百分比..................168. 圖5-3-4. 兩組在數學算式四大題型反應正確次數百分比......................169. VIII.

(12) 第一章第一節. 緒論. 研究動機與目的. 壹、研究動機美國數學教師協會於 1997 指出(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM)代數是一種語言(引自 Usiskin，1997)。Usiskin 舉例，代數式可以用文字敘述(如 3 加多少會變成 7？)、空格(3＋＝7)、方格(3＋□＝7)、問號(3＋？＝7)、字母(3＋x＝7)來敘寫變數。一般孩子對於數字知識、運算特性的知識、代數的思維(algebraic thinking)開始發展的時間，比他們正式學習代數的年級還要早。而幼童代數推理的發展基礎概念之一，就是相等和等號的概念。 Kieran(1981)指出孩童必須理解等式中所代表的關係概念，如果缺乏這樣的理解，則將成為從計算思維銜接到代數思維的主要絆腳石；Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg 和 Stephens(2005)也說到，代數被許多人視為是通往更深層的數學，也是未來進階的教育機會、工作機會的看守者 (gatekeeper)。而學者 Oksuz(2007)在探討孩童相等和等號的理解時，認為相等和等號的概念是幼童代數推理發展的基礎概念，等號是計算和代數的重要連結。但是由於學校老師和課程，把計算和代數視為兩種完全不同的東西，將計算和代數單元畫分、壁壘分明，所以學生們無法自行連結這兩個單元。導致學生帶著先前的錯誤理解、錯誤概念，和直覺的獨立知識，使得在正式進入代數學習的時候，而覺得學習代數是很困難的。 Freiman 和 Lee(2004)也指出，雖然等號是一個很小的觀察目標，但「等式的概念和等號的關係概念」卻是代數思考中最基礎的元素。Falkner, Levi 和 Carpenter(1999)闡明了孩童為什麼必須理解等號的關係概念，有兩個理由，一個理由是孩童可以透過等號的關係概念，理解進行計算時，算式之間所呈現的關係。當孩童說「我不知道 7＋8 是多少，但我知道 7 ＋7 是 14，所以 14 再加 1 是 15」，他正解釋由算式所表達的一個非常重 1.

(13) 要的關係。孩童理解等量概念，則將有能力表徵這樣的算式，因此他們有能力用算式溝通並更進一步的反應出這些想法。有許多機會表達和反應這樣算式的學生(17－9＝17－10＋1)，可能有能力使用相同的數學規則解決更困難的問題(45－18 也可以這樣表示 45－18＝45－20＋2)。此例顯示出理解等號的關係概念，可以促進計算能力和代數能力。另一個理由則為銜接計算思維和代數思維。例如方程式 4x＋27＝87，你會如何開始解方程式？第一步可能就是 87－27。為什麼我們會這麼做？因為我們同時在兩邊減去 27。如果我們視等號為兩個算式的關係，意味著兩邊的量相等，左式減去 27 意味著右式也減去 27。如果孩童視等號為「進行某項動作的符號」，結果可能只是試著去記憶一系列的規則，用來解方程式。也因為這些規則不涉及理解，因此學童極有可能不正確的記憶，並且不會彈性的運用。基於這兩個理由，孩童必須理解等號代表是關係，而不是進行某項動作的符號。從上可知，小學生從計算的學習，進入到代數的學習，中間轉化的過程有困難的現象。在學習代數之前，我們必須檢示孩子是否正確理解算式中的等號其背後的概念是否精確，不只停留在了解等號是計算的結果、或代表相等，更重要的是，瞭解等號更進階的意義，視相等是一種關係、等值的概念。由 Usiskin(1997)、Oksuz(2007)、Freiman 和 Lee(2004)、 Falkner, Levi 和 Carpenter(1999)等學者的研究得知，等號的學習與代數的學習息息相關，通往代數的必需品之一，就是對等號有更豐富的理解。學生因為缺乏對等號延伸的認識，可能會未來在學習代數時，增加更多認知的負擔、錯誤的認知。一般學生在等號概念學習上，從瞭解「等於」到瞭解「等價」的過程，有上述轉化上的困難，然而，普通班級中的特殊需求學生，尤其是有數學學習困難的數學障礙學生，對此數學單元的學習狀況又是如何？此為研究者之研究動機一。研究者因對上述問題好奇，先行到臺北市兩所國小，與低年級、中年級擔任國小數學課程之普通班導師進行訪問。訪問主要以他們在數學 2.

(14) 教學中對於等號的意義之看法、對等號學習之重要性、以及教等號的方法和學生之反應，並進一步瞭解學生在等號學習可能的困難。依據 Behr、 Erlwanger 及 Nichols (1980)訪談 6 到 12 歲的孩子四種問題，詢問老師 a ＋b＝□、□＝a＋b、3＝3、2＋1＝1＋2 等這些題目，低年級與中年級的學生學習情形。受訪教師都是教學年資超過 10 年，且任教該年段數學至少 3 年以上，訪問低年級、中年級普通班導師各 6 位，共計 12 位。訪談結果發現所有老師皆認為等號的學習是重要的，但在實際教學中卻沒有直接教等號。低年級老師認為「分與合」、「大於、小於」才是需要特別把等號提出來，在課堂上使用口訣等讓學生進行區辨。中年級老師認為「算式填充題」的學習上，學生看到(. )直覺反應就是填答案，但算式填充題的符號如□，. 大部分出現在等號左邊，因此學生觀念上容易混淆；另外，中年級老師也提到「四則運算」的學習上，學生不習慣將等號寫在左下方，而是習慣繼續將等號寫在式子後面，隨著一層、一層的計算，結果造成等式越來越長，而且每一層的值並沒有相等。12 位老師皆認為 a＋b＝□、2＋1 ＝1＋2 題型需要經教學及反覆練習後，學生大部分可以全部通過；低年級老師認為□＝a＋b、3＝3 之題型未出現於課本教科書中，有老師認為學生會問式子是否寫相反了、或認為學生不會有問題、或是因為□在左邊而無法推估。低年級老師指出「重量」單元中，有提到類似的概念，此時會使用天平進行操作性的教學，會教等號。中年級老師表示等號的教學應該是低年級即具備的能力，中年級不需特別再針對等號進行教學。由此可見，12 位普通班導師皆肯定等號的學習，且認為學生在學習等號上沒有困難，困難應在等號概念的運用，如分與合、算式填充題、四則運算等。在實際教學現場的訪問中，可以得知低年級、中年級學生在等號概念上，從認識等號相等的關係，轉化到等號等價的關係有困難。低年級老師指出算式填充題需要經過不斷大量重複的練習，在列式的時候，才 3.

(15) 能將學生看到(. )就填答案、(. )都在等號右邊的習慣，改成(. )、□、？. 等都可以用來代表未知數，並非只有單一用途，只用來表示填答案的地方，而且未知數可以放在等號左邊，進而教導學生用不同的符號來代表未知的概念，學習算式填充題的列式。中年級四則運算將等號寫在左下，而且每一層都必須是等值，也需要大量練習才習慣這樣的模式。從國內教育部(2003)公佈的「九年一貫數學學習領域課程綱要」(92 課綱)中，已於 94 學年度起從一年級開始實施，至 98 學年度一到六年級均採用依據 92 課綱之綱要所編寫的數學教科書(徐偉民，2011)。在分年細目中可以看見，尤其是代數的部分，特別將「算式填充題」往下延伸至國小一、二年級。課綱所列的能力指標，所代表的意義不僅是讓老師明確知道教學的目標、讓學生知道學習的目標，能力指標更是期待學生可以在每一個相對應的年段發展出來相對應的數學能力。謝闓如(2010b) 研究指出，國小學童對於等號算式問題的答題情形不佳，而且他們對於問題的想法和解決方法，與成人數學界約定俗成的算則之間有很大的差異。正如 Usiskin(1997)所說，等號的概念是否正確，會影響到更進階的代數學習。猶如本研究動機一提到一般學生學習等號時，等號運算觀點轉化到等號關係概念有困難，那麼研究者感興趣的是在數感和計算上有困難的數學學習障礙學童其等號概念的轉化是否也有類似的困難呢？這是本研究以數學學習障礙學童(MD)和年級對照組(NA)為受試者的原因。接著，研究數學學習障礙必須面對數學學習障礙異質性的問題，如文獻上指出數學學科的學習跟閱讀能力的關係密切(洪儷瑜、洪碧霞、秦麗花、陳淑麗，2009a），而且 Badian (1983)指出中小學發現有 6.4％的數學學習障礙、 4.9％的閱讀障礙，其中 43％的數學學習障礙有閱讀低成就，而 56％的閱讀障礙有數學低成就的問題，可見數學與閱讀學習困難的密切關係(引自 Ardila & Rosselli, 2002)。根據 Geary (1993)所提出數學學習障礙可能的三種亞型，語意記憶、程序性、以及視覺空間，其中語意記憶型與閱 4.

(16) 讀障礙共病的關係最為密切。國內洪儷瑜(2011)在不同類型的數學學障學童的數學能力發展研究報告中也指出，閱讀障礙有高比率出現數學低成就，而數學障礙也有相當比率出現閱讀困難，而且數學學科的學習跟閱讀能力的關係很密切。學習障礙學生的確有數學學習上的問題，相較於閱讀障礙的研究，數學學障的探討卻較少受到關注(Bender，2011; Chiappe, 2005; Garnett,1998)。從上述的文獻可得知，數學學習障礙有許多閱讀上的問題，而研究數學學習障礙時碰到此異質性的問題(即本研究 MD 組與 MD&RD 組)要如何解決呢？在研究設計上，國內研究數學學習障礙多採取控制相關變項的干擾，以靜態組間差異比較的方法進行研究(洪儷瑜，2009a、2009b、 2011；陳敏華，2006)。國外 Jordan、Hanich 和 Kaplan (2003)從六百位小二的學生中選出 MD、MD&RD、RD、和 NA 四組，最後得到 180 位學生，追蹤兩年共四次的數學核心能力表現。Geary、Hamson 和 Hoard(2000) 也是將小學一、二年級共計 42 位學童區分為 MD、RD、MD&RD 以及一般年級對照組等四組，進行一系列的數學測驗。由上述六篇文獻可得知，為了解決數學學習障礙異質性的問題，就是放入閱讀障礙組(RD)一併討論，成為數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)等四組。因為如果只包含數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、以及年級對照組(NA)等三組，研究結果只能澄清等號符號學習是否受數學能力影響，但本研究更關心的是影響等號符號的學習，是數學運算操作的能力，或是閱讀理解符號的能力，因此必須再加入閱讀障礙組。由此可以得知，我們在探討數學學習障礙時，必須要將閱讀障礙納入同時考慮，才可以在同一個數學學習的表現(如本研究欲探討的等號概念)，較完整的釐清可能是數學學習的問題、或是閱讀問題所導致。為釐清本研究欲探討之數學學習障礙在等號概念的表現，也必須將數學學習障礙和閱讀障礙一起討論，以不同類型之數學學障組(MD、 5.

(17) MD&RD)為數學困難的代表，並與沒有數學困難的閱讀障礙組(RD)、年級對照組(NA)進行組間比較，四組學生均施以等號概念測驗。如果評量結果呈現 MD 組和 MD&RD 組與 RD、年級對照組有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能數學能力有關；如果呈現 MD&RD 組和 RD 組與年級對照組(NA)有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能與閱讀能力有關；如果 MD 組、MD&RD 組、和 RD 組都與年級對照組(NA)有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能與數學能力和閱讀能力都有關。此為研究者之研究動機二。本研究選擇高年級之學生為研究對象的原因，如同 92 課綱(教育部， 2003)能力指標指出，小學畢業之前已經學過等號中等價關係的概念，例如交換律、等量公理等，再接著銜接到國中的代數學習。基於探討數學障礙，選擇高年級可以避免學生因為尚未學習、或學習遲緩而導致的低落。此外，因本研究乃延續洪儷瑜(2011)研究，採用該研究第二檔的受試者，該研究分低、高年級組，其高年級組是六年級學生，因此選擇該研究之高年級組為主要研究對象。基於上述，本研究主要探討不同數學學習障礙組(MD、MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、以及年級對照組(NA)共四組，在等號概念的學習表現。. 貳、研究目的依據上述的研究動機，本研究之目的在探討國小六年級不同類型的數學學習障礙學童等號的概念，探討與學習等號符號有關的核心能力主要是數學能力或是閱讀的能力，還是兩者皆是。. 6.

(18) 第二節. 研究問題與研究假設. 壹、研究問題根據上述研究目的，本研究的研究問題如下：一、國小六年級數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組(NA)，四組在等號概念的解釋是否有所差異？二、國小六年級數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組，四組在四種不同等號概念的得分是否有所差異？三、國小六年級數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組，四組在不同反應類型的比例是否有所差異？. 貳、研究假設以下將分別依據上述研究問題提出本研究之研究假設：研究假設一：數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組(NA)四組進行比較，等號概念解釋的比率在統計上沒有顯著差異。研究假設二：數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組(NA)，四組進行比較時，四種不同等號概念的得分在統計上沒有顯著差異。 2-1 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在典型等式得分上沒有顯著差異。 2-2 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在反向等式得分上沒有顯著差異。 2-3 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 7.

(19) (RD)、年級對照組(NA)，四組在反身性等式得分上沒有顯著差異。 2-4 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在雙側等式得分上沒有顯著差異。研究假設三：數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組(RD)、年級對照組(NA)，四組進行比較時，等號概念的反應類型百分比在統計上沒有顯著差異。 3-1 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在典型等式之反應類型百分比在統計上沒有顯著差異。 3-2 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在反向等式之反應類型百分比在統計上沒有顯著差異。 3-3 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在反身性等式之反應類型百分比在統計上沒有顯著差異。 3-4 數學學習障礙組(MD)、數學與閱讀障礙組(MD&RD)、閱讀障礙組 (RD)、年級對照組(NA)，四組在雙側等式之反應類型百分比在統計上沒有顯著差異。. 8.

(20) 第三節. 名詞解釋. 為了能更清楚地瞭解本研究的用語，茲將本研究涉及的幾個特定名詞界定如下：. 壹、數學學習障礙學生歸納美國精神醫學會(APA)、美國特殊教育法 IDEA、臺灣身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準(1998)，及 Lerner(2009)和 Garnett(1998) 等人，本研究擬採取國內身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準(1998) 之數學學習障礙的定義。本研究障礙組受試者皆由普通班教師推薦班上數學學習或閱讀學習表現較一般同儕落後的學童，排除因為感官、情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不當等環境因素所直接造成的結果。本研究中所指稱的「不同數學學習障礙類型」分為兩種，一種是數學學習障礙學生(MD)、另一種是數學兼閱讀障礙的數學學習障礙學生(MD&RD)。兩組研究對象皆採用數學成就測驗(洪碧霞，2002)、數學基礎概念測驗(柯華葳，2000)、閱讀理解困難篩選測驗(柯華葳，1999)，以及瑞文氏圖形推理測驗(陳榮華、陳心怡修訂，2006)篩選後而得。 1. 數學學障學生(MD)：智力測驗 IQ85 以上、數學成就測驗 PR35 以下，以及數學基礎概念測驗低於切截標準者。 2. 數學兼閱讀障礙的數學學障學生(MD&RD)：智力測驗 IQ85 以上、數學成就測驗 PR35 以下，以及數學基礎概念測驗與閱讀理解困難篩選測驗低於切截標準者。. 貳、等號概念等號同時具有相等和等價的意義，而相等又包含了數值相等、定義下的相等、情況下的相等、全等，以及理論上的相等等五種意義。等價 9.

(21) 則包括反身性、對稱性以及遞移性三項意義。歸納學者 Knuth(2005)、謝闓如(2010b)以及陳嘉皇(2008a)的研究，等號意義認知分為運算觀點和關係概念兩者，運算觀點的等號概念是指，將等號視為是運算後得到結果或答案的符號；關係概念則是將等號視為兩量相等、兩邊等值的關係符號。本研究等號概念的解釋亦採用 Knuth(2005)、謝闓如(2010b)以及陳嘉皇(2008a)的分類法，以運算觀點和關係概念作為等號意義的分類，此為自編等號概念評量第一部分。第二部分和第三部分則用算式填充題和數學等式兩種不同呈現方式，包含四種不同等號概念的題型，有典型等式、反向等式、反身性、以及雙側等式，探討小學學童等號意義的解釋與等號概念的理解。本研究命名「典型等式」係指等號左邊為運算式、右邊為答案；「反向等式」係指等號左邊為答案、右邊為運算式；「反身性」係指等號左右兩邊皆為答案；「雙側等式」係指等號左右兩邊皆為運算式。. 10.

(22) 第二章. 文獻探討. 本章配合本研究之研究動機與目的，透過文獻，與本研究相關之理論與實證研究整理分成兩節說明：第一節探討數學學習障礙與研究設計，第二節探討國內外等號概念及其評量相關研究。. 第一節. 數學學習障礙. 本節旨在探討數學學習障礙定義與特徵，以及研究設計兩個主題。. 壹、. 數學學習障礙的定義與特徵. Lerner(2009)指出，普通班級中有 6%-7%的學生有數學困難，學習障礙中 26%有數學困難(但有些閱讀障礙的數學以及和數量有關的思考表現很好)，超過 50%身障生的 IEP 提到其數學困難，而且數學困難在小學出現，持續到中學，甚至影響其成人生活。Garnett(1998)指出大約有 6% 的學齡孩童有顯著的數學缺陷(math deficits)而診斷為學習障礙。以下分別探討數學學習障礙的定義以及特徵。. 一、. 數學學障的定義數學學障的定義分有五種，分別是美國精神醫學會(APA)、美國特殊. 教育法 IDEA、臺灣身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準，以及 Lerner(2009)和 Garnett(1998)，各定義分述如下。 (一) 美國精神醫學會(APA) 美國精神醫學會(APA)在心理疾患統計與診斷手冊第四版 (DSM-Ⅳ)所提到的數學障礙(mathematics disorder)，定義有三個標準： 1. 在標準化個人測驗中，數學能力顯著低於預期應有的程度。此預期乃衡量此人之生理年齡、測量得到的智能，以及與其 11.

(23) 年齡相稱之教育而判定。 2. 標準 1 之障礙顯著妨害其學業成就或日常生活需要數學能力的活動。 3. 若有一種感覺能力缺陷，此數學能力的困難也遠超過此缺陷通常影響所及。 (二) 美國特殊教育法(IDEA) 特定學習障礙(specific learning disabilities)是指理解或運用口語或書面語言的基本心理歷程有一種或一種以上的異常，以致在聽、思考、說、閱讀、書寫、拼字或數學計算等方面顯現能力不足的現象。此包括知覺障礙、腦傷、輕微腦功能受損、失讀症（讀寫障礙）、和發展性失語症等情形，但並不包括以視覺、聽覺、或動作障礙、智能不足、情緒困擾，或環境、文化、經濟等不利因素所直接造成的學習問題。 (三) 身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準(教育部，1998) 學習障礙，是指統稱因神經心理功能異常而顯現注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協調等能力有顯著問題，以致學生在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者。其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不當等環境因素所直接造成之結果。學習障礙，其鑑定基準如下： 1. 智力正常或正常程度以上。 2. 個人內在能力有顯著的差異。 3. 有顯著之學習困難。經評估後確定普通教育之補救教學無顯著成效者。 4. 注意力、記憶力、聽覺理解、口語表達、基本閱讀技巧、閱讀理解、書寫、數學運算、或推理能力有顯著困難者。因此，數學學習障礙學生在鑑定上必須符合上述身心障礙及資賦優異學生鑑定基準中有關學習障礙的規定，並且其學習困難 12.

(24) 顯現在數學的習得和應用上。在美國特殊教育法(IDEA)提到的數學計算能力不足，以及身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準(教育部，1998)提到的數學計算或推理能力有顯著困難，就是指出數學學習障礙的定義。由此可知，數學學習障礙大都被定義為數學計算或推理能力的缺陷。 (四) Geary(2004)： Geary 提出數學學習障礙的亞型與核心概念有兩大類，分別是與語文相關、非語文相關的特徵，其中與語文相關的特徵是「語意記憶(semantic memory)」、非語文相關的特徵則是「程序性 (procedural)」和「視覺空間(visual spatial)」，依據這三種特徵而成為數學學習障礙的三種亞型，分別是語意記憶缺陷型、程序性缺陷型、以及視覺空間缺陷型。其中語意記憶缺陷型的數學學習障礙在認知表現的特徵有難以提取數學事實、並且提取數學事實常見錯誤等，在神經心理特質上可能與左腦功能受損有關，並且可能出現偏異的發展特質，例如認知行為表現與一般生不同、不會隨年紀/年級增長而改變，並推測可能與閱讀障礙的語音缺陷有關。 (五) Lerner(2009)：計算障礙(dyscalculia)是最早用來形容數學障礙的詞，它是特定的一種學習數學概念和計算有關的功能缺陷，和中樞神經系統功能異常有關。臨床上研究因腦傷而失去計算能力的成人，發現失去數學技能與神經損傷有關。 (六) Garnett(1998)：指出數學學習障礙(math learning difficulties)是普遍的、顯著的、值得在普通教育和特殊教育中一系列教學介入。學生可能因為反覆性的失敗而不再努力，有低自尊，和逃避的行為。除此之外，顯著的數學缺陷會嚴重影響每天的生活以及工作的期望和提升。 13.

(25) 學習障礙具有排他性的標準，學障除了排除了因智力因素、感官因素所造成的個人障礙性學習困難，也排除了因經濟、文化、教學等因素所造成的環境性學習困難。學障具有差距性的標準，學障指潛能與表現間的差距，常用標準化智力測驗與成就測驗間差距達兩個標準差為標準。學障具有特殊教育性標準，學障指無法經由一般教育的學習輔導獲得學習成效，一定要接受特殊教育服務者(洪儷瑜，1995)。而數學學習障礙為學障中的一種亞型。由本研究整理數學學習障礙的定義，可以得知數學學習障礙的核心問題在於計算能力。有關數學障礙主要的共同點，數學學習障礙是指個體的智力正常，而且排除了環境與感官及情緒障礙等不利因素之後，在數學學習上仍有困難者，可能是個人內在因素所致，如基本心理歷程或神經功能異常，導致個體產生數學計算或推理能力有顯著困難。本研究採取國內身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與基準(1998)之數學學習障礙的定義。. 二、. 數學學習障礙特徵 Lerner(2009)指出數學障礙(mathematics disabilities)在與數量有關的. 學習有困難，但每一個學生的數學困難是獨特的，並非所有都相同。綜合歸納 Lerner(2009)、Garnett(1998)、Chiappe (2005)、Geary(2004)等學者對數學學習障礙的特徵有以下幾點： (一) 早期數字觀念和數感： 1. 很小就有數字感(number sense)的困難，包括數數、配對、分類、比較、了解一對一對應等。概念技巧不穩定、注意力問題、動作發展困難、操作經驗不足，而在了解數量、空間、順序、時間和距離方面有困難。Chiappe (2005)提到數字表徵可能是數學學障的核心缺陷。數字表徵發展不成熟，會干擾數字的基本理解。數學學障透過死背硬記可以精確數到 5，卻無法分辨 4 比 14.

(26) 2 大；雖然這些孩子已經學會語音上的順序(1 到 5 的正確次序)，卻無法將數字和數量對應。 2. 空間關係：玩積木或把東西放在盒子裡就是發展空間和順序感 (sequence and order)，空間關係的許多概念在學前即獲得，包括上下、高低、遠近、前後、頭尾等。數學學習障礙孩童的父母常提到其孩子不愛玩積木、模型，而錯失早期學習的機會。數學學習障礙可能無法了解數線上的數字距離，或不知道 3 比較接近 4 還是 6。 3. 視動和視知覺能力：視動能力指結合視覺和動作，如仿畫一個形狀。視知覺是指解釋所見之物。視動和視知覺能力有問題者看到正方形時覺得是四條無關的直線；無法仿畫幾何圖形或仿寫數字，可能也有書寫上的問題，當他們無法輕鬆寫出數字或無法將數字書寫成一直線，導致計算結果錯誤；無法點數；無法視物體為群體(groups or sets)，看物體有多少數量的速度慢，甚至 3＋4 時，還是從 1 算，而不是使用 counting on(繼續往上數)的策略。 4. 時間和方向的概念：一般兒童學前就有基本的時間概念，他們了解 10 分鐘以前、半小時、等一下等概念。數學學障的時間和方向感不好、估計時間有困難，如一小時、一分鐘、幾個小時、或一週，所以無法估計完成指定作業要花多久時間。 (二) 訊息處理困難： 1. 注意力問題：在數學計算上的步驟有注意力集中的困難、學數學的過程不專心。 2. 在記憶和提取困難方面：無法記住數學事實、忘記序列步驟、文字題的處理困難。Garnett(1998)也指出數學學障在算術的精熟有困難，如加減乘除。他們無法快速得知 5＋7＝12 或 4×6 ＝24，而是用手指頭算、用鉛筆做記號、畫圈圈等，無法發展 15.

(27) 有效的記憶策略。 (三) 語言和閱讀能力較差：有些數學障礙的口語技巧不錯，甚至是優讀者，但許多數學障礙則有口語和閱讀的問題。語言問題可能影響數學障礙對數學的詞彙產生疑惑，如相加、拿走、借和位值。數學文字題對數學障礙而言特別困難。如果他們無法讀出，或無法理解數學問題語言結構下的意義，他們就無法計畫、進行問題解決。Geary(2004)提出語意記憶缺陷型的數學學習障礙，提取數學事實是與長期記憶的提取有關，解題時必須要先理解題目接著才透過計算產出答案，但因為此類型的學童無法閱讀數學符號，因此數學學習表現低落。而數學語言表達缺陷也會導致數學表現低落，楊坤堂和鄧國彬(2005)提到數學學習障礙學童因為書寫和口語表達的困難，導致在運用數學符號語言能力的缺陷，常將題意表達錯誤，並且在說明為何如此解題時也無法解釋清楚。秦麗花 (2007)更指出影響學生數學閱讀理解的內外在因素，主要分成兩類因素，分別是個人內在因素和環境外在因素，個人內在因素又包括認知(一般語文理解、數學閱讀特殊技能、數學閱讀背景知識) 和情意(對文本的態度、文本閱讀習慣)兩種；環境外在因素又受教師指導、閱讀指導、出版商、以及文本設計等四種影響。Garnett(1998) 也指出許多孩童進小學之前對數學已經有非正式的理解，同時也有數學的困難，而這成為小學數學的基礎。因此他們面臨衝突，因為面對學校數學中更正式的程序、語言、和符號系統，和他們之前已經理解的概念不同。此時他要對於新世界的書面數學符號去繪製自己的地圖，理解新世界裡有關數量、計算，同時又要學習數學語言，這是相當複雜的。一些學習障礙學生在數學語言上受阻礙，導致對專有名詞感到困惑、難以理解口語解釋、微弱的口語技巧使得無法監控複雜計算的步驟。學生對數學的語言理解困難會將數學符號視為進行某一件事(to do something)，而不是將 16.

(28) 數學符號視為有意義的句子，透過閱讀而獲得理解。 (四) 數學焦慮：指對數學的情緒反應，造成其面對數學問題時就呆住，可能是因為學校失敗或缺乏自尊的原因。數學焦慮影響許多層面，如阻擋數學障礙在校學習表現，因為一開始學習數學就感到困難；阻擋他們使用或轉換數學知識的能力，成為他們試著在測驗上展現數學能力時的阻礙。學數學猶如數學語言的習得，而語文能力又是影響數學閱讀的因素之一，上述這些特徵與本研究最緊密的關係，是數學學習障礙語言的問題。數學學習障礙面對數學語言、數學詞彙和數學符號之間的連結，以及用口語解釋數學概念上，有顯著困難。. 17.

(29) 貳、. 數學學習障礙之研究設計的探討. 一、數學學習障礙的異質性過去研究發現數學學習障礙學生不僅表現數學學習的困難，也可能共病閱讀困難。如以下文獻，根據 Geary (1993)所提出數學學習障礙可能的三種亞型，語意記憶、程序性、以及視覺空間，其中語意記憶型可能與左腦功能受損有關，並推測可能與閱讀障礙的語音缺陷有關、與其共病的關係最為密切。Badian (1983)研究數學學習障礙學生的出現率，也指出在小學有 6.4％的數學學習障礙、4.9％的閱讀障礙，其中 43％的數學學習障礙有閱讀低成就，而 56％的閱讀障礙有數學低成就的問題，由此可見數學學習困難與閱讀學習困難有相當密切的關係(引自 Ardila & Rosselli, 2002)。國內洪儷瑜(2011)以 Greay 所提出的數學學習障礙亞型、認知特質和出現率為基礎，建立臺灣本土數學計算障礙學童的出現率，結果小學二年級為 6.8％、小四學童為 7.14％，其中兼具閱讀障礙者小二為 58％、小四為 36.4％。由上述文獻可以瞭解數學學科的學習跟閱讀能力的關係很密切，閱讀障礙有高比率出現數學低成就，而數學學習障礙也有相當比率出現閱讀困難。由此可見數學學習障礙學生存在著異質性，因此如果欲以數學學習障礙為研究對象，探討其表現可能受到數學運算操作能力的影響，亦或是閱讀理解能力的影響，則必須將數學學習障礙的異質性考慮在內。二、數學學習障礙的研究設計誠如前述提及數學學習障礙異質性的現象，國內探討數學學障的研究設計，欲解決異質性的問題，多以事後回溯研究法或稱因果比較研究法的設計探討數學能力與其相關認知能力的因果關係(洪儷瑜，2009)。在操作上，通常會找出多組在特定特質上不相同的個體，接著再比較這多組在其他方面特質的異同。舉數學能力與其相關認 18.

(30) 知能力的例子來說，利用數學能力的測驗，在相同年齡的學生中區分出兩種不同的數學高低能力的學生，接著進行其他相關認知能力 (例如：數數廣度和柯西方塊)的比較。 Kulak(1993)和 Chiappe(2005)皆談到研究閱讀障礙和數學障礙的研究方法，由於閱讀障礙的議題較數學障礙而言，較早、也較多人討論，研究方法也近趨於成熟，研究數學學習障礙也可以採用研究閱讀障礙的研究方法。如同聲韻覺識的缺陷與否是判斷閱讀能力高低的預測因子，而數學能力的預測因子可能是算術技能(arithmetic skills)之正確性高低以及速度的快慢。國外 Jordan、Hanich 和 Kaplan (2003)從 600 位小學二、三年級的學生中選出 MD、MD&RD、RD、和 NA 四組，最後得到 180 位學生，追蹤兩年共四次的數學核心能力表現，研究結果發現 MD 組的計算能力較 MD&RD 差，大部分的表現都是 NA 組和 RD 組較 MD&RD 組為佳。數學事實的快速檢索以及計算速度的流暢性，是 MD 組和 MD&RD 組的核心缺陷。Geary、Hamson 和 Hoard(2000)也是將小學一、二年級共計 42 位學童區分為 MD、RD、MD&RD 以及一般年級對照組等四組，進行一系列的數學測驗，如數學理解、計算技巧、數數知識、工作記憶、聲韻覺識、空間能力等。洪儷瑜(2009a)探討國小數學低成就學生之追蹤與亞型研究中，依據基礎數學概念評量和閱讀理解篩選測驗，以及追蹤一年的三次數學或閱讀能力測驗成績、智力測驗，取得數學學障(MD)、閱讀障礙(RD)、數學與閱讀障礙(MD&RD)和一般學生，共小二 48 位、小四 77 位，進行數感以及計算能力之差異比較。研究結果發現：(1) 數學障礙之核心問題確實在數字概念、數值檢索、計算、解文字問題，但在低、中年級都穩定出現問題。(2)在數數方面，閱讀障礙與數障兼閱障兩組在的數數之抽象原則較不成熟，而數學障礙組出現的問題是停留在單一費時的數數策略，不會用線索，對於少量的數 19.

(31) 量仍無法直接提取。(3)計算的表現在紙筆施測時，二位數不進位加法或二位數進退位加減法，數學障礙均顯著低於一般學生或閱讀障礙學生，但在個測觀察，個位數加減法正確率四組沒有顯著差異，單純的數學障礙則在連加或連減時，卻難直接提取。(4)數感和計算能力會隨年級增長，很多能力測驗均已達天花板效應，然而，由速度、策略和彈性可以區分數學障礙和其他組的差異。洪儷瑜(2009b)探討發展性計算障礙診斷與亞型研究─教育和腦科學的整合研究中，旨在建立台灣本土數學計算障礙學童之出現率。依據柯華葳編製的基礎數學概念評量和閱讀理解篩選測驗，以及三次數學成就和閱讀能力的評量、非語文智力測驗，篩選出數學學習障礙(MD)、和閱讀障礙(RD)、數學與閱讀障礙(MD&RD)，小二、小四共得數學學障 28、43 人、閱讀障礙 35 人、31 人。結果小學二年級出現率為 6.8％、小四學童出現率為 7.14％，其中兼具閱讀障礙者小二為 58％、小四為 36.4％。洪儷瑜(2011)探討不同類型的數學學障之數學能力發展研究中，延續先前探討國小數學低成就學生之追蹤與亞型研究，旨在建立不同數學學障類型之基本數學能力的發展，以及不同數學核心能力之相關認知能力，與有效預測發展之認知能力。利用 96 到 98 年之第一檔資料另增第二檔之小三和小五共 132 位學生，也是延續數學學習障礙(MD)、閱讀障礙(RD)、數學與閱讀障礙(MD&RD)和年齡配對組(CM)，採用靜態四組差異比較來分析。研究結果發現 MD 組和 MD&RD 組的數學成長低於 CM 組和 RD 組，兩組數學障礙組在數字概念、簡單計算和文字題均低於 CM，而 RD 組在數字概念與文字題優於兩組數學障礙組。與數學基本核心能力相關最密切和穩定的認知能力有符號替代、數數工作記憶、記憶廣度和去音首等四項，不同數學核心能力有不同的預測變項，但不同的數學基本核心能力之預測認知能力不一樣。 20.

(32) 秦麗花(2007)書中提及其 2003 年為瞭解不同程度學生數學閱讀困難所在，以數學單元「角度」為例，應用自編之語文理解測驗和圖形空間測驗，將學童分為數學先備知識中等但閱讀理解差(似 RD 組)、閱讀理解中等但數學先備知識差(似 MD 組)、數學先備知識和閱讀理解皆差(似 MD&RD 組)以及數學先備知識和閱讀理解皆優(似 NA 組)等四類，發現這四類學童在數學文本閱讀上有一些明顯不同的困難、也有一些相同的困難：(1)單方面語文能力弱者執著於字面片段的概念。(2)單方面數學先備能力弱者概念理解也弱。(3)低程度兒童的學習困難受限於語文障礙。陳敏華(2006)為了解數學障礙學生在數感表現上的情形，並探討影響數學障礙學生數感表現之因素。以高雄市三所國小三年級學生為篩選對象，篩選出數學障礙學生(MD)、數學與閱讀障礙學生 (MD&RD)、以及一般學生，共三組，各組 30 人，共計 90 名受試者，接受研究者自編的數感測驗。研究結果發現：(1)國小三年級 MD 組的數感顯著低於一般學生。(2) MD 組和 MD&RD 組在數感能力上無顯著差異。(3)數感與性別以及智力、基本數學事實提取能力、數數能力及語詞理解能力等認知能力均有顯著的正相關，其中又以基本數學事實提取能力和數感的相關性最高。(4)不同數學與語文成就學生的數感，受到不同因素的影響；而基本數學事實提取能力是主要的影響因素。從本節的文獻探討可以得知，在研究方法上，需合併數學學習障礙和閱讀障礙一起討論，才較完整。因此本研究以不同類型之數學學障組 (MD、MD&RD)、閱讀障礙組(RD)，以及年級對照組，共四組，進行靜態組間差異比較。假設可能的情形有三種，第一種可能，如果評量結果呈現 MD 組和 MD&RD 組與 RD、年級對照組有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能數學能力有關；第二種可能，如果呈現 MD&RD 組和 RD 組與年級對照組有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能與閱讀能力 21.

(33) 有關；第三種可能，如果 MD 組、MD&RD 組、和 RD 組都與年級對照組有顯著差異，則顯示等號概念的學習可能與數學能力和閱讀能力都有關。. 22.

(34) 第二節. 等號概念的意義. 等號有兩種概念，一種是相等(sameness)的基礎抽象概念，從操作實際物體後而得的直覺概念；另一種則是經由教學後而得的等價關係 (equivalence relation)之複雜概念(Behr, Erlwanger & Nichols, 1976，1980)。本節分段說明文獻上等號的定義、等號概念評量設計、不同年齡階段的等號概念，以及國內課程綱要中的等號。. 壹、. 等號. 一、. 符號的演變等號(equal symbol)的使用始於十六世紀中葉，在國外已經有好幾百. 年的歷史，但起初並非只單一使用“＝”代表相同和相等，而是使用許多其他的符號代表相同和相等，並且“＝”也不單只代表相同和相等。根據林炎全、洪萬生和楊康景松(1979)書中指出，在十六世紀之前，大部分的人只是偶然的、隨興所至的介紹一些文字縮減的記號。符號的演進是緩慢的，因為為了回應當時科學對數學的需要快速增長，而逐漸形成符號的規則。等號以”＝”符號形式正式的出現在出版物上，最早是由英國劍橋數學家 Robert Recorde (1510-1558)在 1557 年創先介紹出來的(林炎全等人， 1979；Cajori, 1928-1929; Oksuz, 2007; Saenz-Ludlow & Walgamuth, 1998)，他是第一篇英文的代數論文─The Whetstone of Witte(1557)的作者。他認為再沒有其他兩件東西比平行的兩線更相似，所以這樣的兩線可以表示相等，而逐漸被大家使用。在 Recorde 提出之前，通常用 aequales、aequantur、 esgale、faciunt、ghelijck、gleich 這些文字來表示相等，有時縮寫成 aeq；用 П、[、<<、<、‫、װ‬I、t、∼、＝、З、2│2、{等這些符號來表示相等 (Cajori, 1928-1929;Oksuz, 2007)。“＝”也不單只代表相同和相等，如西元 1638 年法國學者 Descartes 使用＝代表±，而不是相等；西元 1670 年 23.

(35) Caramuel 使用 102＝857 代表現今的 102.857(Cajori, 1928-1929)。在數學領域中，名稱(name)就是觀念，以自然的語言和符號代表數學概念。“＝”這個符號歷經了好幾百年社會文化的行進，隨著時間，結合數學家、個人、文化、社會本質的發展，獲得書面符號上抽象的概念和意義，相等已經用各種不同的方式符號化了(Saenz-Ludlow & Walgamuth, 1998)。. 二、. 等號的定義一般而言在數學中，等號(equal sign)是一個固定指令的名詞，具有. 兩種意義，分別為相等(equality)和等價(equivalence)(Kieran, 1981)。等於，表示真正的相同，是相當限制的關係、有不會改變的特質，代表在等號右邊有左式問題的答案，此為等號的基礎概念。Behr 等人(1976)也提到學算術時最早接觸到的數學符號是＋和＝，對成人而言等號代表許多含意，其中最基本的就是代表「相等(sameness)」意義的符號縮寫，這是在實際生活中為了描述兩物件集合具有相同數量的表達方法，也是我們希望學生能夠具備的相等概念。再者，等號具有另一層更重要的複雜概念 ─等價關係。等價，是寬鬆、彈性的關係，亦即主要的目標相同而且彼此之間是可以替代的。在代數中，等號位於兩個代數式的中間，指出兩個代數式是相關的，具有反身性(reflexive property)、對稱性(symmetric property)、遞移性(transitive property)的關係(Kieran,1981；Behr, Erlwanger & Nichols, 1976，1980)。而 Skemp(林義雄、陳澤民譯，1985)也指出等價關係是指，令 R 表示定義在一個集合的一個關係，而且 R 滿足以下三點，則稱 R 是該集合上的一個等價關係： 1.反身性(reflexive property)：aRa，對於任意 a∈ R。 2.對稱性(symmetric property)：aRb→bRa。 3.遷移性(transitive property)：aRb & bRc→aRc。根據我國九年一貫課程綱要(92 課綱)中數學領域所揭示的標準名詞 24.

(36) 解釋(教育部，2003)指出，等號是兩運算式(數)之值相等，可以“＝” 記之，唸為「等於」，如 4＋3＝7。 Wicks(2008)提出五種等號的意義，分別為數值相等(equal in value)、定義下的相等(equal by definition)、情況下的相等(equal by circumstance)、全等(equal identically)，以及理論上的相等(equal in theory) (引自謝闓如， 2010b)： 1. 數值相等(equal in value)：最基本的意義，等號兩邊值的相等。分別計算等號兩邊的算式，兩邊的結果相等。 2. 定義下的相等(equal by definition)：有時我們給予一個函數 f(x)，對於所有的 x，令 f(x)＝3x＋2，仍可視為在等號兩邊數值相等。 3. 情況下的相等(equal by circumstance)：例如 3x-2＝-5，只有在 x＝ -1 時，原方程式成立。通常不視為是定義，只是兩種表示方式在問題架構及表現方式上湊巧相等。 4. 全等(equal identically)：方程式無論變項的值為何，方程式永遠成立。如圓面積＝半徑×半徑×3.14；分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c。稱為數學式子在等號兩邊全等、或稱為恆等式。 5. 理論上的相等(equal in theory)：例. ＝-1，無解。在求方程式未知. 數的值，可視為數值上的相等，但不是每個方程式都有解。土耳其學者 Toluk Ucar 和 Yavuz(2011)整理許多等號的文獻，提出等號的兩種定義：一、概念性定義：一個表達等價的符號。二、操作性定義： 1. 如同運算符號：一個為了取得“答案”所作的動作。 2. 找到運算的結果。 3. 單向的 Unidirectional：從左到右的形式。 4. 把運算和結果分開。陳嘉皇(2008a，2008b，2009)、Oksuz(2007)、Knuth(2005)以及 Behr 25.

(37) 等人(1980)將等號意義的認知區分為兩項，分別是「運算的解釋」以及「關係的解釋」。等號是運算的解釋，表示等號左邊需加以運算，右邊的數字代表左邊總和的意思；等號是關係的解釋，表示等號左右兩邊物件是等價的。謝闓如(2010b)也將等號意義區分為兩項，分別是「運算概念」以及「關係概念」。運算概念指的是等號代表算出答案或總和；關係概念指的是某個東西和另一個東西相等或兩個量相等。. 三、. 小結從上述符號的演變可以看到，等號從一開始許多不同的代稱，到等. 號的符號表徵隨著時間而演變的過程，起初“＝”符號並非單只代表相等的意義，相等的概念也並非只用“＝”符號來代表。而從等號的定義中，我們也看見等號有一種符號、不同意義的特性，等號同時具有相等 (equality)和等價(equivalence)的意義，而相等又包括五項，分別為數值相等、定義下的相等、情況下的相等、全等，以及理論上的相等。等價則包括三項，反身性、對稱性以及遞移性。以國內國中、小階段學童而言，比較常接觸到的等號意義在於數值的相等及等式中等量的概念， Knuth(2005)、謝闓如(2010b)以及陳嘉皇(2008a)將等號意義認知區分為「運算(operational)觀點」、「關係(relational)概念」。運算觀點的等號概念是指，將等號視為是運算後得到結果或答案的符號；關係概念則是將等號視為兩量相等、兩邊等值的關係符號，也就是上述分類中數值相等、等式等量的概念。本研究亦採用「運算定義」、「關係定義」的等號意義分類，探討國小學童等號意義的解釋與瞭解。. 26.

(38) 貳、. 等號概念評量設計. 在此將藉由統整國內外等號概念評量設計相關之研究，作為本研究發展研究工具之文獻基礎。因此，經歸納整理後本節將等號概念評量設計分為三大向度闡述，分別為等號概念的解釋、算式填充題、以及數學等式，以下針對此三大向度進行剖析和比對，以作為本研究編製等號概念評量之文獻依據。. 一、. 等號概念的解釋等號有一種符號、兩種意義的特色(Haylock & Cockburn, 2008)；除. 了代表相等，更重要的是等價的關係。等號在學校數學課程中經常性的出現、而且大量的使用，我們通常將等號的概念視為理所當然，但忽略了最平凡卻最重要的數學符號之理解。然而，對國小學童而言，等號的理解並非與 92 課綱所定義等號是關係符號，相反的，許多學童認為等號與＋、-、×、÷一樣是運算關係的數學符號。以下引用實徵研究來說明「等號概念的解釋」之內涵與主張。 Knuth 等人(2005)指出許多數學教育家皆強調應該在學前到中學階段之間，進行代數推理的教學，但是近年來研究對象卻集中在小學階段的學童，較少研究中學生代數推理的發展，而此階段正是連結計算和早期代數推理的黃金時期。基於上述理由，Knuth 等人採用多年的書面問卷追蹤，研究美國計 373 位中學生(6 到 8 年級)對等價與變數這兩個代數核心概念的理解，以及他們的解題表現與這兩項概念的關係。其中有關等價的測驗內容，呈現等式 3＋4＝7 要求學生回答 3 題等號概念解釋的題目，分別是「箭頭所指的符號名稱是什麼？這個符號的意義是什麼？這個符號還有其他意義嗎？如果有，請解釋」。他提到提供學童再一次解釋的機會，學童通常不會只提供一個解釋。在反應結果編碼的部分，則將等號意義歸類為四項，分別為「關係概念(兩量相等)、運算概念(把數 27.

(39) 字加起來、求答案)、其他(無法歸類或反應不足)、無反應/我不知道(空白或說我不知道)」。研究結果顯示，6 年級(運算：54％、關係：30％)、7 年級(運算：48％、關係：38％)到 8 年級(運算：42％、關係：44％)的中學生等號概念的解釋，反應主要分布在運算概念和關係概念，而且隨著年級越高，孩童在等號關係概念解釋的比率有提升，並且達年級的顯著差異(α＝.05)。另外，研究也顯示，視等號為關係符號的學童，在判斷等價式子的正確率，較視等號為運算符號的學童高，並且達年級的顯著差異(α＝.05)。由此可見，孩童等號概念的解釋，和其判斷等價式子的正確率息息相關。 Toluk Uca 和 Yavuz(2011)欲瞭解 4 到 8 年級學童等號概念的表現，因此以書面問卷以及訪問的方式進行研究，共計 257 位、訪問計 21 位。其發展的問卷包含三種類型，分別為等號概念的解釋、等式判斷、以及等價解題。其中等號概念的解釋結果分類，共計六種，分別是回答正確(關係概念)、單向符號、運算符號、相同、就是等號、以及其他。研究結果發現，64％的學童無法解釋等號意義，回答「等號就是等號(only name)」；其次，13％為回答「等號是運算符號」；回答正確和回答「等號是相同」者皆為 8％；最後則是 6％回答其他答案、1％回答「等號是單向符號」。研究顯示，4 到 8 年級大部分的學童對等號的解釋，認為等號是 do something signal 或 find the answer 的符號，視等號為運算符號，而不是相對於等號另一邊我們所擁有的有多少之比較概念。 Oksuz(2007)則探討小學五、六年級各 25 位學童等號概念的理解，他以訪問的方式進行研究，問題類型包含五種，分別是等式判斷、未知數問題、等號意義、文字-數字轉換題以及反身性。其中等號概念解釋的部分為要求學童口頭問答等號的意義，並將反應分布分為兩類，亦即運算概念和關係概念。運算概念是指「學生覺得等號如同運算，要把題目的答案算出來」；關係概念是指「學生認為等號是一種關係符號，表示兩個數學式子有相同的值」。研究結果顯示，五、六年級學童分別有 92％ 28.

(40) 和 75％表示等號是運算，要把題目的答案算出來，屬於等號運算概念，只有 8％和 25％的比例認為等號是關係符號。Oksuz 表示學童從運算概念轉移到關係概念是困難的，因為他們從過去數學學習經驗中所獲得的等號經驗，已限制了學童在不同的脈絡和問題形式中去使用。學習瞭解式子中等號的關係性，是相當重要的數學概念，如果學童確實理解，是未來代數思維中不可或缺的基礎。國內學者謝闓如(2010a)以書面問卷的方式，調查 829 位國小三年級學童等號概念在數字算式和文字情境的差異，其問卷分三部分，有等號概念的解釋、算式填充題和文字題。其中，等號概念解釋的題型有兩種，一種是選擇題(1 題)、另一種是問答題(2 題)。選擇題有六個敘述，等號概念分成運算、關係、和兩者皆有，只選擇「算出答案、總合」者為運算概念；只選擇「某個東西和另一個東西相等、兩個量相等」者為關係概念；兩者皆選擇為同時具備兩種概念。問答題有兩題『符號「=」讀作. ？「=」還有別的意思嗎？請寫出來。』研究結果顯示，8 成學. 童選運算概念；6 成學童選關係概念；有 37.4%學童選「問題結束」。僅選運算概念有 183 位(22.1%)、僅有關係概念 41 位(4.9%)、兩種概念都有的 588 位(70.9%)。由此可知，三年級學童 8 成已具備等號運算概念，但卻只有 6 成的學童具有等號關係概念。國內陳嘉皇(2008a)也針對 982 位國小三、四、五、六年級學童進行問卷調查，以四種題型的等式結合文字敘述共 5 題選擇題，探討等號概念以及未知數等式概念發展情形。四種題型分別是典型運算(5+4=9)、反向典型運算(7=3+4)、等價概念(8=8)、以及關係運算(10-5=2+3、8+2=10+4)。選擇題的選項，以典型運算(5+4=9)為例，選項 1 屬於等號關係解釋(表示式子中 5+4 和 9 兩邊的數量是相等的或一樣的意思)；選項 2 屬於等號運算解釋(表示要將式子中 5+4 的答案加起來，總共是 9 的意思)；選項 3(表示任何式子是等於或一樣意思的符號)和選項 4(表示進入到下一步驟的意思)則為脫離等號情境的解釋；選項 5 是不知道或無反應。研究結果發 29.

(41) 現，整體而言，所有學童等號概念屬於運算觀點者佔全體的 71.5％；屬於關係概念者佔全體 24.1％。再者，屬於運算觀點的比例隨著年級成長有減少的趨勢、屬於關係概念的比例則隨著年級成長有增加的趨勢。運算觀點從三年級到六年級的比例依序為 79.7％、80.2％、63.6％和 64.4 ％；關係概念從三到六年級的比例依序為 15.9％、17.6％、31.4％和 30.0 ％。而四種題型正確比例由高到低依序為「典型等式＞雙邊關係運算＞反向典型＞等價概念」。由研究結果可以得知，大部分學童將等號理解為運算的概念，少部分學童視為關係的解釋，而且不同年級對不同類型等式判斷正確的比例，隨年級增長而表現越好。整理國內外等號評量設計中「等號概念解釋」的部分，研究對象、研究方法、題目以及研究資料的處理與編碼，見表 2-2-1，文獻順序則按照研究對象年級由小到大排列。整體而言，在測驗實施方式與題目部分，分為書面問卷(Knuth, 2005；謝闓如，2010a；陳嘉皇，2008a)、訪問(Oksuz, 2007)、以及書面問卷兼訪問(Toluk Ucar& Yavuz, 2011)三類。其中，書面問卷的形式又分為三類，分別是開放式問題(Knuth, 2005)、文字敘述選擇題(謝闓如，2010a)、以及文字與數字合併的選擇題(陳嘉皇，2008a)。見附錄一，整理歸納出「等號概念解釋」的資料處理與編碼部分，學者們將學童的反應主要歸納為四類，如下所示： (一) 運算觀點：等於或一樣、把數字加起來、把答案算出來、是總合。 (二) 關係概念：兩個量相等、等號兩邊有相同的值。 (三) 其他：把數字照抄一遍、問題結束、無法歸類、反應不足、下一步驟。 (四) 無反應/不知道：空白、我不知道。本研究旨在瞭解國小學童等號概念的表現，因此在自編等號概念評量中，第一部分則為「等號概念解釋」，經文獻統整歸納後，「等號概念解釋」題目選擇上，由於受試者中含特殊族群，避免閱讀大量文字敘述而影響作答，因此採用 Knuth(2005)以書面問卷方式呈現、協助量 4 的選 30.

(42) 項則採用謝闓如(2010a)問卷中等號的六個敘述，提供本研究受試者作答。有關詳細的施測程序、半結構式訪問的問題內容、協助量層次的提供、以及資料處理與編碼，請見第三章第三節研究工具。. 二、. 算式填充題透過「等號概念解釋」以瞭解學童等號概念的表現後，經文獻歸納. 整理後，發現「算式填充題」為評量等號概念重要呈現方式之一，因此本研究自編等號概念評量第二部分則為「算式填充題」，又以典型等式、反向等式、反身性、以及雙側等式等四大題型為主軸，旨在瞭解國小學童對於等號算式的想法反映在算式填充題上，其反應和做法為何，以提供研究者進行反應類型的分析與歸納。以下引用實徵研究來說明「算式填充題」的內涵與主張。 Falkner 等人(1999)欲瞭解學童對等式的理解，他使用雙側算式填充題和雙側數學等式兩種題型詢問學前到小學六年級學童。以式子 4＋5＝ □＋6 測驗學前孩童等號概念理解，結果所有的幼稚園學生都認為□裡要. 填 9，並且即便經過了具體操作的活動之後，又回到式子 4＋5＝□＋6，他們還是認為□裡要填 9。Falkner 等人以式子 8＋4＝□＋5 測驗小一至小六學童等號概念的理解，結果學生的反應總共有五種(□是 7、12、17、 12 和 17 皆可、其他)，只有填入 7 者為正確答案、等號概念完整。研究結果顯示，小一到小六學童，有一半以上比例填入 12、接著填 17 的比例次之、填正確答案 7 的比例最低，皆在 10％以下。由 Falkner 等人(1999) 研究結果發現，小學階段學童在算式填充題中，雙側題型的正確率皆在 10％以下；從答案中發現非回答正確者，呈現兩種反應類型，一種是將等號左邊式子的答案算出來，把答案接續在等號的後面，忽略等號另一方的式子；另一種則是等號是所有數字運算的結果，要把式子的答案算出來，而且等號應該在等式的最後，等號後面緊接著答案。 Freiman 等人(2004)同樣使用了算式填充題書面問卷，以測驗學前(35 31.