A B C D E A B C D E
2010 年台南市市長盃國民中學數學競賽第二階段能力測驗試題
第一部分
(第 1 題到第 20 題每題 3 分，共 60 分)
1. 若 20102010402020102010 67006700670 a ，則 a 之各位數字之和為多少？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 2. 試問形如： 2012 20122012 2012 2010 n 個 ，且能被11 整除的最小正整數 n 為多少？ (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 3. 如右圖(一)，矩形 ABCD 周長為 16cm，在各邊上向外作正方形， 4 個正方形面積之和為 68 2 cm ，求矩形ABCD 的面積為多少？ (A)15 (B)33 2 (C) 31 2 (D)13 圖(一) 4. 已知 2 1 0 a a ，則 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2 a a a a a a a a a a a 之值為何? (A)1 (B)-1 (C) 1 (D)0 5. 設 2n 2 n a n，n 從 1 到 2010，則滿足此數的個位數為 0 總共有多少個？ (A)102 (B)203 (C) 302 (D)403 6. 設m n, 為正整數，如果 n m 3179，其中n m 0，則共有幾組正整數解( , )m n ？ (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學，看了六本不同的書 A、B、C、D、E、F，已知每人至少要讀一本書，但不 能重複讀一本書，若甲、乙、丙、丁、戊分別讀了3、2、4、3、1 本書，A、B、C、D、E 分別被讀了 3、1、2、1、1 次，試問己同學讀了幾本書。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 8. 設實數 a、b、c 滿足a26b 17，b28c 23，c22a14，求a b c 之值。 (A)-26 (B)-20 (C)-8 (D)54 9. 計算由 1 到102010的每一個整數的數字和，得到102010個新數，再求每個新數的數字和，這樣的動作一 直持續下去，直到都是一位數為止，試問，最後得到的數中是1 多還是 2 多？ (A)1 比較多 (B)2 比較多 (C)一樣多 (D)無法確定。 10. A B C D E, , , , 五支球隊進行比賽，任意兩支隊伍恰好比賽一場，當比賽進行到一定階段時，A B C D, , , 各 比賽了4,3,2,1 場，試問此時E比賽幾場？ (A)1 場 (B)2 場 (C)3 場 (D)4 場 11. 如右圖(二)，最大圓的半徑是 r，4 個小圓的半徑是1 2r，求圖形中陰影的面積。 (A) 2 ) 1 ( r (B) 2 ) 2 ( r (C) 2 ) 3 ( r (D) 2 ) 4 ( r 圖(二) 12. 小天和小南兩個人比賽賽跑，小南跑得比小天快一點，所以小南跑一圈比小天快三秒，如果小南領先 小天整整一圈需要90 秒，請問小南跑一圈需要幾秒。 (A)12 (B)15 (C)18 (D)21 13. 設三角形之三邊長為正整數 a,b, c，且 ab < c ，若 b = 6 ，則滿足此種條件的不全等之三角形 共有多少個？ (A)12 (B)15 (C)21 (D)2414. 如圖(三)，有兩等邊三角形ABC、CDE若A、D、E 在同一線上求角BED。 (A)45 (B)54 (C)60 (D)75 圖(三) 15. 已知 a=1000x+364，b=1000x+365，c=1000x+366，求 2 2 2 a b c ab bc ac 之值。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 16. 如果1N100，N 是由正整數 0,1,2,3,…,9 所組成的和，且每個數字都要出現且只能出現一次，例 如：90=0+1+52+3+4+6+7+8+9 ，則滿足這樣條件的n值共有多少個。（次序不計） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 A B D C
17. 實數 a、b、c、d、e 滿足
2010 1 2009 2 2008 3 2007 4 2006 5 a b c b c d c d e d e a e a b ，則 a、b、c、d、e 大小順序為何？ (A)a b c d e (B)d b a c e (C)c a d b e (D)e c a d b 18. 如右圖(四)，△ABC 中，∠B=45°，AD是∠BAC 的平分線， 圖(四) EF垂直平分AD和BC的延長線交於F，求∠CAF 的度數。 (A)35o (B)45o (C)55o (D)65o 19. 如右圖(五)，L、M、N 是立方體的各邊中點，如果邊長為 2，則LN＝？ (A)2 2 (B) 5 (C) 6 (D) 7 圖(五) 20. 已知面積為 2 的 ABC 中，三邊BC CA, 及AB的邊長分別為a b c, , ，且滿足 a b c ，則 a b 的最小值 為多少？。 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8第二部分
(第 21 題到第 30 題每題 4 分，共 40 分)
21. 古埃及<萊因德紙草書>裡談到”單位分數”，像 1 1， 1 2， 1 3， 1 4，…這樣，分子為１的分數稱為 單位分數，單位分數是古埃及的基本單位，古埃及人經常將分數分解成若干個單位分數的和， 例如：2 1 1 7 4 28， 2 1 1 13 7 91，如果三個單位分數 1 a， 1 21， 1 b構成等差數列，且a,b 為相異正整數則 a+b 的最小值為何？ (A)96 (B)56 (C)50 (D)48 22. 1122334455665544332211 112233445544332211=m n，若m n為最簡根式，求m (A)1010 (B) 118 (C)1015 (D)911 23. 關於 x 的二次方程式：
k28k15
x22 13 3
k x
8 0的兩根都是整數解，試求實數k 有多少解。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 24. 在一次象棋循環賽得分規則如下：勝者得 2 分，負者得 0 分，若平手則兩人各得 1 分。比賽結束後發 現，每位棋手個別成績的一半都是在與總排名最後三名的棋手比賽所獲得的，試問這次比賽共有多少 人參加。 (A)7 人 (B)8 人 (C)9 人 (D)10 人 25. 銳角 ABC 中，AD是高，AB ，6 BD2，M 為AB中點， 作 CP 與MD延長線垂直且交於P，若P在 BC 的中垂線上，試求 AC 之值。 (A) 473 7 (B) 2 473 7 (C) 3 473 7 (D) 4 473 7 26. 有一四位數其數字由左至右分別為 , , ,a b c d ，如果a b c d 26，b 與 d 之乘積所得之十位數字等於 a c ，又bd c 2為2的整數次方，試求a2b 3c 4d 之值。 (A)74 (B)75 (C)76 (D)7727. 在正方形ABCD中，E為BC的中點，F為CD上的一點，且AF BC CF ，若BAF ，若BAE
之值為k ，試求k之值。 (A)1 (B)1 2 (C) 1 3 (D) 1 4 28. 將一個四位數的四個數字順序顛倒，然後與原數相加。若相加所得到的數能被 77 整除，則稱這個原來 的四位數字為好數，求所有的四位數中，共有多少個好數？ (A)13 (B)14 (C)1134 (D)1260
29. 已知a b, 為正整數，且 3a b ，如果兩個二次方程式
