工科第三冊
範圍:第一章 數列與級數
1。等差數列與等差級數
(1) 數列為數有次序的排列。
(i)
a
n=
a
1,
a
2,
a
3,
...
.
,
a
k有限數列。
(ii)
a
n=
a
1,
a
2,
a
3,
...
.
無窮數列
(2) 級數為數列之和。
(i)
k k n n a a a a a = + + + +∑
= ... 3 2 1 1有限級數
(ii)
1 2 3 ... 1 + + + =∑
= a a a a k n n無窮級數
(3) 有關
∑
德寺則運算:
(i)
∑
= = + + + + = k n kc c c c c c 1 ...,(其中
c
為常數)。
(ii)
∑
∑
= = ⋅ = ⋅ k n n k n n c a a c 1 1,(其中
c
為常數)。
(iii)
∑
(
)
∑
∑
= = = ± = ± k n n k n n k n n n b a b a 1 1 1。
(4) 等差級數列的第
n
項:
an =a1 +(n−1)d。
(5)
a
,
b的等差中項
2 b a A= +(A亦可稱a、b的算術平均值)。
(6) 等差級數前
n
項和:
S a an n a n d n n ⋅ − + = ⋅ + = 1 2 1 ( 1)。
◎重點整理◎
2。等比數列與等比級數
(1)等比數列的第
n
項:
an =a1rn−1。
(2)
a
,
b的等比中項
G=± ab或
G2 =ab。
(3)
ab稱為
a
、
b的幾何平均值。
(4)設
a≥0,
b≥0,則
a+b ≥ ab 2(算術平均值
≥幾何平均值)
。
(5)等比級數前
n
項合:
1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 − − = − − = r r a r r a S n n n (r ≠1),
=n
a
1 (r=1)。
3。無窮等比級數
(1)當
r
≥
1
時,
∑
∞ = − 1 1 1 n n r a為發散,不能求合。
(2) 當
r
<
1
時,
∑
∞ = − 1 1 1 n n r a為收斂,其合
r a S − = 1 1 公比 首項 -1 ) (。
(3)循環小數為無窮等比級數且公比絕對值
r
<
1
。
精選試題
( ) 1. 等差數列 30,23,16,9,……的第 35 項為 (A)268 (B) 268− (C) 208 (D) 208− (E)1050 。 ( ) 2. 18(
)
1 4 3 k k = − =∑
(A) 441− (B) 441 (C) 585 (D) 585− (E) 715− 。 ( ) 3.(
)
20 1 1 1 k= k k = +∑
(A)19 20 (B) 20 21 (C) 21 22 (D) 22 23 (E) 23 24。 ( ) 4. 8 1 81 3k k=∑
的和= (A)3040 81 (B) 30 40 81 (C) 30 30 81 (D) 40 40 27 (E) 40 40 81。 ( ) 5. 若 a、b、c、d 四正數成等比數列,且a+ =b 10,c+ =d 640,則公比= (A)64 (B)8 (C) 8± (D)4 (E) 4± 。 ( ) 6. 等差級數30 26 22 18+ + + + 到第 n 項的和開始為負的,則 n= (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 (E)20。 ( ) 7.0.212
為 (A) 27 4 (B) 11 2 (C) 33 7 (D) 3 22。 ( ) 8. 5 2 2+ 與 2− 2的等差中項為 (A) 2 2 2+ (B) 2 2 (C)2 (D) 4 2 4+ (E) 2 2+ 。 ( ) 9. 設一等比級數首項為 10,公比為 3,和為 3640,求項數 n= (A)10 (B)5 (C)7 (D)6。 ( )10. 若等比數列首項為 32,公比為(– 2 3 ),求第 5 項為 (A)–243 (B)162 (C)–162 (D)243。 ( )11.∑
= + + 24 1 1 1 k k k = (A) 2 1 (B)1 (C)2 (D)4。 ( )12. 1 到 500 之間有兩個等差數列:2,5,8,11,……與 1,5,9,13,……同 時出現在這兩個數列的數共有幾項? (A)42 (B)39 (C)38 (D)36 (E)35。( )13. 若一等比數列第 4 項為 56,第 7 項為 448,求此數列首項為 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 ( )14. 設一凸 n 邊形,各內角成等差數列,若公差為4°,最大內角為
172
°
,則邊 數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20。 ( )15. 設 f(x)= 1 1 2 − x ,則∑
= 10 2 ) ( n n f 的值為 (A) 11 10 (B) 55 36 (C) 55 72 (D)以上皆非。 ( )16. 試求 3 1 – 15 2 + 75 4 – 375 8 +……總和為 (A) 24 5 (B) 18 5 (C) 9 5 (D) 21 5 。 ( )17. 試求 1+(– 3 1 )+( 9 1 )+(– 27 1 )+……前 8 項之和為 (A) 729 656 (B) 2187 1640 (C) 6561 6560 (D) 2187 1540 。 ( )18. 已知△ABC 面積為 20,連接三邊中點得△A1B1C1,其面積 為 S1,再連接△A1B1C1三邊中點得△A2B2C2,其面積為 S2, 如此繼續不斷,則 S1+S2+S3+……+Sn+……之和為 (A) 3 80 (B) 2 75 (C) 3 20 (D)20。 ( )19. 於 5 與 93 之間插入 7 個數,使成等差數列,則插入 7 個數之和為 (A)336 (B)343 (C)350 (D)357。 ( )20. 若 a、5、b、c、d、–3 成等差,則公差為 (A)–1 (B)–4 (C)–2 (D)2。 ( )21. 無窮級數 2 1 1 3 3 3 5 n n n ∞ = + + + +∑
之和為 (A) 2 9 (B)∞ (C) 5 3 (D) 8 17 。 ( )22. 求–10 與–8 的等差中項為 (A)–2 (B)9 (C)–9 (D)–1。( )24. 等差級數首 n 項之和為 2 n (7–3n),則下列敘述何者不成立? (A)首項為 2 (B)公差為–1 (C)第 7 項為–16 (D)首 6 項之和為–33。 ( )25. 11 1 2 3 ( ) 3 2 n n n n n − ∞ − = − ×
∑
之值為 (A) 3 1 (B) 3 2 (C) 3 5 (D) 3 7 。 ( )26. 設 f(x)= x x2 + 1 ,則f(1)+f(2)……+f(50)= (A) 50 49 (B) 51 50 (C) 50 24 (D) 52 25 。 ( )27. 假設一等差數列的第 2 項為 3,公差為 4,則第 10 項為 (A)27 (B)31 (C)35 (D)39。 ( )28. 若 Sn=∑
= n i i a 1 ,已知Sn=n2+3n,則 a20= (A)23 (B)46 (C)64 (D)42。 ( )29. 試將 0.157
化為分數為 (A) 990 157 (B) 165 26 (C) 999 157 (D) 990 57 。 ( )30. 設等比級數 16+24+36+……,問自第幾項開始會出現分數? (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 ( )31. 設一等差級數前 10 項之和為 20,而第 10 項為 6,求首項為 (A)–2 (B)–3 (C)–4 (D)–1。 ( )32. 已知一等差級數前 n 項和為 5n2,求公差為 (A)10 (B)15 (C)5 (D)20。 ( )33. 求無窮級數∑
∞ =15
2
k k k = (A) 2 5 (B) 5 2 (C) 2 3 (D) 3 2 。 ( )34. 設一等差級數首數為 5,公差為 7,和為 365,則此級數共有幾項? (A)10 (B)7 (C)9 (D)11。 ( )35. 求無窮級數 1( 3 1 )+2( 3 1 )2+3( 3 1 )3+……+n( 3 1 )n+……= (A) 2 3 (B) 2 5 (C) 4 3 (D) 4 5 。( )36. 已知 log2=0.3010 和 log3=0.4771,若1 3 3+ + ++3 >10 ,則n 最 小整數值為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。 ( )37. 求 3 1 + 5 1 + 9 1 + 25 1 +……+ n 3 1 + n 5 1 +……之和為 (A) 2 3 (B) 2 1 (C) 4 3 (D) 4 5 。 ( )38. 設一凸多邊形諸內角度量成等差數列,公差為
5
°
,其最小的角為120
°
,則 此多邊形的邊數是 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11。 ( )39.∑
∞ = − + 1 2 1 2 ) 10 9 10 8 ( k k k 之值為 (A) 9 8 (B) 3 4 (C) 99 89 (D) 11 4 。 ( )40. 問 11 2 2k k=∑
的和為 (A)508 (B)1020 (C)2044 (D)4092。 ( )41. Sn=∑
= n i i a 1 ,若Sn=n2+3n,則 an= (A)2n–2 (B)2n–1 (C)2n+2 (D)2n+4。 ( )42. 設一等比級數之公比為 r,若其前 n 項和為 Sn,已知S10 =5,S20 =15,則 40 S = (A)75 (B)20 (C)30 (D)25。 ( )43. 設 an(n=1,2,3,……)為一等比數列,若∑
∞ =1 n n a = 2 9 ,∑
∞ =1 2 n n a = 8 81 ,則∑
= 3 1 n n a 之值為 (A) 3 13 (B) 3 14 (C)5 (D) 3 16 。 ( )44. 無窮級數∑
∞ = − 1 ) ) 5 4 ( ) 2 1 (( n n n 之和為 (A)– 10 3 (B)–1 (C)–2 (D)–3。 ( )45. 級數(12–22)+(32–42)+(52–62)+……+(492–502)之和為 (A)–1275 (B)–2499 (C)–2401 (D)–1325。 ( )46. 問級數100 1 4 i=∑
的和為 (A)4100 (B)400 (C)25 (D)1004。 . 若兩等差級數第 n 項之比為 + − 7 項和之比為( )48. 若兩等差級數,前 n 項和之比為(3n+1) : (7n−1),則兩級數第7 項之比為 (A)11:24 (B)13:27 (C)3:7 (D)4:9。 ( )49. 已知 3、a、b、11 2、c、d 為等差數列,則 (A)a=2 (B)b= 1 2 2 (C)c=2 (D)d=1 2。 ( )50. 若無窮等比級數 1 1 2 2 k k x x x − = − = +
∑
∞ ,則x= (A)2 或 1 2 − (B) 1 2 − (C)2 (D)1 2。解答
01.
D 02. A 03. B 04. E 05. B 06. B 07. C 08. A 09. D 10. B
11.
D 12. A 13. D 14. A 15. B 16. D 17. B 18. C 19. B 20. C
21.
D 22. C 23. B 24. B 25. A 26. B 27. C 28. D 29. B 30. C
31.
A 32. A 33. D 34. A 35. C 36. B 37. C 38. B 39. C 40. D
41.
C 42. A 43. A 44. D 45. A 46. B 47. B 48. D 49. D 50. B
範圍:第二章 指數與對數
1.指數律
(1)
n m n n a a a × = +(2)
n m m n a a a − =(3)
n m nm a a ) = ((4)
n n n b a b a× ) = × ((5)
n n a a − = 1(6)
n m n ma
a
=
(7)
n m nm a a =(8)
a0 =1 , a≠02.
x a x f( )=(1)
0
<
a
<
1
⇒
f
(
x
)
為遞減函數
(2)
a
>
1
⇒
f
(
x
)
為遞增函數
3.對數性質
(1)
loga(b×c)=logab+loga c(2)
b c c b a a a log log log = −(3)
b n m b a m an log log =(4)
loga a=1 , loga1=0(5)
a
b
b
c c alog
log
log
=
換底公式:
(6)
a b b a log 1 log =(7)
連鎖律:loga b×logbc×logcd =loga d4.
f(x)=loga x(1)
0
<
a
<
1
⇒
f
(
x
)
為遞減函數
(2)
a
>
1
⇒
f
(
x
)
為遞減函數
5.
alogab =b6.
指數函數 f(x)=ax之圖形均在x軸上方 , 且經過點(0,1)7.
對數函數 f(x)=loga x之圖形均在y軸右方 , 且經過點(1,0)精選試題
( ) 1. 若( )
0.2 x >0.008,則 x 之範圍為 (A)x>1 (B)x>3 (C)x<1 (D)x<3。 ( ) 2. 設a=2,則 2 0 1 a −a +a− = (A)2 (B)5 2 (C) 7 2 (D)4。( ) 3. log 1 log 0.1 log 100.1 + 10 + 0.1 = (A)0 (B) 2− (C)2 (D)3。
( ) 4. 設 log2 = 0.3010,則 510為幾位數? (A)9 (B)8 (C)5 (D)7。
( ) 5. log 2
(
+ 3) (
+log 2− 3)
= (A)7 (B)12 (C)1 (D)0。( ) 6. 解方程式 2 1 2 3 3 2 x x− = ,得 x= (A) 3− (B)1 (C) 1 3 − (D)1 3。
( ) 7. 設 log〔log5 3(log2x)〕<0 之解為 (A)2<x<8 (B)1<x<8 (C)0<x<8 (D)5
<x<125。 ( ) 8. 設 log 4 1x = –0.25,則 x = (A)
2
(B) 2 2 (C) 10 1 (D) 16 1 。 ( ) 9. 若 a2x=2
+ 1,求 x x x x a a a a − − − − 3 3 = (A)22
+ 1 (B)22
–1 (C)2 (D)22
。 ( )10. 若(2m)3= 64,3m-3n= 81 1 ,則m + n 之值為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 ( )11. ( 30–22)0–( 23–32)2= (A)–1 (B)0 (C)1 (D)2。 ( )12. 已知 log M 的首數為 4,尾數不為 0,則 log M 1 的首數為 (A)–4 (B)–3 (C)–2 (D)–1。( )13. 設 a =
2
,b =4 8,c = 4 1,則其大小順序為 (A)b>a>c (B)a>b>c (C)c >b>a (D)b>c>a。
( )14. 滿足不等式 0≤log2(log2x)≤1 之 x 值為整數解的個數有 (A)3 (B)8 (C)9
(D)10 個。 ( )15. log2 = 0.3010,n 為自然數,若 400< n 4 5 <500,則 n = (A)27 (B)28 (C)29 (D)30。
( )16. 求 log10〔log5(log3243)〕= (A)0 (B)1 (C)2 (D)4。
( )17. 若 2x×29= ( 64 )3,則x= (A)2 (B)9 (C)3 (D)6。
( )18. 設 10<x<100,且 logx3與logx 的尾數相同,則 x = (A)20 (B)10
2
(C)30(D)10 10。
( )19. a = log0.20.3,b = log23,c =log2030,比較 a、b、c 之大小 (A) a>b>c (B)c
>a>b (C) c>b>a (D) b>c>a。
( )20. 設 x + x–1=3,則 2 2 2 3 3 + + + − − x x x x = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。 ( )21. 設y=2x與二直線y=1,y =4的交點為M 與 N,則
MN
的長為 (A)3 (B) 13 (C)2 (D)8。( )22. 關於對數,下列何者不正確? (A) log104>0 (B) log0.54<0 (C) log32<1
(D) log0.30.2<1。 ( )23. 已知 42x= 5,則 x x x x − − + + 2 2 2 23 3 之值為 (A) 5 5 4− (B) 5 5 5 6 − (C) 5 5 5 4+
( )24. 已知 log2 = 0.3010,n 為自然數,若 ( 0.4 )n<0.01,則 n 之最小值為 (A)10 (B)9 (C)7 (D)6。 ( )25. 若 log10(x2–3x + 6)=1,則 x = –1 或 (A)4 (B)3 (C)2 (D)5。 ( )26. log2 = 0.3010,則( 5 1 )100小數點後第 (A)60 (B)68 (C)69 (D)70 位始不出 現零。 ( )27. 設 a、b、c、d 為均大於零,且不為 1 的實數,則下列敘述何者不正確? (A)
x
>
0
,函數 f x( )=logcx為遞增函數 (B)log 1log a b b a = (C)log log log log c d c d a a b = b (D)log 94 =log 278 。 ( )28. 設 a2 1 + a 2 1 − =4,則(a2 1 –a 2 1 − )2+3 之值為 (A)13 (B)15 (C)17 (D)19。 ( )29. ax+ a-x= 3,則 x x x x a a a a 2 2 3 3 − − + + 之值為 (A) 7 16 (B) 7 18 (C) 7 20 (D) 7 22 。
( )30. (log32+log94)(log43 +log29)得其值為 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5。
( )31. 設 10 (1.4) a= , 10 (1.3) b= , 4 10 ( ) 3 c= ,則下列敘述何者正確? (A)
b
> >
c
a
(B)c
> >
b
a
(C)a
> >
b
c
(D)a
> >
c
b
。( )32. 設a=log 56 ,b=log 87 ,c=log
,則 (A)a
> >
b
c
(B)a
< <
b
c
(C)
a
> >
c
b
(D)a
< <
c
b
。( )33. 若log 23 x>log (63 −x),則x 值的範圍為 (A)
x
>
2
(B)2
< <
x
6
(C)
x
<
6
(D)x
>
0
。 ( )34. 設a=log 1211 ,b=log 1213 , 1 11 log 12 c= , 1 13 log 12 d = ,則下列敘述何者 正確? (A)d
< < <
c
b
a
(B)d
< < <
c
a
b
(C)c
< < <
d
a
b
(D)c
< < <
d
b
a
。( )35. 若 1 1 11 25x+ >5−x ,則x 的範圍為 (A) 1 3 x> − (B) 1 3 x< − (C)
x
> −
3
(D)x
< −
3
。 ( )36. 設logx= −2.79,則 (A)0.001
< <
x
0.01
(B)0.01
< <
x
0.1
(C)− < < −
3
x
2
(D)100
< <
x
1000
。 ( )37. 若 a2x=3,a>0,x 為實數,則 x x x x a a a a − − − − 3 3 = (A) 3 7 (B) 3 10 (C) 3 13 (D) 3 17 。( )38. 化簡 log213+log425+3log37+log2
13 5
– (log213×log1325) = (A)0 (B)3 (C)5
(D)7。 ( )39. 設 x>0,則 5 3 1 x x = (A)x 30 1 − (B)x30 (C)x30 1 (D)x−30 。 ( )40. 設
0
<
a
<
1
,則對於 x a y= 圖形的描述,下列敘述何者錯誤? (A)與 y 軸 交於(0, 1) (B)在 x 軸的上方 (C)由左而右逐漸上升 (D)與 x a y=(1) 的圖形 對稱於y 軸。( )41. log9(log63)+log9(3+log38)之值為 (A)
2 1 (B)2 (C) –2 (D) – 2 1 。 ( )42. log4( 7+ 40 – 7− 40 ) = (A) – 2 3 (B) – 2 1 (C) 4 3 (D)1。
( )43. 已知log 2=0.3010和log3=0.4771,則 log24= (A)1.3801 (B)3.8168 (C)3.612 (D)0.5044。
( )44. 設
、
為實數且m
>
1
,若 f x( )=mx且f( )
=10,f( )
=20,則( )
( )46. 問 log2
32 1
+log381+log5125= (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。
( )47. 方程式 2 3 x− × −4 3x 45=0的解 x= (A)9 (B)-5 (C)0 (D)2。 ( )48. 已知 ( ) 3x f x = ,若 ( ) 2f a = 且 ( ) 4f b = ,則 (f a+ =b) ? (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 ( )49. 下列何者為方程式 4 (2 −x x) =16之實數解? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。 ( )50. 若log3x+log3y=2,則 1 1 x+ y 之最小值為何? (A)0 (B) 1 3 (C) 2 3 (D)1。
解答
01. D 02. C 03. B 04. D 05. D 06. D 07. A 08. A 09. A 10. B
11. B 12. B 13. A 14. A 15. A 16. A 17. B 18. D 19. D 20. C
21. B 22. D 23. B 24. D 25. A 26. D 27. A 28. B 29. B 30. D
31. D 32. D 33. B 34. D 35. B 36. A 37. C 38. D 39. C 40. C
41. A 42. C 43. A 44. A 45. D 46. C 47. D 48. D 49. A 50. C
範圍:第三章 排列組合
排列
重點一、相異物型的直線排列
1. 從 n 件相異物中每次取出 m 件
(n≥m>0)排成一列之法為
pnm=
! ! ) m n ( n −2. 從 n 件相異物中全取排成一列之法為
Pnn =n!(1) 相鄰的題目:將相鄰的部份視為一體後排列之,再乘以相鄰的
部份之內部排列。
(2) 不相鄰的題目(相間的題目):不相鄰可用插入法解題。
(3) 數字排列的題目:
數字含有 0 時,注意 0 不可排首位。
奇數:末位排「奇數」。
偶數:末位排「0」或「非 0 偶數」。
5 的倍數:末位排「0」或「5」。
(4) 反面解法:(□□)排法 + (不□□)排法 = (無限制)排法
重點二、含相同物型的直線排列、重複排列
1. 含相同物型的直線排列:
◎重點整理◎
則將此 n 件東西全取排成一列的排法共有
! ! ! 2 1 m m n2. 重複排列:
m 個相異物,分給 n 個人(每人可兼得,可不得)之分法:n
m重點三、環狀排列
1. n 個相異物全取所作之環狀排列數為(n-1)!
2. 環狀排列中,若某些物已定坐,則其餘物的排列為直線排列
組合
重點一、不可重複的組合
1. 符號及公式:
(1)
n m n n m C C = − ! ! ! ) m n ( m n 1 2 3 ) 1 m ( m ) 1 m n ( ) 2 n )( 1 n ( n − = × × − + − − − = (2)
Cnn =Cn0 =1,
C1n =n(3) 若
n y n xC
C
=
,則 x = y 或 x + y = n
(4) 巴斯卡定理:
n n 1 n 1 m m 1 m C =C −− +C −2. 不可重複的組合:
從 n 個不同物件中,每次取 m 個
(n≥m)不同物為一組,稱之為 n 中
取 m 之組合,
(1)
由 n 個取 m 個,m 個中必含 r 個之組合:
n r r m C −−(2)
由 n 個取 m 個,m 個中必不含 r 個之組合:
n r m C −(3)
至少含有一個的組合 = (任意組合) - (不含的組合)
註:平面上有 n 個相異點,設無任何三點共線,則可決定
n 2 C條直線,
n 3 C個三角形。
例:凸 n 邊形,共有
n 2 C −n條對角線。
重點二、重複組合、組合總數
1. 重複組合:
(1)
重複組合之記法:
n( ) ) ( mH
類件或
) ( n ) ( mH
不同同⇒
1 m n m n mC
H
=
+ −(2)
重複組合之應用類型:
n m H:表 n 類中,選取 m 件的方法數。
n m H:表 m 件相同物,分給 n 個人的方法數。
註
n n m H −:表 m 件相同物,分給 n 個人,每人至少得一件的方法
數。
n m H:表 x
1+ x
2+ …… + x
n= m 的非負整數解的組數。
註
n n m H −:表 x
1+ x
2+ … + x
n= m 的正整數解的組數。
2. 組合總數:
(1)
相異物之組合總數:
n 個不同物,任意選取(至少取一個)之方法為 2
n-1
(2)
含有相同物之組合總數:
n 物中有 m
1個相同,…,m
k個相同,任意選取若干個(至少
取一個)之方法為(m
1+1)(m
2+ 1)(m
3+ 1) … (m
k+ 1)-1
重點三、二項式定理
n (x+y) = n n n r r n n n n 1 n n r 0 1 n r 0 C x −y C x C x −y C y (n N) = = + + + ∈∑
1. (x + y)
n展開式不同類項共有 n + 1 項
2. (x + y)
n展開式之第 r + 1 項為
n n r r rx y C −3.
(x+1)n =C0nxn +C1nxn−1+Cn2xn−2 ++Cnn (n∈N)註:
n n n n 2 n 1 n 0 C C C 2 C + + ++ =
C0n −C1n +Cn2 −C3n +=0
n n 1 4 n 2 n 0 n 5 n 3 n 1 C C C C C 2 C + + += + + += −
n n 1 n n 3 n 2 n 1 2C 3C nC n 2 C + + ++ = × −精選試題
( ) 1. 某次考試共有 15 題,任選 10 題,但前 4 題必須要做答,問有幾種選法? (A) 15 10 C (B)C154 (C)C104 (D)C1110 (E)C 。116 ( ) 2. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C + +C C + +C C +C +C +C + =C (A)64 (B)128 (C)256 (D)512 (E)1024。 ( ) 3. 若 2 4 11 2 n n C + = ×C ,則 n= (A)4 (B)8 (C) 4− 或 8 (D)10 (E)10 或 13− 。 ( ) 4. 設(0.99)10乘開,小數點後第一、二、三、四位分別為a、b、c、d,則 a–b+c–d 之值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。 ( ) 5. 書架上有 3 本不同的數學書,5 本不同的英文書,6 本不同的國文書,從書 架上,數學、英文、國文各取一本,有多少種不同的取法? (A)14 (B)21 (C)63 (D)90 (E)180。 ( ) 6. 8 件相同的玩具分給 3 人,每人至少得一件的分法有 (A)21 (B)24 (C)40 (D) 5 3 (E)53 種。 ( ) 7. 由數字 0、1、2、3、4 可以組成多少個數字可重複的二位數? (A)4 (B)16 (C)20 (D)25 (E)36。 ( ) 8. 如圖所示,共有多少個矩形? (A)24 (B)48 (C)90 (D)120 (E)210 個。 ( ) 9. 「人人為我,我為人人」八字做直線排列,有幾種排法? (A)8! (B) 8 8 (C) 8 4 C (D)210 (E)420。 ( )10. 甲、乙、丙、丁、戊、己六個人圍一圓桌而坐,甲、乙兩人要相鄰的坐法有 多少種? (A)24 (B)48 (C)60 (D)120 (E)720。 ( )11. 在 9 1 x − 之展開式中,x 3之係數為 (A)84 (B)36 (C)–36 (D)–84。( )12. 15 3 C +C1215之值為 (A)455 (B)910 (C)15! 3! ×2 (D) 15! 3! + 15! 12!。 ( )13. (x2+1)+(x2+1)2+……+(x2+1)12展開式中,x4項之係數為 (A)143 (B)286 (C)386 (D)486。 ( )14. 用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數(數字不可重複),則全部四位數之 總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770。 ( )15. 由(x–2y)10的展開式中,得x6y4的係數等於 (A)–3360 (B)960 (C)1920 (D)3360。 ( )16. 六對夫妻中選出 4 人,其中至少有 2 女的情形有幾種? (A)240 (B)280 (C)300 (D)360。 ( )17. 用 10 元購買 1 元、2 元及 5 元的郵票,且 10 元全部用光,則購買方式有 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8 種。 ( )18. 10 1 C +C210+ 10 3 C +……+C1010= (A)1023 (B)1024 (C)2048 (D)2047。 ( )19. 用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票,每一種郵票至少買 1 張,100 元 全部用完,則購買方法有 (A)16 (B)20 (C)27 (D)35 種。 ( )20. 由 n 個不同的事物,每次選取 r 個作直線排列的排列數為 n r P ,若 n P32 =28 × n P2 ,則 2 3 + n P = (A)60 (B)120 (C)210 (D)336。 ( )21. 若 a>0 且已知 6 2 1 ax x + 展開式中常數項為240,則 a= (A)2 1 (B)1 (C)2 (D)3。
( )22. A、B、C、D、E……等 8 人排成一列,規定 A、B、C 必須相鄰,但 D、E 不 得相鄰,其排法有 (A)3600 (B)3240 (C)2880 (D)2160 種。
( )24. 若自用小客車的車牌號碼,前兩位是大寫英文字母,後四位為數字,如 AB-1234,試問這樣的車牌號碼共有幾個? (A)6760000 (B)6500000 (C)3250000 (D)3276000。 ( )25. 由甲、乙、……等 10 人中,選出 5 人作直線排列,則必含甲且不含乙的排 法有 (A)8400 (B)7860 (C)7560 (D)7200 種。 ( )26. 一房間有 5 個門,若規定進出不可由同一門,則共有多少種不同的進出方 式? (A)9 (B)20 (C)625 (D)1024。
( )27. (x+y)n展開式中,第8 項與第 18 項的係數相同,則(x+y)n展開後共有 (A)26
(B)25 (C)24 (D)23 項。 ( )28. 已知 10 2 a x x − 展開式中,x 11的係數為–960,則 a 值為 (A)6 (B)4 (C)3 (D)2。 ( )29. 設 n、r 為自然數,r ≤ n,若 n r P =720,Crn=120,則 n+r = (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。 ( )30. 若 12 1 − m C =C122m+4,則 12 m C 之值為 (A)66 (B)120 (C)220 (D)495。 ( )31. 7 個人作直線排列,但其中 A 不得排首、末,則排法共有 (A)3600 (B)3840 (C)4320 (D)4680 種。 ( )32. 10 3 P + 5 4 P = (A)840 (B)810 (C)780 (D)750。 ( )33. 將蘋果、梨子、芭樂 3 種水果,選 7 個裝在水果籃中,共有幾種裝法? (A)24 (B)30 (C)36 (D)40。 ( )34. 若 2 4 + n P : n P32 =3:2,則 n= (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。 ( )35. 學校福利社賣 3 種飲料:牛奶、果汁、咖啡,高二勇班 35 位同學一起前往 福利社。若已知至少有3 人想喝咖啡,至少有 2 人不想喝任何飲料,問福利 社阿姨可端出幾種情形? (A)3486 (B)4864 (C)5456 (D)6278。
( )36. 用 0,1,2,3,4 五個數字排成三位數(數字不可重複),則全部三位數之總和為 (A)15660 (B)14400 (C)12990 (D)12600。 ( )37. 方程式 x+y+z+w=3 有多少組非負整數解? (A)12 (B)18 (C)20 (D)24。 ( )38. 由一樓上二樓的樓梯共有 7 階,某人以每步踏 1 階或至多 2 階上樓,共有 幾種走法? (A)17 (B)21 (C)19 (D)23。 ( )39. 8 件相同的玩具分給甲、乙、丙 3 人,每人至少得 1 件,則方法有 (A)56 (B)42 (C)36 (D)21 種。 ( )40. 「庭院深深深幾許」七個字重新排列,三個「深」字不完全連在一起的排法 有 (A)520 (B)720 (C)840 (D)1200 種。 ( )41. (x+y+z+u)10展開後,共有 (A)432 (B)378 (C)360 (D)286 個不同的項。 ( )42. 3 個相同的棒球、4 個相同的網球、5 個相同的桌球,全部分給甲、乙、丙 3 人,若每人至少得1 球,方法有 (A)2973 (B)2793 (C)2739 (D)2379 種。 ( )43. 由一樓上二樓的樓梯共有 10 階,某人以每步踏 1 階或 2 階上樓,則全部方 法有 (A)78 (B)82 (C)86 (D)89 種。 ( )44. 從跳棋中取出 8 個棋子,其中紅色有 3 個,黃色有 3 個,綠色有 2 個,將 8 個棋子排成一列,共有幾種不同的排法? (A)420 (B)560 (C)840 (D)1200。 ( )45. 某發報器長鳴一次 3 秒,短鳴一次 1 秒,相鄰兩鳴放時間為 2 秒,則前後 30 秒的時間,可發出幾種不同的信號? (A)80 (B)70 (C)60 (D)50。 ( )46. 將 7 件不同的禮物按 3、2、2 任意分給 3 個人,則全部給法有 (A)1260 (B)840 (C)630 (D)420 種。 ( )47. 6 件不同的禮物分給甲、乙、丙 3 人,其中 1 人得 1 件、1 人得 2 件、另 1 人得3 件,則全部方法有 (A)480 (B)360 (C)120 (D)60 種。 ( )48. 三位數(正整數)中,末位數為 6 者,共有若干個? (A)89 個 (B)90 個
( )49. 用紅、白、黃……等 7 顆不同色的珠子串成一項圈(項圈可翻轉),則紅、 白珠子不相鄰的串法有 (A)720 (B)480 (C)360 (D)240 種。
( )50. 5 朵不同顏色的花,作成一花圈,其作法共有幾種? (A)8 (B)10 (C)12 (D)24。
解答
01.
E 02. C 03. D 04. B 05. D 06. A 07. C 08. E 09. E 10. B
11.
D 12. B 13. B 14. C 15. D 16. D 17. B 18. A 19. A 20. B
21.
C 22. C 23. A 24. A 25. A 26. B 27. B 28. D 29. B 30. C
31.
A 32. A 33. C 34. D 35. C 36. C 37. C 38. B 39. D 40. B
41.
D 42. B 43. D 44. B 45. A 46. C 47. B 48. B 49. D 50. D
範圍:第四章 機率與統計
機率
重點一、古典機率、條件機率
1. 拉普拉斯(Laplace)的古典機率:
設 S 為樣本空間,若
A⊂S為一事件,則事件 A 發生機率為
) S ( n ) A ( n ) A ( P =,n(A)為 A 的元素個數,n(S)為 S 的元素個數。
2. 機率的性質:
(1)
若
A⊂S為一事件,則
P(A′)=1−P(A)。
(2)
機率的加法性:若 A、B 為 S 的二事件,則
) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P = + − 3. A 和 B 同時發生的機率
P(AB):
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
=
⋅
|
重點二、獨立事件
設 A,B 為樣本空間 S 的任二事件,若
P(AB)=P(A)⋅P(B),則稱 A,B
為獨立事件,
否則為相關事件。
註:若 A,B 為獨立事件,則下列事件亦為獨立事件
A 與
B′
A′與 B
A′與
B′重點三、重複試驗、期望值
1. 重複試驗:
若某事件發生的機率為 P,則 n 次重複此試驗
(1)
恰好出現 r 次發生的機率為
n r n r rP (1 P) C − −◎重點整理◎
(3)
至少出現 r 次發生的機率為
n k n k k k r C P (1 P) − = −∑
2. 期望值:
設事件 A
k發生的機率為 P
k,若事件 A
k發生可得 m
k(元),
則期望值
= ⋅P m1 1+ ⋅P m2 2++ ⋅Pk mk +(元)
統計
1.資料整理與圖表編製
母群體與樣本
1. 統計的意義 統計學:是在面對不確定的狀況下,能協助我們作出明智決策的一種 科學。 統計方法:統計方法是一種蒐集資料、整理資料、分析資料,並依據 分析之結果,加以解釋或推論的科學方法 。 統計所研究的是有關於全體不確定現象的通則,而非個別事件發生的 結果。 2. 母群體、樣本與抽樣 母群體:指我們所要研究對象的全體 ,稱為母群體。 樣 本:指全體研究對象中被抽出的某一部分,稱為樣本。 抽 樣:指抽出所需樣本的全部過程 ,稱為抽樣。2.次數分配表
1. 次數分配表的編製 將所有資料做有系統(大小)的排列,再以表格表示出其次數的分布狀 況,此種統計表稱為次數分配表。其編製方法依資料分類分為下列二種:連續型資料:製作分組次數分配表的步驟如下: 求全距(
R
): 統計資料中最大數值與最小數值之差 ,稱為全距,即 全距(R
)=最大數值−
最小數值。 定組數: 將統計資料進行分 類 , 叫做分組 ; 分組 的 數目叫做組數 。 分 組 組 數過多或過少均不 宜 , 若組數過多 , 資 料 會分的太散 , 無法 顯 現 資料集中的趨勢 , 若 組數過少 , 又無法 顯 現資料散布的特性 , 故 通常分 7~15 組為適當,而定組數的方法亦可由下公式求出。 組數 1 3.3 log n= + (n
表全部資料總數) 定組距: 指每一個分組的區 間 長度 , 叫做該組的 組 距 。 一般常用相同 的 組 距分組,而組距可取全距除以組數的近似值。即組距≒ 全距 組數。 定組限: 每一組上下兩端的 界 限 , 稱為該組的 組 限 , 數值較大的組限 叫 做 上限,數值較小的叫做下限,而上限與下限的平均數稱為 組中點。 在訂定組限時 , 務 必 使最小一組的下限 小 於或等於實際資料 的 最 小值,而使最大一組的上限要大於或等於實際資料的最大值 。 附 註 : 相 鄰 兩 組 中 , 若 前 一 組 的 上 限 等 於 後 一 組 的 下 限 時 , 一 般 採 用 各 組 含 下 限 但不 含 上限 的 規則。 例 10~ 20 這 一 組的 範 圍, 若 以 x的 不 等式 表 示即為10≤ <x 20。 例 若資料分組為:第一組 10~20,第二組 20~30,…,最後一 組 90~100,則表示第一組的下限為 10,上限為 20,組中點為 15,但數值資料 20 屬於第二組,另數值資料 100 則屬於最後 一組。 歸類劃記: 將每一筆資料分類填入其所對應的組內,通常以「正」字或「 」 表之,以便計算。 計算次數:歸類劃記之後,計算各組次數。
3.次數分配曲線圖
1. 常用的統計圖 長條圖:利用分隔的長條,並以長條之長短來表示各分類資料次數的 分布情形,此稱為長條圖,一般而言,適用於表示 離散型資料分布。 直方圖:一種用來表示分組後各組數值分布的圖形,圖中長方形的高 度即表示該組的次數。 次數分配曲線圖:依序將直方圖中的中點以線段連接,就形成一個折 線圖,稱為次數分配折線圖。通常我們假設全部資料共分成k
組,而 且各組的組中點依序為x 、1 x 、2 x 、…、3 x ,其所對應的次數分別k 為 f 、1 f 、2 f 、…、3 f ,依此可在坐標平面上標出k (x1,f 、1) (x2, f2)、 3 3 (x ,f )、…、 (xk, fk)等k
個點,同時可設想在折線圖左右兩端(即 第一組前面和最後一組之後 )各加一組次數均為 0 的資料,其組中點 分別為(x1−d1, 0)、 (xk+dk, 0),d 、1 d 分別為最小一組及最大一組的組k 距 , 最後再依 序將此k+2個點連接 , 所 得之折 線圖 , 稱為 次 數分配 曲線圖。 直方圖 次數分配 曲線圖1. 累積次數分配表 以下累積次數分配表 在次數分配表中,從各組的次數最小一組,逐一向次數較大一組依序 累積至最大一組,並分別將累積後的數值記入所對應的組內,所得即 為「以下累積次數分配表」。 以上累積次數分配表 若改由各組的次數最大一組,逐次向次數較小一組依序累積至最小一 組,並分別將累積後的數值記入所對應的組內,所得即為「以上累積 次數分配表」。如下表所示: 組 別 次 數 以下累積次數 以上累積次數 1 L ~U1 2 L ~U2 k L ~Uk 1 f 2 f k f 1 f 1 2 f + f 1 2 k f + + +f f 1 2 k f + + +f f 2 k f + + f k f 總 計 n 上表中U1 =L2,U2 =L3,…,Uk−1 =Lk。 2. 累積次數分配曲線圖 將累積次數分配表的分配情形,以曲線圖的方式呈現出來,稱之為累積 次數分配曲線圖。畫法有下列二種: 以下累積次數分配曲線圖 以各組的「上限」為橫坐 標,各該組對應的「以下 累積次數」為縱坐標,定 出各點位置後,將各對應 點 連 同 最 左 端 的 點( , 0)L1 一起連接起來,即得「以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖」。 以上累積次數分配曲線圖
5.相對累積次數分配表與相對累積次數分配曲線圖
以下累積次 數分配圖 Ll Ul U2 U3 ... Uk n f1 f1+f2 f1+ +f2 f3 ... .. .1. 相對次數是為了讓我們進一步了解百分比分配狀況,所以相對次數分配 是指各組次數占總次數的比例 。相對次數 =各組次數×100% 總次數 。 2. 相對次數分配表:分組整理後,算出各組的相對次數而製成的表稱之為 相對次數分配表。 3. 相對累積次數分配表:將相對次數依「以上累積」或「以下累積」,可 得「以上累積相對次數分配表」及「以下累積相對次數分配表」。 4. 相對 次 數 分配 曲 線 圖 : 將 各 組 相對 次 數 與 各組 中 點 所對 應 的 點 依序描 點,再依序連接各點後所得的圖形。 5. 相對累積次數分配曲線圖:將各組的相對累積次數點到該組上限或下限所對 應的點,再依序連接各點所得到的圖形則稱之以上(以下)相對累積次數分配曲 線圖。
精選試題
( ) 1. 設A= ,B= ,則n A(
∩B)
= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)50。 ( ) 2. 設A= ,B= ,n A(
−B)
= (A)7 (B)20 (C)21 (D)24 (E)31。 ( ) 3. 一粒公正的骰子丟二次,二次的點數和恰為 10 的機率為 (A) 1 36 (B) 1 12 (C)1 9 (D) 1 6 (E) 1 4。 ( ) 4. 擲一均勻的硬幣二次,每出現一次正面得 5 元,一個反面賠 2 元,則所得 總額的期望值為 (A)3 (B)7 2 (C)4 (D) 9 2 (E)5 元。 ( ) 5. 袋中有大小相同的 3 紅球、5 白球,任意取 2 球,2 球均為白球的機率為 (A) 5 14 (B) 5 21 (C) 7 56 (D) 9 56 (E) 11 72。 ( ) 6. 賭神高進投擲一個骰子兩次,若其樣本空間為 S,則 n(S)= (A)2 (B)6 (C)18 (D)36。 ( ) 7. 擲三枚公正的硬幣,若出現 x 個正面,則可獲得 2x 元,若皆未出現正面則 輸8 元,則期望值為 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 元。 ( ) 8. 設 A={1,2,3,4,5}、B={3,5,7}、C={2,7},則下列敘述何者錯誤? (A)A–B ={1,2,4} (B)A∪B ={1,2,3,4,5,7} (C)B∩C ={7} (D)A∩(B∪C) = {1,2,3,5}。 ( ) 9. 憲哥自四件不同顏色的運動褲之中挑選其中兩件,若其樣本空間為 S,則 n(S) = (A)2 (B)4 (C)6 (D)12。 ( )10. 10 個燈泡中有 4 個是壞的,今從這 10 個燈泡中任意取出 2 個,則含有壞燈 泡的機率是 (A) 2 15 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 4 5 (E) 5 6。 ( )11. 袋中有大小相同的紅球 4 個,黑球 5 個,白球 3 個,自袋中一次取一球, 取二次,取出不放回,則二球同色的機率為 (A) 3 11 (B) 8 11 (C) 8 33 (D) 17 66 (E)19 66。( )12. 有一集合 A,其元素為自然數,且若 x∈A,則 10–x∈A,則下列敘述何者不 正確? (A)集合 A 不可能只有 1 個元素 (B)集合 A 可能只有 1 個元素 (C) 集合A 可能只有 2 個元素 (D)集合 A 可能只有 4 個元素。
( )13. 設 A 、 B 為二事件,若機率
( )
1 2 P A = ,( )
' 2 3 P B = ,(
)
1 4 P A∩B = ,則(
)
P A∪B = (A)1 3 (B) 7 12 (C) 5 6 (D) 11 12 (E) 13 12。 ( )14. 從 1 到 100 之自然數中,任取一數它不是完全平方數,也不是完全立方數 的機率為 (A)14 100 (B) 86 100 (C) 88 100 (D) 90 100 (E) 91 100。 ( )15. 擲四枚公正的硬幣一次,每出現一個正面可得獎金 20 元,每出現一個反面 則須付10 元,則其數學期望值為 (A)10 (B)15 (C)20 (D)25 元。 ( )16. 設 A={1,{2,3},4,5},則下列敘述何者正確? (A)2∈A (B){2,3}∈A (C)A 含有5 個元素 (D){4,5}∈A。 ( )17. 設某燈泡工廠生產了 1000 個燈泡,其中含有 8 個不良品,今從中隨機取出 200 個燈泡,則含不良品的數學期望值為 (A)1.6 (B)2 (C)2.4 (D)3。 ( )18. 設袋中有 10 個球,分別為 1、2、3、……、10 等號碼,自袋中任取 3 球, 則此三球中數字最大者為8 的機率為 (A)1 5 (B) 7 10 (C) 10 27 (D) 7 40。 ( )19. 一筒中裝有 1 號籤 1 枝、2 號籤 2 枝、3 號籤 3 枝、……、10 號籤 10 枝, 今由筒中任抽出1 枝籤,若抽得 r 號籤可得 r 元(r=1,2,……,10),則抽出 1 枝籤獲得的期望值為 (A)7.5 (B)7 (C)6.4 (D)6 元。
( )20. 設 A={1,2,3,4},B={(x,y)|x=y,x、y∈A},試問 B 中有幾個元素? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
( )21. 已知 A={1,2,3,4,5,6}、B={4,5,6}、C={1,3,5},則(A∩B)∪(B–C)= (A){4,6} (B){4,5,6} (C){1,4,6} (D){3,5,6}。
( )22. 設 A={(t,t–4)|t 為實數}、B={(2–t,t)|t 為實數},則 A∩B= (A){(1, –3)} (B){(–3,5)} (C){(–1, –5)} (D){(3, –1)}。 ( )23. 同時擲五個公正的硬幣一次,每出現一個正面可得獎金 10 元,則作此試驗 獲得的期望值為 (A)20 (B)21 (C)24 (D)25 元。 ( )24. 設袋中有一元、五元、十元、五十元硬幣各一枚,問小蓮從袋中任取一個硬 幣之數學期望值為多少元? (A)16.5 (B)16 (C)15.5 (D)15。 ( )25. 一袋中有 5 個紅球、7 個白球,由其中一次取出 3 球,則其為 2 紅球 1 白球 的機率等於 (A) 132 7 (B) 35 2 (C) 22 7 (D) 11 7 。
( )26. 設 A={x–1,y–2},B={2y+1,3–x},若 A=B,則 x+y= (A)5 或–1 (B)3 或–2 (C)1 或–5 (D)2 或–3。
∪C)= (A){2,3,6,9} (B){1,3,9} (C){2,4,6} (D){1,3,6,9}。 ( )29. 設A=
{ }
0,1 ,則下列何者錯誤? (A)∅ ∈A (B) 0 A∈ (C)∅ ⊂ A (D){ }
0 ⊂A (E){ }
0,1 ⊂A。 ( )30. 五對夫婦圍一圓桌而坐,求夫婦相鄰且男女相間的機率為 (A)24 10! (B) 48 9! (C)48 10! (D) 24 9!。 ( )31. 甲、乙各擲一個公正的骰子,則甲的點數小於乙的點數的機率為 (A)1 2 (B)1 3 (C) 1 4 (D) 5 12。 ( )32. 某職棒球員之打擊率為 3 成,求此球員 5 次打擊,打中 3 次之機率為 (A) 5 3 2 3(0.3) (0.7) C (B)C35(0.7)3(0.3)2 (C) 2 3 3 5(0.3) (0.7) C (D) 3 3 2 5(0.7) (0.3) C 。 ( )33. 在邊長為 6 的正三角形內部任取一點 P,則 P 到三頂點的距離大於 3的機 率為 (A) 18 3 12−
(B) 18 3 15−
(C) 18 3 18−
(D) 9 3 9−
。 ( )34. 自 1 至 13 的自然數中,任取相異三數,則三數成等差的機率為 (A) 18 143 (B) 35 143 (C) 49 143 (D) 58 143。 ( )35. 某人投籃平均每五次投中三次,設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率 大於0.999,則 n 之最小值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。(已知log2=0.3010) ( )36. 某公司要進用一名職員,若甲被錄取之機率為1 3,乙被錄取之機率為 1 4,甲、 乙被錄取與否互不影響,則甲或乙被錄取之機率為 (A) 1 12 (B) 1 6 (C) 5 12 (D)1 2 (E) 7 12。 ( )37. 設 A、B 為二獨立事件,( )
1 2 P A = ,(
)
2 3 P A∪B = ,則P B( )
= (A)1 4 (B) 1 3 (C)2 3 (D) 1 5 (E) 1 6。 ( )38. 投擲兩粒公正的骰子,在出現點數和為 8 之條件下,其中有一粒為 4 點的 機率為 (A) 1 (B)1 (C)1 (D) 1 。( )39. 今有摸獎彩券總共 100 張,其中 10 張可得獎,每張彩券被抽出的機率相同, 若由甲先抽,乙後抽,則甲乙2 人何者中獎機率較高? (A)甲 (B)乙 (C) 一樣 (D)不一定。 ( )40. 王家有 2 男 1 女三個小孩,陳家有 1 男 3 女四個小孩,今任意抽選一家並 從這家挑出一個小孩當花童,假設每一家被選中的機會均等,且每一家中小 孩被選中的機會均等,求被選出的小孩為男孩的機率為 (A)17 24 (B) 13 24 (C)1 2 (D) 11 24。 ( )41. 當 繪 製 以 上累 積 次 數 分 配曲 線 圖 時 , 各 組 的 橫 坐標 應 為 該組 之 (A) 組中點 (B) 組距 (C) 上限 (D) 下限 ( )42 .設一組數值資料x1、x2、x3、x4的算術平均數為k,則數值資料20x1−5、 2 20x −5、20x3−5、20x4−5的算術平均數為 (A) k (B) 20k−5 (C) 5 k− (D) 20k ( )43. 設隨機抽樣5 上巿公司,某日其股巿收盤價分別為 88、26、65、75、16 元, 則收盤價的樣本標準差約為多少元? (A) 31.41 (B) 32.5 (C) 33.4 (D) 35.65 ( )44. 有15 數值資料如右:12、15、18、12、18、12、13、10、18、17、10、 12、19、20、19,若算術平均數為