工科第三冊夜輔

工科第三冊

範圍：第一章 數列與級數

１。等差數列與等差級數

(1) 數列為數有次序的排列。

(i)

a

n

=

a

1

，

　

a

2

，

　

a

3

，

...

.

，

a

k

有限數列。

(ii)

a

_n

=

a

₁

，

　

a

₂

，

　

a

₃

，

...

.

無窮數列

(2) 級數為數列之和。

(i)

k _k n n a a a a a = + + + +

∑

= ... 3 2 1 1

有限級數

(ii)

_{1 2 3} ... 1 + + + =

∑

= a a a a k n n

無窮級數

(3) 有關

∑

德寺則運算：

(i)

∑

= = + + + + = k n kc c c c c c 1 ...

，（其中

c

為常數）。

(ii)

∑

∑

= = ⋅ = ⋅ k n n k n n c a a c 1 1

，（其中

c

為常數）。

(iii)

∑

(

)

∑

∑

= = = ± = ± k n n k n n k n n n b a b a 1 1 1

。

(4) 等差級數列的第

n

項：

a_n =a₁ +(n−1)d

。

(5)

a

，

b

的等差中項

2 b a A= +

（Ａ亦可稱ａ、ｂ的算術平均值）。

(6) 等差級數前

n

項和：

S a an n a n d n n ⋅ − + = ⋅ + = 1 2 1 ( 1)

_。

◎重點整理◎

２。等比數列與等比級數

(1)等比數列的第

n

項：

a_n =a₁rn−1

。

(2)

a

，

b

的等比中項

G=± ab

或

G2 =ab

。

(3)

ab

稱為

a

、

b

的幾何平均值。

(4)設

a≥0

，

b≥0

，則

a+b ≥ ab 2

（算術平均值

≥

幾何平均值）

。

(5)等比級數前

n

項合：

1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ₁ 1 − − = − − = r r a r r a S n n n (r ≠1)

，

=n

a

1 (r=1)

。

３。無窮等比級數

(1)當

r

≥

1

時，

∑

∞ = − 1 1 1 n n r a

為發散，不能求合。

(2) 當

r

<

1

時，

∑

∞ = − 1 1 1 n n r a

為收斂，其合

r a S − = 1 1 公比 首項 -1 ) (

_。

(3)循環小數為無窮等比級數且公比絕對值

r

<

1

。

精選試題

( ) 1. 等差數列 30，23，16，9，……的第 35 項為 (A)268 (B) 268− (C) 208 (D) 208− (E)1050 。 ( ) 2. 18

(

)

1 4 3 k k = − =

∑

(A) 441− (B) 441 (C) 585 (D) 585− (E) 715− 。 ( ) 3.

(

)

20 1 1 1 k= k k = +

∑

(A)19 20 (B) 20 21 (C) 21 22 (D) 22 23 (E) 23 24。 ( ) 4. 8 1 81 3k k=

∑

的和= (A)3040 81 (B) 30 40 81 (C) 30 30 81 (D) 40 40 27 (E) 40 40 81。 ( ) 5. 若 a、b、c、d 四正數成等比數列，且a+ =b 10，c+ =d 640，則公比= (A)64 (B)8 (C) 8± (D)4 (E) 4± 。 ( ) 6. 等差級數30 26 22 18+ + + + 到第 n 項的和開始為負的，則 n= (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 (E)20。 ( ) 7.

0.212

為 (A) 27 4 (B) 11 2 (C) 33 7 (D) 3 22。 ( ) 8. 5 2 2+ 與 2− 2的等差中項為 (A) 2 2 2+ (B) 2 2 (C)2 (D) 4 2 4+ (E) 2 2+ 。 ( ) 9. 設一等比級數首項為 10，公比為 3，和為 3640，求項數 n= (A)10 (B)5 (C)7 (D)6。 ( )10. 若等比數列首項為 32，公比為(– 2 3 )，求第 5 項為 (A)–243 (B)162 (C)–162 (D)243。 ( )11.

∑

= + + 24 1 1 1 k k k = (A) 2 1 (B)1 (C)2 (D)4。 ( )12. 1 到 500 之間有兩個等差數列：2，5，8，11，……與 1，5，9，13，……同 時出現在這兩個數列的數共有幾項？ (A)42 (B)39 (C)38 (D)36 (E)35。

( )13. 若一等比數列第 4 項為 56，第 7 項為 448，求此數列首項為 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 ( )14. 設一凸 n 邊形，各內角成等差數列，若公差為4°，最大內角為

172

°

，則邊 數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20。 ( )15. 設 f(x)= 1 1 2 − x ，則

∑

₌ 10 2 ) ( n n f 的值為 (A) 11 10 (B) 55 36 (C) 55 72 (D)以上皆非。 ( )16. 試求 3 1 – 15 2 + 75 4 – 375 8 +……總和為 (A) 24 5 (B) 18 5 (C) 9 5 (D) 21 5 。 ( )17. 試求 1+(– 3 1 )+( 9 1 )+(– 27 1 )+……前 8 項之和為 (A) 729 656 (B) 2187 1640 (C) 6561 6560 (D) 2187 1540 。 ( )18. 已知△ABC 面積為 20，連接三邊中點得△A1B1C1，其面積 為 S1，再連接△A1B1C1三邊中點得△A2B2C2，其面積為 S2， 如此繼續不斷，則 S1+S2+S3+……+Sn+……之和為 (A) 3 80 (B) 2 75 (C) 3 20 (D)20。 ( )19. 於 5 與 93 之間插入 7 個數，使成等差數列，則插入 7 個數之和為 (A)336 (B)343 (C)350 (D)357。 ( )20. 若 a、5、b、c、d、–3 成等差，則公差為 (A)–1 (B)–4 (C)–2 (D)2。 ( )21. 無窮級數 2 1 1 3 3 3 5 n n n ∞ = + + + +

∑

 之和為 (A) 2 9 (B)∞ (C) 5 3 (D) 8 17 。 ( )22. 求–10 與–8 的等差中項為 (A)–2 (B)9 (C)–9 (D)–1。

( )24. 等差級數首 n 項之和為 2 n (7–3n)，則下列敘述何者不成立？ (A)首項為 2 (B)公差為–1 (C)第 7 項為–16 (D)首 6 項之和為–33。 ( )25. 11 1 2 3 ( ) 3 2 n n n n n − ∞ − = − ×

∑

之值為 (A) 3 1 (B) 3 2 (C) 3 5 (D) 3 7 。 ( )26. 設 f(x)= x x2 + 1 ，則f(1)+f(2)……+f(50)= (A) 50 49 (B) 51 50 (C) 50 24 (D) 52 25 。 ( )27. 假設一等差數列的第 2 項為 3，公差為 4，則第 10 項為 (A)27 (B)31 (C)35 (D)39。 ( )28. 若 Sn=

∑

= n i i a 1 ，已知Sn=n2+3n，則 a20= (A)23 (B)46 (C)64 (D)42。 ( )29. 試將 0.1

57

化為分數為 (A) 990 157 (B) 165 26 (C) 999 157 (D) 990 57 。 ( )30. 設等比級數 16＋24＋36＋……，問自第幾項開始會出現分數？ (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 ( )31. 設一等差級數前 10 項之和為 20，而第 10 項為 6，求首項為 (A)–2 (B)–3 (C)–4 (D)–1。 ( )32. 已知一等差級數前 n 項和為 5n2_{，求公差為 (A)10 (B)15 (C)5 (D)20。} ( )33. 求無窮級數

∑

∞ =1

5

2

k k k = (A) 2 5 (B) 5 2 (C) 2 3 (D) 3 2 。 ( )34. 設一等差級數首數為 5，公差為 7，和為 365，則此級數共有幾項？ (A)10 (B)7 (C)9 (D)11。 ( )35. 求無窮級數 1( 3 1 )+2( 3 1 )2₊₃₍ 3 1 )3_+……+n( 3 1 )n_{+……= (A)} 2 3 (B) 2 5 (C) 4 3 (D) 4 5 。

( )36. 已知 log2＝0.3010 和 log3＝0.4771，若1 3 3+ + ++3 >10 ，則n 最 小整數值為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。 ( )37. 求 3 1 + 5 1 + 9 1 + 25 1 +……+ _n 3 1 + _n 5 1 +……之和為 (A) 2 3 (B) 2 1 (C) 4 3 (D) 4 5 。 ( )38. 設一凸多邊形諸內角度量成等差數列，公差為

5

°

，其最小的角為

120

°

，則 此多邊形的邊數是 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11。 ( )39.

∑

∞ = − + 1 2 1 2 ) 10 9 10 8 ( k k k 之值為 (A) 9 8 (B) 3 4 (C) 99 89 (D) 11 4 。 ( )40. 問 11 2 2k k=

∑

的和為 (A)508 (B)1020 (C)2044 (D)4092。 ( )41. Sn=

∑

= n i i a 1 ，若Sn=n2+3n，則 an= (A)2n–2 (B)2n–1 (C)2n+2 (D)2n+4。 ( )42. 設一等比級數之公比為 r，若其前 n 項和為 Sn，已知S10 =5，S20 =15，則 40 S ＝ (A)75 (B)20 (C)30 (D)25。 ( )43. 設 an(n=1，2，3，……)為一等比數列，若

∑

∞ =1 n n a = 2 9 ，

∑

∞ =1 2 n n a = 8 81 ，則

∑

= 3 1 n n a 之值為 (A) 3 13 (B) 3 14 (C)5 (D) 3 16 。 ( )44. 無窮級數

∑

∞ = − 1 ) ) 5 4 ( ) 2 1 (( n n n 之和為 (A)– 10 3 (B)–1 (C)–2 (D)–3。 ( )45. 級數(12_–22₎₊₍₃2_–42₎₊₍₅2_–62_)+……+(492_–502_{)之和為 (A)–1275 (B)–2499} (C)–2401 (D)–1325。 ( )46. 問級數100 1 4 i=

∑

的和為 (A)4100 (B)400 (C)25 (D)1004。 . 若兩等差級數第 n 項之比為 + − 7 項和之比為

( )48. 若兩等差級數，前 n 項和之比為(3n+1) : (7n−1)，則兩級數第7 項之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9。 ( )49. 已知 3、a、b、11 2、c、d 為等差數列，則 (A)a＝2 (B)b＝ 1 2 2 (C)c＝2 (D)d＝1 2。 ( )50. 若無窮等比級數 1 1 2 2 k k x x x − = − = +

∑

∞ ，則x＝ (A)2 或 1 2 − (B) 1 2 − (C)2 (D)1 2。

解答

01.

D 02. A 03. B 04. E 05. B 06. B 07. C 08. A 09. D 10. B

11.

D 12. A 13. D 14. A 15. B 16. D 17. B 18. C 19. B 20. C

21.

D 22. C 23. B 24. B 25. A 26. B 27. C 28. D 29. B 30. C

31.

A 32. A 33. D 34. A 35. C 36. B 37. C 38. B 39. C 40. D

41.

C 42. A 43. A 44. D 45. A 46. B 47. B 48. D 49. D 50. B

範圍：第二章 指數與對數

1．指數律

(1)

n m n n a a a × = +

(2)

n m m n a a a ₋ =

(3)

n m nm a a ) = (

(4)

n n n b a b a× ) = × (

(5)

n n a a − = 1

(6)

n m n m

a

a

=

(7)

n m nm a a =

(8)

a0 =1 , a≠0

2．

x a x f( )=

(1)

0

<

a

<

1

⇒

f

(

x

)

為遞減函數

(2)

a

>

1

⇒

f

(

x

)

為遞增函數

3．對數性質

(1)

log_a(b×c)=log_ab+log_a c

(2)

b c c b a a a log log log = −

(3)

b n m b a m an log log =

(4)

log_a a=1 , log_a1=0

(5)

a

b

b

c c a

log

log

log

=

換底公式：

(6)

a b b a log 1 log =

(7)

連鎖律：log_a b×log_bc×log_cd =log_a d

4．

f(x)=log_a x

(1)

0

<

a

<

1

⇒

f

(

x

)

為遞減函數

(2)

a

>

1

⇒

f

(

x

)

為遞減函數

5．

alogab =b

6．

指數函數 f(x)=ax之圖形均在x軸上方 , 且經過點(0,1)

7．

對數函數 f(x)=log_a x之圖形均在y軸右方 , 且經過點(1,0)

精選試題

( ) 1. 若

( )

0.2 x >0.008，則 x 之範圍為 (A)x>1 (B)x>3 (C)x<1 (D)x<3。 ( ) 2. 設a=2，則 2 0 1 a −a +a− = (A)2 (B)5 2 (C) 7 2 (D)4。

( ) 3. log 1 log 0.1 log 100.1 + 10 + 0.1 = (A)0 (B) 2− (C)2 (D)3。

( ) 4. 設 log2 = 0.3010，則 510_{為幾位數？ (A)9 (B)8 (C)5 (D)7。}

( ) 5. log 2

(

+ 3

) (

+log 2− 3

)

= (A)7 (B)12 (C)1 (D)0。

( ) 6. 解方程式 2 1 2 3 3 2 x x−   ₌          ，得 x= (A) 3− (B)1 (C) 1 3 − (D)1 3。

( ) 7. 設 log〔log5 3(log2x)〕＜0 之解為 (A)2＜x＜8 (B)1＜x＜8 (C)0＜x＜8 (D)5

＜x＜125。 ( ) 8. 設 log 4 1x = –0.25，則 x = (A)

2

(B) 2 2 (C) 10 1 (D) 16 1 。 ( ) 9. 若 a2x₌

₂

_{+ 1，求} x x x x a a a a − − − − 3 3 = (A)2

2

+ 1 (B)2

2

–1 (C)2 (D)2

2

。 ( )10. 若(2m₎3_{= 64，3}m-3n₌ 81 1 ，則m + n 之值為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 ( )11. ( 30_–22₎0_{–( 2}3_–32₎2_{= (A)–1 (B)0 (C)1 (D)2。} ( )12. 已知 log M 的首數為 4，尾數不為 0，則 log M 1 的首數為 (A)–4 (B)–3 (C)–2 (D)–1。

( )13. 設 a =

2

，b =4 _8，c = 4 1

，則其大小順序為 (A)b＞a＞c (B)a＞b＞c (C)c ＞b＞a (D)b＞c＞a。

( )14. 滿足不等式 0≤log2(log2x)≤1 之 x 值為整數解的個數有 (A)3 (B)8 (C)9

(D)10 個。 ( )15. log2 = 0.3010，n 為自然數，若 400＜ n       4 5 ＜500，則 n = (A)27 (B)28 (C)29 (D)30。

( )16. 求 log10〔log5(log3243)〕= (A)0 (B)1 (C)2 (D)4。

( )17. 若 2x_×29_{= ( 64 )}3_{，則x= (A)2 (B)9 (C)3 (D)6。}

( )18. 設 10＜x＜100，且 logx3_{與logx 的尾數相同，則 x = (A)20 (B)10}

₂

_(C)30

(D)10 10。

( )19. a = log0.20.3，b = log23，c =log2030，比較 a、b、c 之大小 (A) a＞b＞c (B)c

＞a＞b (C) c＞b＞a (D) b＞c＞a。

( )20. 設 x + x–1_=3，則 2 2 2 3 3 + + + − − x x x x = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。 ( )21. 設y=2x與二直線y=1，y =4的交點為M 與 N，則

MN

的長為 (A)3 (B) 13 (C)2 (D)8。

( )22. 關於對數，下列何者不正確？ (A) log104＞0 (B) log0.54＜0 (C) log32＜1

(D) log0.30.2＜1。 ( )23. 已知 42x_{= 5，則} x x x x − − + + 2 2 2 23 3 之值為 (A) 5 5 4− (B) 5 5 5 6 − (C) 5 5 5 4+

( )24. 已知 log2 = 0.3010，n 為自然數，若 ( 0.4 )n_{＜0.01，則 n 之最小值為 (A)10} (B)9 (C)7 (D)6。 ( )25. 若 log10(x2–3x + 6)=1，則 x = –1 或 (A)4 (B)3 (C)2 (D)5。 ( )26. log2 = 0.3010，則( 5 1 )100_{小數點後第 (A)60 (B)68 (C)69 (D)70 位始不出} 現零。 ( )27. 設 a、b、c、d 為均大於零，且不為 1 的實數，則下列敘述何者不正確？ (A)

x

>

0

，函數 f x( )=log_cx為遞增函數 (B)log 1

log a b b a = (C)log log log log c d c d a a b = b (D)log 94 =log 278 。 ( )28. 設 a2 1 + a 2 1 − =4，則(a2 1 –a 2 1 − )2_{+3 之值為 (A)13 (B)15 (C)17 (D)19。} ( )29. ax+ a-x_{= 3，則} x x x x a a a a 2 2 3 3 − − + + 之值為 (A) 7 16 (B) 7 18 (C) 7 20 (D) 7 22 。

( )30. (log32+log94)(log43 +log29)得其值為 (A)1 (B)3 (C)4 (D)5。

( )31. 設 10 (1.4) a= ， 10 (1.3) b= ， 4 10 ( ) 3 c= ，則下列敘述何者正確？ (A)

b

> >

c

a

(B)

c

> >

b

a

(C)

a

> >

b

c

(D)

a

> >

c

b

。

( )32. 設a=log 56 ，b=log 87 ，c=log



，則 (A)

a

> >

b

c

(B)

a

< <

b

c

(C)

a

> >

c

b

(D)

a

< <

c

b

。

( )33. 若log 23 x>log (63 −x)，則x 值的範圍為 (A)

x

>

2

(B)

2

< <

x

6

(C)

x

<

6

(D)

x

>

0

。 ( )34. 設a=log 1211 ，b=log 1213 ， 1 11 log 12 c= ， ₁ 13 log 12 d = ，則下列敘述何者 正確？ (A)

d

< < <

c

b

a

(B)

d

< < <

c

a

b

(C)

c

< < <

d

a

b

(D)

c

< < <

d

b

a

。

( )35. 若 1 _{1 1}1 25x+ >5−x ，則x 的範圍為 (A) 1 3 x> − (B) 1 3 x< − (C)

x

> −

3

(D)

x

< −

3

。 ( )36. 設logx= −2.79，則 (A)

0.001

< <

x

0.01

(B)

0.01

< <

x

0.1

(C)

− < < −

3

x

2

(D)

100

< <

x

1000

。 ( )37. 若 a2x_{=3，a＞0，x 為實數，則} x x x x a a a a − − − − 3 3 = (A) 3 7 (B) 3 10 (C) 3 13 (D) 3 17 。

( )38. 化簡 log213+log425+3log37+log2

13 5

– (log213×log1325) = (A)0 (B)3 (C)5

(D)7。 ( )39. 設 x＞0，則 5 3 1 x x = (A)x 30 1 − (B)x30 _(C)x30 1 (D)x−30 。 ( )40. 設

0

<

a

<

1

，則對於 x a y= 圖形的描述，下列敘述何者錯誤？ (A)與 y 軸 交於(0, 1) (B)在 x 軸的上方 (C)由左而右逐漸上升 (D)與 x a y=(1) 的圖形 對稱於y 軸。

( )41. log9(log63)+log9(3+log38)之值為 (A)

2 1 (B)2 (C) –2 (D) – 2 1 。 ( )42. log4( 7+ 40 – 7− 40 ) = (A) – 2 3 (B) – 2 1 (C) 4 3 (D)1。

( )43. 已知log 2=0.3010和log3＝0.4771，則 log24＝ (A)1.3801 (B)3.8168 (C)3.612 (D)0.5044。

( )44. 設



、



為實數且

m

>

1

，若 f x( )=mx且f( )



=10，f( )



=20，則

( )

( )46. 問 log2

32 1

+log381+log5125= (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。

( )47. 方程式 2 3 x− × −4 3x 45=0的解 x= (A)9 (B)－5 (C)0 (D)2。 ( )48. 已知 ( ) 3x f x = ，若 ( ) 2f a = 且 ( ) 4f b = ，則 (f a+ =b) ？ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 ( )49. 下列何者為方程式 4 (2 −x x) =16之實數解？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。 ( )50. 若log3x+log3y=2，則 1 1 x+ y 之最小值為何？ (A)0 (B) 1 3 (C) 2 3 (D)1。

解答

01. D 02. C 03. B 04. D 05. D 06. D 07. A 08. A 09. A 10. B

11. B 12. B 13. A 14. A 15. A 16. A 17. B 18. D 19. D 20. C

21. B 22. D 23. B 24. D 25. A 26. D 27. A 28. B 29. B 30. D

31. D 32. D 33. B 34. D 35. B 36. A 37. C 38. D 39. C 40. C

41. A 42. C 43. A 44. A 45. D 46. C 47. D 48. D 49. A 50. C

範圍：第三章 排列組合

排列

重點一、相異物型的直線排列

1. 從 n 件相異物中每次取出 m 件

(n≥m>0)

排成一列之法為

pnm

=

！ ！ ) m n ( n −

2. 從 n 件相異物中全取排成一列之法為

Pnn =n！

(1) 相鄰的題目：將相鄰的部份視為一體後排列之，再乘以相鄰的

部份之內部排列。

(2) 不相鄰的題目(相間的題目)：不相鄰可用插入法解題。

(3) 數字排列的題目：

數字含有 0 時，注意 0 不可排首位。

奇數：末位排「奇數」。

偶數：末位排「0」或「非 0 偶數」。

 5 的倍數：末位排「0」或「5」。

(4) 反面解法：(□□)排法 + (不□□)排法 = (無限制)排法

重點二、含相同物型的直線排列、重複排列

1. 含相同物型的直線排列：

◎重點整理◎

則將此 n 件東西全取排成一列的排法共有

  ！ ！ ！ 2 1 m m n

2. 重複排列：

m 個相異物，分給 n 個人(每人可兼得，可不得)之分法：n

m

重點三、環狀排列

1. n 個相異物全取所作之環狀排列數為(n-1)！

2. 環狀排列中，若某些物已定坐，則其餘物的排列為直線排列

組合

重點一、不可重複的組合

1. 符號及公式：

(1)

n m n n m C C = ₋ ！ ！ ！ ) m n ( m n 1 2 3 ) 1 m ( m ) 1 m n ( ) 2 n )( 1 n ( n − = × × − + − − − =   

(2)

Cn_n =Cn₀ =1

，

C₁n =n

(3) 若

n y n x

C

C

=

，則 x = y 或 x + y = n

(4) 巴斯卡定理：

n n 1 n 1 m m 1 m C =C −₋ +C −

2. 不可重複的組合：

從 n 個不同物件中，每次取 m 個

(n≥m)

不同物為一組，稱之為 n 中

取 m 之組合，

(1)

由 n 個取 m 個，m 個中必含 r 個之組合：

n r r m C −₋

(2)

由 n 個取 m 個，m 個中必不含 r 個之組合：

n r m C −

(3)

至少含有一個的組合 = (任意組合) - (不含的組合)

註：平面上有 n 個相異點，設無任何三點共線，則可決定

n 2 C

條直線，

n 3 C

個三角形。

例：凸 n 邊形，共有

n 2 C −n

條對角線。

重點二、重複組合、組合總數

1. 重複組合：

(1)

重複組合之記法：

n( ) ) ( m

H

類件

或

) ( n ) ( m

H

不同同

⇒

1 m n m n m

C

H

=

+ −

(2)

重複組合之應用類型：



n m H

：表 n 類中，選取 m 件的方法數。



n m H

：表 m 件相同物，分給 n 個人的方法數。

註

n n m H ₋

：表 m 件相同物，分給 n 個人，每人至少得一件的方法

數。



n m H

：表 x

1

+ x

2

+ …… + x

n

= m 的非負整數解的組數。

註

n n m H ₋

：表 x

1

+ x

2

+ … + x

n

= m 的正整數解的組數。

2. 組合總數：

(1)

相異物之組合總數：

n 個不同物，任意選取(至少取一個)之方法為 2

n

-1

(2)

含有相同物之組合總數：

n 物中有 m

1

個相同，…，m

k

個相同，任意選取若干個(至少

取一個)之方法為(m

1

+1)(m

2

+ 1)(m

3

+ 1) … (m

k

+ 1)-1

重點三、二項式定理

n (x+y) = n n n r r n n n n 1 n n r 0 1 n r 0 C x −y C x C x −y C y (n N) = = + + + ∈

∑



1. (x + y)

n

展開式不同類項共有 n + 1 項

2. (x + y)

n

展開式之第 r + 1 項為

n n r r rx y C −

3.

(x+1)n =C₀nxn +C₁nxn−1+Cn₂xn−2 ++C_nn (n∈N)

註：

n n n n 2 n 1 n 0 C C C 2 C + + ++ =



C₀n −C₁n +Cn₂ −C₃n +=0



n n 1 4 n 2 n 0 n 5 n 3 n 1 C C C C C 2 C + + += + + += −



n n 1 n n 3 n 2 n 1 2C 3C nC n 2 C + + ++ = × −

精選試題

( ) 1. 某次考試共有 15 題，任選 10 題，但前 4 題必須要做答，問有幾種選法？ (A) 15 10 C (B)C15₄ (C)C10₄ (D)C11₁₀ (E)C 。11₆ ( ) 2. 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 C + +C C + +C C +C +C +C + =C (A)64 (B)128 (C)256 (D)512 (E)1024。 ( ) 3. 若 2 4 11 2 n n C + = ×C ，則 n= (A)4 (B)8 (C) 4− 或 8 (D)10 (E)10 或 13− 。 ( ) 4. 設(0.99)10_{乘開，小數點後第一、二、三、四位分別為a、b、c、d，則 a–b+c–d} 之值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。 ( ) 5. 書架上有 3 本不同的數學書，5 本不同的英文書，6 本不同的國文書，從書 架上，數學、英文、國文各取一本，有多少種不同的取法？ (A)14 (B)21 (C)63 (D)90 (E)180。 ( ) 6. 8 件相同的玩具分給 3 人，每人至少得一件的分法有 (A)21 (B)24 (C)40 (D) 5 3 (E)53 種。 ( ) 7. 由數字 0、1、2、3、4 可以組成多少個數字可重複的二位數？ (A)4 (B)16 (C)20 (D)25 (E)36。 ( ) 8. 如圖所示，共有多少個矩形？ (A)24 (B)48 (C)90 (D)120 (E)210 個。 ( ) 9. 「人人為我，我為人人」八字做直線排列，有幾種排法？ (A)8! (B) 8 8 (C) 8 4 C (D)210 (E)420。 ( )10. 甲、乙、丙、丁、戊、己六個人圍一圓桌而坐，甲、乙兩人要相鄰的坐法有 多少種？ (A)24 (B)48 (C)60 (D)120 (E)720。 ( )11. 在 9 1 x  ₋      之展開式中，x 3_{之係數為 (A)84 (B)36 (C)–36 (D)–84。}

( )12. 15 3 C +C₁₂15之值為 (A)455 (B)910 (C)15! 3! ×2 (D) 15! 3! + 15! 12!。 ( )13. (x2_+1)+(x2₊₁₎2_+……+(x2₊₁₎12_{展開式中，x}4_{項之係數為 (A)143 (B)286} (C)386 (D)486。 ( )14. 用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數（數字不可重複），則全部四位數之 總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770。 ( )15. 由(x–2y)10_{的展開式中，得x}6_y4_{的係數等於 (A)–3360 (B)960 (C)1920} (D)3360。 ( )16. 六對夫妻中選出 4 人，其中至少有 2 女的情形有幾種？ (A)240 (B)280 (C)300 (D)360。 ( )17. 用 10 元購買 1 元、2 元及 5 元的郵票，且 10 元全部用光，則購買方式有 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8 種。 ( )18. 10 1 C +C210+ 10 3 C +……+C1010= (A)1023 (B)1024 (C)2048 (D)2047。 ( )19. 用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票，每一種郵票至少買 1 張，100 元 全部用完，則購買方法有 (A)16 (B)20 (C)27 (D)35 種。 ( )20. 由 n 個不同的事物，每次選取 r 個作直線排列的排列數為 n r P ，若 n P32 =28 × n P2 ，則 2 3 + n P = (A)60 (B)120 (C)210 (D)336。 ( )21. 若 a>0 且已知 6 2 1 ax x  ₊      展開式中常數項為240，則 a= (A)2 1 (B)1 (C)2 (D)3。

( )22. A、B、C、D、E……等 8 人排成一列，規定 A、B、C 必須相鄰，但 D、E 不 得相鄰，其排法有 (A)3600 (B)3240 (C)2880 (D)2160 種。

( )24. 若自用小客車的車牌號碼，前兩位是大寫英文字母，後四位為數字，如 AB-1234，試問這樣的車牌號碼共有幾個？ (A)6760000 (B)6500000 (C)3250000 (D)3276000。 ( )25. 由甲、乙、……等 10 人中，選出 5 人作直線排列，則必含甲且不含乙的排 法有 (A)8400 (B)7860 (C)7560 (D)7200 種。 ( )26. 一房間有 5 個門，若規定進出不可由同一門，則共有多少種不同的進出方 式？ (A)9 (B)20 (C)625 (D)1024。

( )27. (x+y)n_{展開式中，第8 項與第 18 項的係數相同，則(x+y)}n_{展開後共有 (A)26}

(B)25 (C)24 (D)23 項。 ( )28. 已知 10 2 a x x  ₋      展開式中，x 11_{的係數為–960，則 a 值為 (A)6 (B)4 (C)3} (D)2。 ( )29. 設 n、r 為自然數，r ≤ n，若 n r P =720，C_rn=120，則 n+r = (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。 ( )30. 若 12 1 − m C =C122m+4，則 12 m C 之值為 (A)66 (B)120 (C)220 (D)495。 ( )31. 7 個人作直線排列，但其中 A 不得排首、末，則排法共有 (A)3600 (B)3840 (C)4320 (D)4680 種。 ( )32. 10 3 P + 5 4 P = (A)840 (B)810 (C)780 (D)750。 ( )33. 將蘋果、梨子、芭樂 3 種水果，選 7 個裝在水果籃中，共有幾種裝法？ (A)24 (B)30 (C)36 (D)40。 ( )34. 若 2 4 + n P ： n P32 =3：2，則 n= (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。 ( )35. 學校福利社賣 3 種飲料：牛奶、果汁、咖啡，高二勇班 35 位同學一起前往 福利社。若已知至少有3 人想喝咖啡，至少有 2 人不想喝任何飲料，問福利 社阿姨可端出幾種情形？ (A)3486 (B)4864 (C)5456 (D)6278。

( )36. 用 0,1,2,3,4 五個數字排成三位數（數字不可重複），則全部三位數之總和為 (A)15660 (B)14400 (C)12990 (D)12600。 ( )37. 方程式 x+y+z+w=3 有多少組非負整數解？ (A)12 (B)18 (C)20 (D)24。 ( )38. 由一樓上二樓的樓梯共有 7 階，某人以每步踏 1 階或至多 2 階上樓，共有 幾種走法？ (A)17 (B)21 (C)19 (D)23。 ( )39. 8 件相同的玩具分給甲、乙、丙 3 人，每人至少得 1 件，則方法有 (A)56 (B)42 (C)36 (D)21 種。 ( )40. 「庭院深深深幾許」七個字重新排列，三個「深」字不完全連在一起的排法 有 (A)520 (B)720 (C)840 (D)1200 種。 ( )41. (x+y+z+u)10_{展開後，共有 (A)432 (B)378 (C)360 (D)286 個不同的項。} ( )42. 3 個相同的棒球、4 個相同的網球、5 個相同的桌球，全部分給甲、乙、丙 3 人，若每人至少得1 球，方法有 (A)2973 (B)2793 (C)2739 (D)2379 種。 ( )43. 由一樓上二樓的樓梯共有 10 階，某人以每步踏 1 階或 2 階上樓，則全部方 法有 (A)78 (B)82 (C)86 (D)89 種。 ( )44. 從跳棋中取出 8 個棋子，其中紅色有 3 個，黃色有 3 個，綠色有 2 個，將 8 個棋子排成一列，共有幾種不同的排法？ (A)420 (B)560 (C)840 (D)1200。 ( )45. 某發報器長鳴一次 3 秒，短鳴一次 1 秒，相鄰兩鳴放時間為 2 秒，則前後 30 秒的時間，可發出幾種不同的信號？ (A)80 (B)70 (C)60 (D)50。 ( )46. 將 7 件不同的禮物按 3、2、2 任意分給 3 個人，則全部給法有 (A)1260 (B)840 (C)630 (D)420 種。 ( )47. 6 件不同的禮物分給甲、乙、丙 3 人，其中 1 人得 1 件、1 人得 2 件、另 1 人得3 件，則全部方法有 (A)480 (B)360 (C)120 (D)60 種。 ( )48. 三位數（正整數）中，末位數為 6 者，共有若干個？ (A)89 個 (B)90 個

( )49. 用紅、白、黃……等 7 顆不同色的珠子串成一項圈（項圈可翻轉），則紅、 白珠子不相鄰的串法有 (A)720 (B)480 (C)360 (D)240 種。

( )50. 5 朵不同顏色的花，作成一花圈，其作法共有幾種？ (A)8 (B)10 (C)12 (D)24。

解答

01.

E 02. C 03. D 04. B 05. D 06. A 07. C 08. E 09. E 10. B

11.

D 12. B 13. B 14. C 15. D 16. D 17. B 18. A 19. A 20. B

21.

C 22. C 23. A 24. A 25. A 26. B 27. B 28. D 29. B 30. C

31.

A 32. A 33. C 34. D 35. C 36. C 37. C 38. B 39. D 40. B

41.

D 42. B 43. D 44. B 45. A 46. C 47. B 48. B 49. D 50. D

範圍：第四章 機率與統計

機率

重點一、古典機率、條件機率

1. 拉普拉斯(Laplace)的古典機率：

設 S 為樣本空間，若

A⊂S

為一事件，則事件 A 發生機率為

) S ( n ) A ( n ) A ( P =

，n(A)為 A 的元素個數，n(S)為 S 的元素個數。

2. 機率的性質：

(1)

若

A⊂S

為一事件，則

P(A′)=1−P(A)

。

(2)

機率的加法性：若 A、B 為 S 的二事件，則

) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P  = + − 

3. A 和 B 同時發生的機率

P(AB)

：

)

A

B

(

P

)

A

(

P

)

B

A

(

P



=

⋅

｜

重點二、獨立事件

設 A，B 為樣本空間 S 的任二事件，若

P(AB)=P(A)⋅P(B)

，則稱 A，B

為獨立事件，

否則為相關事件。

註：若 A，B 為獨立事件，則下列事件亦為獨立事件

A 與

B′



A′

與 B



A′

與

B′

重點三、重複試驗、期望值

1. 重複試驗：

若某事件發生的機率為 P，則 n 次重複此試驗

(1)

恰好出現 r 次發生的機率為

n r n r rP (1 P) C − −

◎重點整理◎

(3)

至少出現 r 次發生的機率為

n k n k k k r C P (1 P) − = −

∑

2. 期望值：

設事件 A

k

發生的機率為 P

k

，若事件 A

k

發生可得 m

k

(元)，

則期望值

= ⋅P m_{1 1}+ ⋅P m_{2 2}++ ⋅P_k m_k +

(元)

統計

1.資料整理與圖表編製

母群體與樣本

1. 統計的意義 統計學：是在面對不確定的狀況下，能協助我們作出明智決策的一種 科學。 統計方法：統計方法是一種蒐集資料、整理資料、分析資料，並依據 分析之結果，加以解釋或推論的科學方法 。 統計所研究的是有關於全體不確定現象的通則，而非個別事件發生的 結果。 2. 母群體、樣本與抽樣 母群體：指我們所要研究對象的全體 ，稱為母群體。 樣 本：指全體研究對象中被抽出的某一部分，稱為樣本。 抽 樣：指抽出所需樣本的全部過程 ，稱為抽樣。

2.次數分配表

1. 次數分配表的編製 將所有資料做有系統（大小）的排列，再以表格表示出其次數的分布狀 況，此種統計表稱為次數分配表。其編製方法依資料分類分為下列二種：

連續型資料：製作分組次數分配表的步驟如下： 求全距(

R

)： 統計資料中最大數值與最小數值之差 ，稱為全距，即 全距(

R

)=最大數值

−

最小數值。 定組數： 將統計資料進行分 類 ， 叫做分組 ； 分組 的 數目叫做組數 。 分 組 組 數過多或過少均不 宜 ， 若組數過多 ， 資 料 會分的太散 ， 無法 顯 現 資料集中的趨勢 ， 若 組數過少 ， 又無法 顯 現資料散布的特性 ， 故 通常分 7～15 組為適當，而定組數的方法亦可由下公式求出。 組數 1 3.3 log n= + （

n

表全部資料總數） 定組距： 指每一個分組的區 間 長度 ， 叫做該組的 組 距 。 一般常用相同 的 組 距分組，而組距可取全距除以組數的近似值。即組距≒ 全距 組數。 定組限： 每一組上下兩端的 界 限 ， 稱為該組的 組 限 ， 數值較大的組限 叫 做 上限，數值較小的叫做下限，而上限與下限的平均數稱為 組中點。 在訂定組限時 ， 務 必 使最小一組的下限 小 於或等於實際資料 的 最 小值，而使最大一組的上限要大於或等於實際資料的最大值 。 附 註 ： 相 鄰 兩 組 中 ， 若 前 一 組 的 上 限 等 於 後 一 組 的 下 限 時 ， 一 般 採 用 各 組 含 下 限 但不 含 上限 的 規則。 例 10～ 20 這 一 組的 範 圍， 若 以 x的 不 等式 表 示即為10≤ <x 20。 例 若資料分組為：第一組 10～20，第二組 20～30，…，最後一 組 90～100，則表示第一組的下限為 10，上限為 20，組中點為 15，但數值資料 20 屬於第二組，另數值資料 100 則屬於最後 一組。 歸類劃記： 將每一筆資料分類填入其所對應的組內，通常以「正」字或「 」 表之，以便計算。 計算次數：

歸類劃記之後，計算各組次數。

3.次數分配曲線圖

1. 常用的統計圖 長條圖：利用分隔的長條，並以長條之長短來表示各分類資料次數的 分布情形，此稱為長條圖，一般而言，適用於表示 離散型資料分布。 直方圖：一種用來表示分組後各組數值分布的圖形，圖中長方形的高 度即表示該組的次數。 次數分配曲線圖：依序將直方圖中的中點以線段連接，就形成一個折 線圖，稱為次數分配折線圖。通常我們假設全部資料共分成

k

組，而 且各組的組中點依序為x 、₁ x 、₂ x 、…、₃ x ，其所對應的次數分別_k 為 f 、₁ f 、₂ f 、…、₃ f ，依此可在坐標平面上標出_k (x₁,f 、₁) (x₂, f₂)、 3 3 (x ,f )、…、 (x_k, f_k)等

k

個點，同時可設想在折線圖左右兩端（即 第一組前面和最後一組之後 ）各加一組次數均為 0 的資料，其組中點 分別為(x₁−d₁, 0)、 (x_k+d_k, 0)，d 、₁ d 分別為最小一組及最大一組的組_k 距 ， 最後再依 序將此k+2個點連接 ， 所 得之折 線圖 ， 稱為 次 數分配 曲線圖。 直方圖 次數分配 曲線圖

1. 累積次數分配表 以下累積次數分配表 在次數分配表中，從各組的次數最小一組，逐一向次數較大一組依序 累積至最大一組，並分別將累積後的數值記入所對應的組內，所得即 為「以下累積次數分配表」。 以上累積次數分配表 若改由各組的次數最大一組，逐次向次數較小一組依序累積至最小一 組，並分別將累積後的數值記入所對應的組內，所得即為「以上累積 次數分配表」。如下表所示： 組 別 次 數 以下累積次數 以上累積次數 1 L ～U₁ 2 L ～U₂  k L ～U_k 1 f 2 f  k f 1 f 1 2 f + f  1 2 k f + + +f  f 1 2 k f + + +f  f 2 k f + + f  k f 總 計 n 上表中U₁ =L₂，U₂ =L₃，…，U_k−1 =L_k。 2. 累積次數分配曲線圖 將累積次數分配表的分配情形，以曲線圖的方式呈現出來，稱之為累積 次數分配曲線圖。畫法有下列二種： 以下累積次數分配曲線圖 以各組的「上限」為橫坐 標，各該組對應的「以下 累積次數」為縱坐標，定 出各點位置後，將各對應 點 連 同 最 左 端 的 點( , 0)L₁ 一起連接起來，即得「以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖」。 以上累積次數分配曲線圖

5.相對累積次數分配表與相對累積次數分配曲線圖

以下累積次 數分配圖 Ll Ul U2 U3 ... Uk n f1 f1+f2 f1+ +f2 f3 ... .. .

1. 相對次數是為了讓我們進一步了解百分比分配狀況，所以相對次數分配 是指各組次數占總次數的比例 。相對次數 =各組次數×100% 總次數 。 2. 相對次數分配表：分組整理後，算出各組的相對次數而製成的表稱之為 相對次數分配表。 3. 相對累積次數分配表：將相對次數依「以上累積」或「以下累積」，可 得「以上累積相對次數分配表」及「以下累積相對次數分配表」。 4. 相對 次 數 分配 曲 線 圖 ： 將 各 組 相對 次 數 與 各組 中 點 所對 應 的 點 依序描 點，再依序連接各點後所得的圖形。 5. 相對累積次數分配曲線圖：將各組的相對累積次數點到該組上限或下限所對 應的點，再依序連接各點所得到的圖形則稱之以上（以下）相對累積次數分配曲 線圖。

精選試題

( ) 1. 設A= ，B= ，則n A

(

∩B

)

= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (E)50。 ( ) 2. 設A= ，B= ，n A

(

−B

)

= (A)7 (B)20 (C)21 (D)24 (E)31。 ( ) 3. 一粒公正的骰子丟二次，二次的點數和恰為 10 的機率為 (A) 1 36 (B) 1 12 (C)1 9 (D) 1 6 (E) 1 4。 ( ) 4. 擲一均勻的硬幣二次，每出現一次正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得 總額的期望值為 (A)3 (B)7 2 (C)4 (D) 9 2 (E)5 元。 ( ) 5. 袋中有大小相同的 3 紅球、5 白球，任意取 2 球，2 球均為白球的機率為 (A) 5 14 (B) 5 21 (C) 7 56 (D) 9 56 (E) 11 72。 ( ) 6. 賭神高進投擲一個骰子兩次，若其樣本空間為 S，則 n(S)＝ (A)2 (B)6 (C)18 (D)36。 ( ) 7. 擲三枚公正的硬幣，若出現 x 個正面，則可獲得 2x 元，若皆未出現正面則 輸8 元，則期望值為 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 元。 ( ) 8. 設 A={1,2,3,4,5}、B={3,5,7}、C={2,7}，則下列敘述何者錯誤？ (A)A–B ={1,2,4} (B)A∪B ={1,2,3,4,5,7} (C)B∩C ={7} (D)A∩(B∪C) = {1,2,3,5}。 ( ) 9. 憲哥自四件不同顏色的運動褲之中挑選其中兩件，若其樣本空間為 S，則 n(S) ＝ (A)2 (B)4 (C)6 (D)12。 ( )10. 10 個燈泡中有 4 個是壞的，今從這 10 個燈泡中任意取出 2 個，則含有壞燈 泡的機率是 (A) 2 15 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 4 5 (E) 5 6。 ( )11. 袋中有大小相同的紅球 4 個，黑球 5 個，白球 3 個，自袋中一次取一球， 取二次，取出不放回，則二球同色的機率為 (A) 3 11 (B) 8 11 (C) 8 33 (D) 17 66 (E)19 66。

( )12. 有一集合 A，其元素為自然數，且若 x∈A，則 10–x∈A，則下列敘述何者不 正確？ (A)集合 A 不可能只有 1 個元素 (B)集合 A 可能只有 1 個元素 (C) 集合A 可能只有 2 個元素 (D)集合 A 可能只有 4 個元素。

( )13. 設 A 、 B 為二事件，若機率

( )

1 2 P A = ，

( )

' 2 3 P B = ，

(

)

1 4 P A∩B = ，則

(

)

P A∪B = (A)1 3 (B) 7 12 (C) 5 6 (D) 11 12 (E) 13 12。 ( )14. 從 1 到 100 之自然數中，任取一數它不是完全平方數，也不是完全立方數 的機率為 (A)14 100 (B) 86 100 (C) 88 100 (D) 90 100 (E) 91 100。 ( )15. 擲四枚公正的硬幣一次，每出現一個正面可得獎金 20 元，每出現一個反面 則須付10 元，則其數學期望值為 (A)10 (B)15 (C)20 (D)25 元。 ( )16. 設 A={1,{2,3},4,5}，則下列敘述何者正確？ (A)2∈A (B){2,3}∈A (C)A 含有

5 個元素 (D){4,5}∈A。 ( )17. 設某燈泡工廠生產了 1000 個燈泡，其中含有 8 個不良品，今從中隨機取出 200 個燈泡，則含不良品的數學期望值為 (A)1.6 (B)2 (C)2.4 (D)3。 ( )18. 設袋中有 10 個球，分別為 1、2、3、……、10 等號碼，自袋中任取 3 球， 則此三球中數字最大者為8 的機率為 (A)1 5 (B) 7 10 (C) 10 27 (D) 7 40。 ( )19. 一筒中裝有 1 號籤 1 枝、2 號籤 2 枝、3 號籤 3 枝、……、10 號籤 10 枝， 今由筒中任抽出1 枝籤，若抽得 r 號籤可得 r 元（r=1,2,……,10），則抽出 1 枝籤獲得的期望值為 (A)7.5 (B)7 (C)6.4 (D)6 元。

( )20. 設 A={1,2,3,4}，B={(x,y)|x=y，x、y∈A}，試問 B 中有幾個元素？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。

( )21. 已知 A={1,2,3,4,5,6}、B={4,5,6}、C={1,3,5}，則(A∩B)∪(B–C)= (A){4,6} (B){4,5,6} (C){1,4,6} (D){3,5,6}。

( )22. 設 A={(t,t–4)|t 為實數}、B={(2–t,t)|t 為實數}，則 A∩B= (A){(1, –3)} (B){(–3,5)} (C){(–1, –5)} (D){(3, –1)}。 ( )23. 同時擲五個公正的硬幣一次，每出現一個正面可得獎金 10 元，則作此試驗 獲得的期望值為 (A)20 (B)21 (C)24 (D)25 元。 ( )24. 設袋中有一元、五元、十元、五十元硬幣各一枚，問小蓮從袋中任取一個硬 幣之數學期望值為多少元？ (A)16.5 (B)16 (C)15.5 (D)15。 ( )25. 一袋中有 5 個紅球、7 個白球，由其中一次取出 3 球，則其為 2 紅球 1 白球 的機率等於 (A) 132 7 (B) 35 2 (C) 22 7 (D) 11 7 。

( )26. 設 A={x–1,y–2}，B={2y+1,3–x}，若 A=B，則 x+y= (A)5 或–1 (B)3 或–2 (C)1 或–5 (D)2 或–3。

∪C)= (A){2,3,6,9} (B){1,3,9} (C){2,4,6} (D){1,3,6,9}。 ( )29. 設A=

{ }

0,1 ，則下列何者錯誤？ (A)∅ ∈A (B) 0 A∈ (C)∅ ⊂ A (D)

{ }

0 ⊂A (E)

{ }

0,1 ⊂A。 ( )30. 五對夫婦圍一圓桌而坐，求夫婦相鄰且男女相間的機率為 (A)24 10! (B) 48 9! (C)48 10! (D) 24 9!。 ( )31. 甲、乙各擲一個公正的骰子，則甲的點數小於乙的點數的機率為 (A)1 2 (B)1 3 (C) 1 4 (D) 5 12。 ( )32. 某職棒球員之打擊率為 3 成，求此球員 5 次打擊，打中 3 次之機率為 (A) 5 3 2 3(0.3) (0.7) C (B)C35(0.7)3(0.3)2 (C) 2 3 3 5(0.3) (0.7) C (D) 3 3 2 5(0.7) (0.3) C 。 ( )33. 在邊長為 6 的正三角形內部任取一點 P，則 P 到三頂點的距離大於 3的機 率為 (A) 18 3 12−



(B) 18 3 15−



(C) 18 3 18−



(D) 9 3 9−



。 ( )34. 自 1 至 13 的自然數中，任取相異三數，則三數成等差的機率為 (A) 18 143 (B) 35 143 (C) 49 143 (D) 58 143。 ( )35. 某人投籃平均每五次投中三次，設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率 大於0.999，則 n 之最小值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。（已知log2=0.3010） ( )36. 某公司要進用一名職員，若甲被錄取之機率為1 3，乙被錄取之機率為 1 4，甲、 乙被錄取與否互不影響，則甲或乙被錄取之機率為 (A) 1 12 (B) 1 6 (C) 5 12 (D)1 2 (E) 7 12。 ( )37. 設 A、B 為二獨立事件，

( )

1 2 P A = ，

(

)

2 3 P A∪B = ，則P B

( )

= (A)1 4 (B) 1 3 (C)2 3 (D) 1 5 (E) 1 6。 ( )38. 投擲兩粒公正的骰子，在出現點數和為 8 之條件下，其中有一粒為 4 點的 機率為 (A) 1 (B)1 (C)1 (D) 1 。

( )39. 今有摸獎彩券總共 100 張，其中 10 張可得獎，每張彩券被抽出的機率相同， 若由甲先抽，乙後抽，則甲乙2 人何者中獎機率較高？ (A)甲 (B)乙 (C) 一樣 (D)不一定。 ( )40. 王家有 2 男 1 女三個小孩，陳家有 1 男 3 女四個小孩，今任意抽選一家並 從這家挑出一個小孩當花童，假設每一家被選中的機會均等，且每一家中小 孩被選中的機會均等，求被選出的小孩為男孩的機率為 (A)17 24 (B) 13 24 (C)1 2 (D) 11 24。 ( )41. 當 繪 製 以 上累 積 次 數 分 配曲 線 圖 時 ， 各 組 的 橫 坐標 應 為 該組 之 (A) 組中點 (B) 組距 (C) 上限 (D) 下限 ( )42 .設一組數值資料x1、x2、x3、x4的算術平均數為k，則數值資料20x1−5、 2 20x −5、20x3−5、20x4−5的算術平均數為 (A) k (B) 20k−5 (C) 5 k− (D) 20k ( )43. 設隨機抽樣5 上巿公司，某日其股巿收盤價分別為 88、26、65、75、16 元， 則收盤價的樣本標準差約為多少元？ (A) 31.41 (B) 32.5 (C) 33.4 (D) 35.65 ( )44. 有15 數值資料如右：12、15、18、12、18、12、13、10、18、17、10、 12、19、20、19，若算術平均數為

a

，中位數為b，眾數為

c，則

a b c+ + = (A) 39 (B) 40 (C) 41 (D) 42 ( )45. 已知一筆資料如下：1、2、2、3、4、5、5、6、

x

、y，而且此筆資料的 算術平均數是4，則x+ =y (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 ( )46. 已知一組母群體資料為20、25、26、25、26，試求母群體的平均數為 (A) 24 (B) 24.2 (C) 24.4 (D) 24.6。 ( )47. 設有六個數如右：1、3、2、4、3、5，則其算術平均數為 (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5。 ( )48. 若基於經濟原則，欲調查小學生患近視的情形，其適當的抽樣方法為 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 部落抽樣 (D) 分層隨機抽樣。 ( )49. 某高一新生編班採常態分班，今想要了解一年級新生入學時的數學能力， 在舉辦完高一始業考後，從該年級中任選取一個班級進行普查，試問這種 抽樣方式是何種抽樣方式？ (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層 隨機抽樣 (D) 部落抽樣。 ( )50. 已知有10 個數據為：10 , 40 , 40 , 50 , 65 , 75 , 100 , 90 , 80 及 x。若它們的 中位數為60，則

x

=

？ (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65。

解答

01. B 02. A 03. B 04. A 05. A 06. D 07. B 08. D 09. C 10. B 11. E 12. A 13. B 14. C 15. C 16. B 17. A 18. D 19. B 20. D 21. B 22. D 23. D 24. A 25. C 26. A 27. B 28. C 29. A 30. B 31. D 32. A 33. C 34. A 35. D 36. C 37. B 38. B 39. C 40. D 41. D 42. B 43. A 44. D 45. C 46. C 47. C 48. A 49. D 50. B