94指考數學乙

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九十四學年度指定科目考試試題

數學乙

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。修

正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選擇

題答案卷」，請在規定之欄位以黑色或藍色筆作答，並於題號欄標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（ 一 ）

選 擇 題 ： 只 用

1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 等 五 個 格 子 ， 而 不 需 要 用 到

 ，  ， 以 及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單一選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為

7，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10

列的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題

的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

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第壹部分：（77%）

一、單一選擇題（16%）

說明：第 1、2 題為單一選擇題，選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」。

每題答對得 8 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 2 分；倒扣到本大題之實得

分數為零分為止。未答者，不給分亦不扣分。

1. 設一 地球 儀的 球心 為空 間坐 標的 原點 ，有 兩個 城市 的坐 標分 別為 A( 1, 2, 2), B( 2,- 2, 1) 。 假 定 地 球 為 半 徑 等 於 6400 公 里 的 圓 球 ， 試 問 飛 機 從 A 城 市 直 飛 至 B 城 市 的 最 短 航 線 長 最 接 近 下 列 那 一 個 選 項 的 值 ？ (1) 8000 公里 (2) 8500 公里 (3) 9000 公里 (4) 9500 公里 (5) 10000 公里 2. 下列五個直方圖表示的資料，何者之標準差最大？ (1) ( 2) ( 3) 10 12 20 28 30 50 40 30 50 10 60 10 24 20 56 30 100 40 60 50 20 60 20 12 30 28 40 50 50 30 60 10 70 (4) ( 5) 10 12 20 28 30 50 40 30 50 5 60 5 70 30 40 40 50 50 40 60

-1-二、多重選擇題（16%）

說明：第 3、4 題，每題各有 5 個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選

項，劃記在答案卡之「解答欄」。各選項獨立計分，每答對一個選項，可得 1.6

分；每答錯一個，倒扣 1.6 分；完全答對得 8 分；整題未答者，不給分亦不扣

分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣 1.6 分。倒扣到本大題之實得分數

為零為止。

3. 定 義 一 組 資 料 的 第 一 十 分 位 數 w₁為 『 至 少 有 ( 含 )

1

10

的 資 料 不 大 於 w1， 且 至 少 有 ( 含 )

9

10

的 資 料 不 小 於w1』 ， 試 問 下 列 敘 述 何 者 為 真 ？ (1) 任一組資料都恰有一個第一十分位數 (2) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 乘 以 5 ， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 乘 以 5 也 會 是 新 資 料 的 第 一 十 分 位 數 (3) 若 將 原 資 料 每 個 數 據 分 別 加 5 ， 則 原 資 料 的 第 一 十 分 位 數 加 5 也 是 此 新 資 料 的 第 一 十 分 位 數 (4) 若 有 A, B 兩 組資 料其 第一 十分 位數 分別 為w_A,w_B， 則w_A+w_B 也 是此 兩組 資料 合併 成 一 組 後 的 第 一 十 分 位 數 (5) 任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數 4. 試問在坐標平面上，下列有關拋物線的敘述 哪些是正確的？ (1) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線， x +y =0 為對稱軸。 (2) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線，頂點是 ( 1, 1) ，焦點是 ( 1, 2) 。 (3) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線，焦點是 ( 2, 2) ，且通過 ( 3, 3) 。 (4) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線，且通過 ( 3, 3) , ( -3, 4) 。 (5) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線， y 軸為對稱軸，且通過 ( 3, 3) ,( - 3, 3) 。

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三、選填題（45%）

說明：A, B, C, D, E 各題為選填題，劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(5-21)內。

每一題完全答對得 9 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A . 如 圖 所 示 設 一 正 立 方 體 的 中 心 為 O ， 而 A, B 為 此 正 立 方 體 同 一 面 上 的 兩 個 對 頂 點 ， 則 c os∠AOB = 。 ( 以最簡分數表示 )

B . 下圖是從事 網路工 作者經常用來解釋網路運 作的蛇形模型 ： 1 2 3 6 7 15 5 8 14 4 9 13 10 12 11 數 字 1 出 現 在 第 1 列 ； 數 字 2, 3 出 現 在 第 2 列 ； 數 字 6, 5, 4( 從 左 至 右 ) 出 現 在 第 3 列 ； 數 字 7, 8, 9, 10 出 現 在 第 4 列 ； 依 此 類 推 。 試 問 第 99 列 ， 從 左 至 右 算 ， 第 67 個 數 字 為 。

-3-5 6

7

A B O

8 9 10 11

C . 設₁₀ 4 _{的 所 有 正 因 數 的 乘 積 為 n，則 log n= 　　　　 。} D . 小 明 玩 戰 爭 網 路 遊 戲 ， 在 螢 幕 上 有 一 坐 標 平 面 ， 飛 機 P 以 等 速 直 線 前 進 ， 在 坐 標 ( -12,4) 的 位 置 被 發 現 ， 經 過 1 秒 後 到 達 坐 標 (-10,4) ，再 經 1 秒 後， 小 明 從原 點 選一 方 向 發 射 一 飛 彈 R ， 假設 R 也以 直線 前進 且速 率 跟 P 相同 ， 而 且 R 剛 好擊 中 P。 試求 R 擊中 P 時的坐標 (a, b)為 。 E. 一 實 驗 室 培 養 兩 種 菌 ， 令 an 和 bn 分 別 代 表 兩 種 培 養 菌 在 時 間 點 n 的 數 量 ， 彼 此 有 如 下 的 關 係 ：an12(anbn), bn12bn (n0,1, 2, ). 若 二 階 方 陣

A=













　

　

a b

c d

滿 足 3 3

=A

 





 





 





 

n n n n

a

a

b

b

， ( 其 中 n=0, 1, 2,…)， 則 a= 　 　 ， b= 　 　 　 ， c =　　，d=　　。

( , )

14 15 16

12 13

17

20

21

18 19

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第貳部分：（23%）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號

（一、二）與子題號（1、2），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。

每題配分標於題末。

一、某 銀 行 檢 討『 一 年 期 20 萬元的小額急用貸款，一年後 還款 21 萬元』的申請資格。過去幾 年 的 記 錄 顯 示 ： 申 辦 此 項 貸 款 者 一 年 後 只 有 依 約 還 款 21 萬 元 與 違 約 不 理 (1 元 都 不 還 ) 兩 種 情 形 ， 沒 有 還 一 部 分 錢 等 其 他 情 形 發 生 ； 且 發 現 會 還 錢 或 不 會 還 錢 者 與 其 年 收 入 有 關 ， 兩 者 的 累 積 次 數 分 配 部 分 圖 形 如 下 ： ( 1) 一個年 收入 30 萬元以下的 貸款者，會 還錢的機率為何？ ( 4 分) ( 2) 銀行貸款 給一個年 收入 30 萬元以下的 客戶，銀行的獲利期望值為多少 元？ ( 6 分) 二 、 根 據 過 去 長 期 統 計 資 料 顯 示 ： 某 公 司 推 銷 員 的 年 資 x ( 年 ) ， 與 每 次 推 銷 成 功 的 機 率 y ( x )，滿足下列關 係式： 3 3

2

( )

1 2

x x

y x

   





( 1) 化簡 r ( x )＝ ) ( 1 ) ( x y x y  ， 並 說 明 r( x )的值隨 x 增大而增大( 即 r(x ) 為遞增函 數)。 (6 分) ( 2) 說明年資 8 年(含) 以上的 推銷員 ，每次推銷 不成功的機率小於 4% 。( 7 分) -5-200 400 600 800 1000 1200 10 20 30 40 50 60 10000 20000 30000 40000 50000 60000 10 20 30 40 50 60 不會還錢 38100 32200 29250 17400 10000 4600 900 800 750 600 500 400 會還錢 累 積 人 數 累 積 人 數 年收入( 萬元 ) 年收入( 萬元 )