A
p
B
C
D
4 2
5 2
3
中學生通訊解題第十七期參考解答
台北市立建國高級中學 數學科
問題編號 901701如圖,設正方形 ABCD 內部有一點 P 滿足(=3,(=4,( =5,
試求正方形 ABCD 的面積。
參考解答:
如圖,作△AED
APB 所以EAP=90˚且△AEP 為等腰直角三角形 可得(=3 且AEP=45, 又在△DEP 中,E=90˚, 所以AED=135˚ 可得(=(=,(= 所以(=(2+(2= 面積(2=65 解題重點:本題的解法有以下幾種類型: (1) 直接用代數法,取未知數,但要用到四次式,所以有點辛苦。 (2) 利用”旋轉”的概念(高中幾何學),但是在解邊長時,大部分 同學 使用了餘弦定理(最好會證明),亦可利用等腰或延長線取高之國 中作法。 (3) 利用”旋轉”,並求出”正方形的面積=4 個三角形之面積或 3 個 三 角形之面積”,但 E、C、F 三點共線未證者則無法獲得滿分。 評析:(1)答題優良者:本題答題優良者眾多,得到滿分者一共有 33 人,詳細答 題情況已公布上網,可直接上網查詢。 (2)本題答題人數共 50 人,平均得分為 5.94 分,得分率為 85%。 問題編號 901702
A
p
B
C
D
4 2
5 2
E
F
3
若 a1,a2,….,a2001為 2001,2002,2003,….4000,4001 的任意一種重新排列,試求證
(1)(2001a1)
(2002a2)
(2003a3)
…..
(4001a2001)為偶數 。(2)(1a1)
(2a2)
(3a3)
…..
(2001a2001)亦為偶數。參考解答:
(1)假設(2001a1)
(2002a2)
(2003a3)
…..
(4001a2001)為奇數則(2001a1)、(2002a2)、(2003a3)、….. (4001a2001)皆為奇數
但奇數個(共有 2001 個)奇數其和亦為奇數
然而(2001a1)+(2002a2)+(2003a3)+…..+(4001a2001)
=(2001+2002+…..+4001)(a1+a2+….+a2001)=0 與其和為奇數產生矛盾
故假設錯誤
所以(2001a1)
(2002a2)
(2003a3)
…..
(4001a2001)為偶數(2)假設(1a1)
(2a2)
(3a3)
…..
(2001a2001)為奇數,則(1a1)、(2a2)、(3a3)、….. (2001a2001)為 2001 個奇數,
但(1a1)+(2a2)+(3a3)+….+ (2001a2001)
=(1+2+3+…+2001)(a1+a2+….+a2001)
=(1+2+3+…+2001)(2001+2002+….+4001)
==2001
(10013001)=1000
2001 與奇數產生矛盾 故假設錯誤所以,(1a1)
(2a2)
(3a3)
…..
(2001a2001)為偶數。解題重點:瞭解奇數和偶數的性質,並利用反證法及鴿籠原理作證明。 評析:(1)大部分的同學都知道用反證法及鴿籠原理,但能清楚地寫出證法者並 不多。 (2)答題優良者:台北市民生國中呂信儀同學、台北市民生國中邱莉婷同 學、台北縣新莊國中吳之堯同學、高雄縣鳳西國中葉仲恆同學。 (3)本題答題人數共 55 人,平均得分為 5.04 分,得分率為 72%。 問題編號 901703
平面上有 9 個點,現在要將它們排成三行,要求每行恰好有 4 個點,如圖所示, 就是兩種不同的排列方法。 (1)請儘量舉出不同的的排列方法。 (2)在你舉例的過程中,你是否發現什麼規律? 而能將所有的排列方式找出來。 參考解答: (1)可再舉出一些排列的方式,如下圖: (2)觀察上面的圖形,可以發現上面每一個圖形都存在一個三角形,其中這些三角 形的邊上都各有一些點(頂點一定算一點),因此我們將這樣的三角形稱為基本 三角形,假設基本三角形各邊上分別有 a,b,c 個點,其中(abc),因為只有 9 個點,因此 2a,b,c4,現在用(a,b,c)表示基本三角形的型式:我們可以找出 10 種如下所示: (2,2,2),(2,2,3),(2,2,4),(2,3,3),(2,3,4)(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4)(4,4,4)。 因為在不同的基本三角形上得出的排列方式必定是不同的,因此只要確定這 10 種形式可能產生的排列方式,就可以得出所有排列的方式。 例:(2,2,2)的基本三角形有如下 6 種
注意︰其中 和 經水平翻轉為同一種 和 經旋轉為同一種 (3)下表是各種基本三角形所產生的排列方式; 基本三角形 (2,2,2) (2,2,3) (2,2,4) (2,3,3) (2,3,4) (2,4,4) (3,3,3) (3,3,4) (3,4,4) (4,4,4) 排列方式個數 6 9 6 7 6 2 2 3 1 1
共有 43 種排列方式。 解題重點:瞭解點和直線的關係,並能從觀察中發現滿足題目所設條件的排列之 規律性, 進而利用分類找出排列方式的個數。 評析:(1)幾乎所有答題的同學均能畫出幾種不同的排列方式,並找到其中的規律 性,但是能夠懂得利用分類來找出所有排列方式者極少。 (2)答題優良者:台北縣江翠國中黃明山同學、莊智涵同學、台北縣秀峰高 中陳郁涵同學、台北縣新莊國中潘遠信同學。 (3)本題答題人數共 73 人,平均得分為 4.33 分,得分率為 62%。 問題編號 901704
A C/ B D// A/ C// B/ D A// C B// D/ 有一長方形 ABDC,已知(長度為 x,(長度為 y,如圖所示 今在長方形兩邊分別取兩個長方形 ACC/A/、BDD/B/,使(=3(, (=3(,如此可將長 方形 ACC/A、BDD/B/,各分為 3 個正方形,再將長方形 A/C/D/B/兩邊分別取兩個 長方形 A/C/C//A//、B/D/D//B//,使(=9(、(=9(,如此可將長方形 A/C/C//A//、B/D/D//B//各 分為 9 個正方形,照此規則分割下去,試問 x:y 為多少時,恰能將長方形 ABDC 分為 6558 個大小不同的正方形。 參考解答: 正方形個數=2
(3+32+33+…+3n)=6558 2
=6558 3n1=2186 所以 3n=2187 即 n=7而 x=2
[y+()2y+()3y+……+()7y]x= [1()7 ]
y,所以 = 1()7= 解題重點:本題是以等比級數公式來解題。 評析:(1)以等比級數公式來作答者即可得到高分,許多同學均能掌握到此要領。 (2)答題優良者:板橋海山國中張源平同學、台北縣江翠國中莊智涵同學、 台北縣福和國中楊智寰同學。 (3)本題作答人數 45 人,平均得分為 4.95 分,得分率為 71%。 問題編號 901705已知 a1,a2,a3,….an均為正數,若 M= a12a22 + 2 3 2 2 a a +…..+ 2 1 n 2 2 n a a + 2 n 2 1 n a a + 12 2 n a a N=(a1+a2+……+an) 則 M 與 N 的大小關係為何?證明你的結果。 參考解答: (方法一)
N= [(a1+a2)+(a2+a3)+……+(an+a1)]
但 2 j 2 i a a (ai+aj) 2 j 2 i a a (ai+aj)2 2( 2 j 2 i a a )( 2 j j i 2 i 2a a a a )
(aiaj)20 但最後一式必然成立,故 MN,且當 a1=a2=….=an時,M=N。
(方法二) 令OAa1a2a3an1an OBa2a3a4ana1 則OAOB,OAB為等腰直角三角形。 ∴AB 2(a1a2an) N ∵ 2 2 2 1 1 a a AP , 2 3 2 2 2 1P a a P ,…, 2 2 1 1 2 n n n n P a a P , 2 1 2 1B a a Pn n M AP1P1P2 P2P3Pn2Pn1Pn1B(折線段長之和) 由圖可知,M≥N 解題重點:本題作答可由代數及幾何互相驗證。 評析:(1)答題優良者︰以(方法一)作答較詳盡者包括北縣福和國中吳霽庭同學 、北縣海山國中張源平同學、北市明德國中王琨傑同學、 北市大直高中陳俊曄同學;以(方法二)作答較完整者包 括高雄縣鳳西國中葉仲恆同學、台南市建興國中黃信溢同 學、北縣江翠國中黃明山同學、北市民生國中張哲瑞同學。 (2)本題答題人數共 19 人,平均得分為 5.53 分,得分率為 79%。 A a1 a 2 a3 an-2 a n-1 an O a 2 a3 a4 an-1 an a1 B P1 P 2 P3 Pn-2 Pn-1