93指考預試卷(1)

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大學入學考試中心

指定科目考試

研究用試卷

數學考科

(卷1) 試題第一部份

作答時間：

40 分鐘

作答方式：

˙選擇題用

2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡

皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示

的答案欄內

祝考試順利

本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會本試卷(含參考答案)預定於92年5月19日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、單選題說明：此部分選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 10點，答錯不倒扣。 1. 設k >4，且橢圓 1 4 ) 2 ( : 2 2 = + − Γ y k x 有一個焦點落在原點上。今以原點為中心，將橢圓Γ 依逆時針方向旋轉45°角。旋轉後另一個焦點所在位置的Y 座 標是多少？（1）2 （2）4 （3） 2 （4）2 2 （5）2 5 貳、多重選擇題說明：第2-5題，每題有5個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出 正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2點；每答錯一個選項，倒扣2點，完全答對得 10點。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域 劃記，一律倒扣2點。 2 .假設 A 和 B 兩個球的球心在同一個點，但球 B 的半徑是球 A 半徑的兩倍。假設空間上的一個平面E 和球 A 相交的圓的面積為10π (π 為圓周率)。則平面 E 和球B 相交的圓的面積可能為以下哪些數？（1）30π （2）50π （3）100π （4）200 （5）10π +100

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3. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下，假設小鋼珠到達每一結點時，其往左下走或右下走的機率各為 2 1 ，若只投一球，下列哪些敘述是對的？（1）落入 B、C、Ｅ區的機率相等。（2）落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率（3）落入 B 區的機率大於落入 C 區的機率。（4）落入 B 區的機率與落入Ｄ區的機率相等。（5）落入Ｃ區的機率與落入Ｅ區的機率相等。 4 .設a為一個實數，考慮方程組 1 a)z -(2 y x 1 z a)y -(2 a)x -(2 a z a)y -(2 2a)x -(3 = + + = + + = + + 下列敘述何者正確？（1）當a =1時，方程組有無窮多組解。（2）當a =3時，方程組無解。（3）當a ≠3時，方程組至少有一組解。（4）當a ≠1且a ≠3時，方程組有唯一一組解。（5）當1<a<3時，方程組有唯一一組解(x,y,z)滿足x+y+z>1。 B A C ＤＥ

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5. 設p ， q 為正實數，若log₁₀p=log₁₀₀q=log₁₀₀₀

(

p+q

)

， p ， q 滿足下列哪些關係？（1）log₁₀q=2log₁₀p （2）p+q= pq （3）log₁₀p< 0 （4）p+ q=2+ 5 （5） 2 1 5 p q ₌ − 參、選填題說明：以下二題為選填題，每題10點。答案寫在所標示的列號內，依序將答案寫在答案紙之答案欄內，若未書寫在答案欄者，恕不計分。 A .空間中平面 E 的方程式為：x+y+z=2。令A為平面E 和xy 平面相交的直線。 -（1）平面Ｅ與Ｚ軸的交點Ｐ的座標為 ( ，， )。（2）直線A與x軸、y 軸的交點分別為 A、B 兩點，線段 AB 的中點 C 的座 標為( ，， )。（3）假設Ｑ點座標為 (0,0,5) ，則 PCQ∠ 夾角α 的餘弦值cosα = 0. 。 (取最接近一位的小數)。(本題如需用到 2以1.41 計算) 9 10 11 6 7 8 12

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B.若方程組      = + + = + + = + + a z y x 17 z 3y 2x 12 z 2y x 2 2 2 恰有一組解(x,y,z)，則a= 。 C .在一個袋子內放進兩個 1 號球，兩個 2 號球。假設從袋中抽出兩球，這兩球同號的機率是。這兩球號碼不同的機率是。 14 13 15 16 17 18

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(卷 1) 試題第二部份

說明：此大題為計算證明題，共兩題，請在各試題之答案欄作答，請盡量作答。

第一題

某公司的客機只有經濟艙。機艙中有兩個走道，走道之間每排有四個座位，而走道外側每排各有兩個座位。為了方便乘客找到自己的位置，奇數號的位置在一邊，偶數號的位置在另一邊（如下圖）。由於每排有８個位置，你可以發現不管你坐在哪個位置，坐在你前面或後面的人的座位號碼一定和你相差８號。（1）小潘第一次搭飛機，他希望能坐在靠窗的位置欣賞窗外風光。他的座位號碼是514 號，請問他是不是坐在窗邊？ (應說明理由) （2）小明、小文和小華三人是好朋友，他們希望坐在一起，也就是能坐在同一排而且中間不要夾著別人 (若只是隔個走道沒有關係)。他們的座位號碼是 373、375、376 號，請問他們有沒有坐在一起？ (應說明理由) （3）小張最近認識一位筆友，他很想知道這位筆友什麼時候生日，可是筆友卻一直保密不肯告訴他。直到今年(2004 年)4 月 2 日 (星期五)那天，他接到筆友的 email，上面寫著：「我最希望生日能在星期六了，因為第二天不必上課，生日那天可以好好玩個通宵。如果今年不是閏年的話，我的生日 24 日那天就是星期六了。可惜今年碰到閏年，害我還得多等好幾年，才能在星期六過生日」。雖然，筆友沒提到他的生日在幾月，但是小張卻發現可以用類似前面兩題的方法，算出這位筆友的生日。 (a) 請問這位筆友的生日是星期幾？ (b) 請算出這位筆友的生日在幾月？ (c) 這位筆友要等幾年才可以在星期六過生日？（應寫出計算過程否則不予計分） 1 3 5 7 8 6 4 2 9 11 13 15 16 14 12 10 窗窗窗窗走道走道

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第二題

已知 3sinA+cosA=2sin2004°

（１）若180°< A<270°，求角Ａ的角度。（２）若270°< A<360°，求角Ａ的角度。