微積分

96 學年度數學教育系插班考試微積分試題 一、選擇題（每題 8%） 1、若 f(x)為一個在開區間(b,a)可微之函數，則(f(a)-f(b))與(a-b)相除所得 之值為 k，我們通稱 k 的內涵為(1)瞬間速率(2)割線的斜率(3)瞬間加速度(4) 導數。 ANS：2 2、級數： (a)

∑

∞ =1 ! 1 i i (b)

∑

∞ =1 1 i i (c)

∑

∞ =1 2 1 i i (d)

∑

∞ =1 2 1 i i ，請問級數中收斂的有 幾個(1)1 (2)2 (3)3 (4)4。 ANS:2 3、利用黎曼積分的概念，計算

∑

= + n k 1n k 1 lim ，當n→∞，四捨五入取整數之值為， (1)0 (2)1 (3)2 (4) ∞。 ANS：1 4、若函數 h(x)=ln(x)，其中 ln(x)為自然對數，則計算函數 h(x)、x 軸、x=1 及 x=2 所圍成圖形之面積為 k，四捨五入取整數之值為，(1)0 (2)1 (3)2 (4)3。 ANS:：1 二、計算與證明 1、求出下列各題的收斂區間為何？ （16%） (1)

∑

∞ = − 2 ) 1 4 ( ln 1 k k x k k (2)

∑

∞ = + 1 2 ) 5 3 4 ( k k x k ANS:. (1) [0,8) (2) ) 2 1 , 2 (− 2、設g(x)=(x4+3)/6x，試求出下列各題 （18%） (1)g(x)在x=1與x=3之間的曲線長 (2)g(x)與x=1、x=3以及x軸所圍成的區域，繞x軸旋轉 360 度所形成的 旋轉體體積 ANS:(1) 3 14 (2) π 252 72 10 3、y= dt t x

∫

+1 1 2 1 ，求出 y'＝？ （16%） ANS: 1 x 2x 2 + , 4、有一個倒立的圓錐形大桶底部之圓半徑為 3m，高 6 m，將水以 2m3 /min的速度 打入桶中，請問在水深為 3 公尺時，桶中水面上升的變化率？ （18%） ANS： π 27 8 m/min