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微積分

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Academic year: 2021

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(1)

國立台中教育大學九十七學年度日間部轉學招生考試

微積分試題

適用學系:數學教育學系 ㄧ、選擇題(共 35 分,每題 7 分)

1、f(x)=3x2

+6x-5,在區間[-2,1]範圍內適合"中間值定理The Mean Value Theorem結論"中的 f'(c)的c值是下列哪一個?c 4 1 - d 3 1 e 5 1 f 2 1 - 2、隱函數x2 +y2 =25,已知dy/dt=3,在y=3 時,則dx/dt之值為下列哪一個? c 4 9 ± d 6 1 ± e 15 1 - f 12 1 - 3、函數 f(x)= x 2 tan 2 sec xx ,則 f(x) 之值為下列哪一個?c 0 lim → x 3d e-3f4 2 4、無限級數

∞ =1 ⋅3 n n n n n x ,下列哪一個 x 的值可使此級數絕對收斂? c7 d 4e−2f 8−

5、有函數 y=F(x),已知 y=F(x) 在區間[a,b]範圍內是連續函數,在區間(a,b) 範圍內可微,且對∀x,a<x<b,f'(x)≠0,恆成立,下列哪一個敘述正確? cy=F(x) 在區間[a,b]範圍內沒有最大(absolute maximum)與最小值

(absolute minimum) d對∀x,a<x<b,f(x)≠0 恆成立e y=F(x) 在區間[a,b] 範圍內永遠上凹或永遠下凹f y=F(x) 在區間[a,b]範圍內沒有相對極大 (local maximum)與相對極小值(local minimum)。

二、填充題(共 35 分,每一個空格 7 分) 1、應用球面座標計算三重積分 dV z y x z v

∫∫∫

2 + 2 + 2 2 , 其中V =

{

(x,y,z)1≤ x2 + y2 +z2 ≤9且z≥0

}

,則原積分式= , 為積分値,試求 k d d d g b a d c f e =

∫ ∫ ∫

(ρ,θ,φ) ρ φ θ k (1) a+b+c+d+e+ f =( ) (2) g(ρ,θ,φ) =( ) (3) k = ( ) 1

(2)

2、一曲線之參數式為:x t2 y t z t3 3 1 2 1 = = = , , (1)此曲線在t =2的曲率為( ) (2)在t =−1處垂直於此曲線的平面方程式為( ) 三、應用題(30 分) 1、設圓半徑為 r,試證明圓形的面積為

π

r

2。(10 分) 2、試分別利用圓盤法與圓柱殼法,證明一圓錐體其底的半徑為 r,高為 h 時, 體積為

1

2

3

π

r h

。(20 分) 2

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