1-1 圓的方程式
高中數學
圓 與 球
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一、圓的方程式： (一)定義：在平面上與一定點等距離的所有點形成的圖形即是圓。 (二)標準式：已知圓心O h k( , )，半徑為r的圓方程式為(x h )2 (y k )2 r2 (三)直徑式：已知圓直徑端點為P x y( , )、Q x y( , )的圓方程式為1-1 圓的方程式 (四)一般式：x2 y2 dx ey f 0 點與圓關係：點P x y( ,0 0)代入一般式 2 2 x y dx ey f 時， (1)若x02 y02 dx0 ey0 f 0點是在圓外 (2)若x02 y02 dx0 ey0 f 0點是在圓上 (3)若若x02 y02 dx0 ey0 f 0點是在圓內 (五)參數式：圓(x h )2 (y k )2 r2 參數式為： cos sin x h r y k r 0 2 二、圓的判別式： 方程式x2 y2 dx ey f 0( )2 ( )2 2 2 4 2 2 4 d e d e f x y 其判別式D d 2 e2 f (一)當D d 2 e2 f 0時，圖形為圓，圓心 ( , ) 2 2 d e O 、半徑1 2 2 4 2 d e f (二)當D d 2 e2 f 0時，圖形為一點( , ) 2 2 d e 。 (三)當D d 2 e2 f 0時，沒有圖形。
第一章 圓與球
1-1 圓的方程式
觀念： 例1：求符合下列條件的圓方程式： (1)以點(2 , 3) 為圓心，半徑為4 的圓。 (2)設圓 C：(x3)2 (y1)2 1，求與圓C 有相同圓心其面積為圓 C 面積 2 倍的圓。1-1 圓的方程式 【練習題】求符合下列條件的圓方程式： (1)以點(0 , 0)為圓心，半徑為4 的圓。 (2)與圓 C：(x3)2 y2 16 有相同的圓心，且圓周長為圓C 一半的圓。 例2：求以點M(2 , 3) 為圓心，通過點A(5 ,1)圓方程式，並判斷P(6 , 0)、 ( 2 , 1) Q 、R(0 , 2)是在圓內、圓外或圓上？ 【練習題】設圓C 的方程式為x2 y2 k， (1)若圓 C 通過A( 3 , 1) ，求k 值。 (2)若P(1, 2) 在圓C 內部，Q( 3 , 3) 在圓C 外部，求 k 的範圍。
1-1 圓的方程式 例3：設A(4 , 9)、B(6 , 3)，求以AB為直徑的圓方程式。 【練習題】設A(2 , 3)、B(5 , 1) ，求以AB為直徑的圓方程式。 例4：設圓 C 的方程式為x2 y2 2x4y 4 0，求圓C 的圓心坐標及半徑。 【練習題】設圓C 的一般式為x2 y2 2x6y 6 0，求圓C 的圓心坐標及半徑。 例5：將下列方程式化成(x h )2 (y k )2 l的形式，並說明它所表示的圖形。 (1) x2 y2 2x6y10 0 (2) 4x24y216x24y61 0
1-1 圓的方程式 【練習題】將下列方程式化成(x h )2 (y k )2 l的形式，並說明它所表示的圖形。 (1) x2y24x6y13 0 (2) x2 y2 2x6y16 0 例6：試判斷下列方程式所代表的圖形：(圓、點或虛圓) (1)x2 y2 4x6y120 (2)x2 y24x6y130 (3)2x2 2y2 4x6y34 0 【練習題】試判斷下列方程式所代表的圖形：(圓、點或虛圓) (1)x2 y2 2x4y 5 0 (2)2x2 2y2 4x8y 1 0 (3)x2 y2 4x6y170
1-1 圓的方程式 例7：設一圓通過A(1,1)、B(1, 1) 、c( 2 ,1) 三點，求此圓的方程式。 【練習題】求通過(0 0)、(1 1)、(4 2)三點的圓方程式 並求其圓心與半徑。 例8：將下列各圓以參數式表示： (1) x2 y2 = 4 (2) (x + 2)2＋(y 1)2＝9 例9：設( , )a b 為圓C : x2 y2 4x 2y 4 0 上的點，求 a2 (b1)2的 最大值。 【練習題】已知x、y 是滿足 x2 y2 9 的實數，求 xy 的最大值。
1-1 圓的方程式 例10：獵人養了大小兩隻獵犬，每次狩獵時，都讓兩獵犬守候在相距 30 公尺 的兩位置上。當獵人射下獵物時，兩獵犬會同時向著獵物直衝過去。若大 獵犬的速度是小獵犬的2 倍，當 (1)兩獵犬會同時抵達獵物的所有可能點 P 會構成什麼圖形？ (2)求小獵犬會先追到獵物的範圍區域面積。
1-2 圓與直線的關係
第一章 圓與球
1-2 圓與直線的關係 觀念： 一、圓與直線的相交情形：設圓的圓心為M，圓心到直線 L 的距離為 d，則 (1) d < r，此時直線 L 與圓 C 交於相異兩點相割。此時稱 L 為圓 C 的割線 (2) d = r，此時直線 L 與圓 C 交於一點相切。此時稱 L 為圓 C 的切線。 (3) d > r，此時直線 L 與圓 C 不相交相離。 二、圓的切線： (1)通過圓上一點的切線只有一條，其切點和圓心的連線必垂直切線。 (2)通過圓外一點 P 可向圓作兩條切線，兩切線段(切點和 P 的連線)等長。 過圓上一點的切線公式 設圓C:(xh)2 (yk)2 r2， ( , ) 0 0 y x P 為圓C 上一點 則過 P 點的切線方程式為 2 0 0 )( ) ( )( ) (x h xh y k yk r 例1：設圓 C :x2 y2 5，試判斷圓C 和下列直線的相交情形。 (1)L x y1: 1 0 (2)L x2 : 2y 5 0 (3)L3: 3x4y15 0 。 相交兩點 相交一點 不相交1-2 圓與直線的關係 【練習題】設圓C 和直線 L1、 L2、 L3的方程式如下: 試判斷它們的相交情形。 C :(x1)2 y2 8， 1: 3 L x y ， L2 :x y 0，L x3 : y 3 例2：已知圓 C 和直線 L 的方程式如下: C x: 2 y2 5、L x: y 1 0試問圓C 和 直線L 是否相交？若相交 求出它們的交點。 【練習題】設圓C：(x1)2 y2 8，直線L x: y 3，試問圓C 和直線 L 是否相 交？若相交 求出它們的交點 例3：試就實數 k 的範圍，討論直線 L :y x k 和圓C x: 2 y2 2 的相交情形。 【練習題】就實數m 的範圍討論直線 L :ymx2和圓C x: 2 y2 1的相交情形。
1-2 圓與直線的關係 例4：求通過圓 x2＋y2＝5 上一點 P(1 2)的切線方程式。 例5：求通過圓(x1)2＋(y+2)2＝25 上一點 P(4 2)且與圓相切的直線方程式。 【練習題】(1)求通過 P(1 2)且與圓 x2＋y2＝5 相切的直線方程式。 (2)求通過 P(1 4)且與圓 x2＋y22x+2y23＝0 相切的直線方程式 例6：設圓 C :(x3)2＋(y2)2＝8，求通過圓外一點 P(1 2)且與圓 C 相切的 直線方程式。 例7：求過點 P(5 15)且與圓 C : x2＋y2＝25 相切的直線方程式。 【練習題】(1)求過P( 2, 4) 且與圓x2y2 10 相切的直線方程式。 (2)求過P(4, 3)且與圓(x2)2y2 4相切的直線方程式.
1-2 圓與直線的關係 例8：有一半徑 60 公尺的圓形碉堡 甲站在碉堡的正北方與碉堡中心距離 100 公尺的A 處 乙從碉堡中心向東走 要走多少公尺才會看到甲？ 【練習題】有一圓形碉堡 甲站在碉堡的正北方與碉堡中心距離 40 公尺的 A 處 乙從碉堡中心向西走 要走 30 公尺才剛好看到甲 碉堡的半徑為多少公 尺？
1-3 球面方程式
第一章 圓與球
1-3 球面方程式 觀念：一、球面的標準式：
在空間中，和一個定點等距離的所有點所成的圖形是一 個球面，這個定點稱做球心，球心和球面上一點的距離稱為半徑。 設空間中有一球面S 其球心為 M(h k l )，半徑為 r，其標準式為 2 2 2 2 (x h ) (y k) (z l) r ，令D r 2 (D 為判別式) (1) D 0：一球面 (2) D = 0：一點(h k l) (3) D 0：沒有圖形二、球面的一般式：
x2 y2 z2 dxey fzg0 其中 2 2 2 4 2 4 d e f g r D 例1：求下列各球面方程式： (1) 以 M(1 2 0)為球心，半徑為 5 的球面方程式？ (2)以原點為球心，通過點(1 2 3)的球面方程式？ 【練習題】求下列各球面方程式： (1)以 M(1 2 3)為球心，且通過原點的球面方程式 (2)與(x1)2 y2 (z3)2 1有相同球心 且半徑為 3的球面方程式 例2：設兩球面S1:(x2)2 (y3)2 (z1)2 9 S2:(x5)2 (y1)2 (z1)2 1. (1)判別S2的球心M2(5 1 1)在球面S1的內部、外部或球面上。 (2)兩球面S1與S2是否相交？1-3 球面方程式 【練習題】設兩球面S1:(x2)2 y2 (z1)2 16、S2:(x4)2 (y2)2 z2 1. (1)判別S2的球心M2(4 2 0)在球面S1的內部、外部或球面上。 (2)兩球面S1與S2是否相交？ 例3：判別下列方程式的圖形： (1) x2y2z26x4y2z 2 0 (2) x2y2z26x4y2z14 0 【練習題】判別方程式x2y2z26x4y2z15 0 的圖形。 例4：設 k 任意實數，就 k 值討論方程式x2y2z22x4y2kz k 7 0的圖形。 【練習題】已知x2y2z22kx4y2kz3k22k 1 0圖形為一球面，求k 的範圍？ 例5：試求通過(2 1 0)、(0 3 4)、(1 0 0)、(1 2 4)四點的球面方程式， 並求其球心和半徑。 【練習題】求通過(0 0 0)、(1 1 2)、(2 4 0)、(2 1 3)四點的球面方程 式。
1-3 球面方程式 例6：已知直線 L： 1 1 x ＝ 2 1 y ＝ 4 2 z 與球面S：x2＋y2＋z2＝9 相交於兩點， 求此兩交點坐標。 【練習題】已知球面S x: ( 3)2(y4)2 (z 5)2 50與z 軸相交於 A、B 兩點， 求線段AB長。 例7：設球面 S：x2y2z22x4y4z0與點A(4, 4,4)，若 P 為球面上與 A 點距離最近的點，求P 的坐標。 【練習題】承例題7，若 Q 為球面上與 A 點距離最遠的點，求 Q 的坐標。
1-4 球面與平面的關係
第一章 圓與球
1-4 球面與平面的關係 觀念：一、
球面與平面的關係：
在空間中，平面E 和球面 S 的相交情形 不相交 相交一點 相交一圓 二、截圓： 〈註〉當平面恰好通過球心時，所交出的圓稱做球面上的大圓。 當平面不通過球心時，所交出的圓稱做小圓。三、
切平面四、
地球的經度與緯度 地軸：地球是依一條貫穿南北極的線段為軸自轉。 經線：包含地軸的平面與球面所交的大圓。 緯線：垂直於地軸的平面與球面所截出的圓。 赤道：緯線中唯一的大圓。 以赤道（0緯線）為起點 分成南緯與北緯各 90° 緯線的度數是該 緯線上任一點到地心的連線與赤道面的夾角度數。 (1)球心M 在平面E上的投影點就是截圓的圓心N (2)截圓的半徑r R2d2 。 當球面S 與平面 E 只有一個交點時，稱 S 與 E 相切 平面E 稱為球面S的切平面，交點P 稱為切點。1-4 球面與平面的關係 例1：設 k 為實數，球面 S：x2 y2 z2 4x2y6z11 0 ，平面E： 2 2 0 x y z k (1)若平面 E 和球面 S 相交於一圓，求 k 的範圍 (2)當 k 為何值時，平面 E 會和球面 S 交出最大的圓？ 【練習題】 設 k 為實數，球面S x: 2y2z22x2y4z 5 0 平面E x: 2y2z k 0。 (1)若 E 與 S 相交於一圓，求 k 的範圍。 (2)當 k 為何值時 平面 E 會和球面 S 交出最大的圓？ 例2：已知球面 S：x2 y2 z2 2x6y4z11 0 與平面E：2x2y z 3 0交 於一圓C，求(1)圓 C 的圓心。(2)圓 C 的面積。 【練習題】已知球面S：x2 y2 z2 14 0 與平面 E：2x 2y + z 9 0 交於一圓C，求 (1)圓 C 的圓心。 (2)圓 C 的面積。
1-4 球面與平面的關係 例3：已知球面 S：x2 y2 z2 2x4y6z 5 0，P(1 4 2)為球面上一點， 求通過P 點的切平面方程式。 【練習題】設球面S x: ( 1)2(y1)2 (z 1)2 4 P(1,1,1)為 S 上一點， 求通過P 點的切平面方程式。 例4：已知某一地球儀的赤道長為 100 公分，則其北緯60的緯線長為多少公 分？ 【練習題】設地球半徑為6400 公里，某一探險隊循著北緯 60的緯度線由東經 60向東行走至東經 105，此探險隊一共走了多少公里？
1-4 球面與平面的關係
【練習題】通過O(0 0 0)、 P(0 0 4)、Q(1 11 2)三點的平面與球面
S：x2 y2 z2 16相交於一個圓C，求圓 C 上劣弧
