二位數乘法的運算

(1)

二位數乘法的速算—交乘簡化原則

林保平

臺北市立教育大學數學資訊教育學系

壹、前言

去年有幸，得便到大陸旅遊一趟，有個晚上，與大家一同到夜市逛街，就在街上，發現一個攤位，不知賣些什麼。攤主弄了個小黑板，就在街上表演二位數數字的速算起來，蠻多觀眾對其表現，嘖嘖稱奇，不知他到底用了什麼規則。筆者記得大學剛畢業在國中教書時，就利用了速算來吸引學生學習的注意力及興趣，希望學生經由實例，看出某幾個速算規則，探究在何條件之下，可以使用這種規則，如下二例並研究且說明（或用代數式證明）這些規則背後的數學原理。這兩個速算規則顯然有相通之處，但少有人認真探究它們之間是否有關係，它們是否有相同的來源。其實，它們只是簡化了乘法中交叉相乘部分的計算而已。

貳、乘法算則的基本原理

大家知道乘法的直式算則，只不過是利用位值原理、九九乘法及乘法對加法的分配律來做計算而已。乘法直式算則，依照位值排列，分解後如下圖左式。若不依位值排列，仿照多項式交叉相乘分解因式的列法，可列為下圖中式，(a)部分乘以 100 加上(b)部分乘以 10,再加上(c)部分即為所得結果。下圖右式是一般化的十字交乘表示法，假設第一個二位數的十位是 a，個位是 b，第二個二位數十位為 c 個位為 d，則其結果為 a*b*100+(a*d+b*c)*10+c*d，結果:a*c*100+(a*d+b*c)*10+b*d

a*c

a b

_{c d}

b*d

ad+bc

結果：15*100+(18+40)*10+48 (c) (a) (b)

15 3 8

_{5 6}

48 18+40

3 8

X 5 6

4 8

1 8

4 0

1 5

2 1 2 8

（1）

4

2

6

5

6

7

4

7 ×

6

1

0

3

2

5

8

5 ×

1

2

0

2

7

4

3

4 ×

5

2

0

9

5

9

5

9 ×

9

0

2

1

9

3

1

3 ×

（2）

3

6

3

9

5

7

5 ×

9

0

8

2

3

5

3

5 ×

2

3

1

3

8

5

4

5 ×

2

1

9

2

6

5

2

5 ×

3

0

7

2

3

5

1

5 ×

(2)

以代數算式計算實際就是 (10a+b)*(10c+d)=100a*c+10(a*d+b*c)+b* d，其中 a,b,c,d 為小於 10 的非負整數。因此，基本的二位數乘法，約需要 4 個乘法，4 個加法。觀察上述算式，我們可以看出，(a)(b)(c)三部分在相加的時候會有重疊的部分，(b)的十位與 (c)的個位 (只看上中圖,其實是十位)， (a)的個位與(b)的十位，這些重疊，及相加時可能的進位，就是計算會比較複雜的原因，純心算不易執行，因為腦中需要較多的暫時記憶。前一段所說的第一個乘法速算實例的規則其實不難，兩個二位數，若個位數之和為十，十位數相同，利用前述的代數算法，很容易看出速算的計算規則。設相同的十位為 a，和為十的兩個個位分別為 c，d，亦即 c+d=10，此時 (10a+b)*(10a+c)=100a*a+10a*(b+c)+b*c =100a*a+100a+b*c =100a*(a+1)+b*c 由於 b*c 的結果最多只有二位， 100a*(a+1)的結果開始於百位，兩者不會有重疊的現象，因此，將 b*c 的結果寫在個位及十位（需要時補零），a*(a+1)的結果寫在百位開始的位置就好。寫成直式對照，用74*76 為例如下圖觀察這個速算規則，其所以能簡化直式計算的原因是：簡化了交叉相乘部分的計算。對照圖中的說明，這個計算維持了 (b)部分的計算，改變了(a)部分的計算，而能夠如此是因為(c)部分（交叉相乘相加）的計算可以被簡化。事實上，許多速算規則，都是透過簡化這一部份計算而得到的。

叁、簡化乘法算則中的交叉相乘得

到速算的規則

前圖右式的交叉相乘一般算式，若用橫式表示，就是 d b c b d a c a d c b a )(10 ) 100 * 10( * * ) * 10 ( + + = + + + 。若

a

*

d

+

b

*

c

為 10 的倍數，乘法直式算則就可以簡化，因為此時

)

*

(

10 a

d

+

b

c

為 100 的倍數，設其為 100N，此時結果就是 100(a*c+N)+bd，由於(a*c+N)與 b*d 沒有疊合，只需將其並列就可以得到答案，如下例：其計算式是：6×7=42記在十位及個位，交叉相乘相加得 40，將4×2=8加上 40 中的 4 得 12，記在千位及百位，結果就是 1242。上述方法，其實就是許多乘法速算的根源，看似簡單，但其交叉相乘的心算部分，仍然需要測試，若結果個位不是零（其實是十位），此法就行不通了。因此，若能事先看出哪些乘數及被乘數相乘的交叉相乘部分為 10 的倍數（其實是 100 的倍數），計算就可以簡化了。算式 d b c b d a c a d c b a )(10 ) 100 * 10( * * ) * 10 ( + + = + + +

7 4

X 7 6

5 6 2 4

7*(7+1)

56 7 4

_{7 6}

24

12

46

27 1242

42 8+4 8 42

4 6

2 7

12+28=40

(3)

中，交叉相乘部分為a*d+b*c，因此只要看資它是否為10 的倍數即可。若 a,b,c,d 中有兩個數相等，則原式可以化成 x(y+z) 的型態，其中 x 表示相同的數，y,z 表示另兩個數，它們的直式有如下的型態，其中 y,z 位置是可以交換的。這種型態的乘式，可以簡化算則，我們分類討論如下：（1）y+z=10，亦即「直式乘式中，有任一列（或行）數字相同，且另一列（或行）和為 10」。此時，我們可利用前述方法將計算簡化為：（注意：x 表示 a,b,c,d 中相同的數）

十位個位

千位百位

b*d

a*c+x

a b

_{c d}

其計算可描述為「十位數相乘再加相同的數，結果記在千位百位，個位數相乘，結果記在十位個位」。以下為幾個計算實例：

21 64+8

8 7

_{8 3}

7 2 2 1

7 7

4 6

3 5 4 2

28+7

42 4 3

6 3

2 7 0 9

24+3

9

（2） y+z=5,x 為偶數，亦即直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為偶數，且另一列（或行）和為 5 。因為 10 2 ) ( 2 2 ) (y+z = x y+z = x⋅ x 是 10 的倍數，所以計算可以簡化為 a b c d a*c+x 2 b*d 千位百位十位個位以下為計算實例 8÷2 2 3 8 8 2 0 2 4 16+4 24 6÷2 36 4+3 1 6 _{4 6} 7 3 6 4÷2 6 16+2 4 3 _{4 2} 1 8 0 6 （3）y+z=15,x 為偶數，亦即直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為偶數，且另一列（或行）和為 15 。此時 10 2 3 ) ( 3 2 2 3 ) (y+z = x⋅ y+z = x⋅ x 為 10 的倍數，計算可化簡為

x y

× x z

x x

× y z

y z

× x x

y x

× z x

(4)

十位個位

千位百位

b*d

a*c+

3x

2 a b

c d

以下為計算實例 8×3 2 8 6 8 9 7 6 5 4 64+12 54 4×3 2 16 56+6 7 4 _{8 4} 6 2 1 6 6×3 2 42 48+9 6 6 _{8 7} 5 7 4 2 （4）x=5,y+z 為偶數，直式乘式中，有任一列（或行）數字相同為 5，且另一列（或行）和為偶數。此時， 2 * 10 ) (y z y z x + = + 為 10 的倍數，計算可簡化為

a b

c d

a*c+

y+z

2 b*d

千位百位

十位個位

以下為計算實例 7+1 2 9+7₂ 5 7 5 1 2 9 0 7 25+4 7 35+8 5 5 _{7 9} 45 4 3 4 5 ٛ6+8 2 25 48+7 8 5 _{6 5} 5 5 2 5

肆、速算規則的推廣

前述的特殊二位數乘法速算規則，由於來源均為「簡化交乘」，他們的適用條件及計算方法都有相通之處，記憶較為簡便。許多網頁描述的速算規則都含蓋在我們的規則（1）中。例如 z “ 尾數為 5 的平方速算＂（個位之和為 10 十位相同的乘法之特例） z “ 首數為 5 的平方速算＂（兩首位和是 10，兩尾數相同之特例） z “ 個位之和為 10 十位相同的乘法＂ z “ 兩首位和是 10，兩尾數相同的兩位數相乘＂ z “ 一個數的個位、十位數字相同，另一個數個位、十位相加得十＂的乘法這些都合於我們規則（1）的條件，計算方法相通容易記得。但是規則(2)(3)(4) 的運用就很少看到了。簡化計算其實也有層次上的不同，例如 z “ 十位相同的乘法＂ z “ 個位之和為 10 的乘法＂ z “ 個位相同的乘法＂ z “ 十位數是 1 的兩位數相乘＂ z “ 個位是 1 的兩位數相乘＂ z “ 十位相同個位不同的兩位數相乘＂

(5)

z “ 首位相同，尾數和不等於 10 的兩位數相乘＂等，都對「交乘」有簡化的作用，但因其條件只是我們條件的一部分，或本質上計算就較容易，所以簡化計算的程度較少，在此狀況下，與直接使用算則差異不大，似乎沒有必要再去記憶它們的規則，甚至熟練它們的算法。我們的4 個運算規則，其實也可以推廣到其他的狀況，例如十位數為零的兩個三位數相乘，如下例

8 0 7

8 0 3

6 4 8 0 2 1

64

21

24

16 2 0 3

8 0 8

1 6 4 0 2 4

8÷2

7 0 4 8 0 4 5 6 6 0 1 6 56 16 4×3₂ 它們背後的數學原理，不難推得。

伍、其他速算原理

有些速算，透過乘法公式及形式的改變來簡化交乘。例如（1）個位數之和為 10,十位數差 1 設較大數的十位為 a,個位為 b, 故另一數十位為 a-1,個位為 10-b, ) 100 ( ) 1 ( 100 100 2 2 2 2 b a b a b) -b)(10a (10a b)) -(10 1) -b)(10(a (10a − + − = − = + = + + 其計算方法如下圖所示： a(a-1)+a 十位個位千位百位 a b a-1 10-b 100-b2 a2_-1 計算時，只要看較大數的十位(a) 及個位(b)就好,其規則就是：將較大數十位的平方減去 1 為結果的千位及百位，將 100 減去個位數的平方為結果的十位及個位。（2） 40 幾的平方 設此數個位為b,由於 2 2 2 2 2 ) 10 ( ) 15 ( 100 ) 10 ( ) 1 16 ( 100 100 20 100 100 1600 80 1600 ) 40 ( b b b b b b b b b b − + + = − + + − = + − + + − = + + = + 其計算方法如下圖所示： 16-1+b 15+b 4 b_{4 b} (10-b)2 千位百位十位個位四十幾的平方計算規則為：15 加上個位數為結果的千位及百位，10 減去個位後，平方就是結果的十位及個位。以下為這兩個算法的實例： 82

7 4

_-1 100-36

8 6

6 3 6 4

(6)

9 15+7 (10-7) 2

4 7

2 2 0 9

陸、結論

本文探討二位數的乘法速算，從簡化交乘原則，建立了四類速算的判別及計算方法，並討論了一些推廣的法則，這個簡化交乘的方法，十分容易記得，從四個方位來看是否適用這個速算規則。將兩個二位數直式排列，成一方形，若任一列（或任一行）兩數相等，且另一列兩數的和為十（或和為五或十五,但相同數為偶數），即可利用這個速算方法。這個方法就是： (1) 兩數相等和為十時，第一行兩數相乘加上相同的數為結果的千位及百位，第二行的兩數相乘為結果的十位及個位。 (2) 兩數相等和為五時，第一行兩數相乘加上相同的數的一半（除以 2）為結果的千位及百位，第二行的兩數相乘為結果的十位及個位。 (3) 兩數相等和為十五時，第一行兩數相乘加上相同的數的二分之三（除以 2 乘以 3）為結果的千位及百位，第二行的兩數相乘為結果的十位及個位。 (4) 同一行（或列）相等的數為 5，另一行（或列）和為偶數時，第一行兩數相乘加上和的一半為結果的千位及百位，第二行的兩數相乘為結果的十位及個位。在數學的學習過程中，計算速度雖然十分重要，若只追求計算速度及計算的技巧，不知思考其計算方法的根源或原理，實是學習過程中的極大缺陷。作者認為若是需要計算速度，使用電算器就可以輕易獲得，何需多方追求，或做「過多」的計算練習？教學時，提供速算的技巧，目的不應是提升計算速度，而是提供機會讓學生思考，歸納有用的知識。二位數的乘法與國中多項式的分配律，多項式的乘法公式等，有相當大的關連，透過速算讓學生探索這些多項式乘積所造成的規則性，對學生思考的學習應有極大的幫助。讓國小學生，玩玩速算，不當作「必學必記」的內容，讓學生留下，「這個計算背後是有數學原理的」、「我將來要研究為什麼」的想法與印象，也是不錯的學習歷程。