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單元四 三角形的性質

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Academic year: 2021

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(1)

單元四 三角形的性質式

重點一、正弦、餘弦定律

1. 正弦定律:

R

2

C

sin

c

B

sin

b

A

sin

a

=

=

=

,其中 R 為外接圓半徑

⇒ a:b:c = sinA:sinB:sinC

2. 餘弦定律:

a

2

= b

2

+ c

2

–2bc cosA

b

2

= c

2

+ a

2

–2ca cosB

c

2

= a

2

+ b

2

–2ab cosC

重點二、三角形的解法與面積

1. 三角形的解法:

(1) 直角三角形的解法:

應用三角函數的定義與畢氏定理解之。

(2) 任意三角形的解法:

應用正弦定律或餘弦定律與∠A +∠B +∠C = 180°解之。

2. 三角形的面積:

(1) 定義:面積

(

)

2

1

×

=

(2) S.A.S:面積

c

a

sin

B

2

1

A

sin

c

b

2

1

C

sin

b

a

2

1

=

=

=

(3) S.S.S:面積 = s(s a)(s b)(s c)

− ,其中

2

c

b

a

s

=

+

+

重點三、簡易三角測量

1. 依照題意作圖:標出已知量與未知量。

2. 利用三角形的解法技巧:列出已知量與未知量之關係。

A

C

B

a

b

c

(2)

精選歷屆試題

1. △ABC三內角∠A、∠B、∠C之對應邊長分別為a、b、c,若a=2

3,

b=2,∠A=120°, 則c=? (A)

3

(B)2 (C)3 (D)2

3

。 2. 某湖邊上有三點A、B和C,若從C點處測出∠ACB=60°、 AC 長為 200 公尺及 BC 長 為 100 公尺,則 AB 長為多少公尺? (A)100 3 (B)200 3 (C)100 (D)200。 3. 若△ABC中,

AB

=

3 1

+

BC

=2,且∠B=30°,則∠A=? (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°。 4. 有一測量員發現:當他從 A 點測量時,山是在他的東邊偏北 60° 且山的仰角為 45° ; 若由 A 點向東直行 200 公尺到 B 點測量時,則山在他的西邊偏北 60°。試求山高是 多少公尺?(若由低處觀測點仰望高處的目標物時,則目標物和觀測點的連線與 水平線的夾角稱為仰角) (A)100 (B)100 2 (C)100 3 (D)200。 5. 周長為 36 且三邊長均為正整數之所有三角形中,邊長的最大值為何? (A)21 (B)18 (C)17 (D)15。 6. 在鈍角三角形△ABC中,設a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊長,若∠A=30°且a:b=1: 3 ,則 ∠C=? (A)30° (A)60° (C)120° (D)150°。 7. 有一繩子的長度是 24 公分,若圍成三角形的面積為 a 平方公分,圍成正方形的面 積為 b 平方公分;圍成正六邊形的面積為 c 平方公分,則下列何者正確? (A) a b c< < (B) a c b< < (C) c a b< < (D) c b a< < 。

8. 已知△ABC中,AB=4,

AC

=5,

BC

=6,則 sinA= (A) – 63

8 (B) – 7 8 (C) 7 8 (D) 63 8 。 9. 在△ABC中,設 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 之對應邊長分別為 a、b、c,若∠ =B 120°,a= ,5 3 c= ,則 ABC△ 的外接圓面積為何? (A) 7 3π (B) 49 3π (C) 7 3π (D)49 3 π 。 10. 在△

ABC

中,已知∠ 、 BA ∠ 、 C∠ 之對應邊長分別為a、b、c,若∠ =B 120°,a= ,6 則下列選項何者正確? (A) 0< − < (B) 3b c 3 < − < (C) 6b c 6 < − < b c 9 (D) 9< − <b c 12。

(3)

試題解析

1. 題目中,a=2

3

,b=2,∠A=120° 由此三條件只能先求∠B 利用正弦定理:

sin a A=sin b B

2 3 sin120°=

21

sin B

31 3 sin sin120 2 B= ° =

sinB= 1 2

B=30°或 150°(不合)

B=30° 再推得∠C=30° ∵ ∠B=∠C=30°

b=c=2(等腰) 2. 如右圖所示: 由餘弦定理知: 2 AB =AC2+BC2−2 AC × BC ×cosC =2002+1002−2×200×100×cos60° =40000+10000−40000×1 2 =30000 ∴ AB = 30000 =100 3 (公尺) 3. c=

AB

=

3 1

+

a=

BC

=2 ∵ b2 =c2 +a2 –2cacosB =(

3

+1)2 +22 –2×(

3

+1) ×2×cos30° =(4+2

3

)+4–4(

3

+1) × 3 2 =2 ⇒ b=

2

(4)

又 2 2 sin sin sin sin 30

a b A= BA= ° ⇒ sinA=

1

2

⇒ ∠A=45°或 135° 但c>a ⇒ ∠C >∠A ⇒ ∠A=135°不合 ∴ ∠A=45°

4.

5. 設三角形三邊長為a、b、c,且a值最大 ∵ 三角形任二邊長的和大於第三邊長 ⇒ b+c>a ⇒ a+b+c>a+a 又已知a+b+c=36 故得 2a<36 ⇒ a<18 但a,b,c均為正整數 ∴ 邊長最大值a=17 6. ∵ a:b=sinA:sinB 又知a:b=1: 3 且 ∠A=30° ⇒ 1: 3 =sin30°:sinB ⇒ sinB= 3 2 ⇒ ∠B=60°或 120° 當∠B=60°時: ∠C=180°−30°−60°=90°(不合,已知△ABC為鈍角三角形) 當∠B=120°時: ∠C=180°−30°−120°=30° 7. ∵ 繩子的長度為 24 公分 ⇒ 正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公分、6 公分、4 公分 ⇒ 正三角形面積為 3 2 8 16 3 4 a= × = (平方公分)

(5)

正方形面積為 2 6 36 b= = (平方公分) 正六邊形面積為 3 2 6 4 24 3 4 c= × × = (平方公分) ∴ a b c< < 8. ABC中,AB=c=4,

AC

=b=5,

BC

=a=6 由餘弦定理知: cosA= 2 2 2

2

b

c

a

bc

+ −

= 2 2 2

5

4

6

2 5 4

+

× ×

= 1 8 又∠A為△ABC的內角

0°<∠A<180° ∴ 2

sin

A

=

1 cos

A

=

1

2

1 ( )

8

=

63

64

= 63 8

9.

b2 =c2+a2−2cacosB 2 2 3 5 2 3 5 cos120 = + − × × × ° 9 25 ( 15) = + − − 49 = ⇒ b= 49= 7 又 2 sin b R B= ⇒ 7 2 sin120°= R ⇒ 7 2 3 2 R = ⇒ 7 3 R= ∴ △ABC的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R π = ×π = π 10. 由餘弦定理知: 2 2 2 2 cos b =c +aca B 2 2 6 2 6 cos120 c c = + − × × × ° =

(

c+3

)

2+27

2

(

)

2 3 27 b − +c =

(

b c

+ +

3

)(

b c

− − =

3

)

27

b c

+ + >

3

0

,故得

b c

− − >

3

0

b c

− >

3

b c

− <

a

b c

− <

6

3

< − <

b c

6

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