單元四 三角形的性質式
重點一、正弦、餘弦定律
1. 正弦定律:
R
2
C
sin
c
B
sin
b
A
sin
a
=
=
=
,其中 R 為外接圓半徑
⇒ a:b:c = sinA:sinB:sinC
2. 餘弦定律:
a
2= b
2+ c
2–2bc cosA
b
2= c
2+ a
2–2ca cosB
c
2= a
2+ b
2–2ab cosC
重點二、三角形的解法與面積
1. 三角形的解法:
(1) 直角三角形的解法:
應用三角函數的定義與畢氏定理解之。
(2) 任意三角形的解法:
應用正弦定律或餘弦定律與∠A +∠B +∠C = 180°解之。
2. 三角形的面積:
(1) 定義:面積
(
)
2
1
高
底
×
⋅
=
(2) S.A.S:面積
c
a
sin
B
2
1
A
sin
c
b
2
1
C
sin
b
a
2
1
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
(3) S.S.S:面積 = s(s a)(s b)(s c)
−
−
− ,其中
2
c
b
a
s
=
+
+
重點三、簡易三角測量
1. 依照題意作圖:標出已知量與未知量。
2. 利用三角形的解法技巧:列出已知量與未知量之關係。
A
C
B
a
b
c
精選歷屆試題
1. △ABC三內角∠A、∠B、∠C之對應邊長分別為a、b、c,若a=23,
b=2,∠A=120°, 則c=? (A)3
(B)2 (C)3 (D)23
。 2. 某湖邊上有三點A、B和C,若從C點處測出∠ACB=60°、 AC 長為 200 公尺及 BC 長 為 100 公尺,則 AB 長為多少公尺? (A)100 3 (B)200 3 (C)100 (D)200。 3. 若△ABC中,AB
=
3 1
+
,BC
=2,且∠B=30°,則∠A=? (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°。 4. 有一測量員發現:當他從 A 點測量時,山是在他的東邊偏北 60° 且山的仰角為 45° ; 若由 A 點向東直行 200 公尺到 B 點測量時,則山在他的西邊偏北 60°。試求山高是 多少公尺?(若由低處觀測點仰望高處的目標物時,則目標物和觀測點的連線與 水平線的夾角稱為仰角) (A)100 (B)100 2 (C)100 3 (D)200。 5. 周長為 36 且三邊長均為正整數之所有三角形中,邊長的最大值為何? (A)21 (B)18 (C)17 (D)15。 6. 在鈍角三角形△ABC中,設a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對邊長,若∠A=30°且a:b=1: 3 ,則 ∠C=? (A)30° (A)60° (C)120° (D)150°。 7. 有一繩子的長度是 24 公分,若圍成三角形的面積為 a 平方公分,圍成正方形的面 積為 b 平方公分;圍成正六邊形的面積為 c 平方公分,則下列何者正確? (A) a b c< < (B) a c b< < (C) c a b< < (D) c b a< < 。8. 已知△ABC中,AB=4,
AC
=5,BC
=6,則 sinA= (A) – 638 (B) – 7 8 (C) 7 8 (D) 63 8 。 9. 在△ABC中,設 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 之對應邊長分別為 a、b、c,若∠ =B 120°,a= ,5 3 c= ,則 ABC△ 的外接圓面積為何? (A) 7 3π (B) 49 3π (C) 7 3π (D)49 3 π 。 10. 在△
ABC
中,已知∠ 、 BA ∠ 、 C∠ 之對應邊長分別為a、b、c,若∠ =B 120°,a= ,6 則下列選項何者正確? (A) 0< − < (B) 3b c 3 < − < (C) 6b c 6 < − < b c 9 (D) 9< − <b c 12。試題解析
1. 題目中,a=23
,b=2,∠A=120° 由此三條件只能先求∠B 利用正弦定理:⇒
sin a A=sin b B⇒
2 3 sin120°=21
sin B
⇒
31 3 sin sin120 2 B= ° =⇒
sinB= 1 2⇒
∠B=30°或 150°(不合)⇒
∠B=30° 再推得∠C=30° ∵ ∠B=∠C=30°⇒
b=c=2(等腰) 2. 如右圖所示: 由餘弦定理知: 2 AB =AC2+BC2−2 AC × BC ×cosC =2002+1002−2×200×100×cos60° =40000+10000−40000×1 2 =30000 ∴ AB = 30000 =100 3 (公尺) 3. c=AB
=
3 1
+
a=BC
=2 ∵ b2 =c2 +a2 –2cacosB =(3
+1)2 +22 –2×(3
+1) ×2×cos30° =(4+23
)+4–4(3
+1) × 3 2 =2 ⇒ b=2
又 2 2 sin sin sin sin 30
a b A= B ⇒ A= ° ⇒ sinA=
1
2
⇒ ∠A=45°或 135° 但c>a ⇒ ∠C >∠A ⇒ ∠A=135°不合 ∴ ∠A=45°4.
5. 設三角形三邊長為a、b、c,且a值最大 ∵ 三角形任二邊長的和大於第三邊長 ⇒ b+c>a ⇒ a+b+c>a+a 又已知a+b+c=36 故得 2a<36 ⇒ a<18 但a,b,c均為正整數 ∴ 邊長最大值a=17 6. ∵ a:b=sinA:sinB 又知a:b=1: 3 且 ∠A=30° ⇒ 1: 3 =sin30°:sinB ⇒ sinB= 3 2 ⇒ ∠B=60°或 120° 當∠B=60°時: ∠C=180°−30°−60°=90°(不合,已知△ABC為鈍角三角形) 當∠B=120°時: ∠C=180°−30°−120°=30° 7. ∵ 繩子的長度為 24 公分 ⇒ 正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公分、6 公分、4 公分 ⇒ 正三角形面積為 3 2 8 16 3 4 a= × = (平方公分)正方形面積為 2 6 36 b= = (平方公分) 正六邊形面積為 3 2 6 4 24 3 4 c= × × = (平方公分) ∴ a b c< < 8. ABC中,AB=c=4,