數列與級數

(1)

第四章數列與級數 P47. 第一單元 1/2 1. Ans:330 a8a17dd   3 an 38 ( n1)( 3) 0n13. 20 13 20 1 1 14 13 7 ( ) (38 2) [( 11) ( 19)] 330 2 2 i i i i i i a a a    

_



_



_

        2. Ans: 9, 27 2 4 a b 2 2 3, , 3 27 9 (2 9) 3 3( ) 4 2 , ,9 2 9 a a b a b b b b or a a b b a                消去成等比不合成等差 3. Ans: 32 2 2 1 2 3 2 2 4, ,a a a, ,64 a  4 64a 16( a   成等比  =4r >0 取正) 又 2 3 2 64 3 32 a a  a   4. Ans: 2n 1 2 1 2 1 1, 2 2 1, 3 2 2 1 2 2 .... 2 1 2 1 n n n n a  a   a    a          5. Ans: 651 2 1 3 2 20 20 19 3 3 2 4 3 2 5 3(3 4 5 21) 2 19 651 21 3 2 a a a a a a a       _ _{  }               _ _ _{ }    各式相加 6. Ans:(2)(4) (1)a a a₁, ₂, ₃ a₃ a₂ a₂ a₁ 0( a₂ a₁)         成等差 (2) 2, 4, 8 v   如成等比 (3) a₁ 1,a₂ 0,a₃ 1      如 2 1 2 1 2 3 (4) 0 0 0 v b b b r   r b b  (5) 4,6,9  如成等比 7. Ans:1 5 2  2 2 2 1 1( 0) n n n n n n n a _ a _ a a r a ra r  r a  1 5 2 r    ( 3 3 4 1 0 0 ) a a r r    取負r 8. Ans: 2 2 2 n  n 2 1 2 1 3 2 1 1 2 2, 2, 3 2 3, , 2 3 2 n n n a  a a  a a  a    a a   n   9. Ans:如下 (1)n=1 時，10 3 4 5 27    為 9 的倍數(成立) (2)令nk時成立，即10k 3 4k  5 9 , t t  則 1 1 1 10k 3 4k 5 10(10 )k 3 4k 5 10(9 3 4k 5) 12 4k 5 nk+1，            t      90t18 4 k 45 為 9 的倍數由(1)(2)及數學歸納法得證 10.Ans:如下提示:令 8 1 4 2 10 6 , k k nk時成立，即2    t t 仿習題 9 11.Ans:(1) 4n 4 (2) 2 2(n n)

(2)

第四章數列與級數 P47. 第一單元 2/2 (1)a2a18,a3a2 12,a4 a3 16,...an1an 4(n1) (2)由(1)各式相加可得ana1 8 12 16 4又 2 1 4 n 2( ) a  a  n n 12.Ans:(1) 1 2 1 n n   (1) ₁ 1, ₃ 2, ₄ 3, 1 5 7 9 n 2 1 n a a a a n         (2) 提示: 1 2 1 n n a n    代入 1 1 1 ( 1) 1 5 4 2( 1) 1 n n n n a n a a a n         整理可得  

(3)

第四章數列與級數 P50. 第二單元 1/2 1. Ans:3 偶項和-奇項和= 5d d 3 2. Ans:12 外角= 0 180 內角內角成等差  外角成等差 等差級數 0 0 8 12 16 ( )=360 [16 ( 1) 4] 360 12 15( ) 2 n n S     第項n   n    n or  不合 3. Ans:4884 1~99 列共用了1 2 3  98 99 4950 第 99 列為 4950,4949,4948,….4884(此列第 67 個) 4. Ans:3,6,9 另 3 數為 2 1 21 ( 1 ) 21 , , 36 6( ) 1 1 7 1 1 7 ( 1 ) 12 12 a a ar a r a r r a ar a a r r r a a ar a r             _ _       _ _ _  _{ } _     兩式相除取正 2 1 2 r or   5. Ans:20% 2 2 6 720 (1 %) 720 1100 (1 %) 55(1 %) 36(1 %) 36 0 1 % 1.2 11 r r r r r or                 (不合) 6. Ans:2475 99 99 1 1 1 1 (1 2 3 ) = 2475 1 2 2 2 k k k k k a k k k              求式



7. Ans:217 依分子分母分堆為( ), ( , ),( , , )1 1 2 1 2 3 7 21 7 1 2 1 3 2 1 15在第組第個又1 ~ 20組共用了1 2  3 2210個數字所求=2107217 8. Ans: 4 1 (10 10 11) 81 n n   1 4.4 44.44 444.444 44 4.44 4 n i i a      



   4(9.9 99.99 999.999 99 9.99 9) 9       1 2 2 3 3 (10 10 ) (10 10 ) (10 10 ) (10n 10 )n         2 1 2 (10 10 10 ) (10n  10 10 )n        4 (10 1 10 11) 81 n n   9. Ans:9 5 1 18 ( ) 44 3 令 1 2 3₂ 4₃ 21₂₀ 3 3 3 3 s      ○1 2 3 20 21 1 1 2 3 20 21 3s  33 3 3 3 ○ 2 ○2 _-○1 21 18 2 30 21 21 2 1 1 1 21 3 1 21 9 5 1 1 [1 ( ) ] ( ) 3s 3 3 3 3 2 3 3 4 4 3             10.Ans: 2 6n 6n 3 2 3 2 2 1 2 _n _n _n =(2 6 4 ) [2( 1) 6( 1) 4( 1)] 6 6 n 時，a s s _ n  n  n  n  n  n  n  n 又 2 1 1 12 6 1 6 1 n a s      a  2 6n 6n 11.Ans:576 萬

(4)

第四章數列與級數 P50. 第二單元 2/2 所求=1 64 2 32 4 16 8 8 16 4 32 2 64 1 128 576               12.Ans:100% 3 3 6(1r) 48(1r)   8 r 1 13.Ans:全 12 11 10 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) A         選(2) 12 10 8 2 2000(1 0.5%) 2000(1 0.5%) 2000(1 0.5%) 2000(1 0.5%) B         選(3) 又 12 12 12 12 11 2000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 1000(1 0.5%) 選(1) 同理 12 12 6 12000(1 0.5%) 12個1000(1 0.5%) 6個2000(1 0.5%) 選(4)(5) 14.Ans:(2)(3) (1)k 2,l 3,m 4,n 7( )      反例 (2) 2 1( ) 4 , 6 >16( ) v l k  l  n m  若合，若和不合 (3) , , , 4 6 ( ) v k l m n成等差k l mn k d 其中為公差d 2k3d 8 1 2 1 2 5( ) 2 1 1 3 ( ) d k d k k d k                  不合討論不合 (4) k 2,l 3,m 4,n 7 (5) k 2,l 3,m 5,n 6           反例反例

(5)

第四章數列與級數 P51 試題觀摩 1/1 1. Ans:1 6 由四根成等差可知四根和 4 1( 1 3 ) 2 4 4 d    由根與係數可知四根和=2 1 6 d   2. Ans:( , )a b (14, 8) 令其餘三根為ad a a, , d由根與係數可得1 ( ad)a(ad)  4 a 1 2 4 3 2 (x 1) x 4x 3x ax b ( 1)   是     的因式因方程式有重根，由長除法(a,b)=(14,-8) 3. Ans: 1 2 ( ) , 2 2 n n a   n 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 1, 1, , ( ) ( ) ( ) , 2 2 4 2 2 n n a  a  a  a    觀察規律 a   n 4. Ans:220 E 11,E2 E1(1 2)  1 (1 2), E3E2(1 2 3) 1 (1 2) (1 2   3) 10 10 10 1 1 ( 1) 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 10) (1 2 3 ) 220 2 k k k k E k               

_

   

_

 5. Ans:28 由圖可知 a16 3 2,a2 a1      3 3 3 2 3 3 3(23),a3 a2  3 4 3(2 3 4)  3[2 3 4 ( 1)] 3 ( 3) 1000, 24 2 n n a      n   n  n   取此時用了 972 根，剩下 28 根 6. Ans:(1)(2)(3)(4) a11,a2 a1 4 1,a3 a2  4 2 a14(1 2)  an a14(1 2  3 (n1)) 1 2 (n n1) (1)(2)(4)選又an an1 4(n1)  選(3) 7. Ans:6 an 3(an12)3an1 6 an  3 3(an13)數列<an 3 為等比數列 a  1 3 12,公比=3 1 3 12 3n 4 3n 3 1000 6 n n a     a      最小為n 8. Ans:20 16 23 2 9 17 1 24 1 ( 17) 24 1 1( 0 1 0) a a r a a r a a a r  r a  由，代入可知 1 1 1 1 1 2 1 9 1 1 1 1 1 (1 ( ) ) ( 1) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 18 1 1 ( 1) n n n n _r a r a n n r r a r a r a r n r r r                 上下同乘由題意可知，取 n=20 9. Ans:373 1~30 中去掉 2、3、5 的倍數可剩下 1,7,11,13,17,19,23,29,共 8 個 31~60 去掉 2、3、5 的倍數可剩下 8 個數 30 1, 30 7, 30 11,30 13,30 17,30 19,30 23,30 29        即 30K+1~30K+30 去掉 2、3、5 的倍數可剩下 8 個數 30k1,30k7,30k11,30k13, 30k17,30k19,30k23, 30k29 ，k=0,1,2,3,….. 1 ~ 30 11 30  有 8 12 96  個數(k 0 ~ 11)，a100 30 12 13  373 10.Ans:(1) 5 5 5 5 40(1 7%) (1 7%)  40 (0.93 1.07)  40 0.9851 查表可知選(1)