班級 座號 姓名 得分
一、填充題(每題 13 分,共計 8 題 104 分)
1.
1
2. 112
3.
x2y22x4y04.
0 b 125.
14406.
( 2)2 ( 1)2 1 6 12 x y 7.
4 3or 3 8.
13 3 17二、計算證明題(需列出合理過程,共計 5 題 76 分)
1. (12 分) 1. ... 13181 13191 4 1 3 1 2 1 1 q p ) 1318 1 ... 6 1 4 1 2 1 ( 2 ) 1319 1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 659 1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 1319 1 ... 3 1 2 1 1 ( 1319 1 1318 1 ... ... 661 1 660 1 990 989 1979 ... ... 1318 661 1979 1319 660 1979 ∴ p 可被 1979 整除 一、 2. (12 分) 【解】 By (3), x y z ( , ) ( ) ( , ) zf x z x z x f x z ( , )f x z z f x z x( , ) z x 54 (16,54) (16,38) 38 f f 54 38 (16, 22) 38 22 f 54 22 (16,6) 22 6 f 16 9 (6,16) 9 (6,10) 10 f f 16 10 9 (6, 4) 10 4 f 9 4 f(4,6) 6 9 4 (4, 2) 2 f 4 9 12 (2, 4) 9 12 (2, 2) 2 f f 108 2 2 432 3. (12 分) ∵ 1 1 )! ( )! 1 ( )! 1 ( )! ( ! ! n k n k n C k n k n n k n k n k kC國 立 台 灣 師 範 大 學
九 十 七 學 年 度高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科答案卷
P. 02附 屬 高 級 中 學
第 一 學 期∴ !( ... ) ( ... 1) 1 1 1 1 0 2 1 n n n n n n n n nC C n C C C C n 由算幾不等式 n n n n n n n n n C C C n C C C 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ... ... ∴ 1 1 1 0 1 ... 2 n n n n n n C C C n 2 ( ... 1) !( 1 2... ) 1 1 1 1 0 ) 1 ( n n n n n n n n n n n n C C C n C C C ∴ N n C C C n n n n n n ! 2 ... ) 1 ( 2 1 4. (15 分)解 a表示n次取球中,不連續出現 白球的機率n 2 a1=1 2 8 9 a 1 2 2 1 2 3 3 3 n n n a a a 特徵方程式 9x26x 2 0 1 3 3 x (1 3) (1 3) 3 3 n n n a p q a1=1 2 8 9 a 4 2 3, 2 3 4 4 3 4 3 p q 3 3 1( 3) 2 (1 3) 2 4 3 3 n n n a n次取球中,至少連續出現 白球的機率2 =1-3 3 1( 3) 2 (1 3) 2 4 3 3 n n
5. (25 分)(1)ABC~AEF EF AF a acosA AC 同理 FD b cosB ED c cosC 1 2 p = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2 b c a a c b b a c EF FD DE a A b B c C a b c bc ac ab = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )( )( ) 2 2 a b c a b c b a c a b c a b c b c a a c b abc abc = 2 16( ) 2 ABC abc = 2 16( ) 2 ( ) 2 4 ABC ABC a b c r R ABC R R =2 pr R 1 r p p R (2) 2 2 2 2 2 2 1
sin cos cos
2 cos , cos , cos ,
1 sin 2
( )
1 (cos cos cos ) 2cos cos cos
AE AF A
AEF c A b A BDF CED DEF
A B C
ABC bc A bc ABC ABC ABC
ABC AEF BDF DEF
A B C A B C ABC
(3)2cos cos cosA B = AEF
ABC
=
1
1 1 1
4 cos cos cos cos cos cos
4
a b c
R R a b c R abc A B C R A B C
abc R abc R abc R
R 1 1 2 R R H F E D A B C