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數學科學能力競賽複試解答

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Academic year: 2021

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(1)

班級 座號 姓名 得分

一、填充題(每題 13 分,共計 8 題 104 分)

1.

1

2. 112

3.

x2y22x4y0

4.

0 b 12

5.

1440

6.

( 2)2 ( 1)2 1 6 12 x y

7.

4 3or 3  

8.

13 3 17

二、計算證明題(需列出合理過程,共計 5 題 76 分)

1. (12 分) 1. ... 13181 13191 4 1 3 1 2 1 1       q p ) 1318 1 ... 6 1 4 1 2 1 ( 2 ) 1319 1 ... 3 1 2 1 1 (            ) 659 1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 1319 1 ... 3 1 2 1 1 (           1319 1 1318 1 ... ... 661 1 660 1  990 989 1979 ... ... 1318 661 1979 1319 660 1979        ∴ p 可被 1979 整除 一、 2. (12 分) 【解】 By (3), x y z  ( , ) ( ) ( , ) zf x z x  z x f x z  ( , )f x z z f x z x( , ) z x    54 (16,54) (16,38) 38 ff 54 38 (16, 22) 38 22 f   54 22 (16,6) 22 6 f   16 9 (6,16) 9 (6,10) 10 f f    16 10 9 (6, 4) 10 4 f    9 4 f(4,6)    6 9 4 (4, 2) 2 f    4 9 12 (2, 4) 9 12 (2, 2) 2 f f      108 2 2 432     3. (12 分) ∵ 1 1 )! ( )! 1 ( )! 1 ( )! ( ! !             n k n k n C k n k n n k n k n k kC

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第二階段】數學科答案卷

P. 02

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

(2)

∴ !( ... ) ( ... 1) 1 1 1 1 0 2 1      n n n n n n n n nC C n C C C C n 由算幾不等式 n n n n n n n n n C C C n C C C 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ... ...             ∴ 1 1 1 0 1 ... 2           n n n n n n C C C n 2 ( ... 1) !( 1 2... ) 1 1 1 1 0 ) 1 ( n n n n n n n n n n n n C C C n C C C       ∴ N n C C C n n n n n n ! 2 ... ) 1 ( 2 1 4. (15 分)解 a表示n次取球中,不連續出現 白球的機率n 2 a1=1 2 8 9 a  1 2 2 1 2 3 3 3 n n n aaa 特徵方程式 9x26x 2 0 1 3 3 x  (1 3) (1 3) 3 3 n n n ap  q  a1=1 2 8 9 a  4 2 3, 2 3 4 4 3 4 3 p  q  3 3 1( 3) 2 (1 3) 2 4 3 3 n n n a           n次取球中,至少連續出現 白球的機率2 =1-3 3 1( 3) 2 (1 3) 2 4 3 3 nn       

5. (25 分)(1)ABC~AEF EF AF a acosA AC  同理 FD b cosB ED c cosC 1 2 p = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos cos

2 2 2 b c a a c b b a c EF FD DE a A b B c C a b c bc ac ab                  = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( )( )( ) 2 2 a b c a b c b a c a b c a b c b c a a c b abc abc               = 2 16( ) 2 ABC abc  = 2 16( ) 2 ( ) 2 4 ABC ABC a b c r R ABC R R      =2 pr R 1 r p p R   (2) 2 2 2 2 2 2 1

sin cos cos

2 cos , cos , cos ,

1 sin 2

( )

1 (cos cos cos ) 2cos cos cos

AE AF A

AEF c A b A BDF CED DEF

A B C

ABC bc A bc ABC ABC ABC

ABC AEF BDF DEF

A B C A B C ABC                   

(3)2cos cos cosA B = AEF

ABC

 =

1

1 1 1

4 cos cos cos cos cos cos

4

a b c

R R a b c R abc A B C R A B C

abc R abc R abc R

R                1 1 2 RR H F E D A B C

參考文獻

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